正方形的判定和性質(zhì)

1、18.2.3正方形lg整體設(shè)對(duì)*教學(xué)目標(biāo)1 .理解并運(yùn)用正方形的定義計(jì)算和證明2 .理解并運(yùn)用正方形的性質(zhì)、判定進(jìn)行計(jì)算和證明，理解一般與特殊的關(guān)系經(jīng)歷正方形的定義及其性質(zhì)和判定定理的探究過(guò)程，豐富認(rèn)識(shí)圖形的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力和表達(dá)能力.F情藤渡馬?？ё寣W(xué)生在發(fā)現(xiàn)、歸納、概括中逐步提高思維能力，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的思想和方法來(lái)思考和分析問(wèn)題的習(xí)慣.教學(xué)重難點(diǎn)【重點(diǎn)】正方形性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用【難點(diǎn)】正方形與平行四邊形、矩形、菱形的區(qū)別與聯(lián)系.教學(xué)準(zhǔn)備【教師準(zhǔn)備】教學(xué)中出示的教學(xué)插圖、問(wèn)題和例題.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)平行四邊形、矩形、菱形的定義、性質(zhì)和判定國(guó)教學(xué)過(guò)程L新課導(dǎo)入導(dǎo)入一：過(guò)渡語(yǔ)前

2、面我們研究了平行四邊形、矩形、菱形的定義、性質(zhì)和判定，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們回憶學(xué)過(guò)的內(nèi)容，回答下面的問(wèn)題.（i）教具（幾何畫板）演示：如圖所示，改變/B的大小，平行四邊形ABCD，的形狀隨之發(fā)生變化.當(dāng)/B為直角時(shí)，這時(shí)的圖形是形;我們平移邊CD改變BC的大小，矩形ABCD勺形狀隨之發(fā)生變化.當(dāng)BC'=C'D'時(shí)，圖形是形.（2）如圖所示，我們平移邊CD改變BC的大小，平行四邊形ABCD勺形狀隨之發(fā)生變化.當(dāng)BC=CD，時(shí)，圖形是形；改變/B的大小，菱形ABCD，的形狀隨之發(fā)生變化,當(dāng)/B為直角時(shí)，圖形是形.學(xué)生觀察教具變化情況，結(jié)合所學(xué)菱形、矩形知識(shí)，回答上面的問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖正

3、方形是學(xué)生熟悉的幾何圖形，小學(xué)已經(jīng)學(xué)過(guò)，這里讓學(xué)生從動(dòng)態(tài)的角度出發(fā)認(rèn)識(shí)正方形，體會(huì)正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系與區(qū)別，感受特殊與一般的關(guān)系導(dǎo)入二:八年級(jí)(2)班的簡(jiǎn)蘭同學(xué)想買一條方紗巾有一天她在商店里看到一塊漂亮的紗巾，非常想買，但她拿起來(lái)看時(shí)感覺(jué)紗巾不太方，商店老板看她猶豫不決的樣子，馬上過(guò)來(lái)拉起一組對(duì)角讓她看另一組對(duì)角是否對(duì)齊，她還有些疑惑，老板又拉起另一組對(duì)角讓她檢驗(yàn)，她終于買下這塊紗巾，你認(rèn)為她買的這塊紗巾是正方形的嗎？當(dāng)時(shí)采用什么方法可以檢驗(yàn)出來(lái)？學(xué)了這節(jié)后，你就會(huì)做出準(zhǔn)確的判斷了設(shè)計(jì)意圖將數(shù)學(xué)問(wèn)題融入生活情境，拉近了學(xué)生與數(shù)學(xué)之間的距離，激發(fā)學(xué)生研究正方形的積極性陋新知構(gòu)建

4、1.正方形的認(rèn)識(shí)思路一過(guò)渡語(yǔ)結(jié)合上面的演示，請(qǐng)同學(xué)們回答下面的問(wèn)題:(1)什么樣的圖形是平行四邊形？(2)什么樣的圖形是矩形？(3)什么樣的圖形是菱形？(4)什么樣的圖形是正方形？學(xué)生討論，回答在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納：正方形是有一組鄰邊相等，有一個(gè)角是直角的平行四邊形生1：正方形是特殊的矩形,生2:正方形是特殊的菱形,追問(wèn)：正方形與矩形、菱形之間有什么關(guān)系呢？學(xué)生思考，回答：正方形既是矩形，又是菱形設(shè)計(jì)意圖結(jié)合圖形的演示，讓學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的平行四邊形、矩形、菱形的定義、性質(zhì)及判定.在此基礎(chǔ)上嘗試歸納正方形的定義，理解正方形的定義，體會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別感受特殊與一般的關(guān)系.思路二

5、3意渡語(yǔ)前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)和判定，小學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)了正方形，請(qǐng)同學(xué)們回答下面的問(wèn)題.(1)正方形與矩形有怎樣的關(guān)系？(2)正方形與菱形有怎樣的關(guān)系？(3)正方形、平行四邊形、矩形、菱形有怎樣的關(guān)系？學(xué)生觀察、思考、交流.孝h網(wǎng)之影即有一組鄰邊相等的矩形是正方形即有一個(gè)角是直角的菱形是正方形教師畫圖說(shuō)明，正方形、平行四邊形、矩形、菱形的關(guān)系如圖總結(jié)：正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四邊形你能根據(jù)正方形、平行四邊形、矩形、菱形的關(guān)系，解釋下面的問(wèn)題嗎？(1)把一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折一下，就可以裁出正方形紙片為什么？(2)如何從一塊長(zhǎng)方形紙片中裁出一塊最大的正方形紙片呢？

6、學(xué)生動(dòng)手折疊、思考、交流(1)由折疊得所得的四邊形有三個(gè)直角，且一組鄰邊相等有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形有一組鄰邊相等的矩形是正方形，所以裁出的紙片是正方形.(2)要使裁出的四邊形是最大的正方形，只要讓四邊形(正方形)的邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形的寬即可.教師總結(jié)：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.設(shè)計(jì)意圖結(jié)合圖形的折疊，讓學(xué)生歸納得出有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.從矩形、菱形的角度出發(fā)體會(huì)它們之間的關(guān)系，感受特殊與一般的關(guān)系.2.正方形的性質(zhì)過(guò)渡語(yǔ)上面認(rèn)識(shí)了正方形，下面我們繼續(xù)研究正方形的性質(zhì)思路一策方形是特殊的平行四邊形，它也是特殊的矩形、特殊的菱形，因此它具有平行四

7、邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).請(qǐng)回憶學(xué)過(guò)的內(nèi)容，回答下面的問(wèn)題(從邊、角、對(duì)角線、軸對(duì)稱性四方面考慮)：心(1)平行四邊形有哪些性質(zhì)？(2)矩形有哪些性質(zhì)？(3)菱形有哪些性質(zhì)？(4)正方形有哪些性質(zhì)？分小組進(jìn)行討論，整理所學(xué)的性質(zhì)：圖形對(duì)邊對(duì)角對(duì)角線對(duì)稱性行邊一平西舷平行、相等相等互相平分不是軸對(duì)稱圖形矩形平行、相等四個(gè)角都是直角互相平分且相等軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸菱形平行、四條邊都相等相等互相垂直且平分，每條軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸對(duì)角線平分一組對(duì)角平行、四條邊都相等四個(gè)角都是直角互相垂直、平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸設(shè)意圖讓學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的平行四邊形、矩形、菱

8、形的定義和性質(zhì).在此基礎(chǔ)上理解正方形的性質(zhì)，體會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，感受特殊與一般的關(guān)系.思路二昊方拓是特殊的平行四邊形，它也是特殊的矩形、特殊的菱形，因此它具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).請(qǐng)把它們寫出來(lái)，并與同桌交流.學(xué)生梳理總結(jié)得：正方形設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的平行四邊形、矩形、菱形的定義和性質(zhì)，體會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.在此基礎(chǔ)上梳理得出正方形的性質(zhì)，有助于這些知識(shí)的正確運(yùn)用.3 .正方形的判定思路一轉(zhuǎn)問(wèn)：怎樣判定一個(gè)四邊形是正方形呢？把你所想的判定方法寫出來(lái).學(xué)生自由發(fā)言.教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納得正方形的判定方法：(1)定義法：有一個(gè)角是直角，有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形

9、.(2)矩形法：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.(3)菱形法：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.思路二篋然正方形是特殊的圖形，那么我們就可以通過(guò)一般圖形來(lái)判定正方形.請(qǐng)大家考慮：滿足什么條件的矩形是正方形？你有哪些方法？類似地，如何通過(guò)菱形和平行四邊形來(lái)判定正方形？教師深入學(xué)生中，督促學(xué)生積極探索交流，了解學(xué)生的思維深度和廣度并及時(shí)加以校正和激勵(lì).派學(xué)生代表走向講臺(tái)進(jìn)行總結(jié)發(fā)言，并鼓勵(lì)其他學(xué)生大膽提問(wèn).師進(jìn)一步歸納正方形的判定方法知識(shí)拓展(1)平行四邊形、矩形、菱形和正方形的定義和判定方法如下表：圖形I定義I判定平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的四邊形1 .兩組對(duì)邊分別相等的四邊形2 .兩組對(duì)角分別相等的

10、四邊形3 .對(duì)角線互相平分的四邊形4 一外左R*日奔MlEH力耳2矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形1 .對(duì)角線相等的平行四邊形2 .有二個(gè)角杲百角的四法形菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形1 .對(duì)角線互相垂直的平行四邊形2 .四條訪相等的四訪形正方形有一個(gè)角是直角，有一組鄰邊相等的平行四邊形1 .有一個(gè)角是直角的菱形2 .有一組鄰邊相等的矩形3 .有一個(gè)角是直角，有一組鄰邊相等的平行四邊形W角緯方相干百、市分日相等的兀訪彩里卜萬(wàn)影4.例題講解過(guò)渡語(yǔ)上面我們研究了正方形的定義、性質(zhì)和判定，下面我們舉例說(shuō)明它們的應(yīng)用（教材例5）求證：正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形學(xué)生分析題設(shè)

11、和結(jié)論，畫圖，寫出已知和求證.已知：如圖,四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)0.求證:ABOBCQACDQADAO是全等的等腰直角三角形.師生分析：利用正方形的性質(zhì)“對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角”可以得到四個(gè)三角形是全等的等腰直角三角形.學(xué)生獨(dú)立完成解題過(guò)程.一生板書：證明：-四邊形ABCD1正方形，AC=BDACLBDAO=BO=CODO. ABOABCOACDOADAOTE是等腰直角三角形，并且ABOAABC（aaCD（aaDAO.教師點(diǎn)評(píng)，糾正寫法上的不足（補(bǔ)充）如圖,在平行四邊形ABC曲，。是CD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于占E.條證AOHE

12、OC（2）連接ACDE當(dāng)/B=ZAEB：。時(shí)，四邊形ACED1正方形.請(qǐng)說(shuō)明理由.師生共同分析：（1）根據(jù)題意可得/ADC/OCE/DAOZOECOCOD所以AOD"iEOC（2）當(dāng)/B=/AE吾4500寸，根據(jù)AOB八EOC先證明四邊形ACE昆平行四邊形，再根據(jù)/COE/BAE=90°,得到平行四邊形ACED是菱形，AB=AEAB=CD故AE=CD從而可知菱形ACED1正方形學(xué)生獨(dú)立寫出過(guò)程后，教師重點(diǎn)指導(dǎo)第（2）問(wèn)的解答過(guò)程.證明：（1）T四邊形ABCD是平行四邊形，AD/BC. /ADC/OCE/DAO/OEC.又-。是CD的中點(diǎn)，OCOD.AOOAEOC解：（2）如

13、圖，當(dāng)/B=/AEB=45用寸,四邊形ACE是正方形.理由如下：/AO»EOC OAOE.又OCOD 四邊形ACE是平行四邊形. /B=/AEB=45°, AB=AE/BAE=90°. -四邊形ABCD!平行四邊形， AB/CDAB=CD./COE/BAE=90°.-平行四邊形ACED是菱形.AB=AEAB=CDAE=CD.從而可知菱形ACEDi正方形.解題策略探索條件類問(wèn)題，先看題中的已知條件，根據(jù)正方形的判定方法，缺什么就補(bǔ)什么條件，一般從“矩形+組鄰邊相等”或“菱形+有一個(gè)角是直角”去考慮.設(shè)計(jì)意圖運(yùn)用正方形的性質(zhì)、判定解決有關(guān)的問(wèn)題，培養(yǎng)運(yùn)用所學(xué)

14、知識(shí)解題的意識(shí)，提高解題能力.陋課堂小結(jié)師生共同歸納小結(jié).本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了正方形的性質(zhì)和判定，弄清了正方形、平行四邊形、矩形、菱形的關(guān)系1. 下列命題是真命題的是（）A.矩形的對(duì)角線互相垂直B.菱形的對(duì)角線相等C.正方形的對(duì)角線相等且互相垂直D.四邊形的對(duì)角線互相平分解析：根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，可判斷選項(xiàng)A錯(cuò);根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直，可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)；根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直、平分且相等，可判斷選項(xiàng)C正確；四邊形的對(duì)角線無(wú)特性，可判斷選項(xiàng)D錯(cuò).故選C.2. 在四邊形ABCDS。是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是（）A. AOBDAB/CDAB=CDB. AD/BC/A=/CC.

15、AO=BO=CO=DOACLBDD.AO=COBO=DOAB=BC解析：根據(jù)“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”可判定選項(xiàng)A是矩形；根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”“等量代換”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可判定選項(xiàng)B是平行四邊形；根據(jù)“對(duì)角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形”可判定選項(xiàng)C是正方形；根據(jù)“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”可判定選項(xiàng)D是菱形.故選C.3.如圖所示，E是正方形ABC口的邊AD上任意一點(diǎn)，EFIBD于點(diǎn)F,EGLAC于點(diǎn)G若AB=10cm,則四邊形EFOG勺周長(zhǎng)是.解析：先由題意證明四邊形EF。（是矩形，進(jìn)而可知矩形EFO（的周長(zhǎng)為0D勺長(zhǎng)的2倍，然后根據(jù)勾股定理得0D

16、勺長(zhǎng)為5cm,故填10cm.詼梅書設(shè)計(jì)18.2.3正方形1 .正方形的認(rèn)識(shí)2 .正方形的性質(zhì)3 .正方形的判定4 .例題講解例1例2分布蓋作業(yè)一、教材作業(yè)【必做題】教材第59頁(yè)練習(xí)第1,2,3題；教材第61頁(yè)習(xí)題18.2第7,8題.【選做題】教材第61頁(yè)習(xí)題18.2第12題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1 .矩形、正方形、菱形的共同性質(zhì)是（）A.對(duì)角線相等B.對(duì)角線互相垂直C.對(duì)角線互相平分D.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角2 .（2015日照中考）小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個(gè)條件:AB=BC/AB（=90。,AOBDAdBD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使?ABCDA正方形（如圖），

17、現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.3 .如圖，正方形ABC即，CE_LMN/MCE35。,那么/ANM是()A.45°B.550C.650D.75'4 .如圖所示，在四邊形ABCDTAB=BC=C!=DA對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.若不增加任何字母與輔助線，要使得四邊形ABCDI正方形，則還需增加的一個(gè)條件是.度.,CE=AC則/E=5 .如圖，正方形ABC曲,AC是對(duì)角線，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)【能力提升】6 .如圖，正方形ABCD勺對(duì)角線ACBD交于點(diǎn)O/OCFZOBE試猜想OE與OF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.7 .如圖，在四邊形ABC曲，AB=BC對(duì)角

18、線BD平分/ABCP是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMLADPN±CD垂足分別為MN.（1）求證/ADB/CDB（2）若/ADC90。，求證四邊形MPN是正方形.【拓展探究】8 .如圖，在正方形ABCDTAC是對(duì)角線，AE平分/BAC試猜想ABACBE之間的關(guān)系,并證明你的猜想【答案與解析】1 .C（解析：根據(jù)圖形的性質(zhì)進(jìn)行判別即可.對(duì)角線相等是矩形的特性，對(duì)角線互相垂直、每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角是菱形的特性，故選項(xiàng)A,B,D錯(cuò)，故選C.）2 .B（解析:A項(xiàng)，-四邊形ABCDI平行四邊形，-當(dāng)AB=BC時(shí)，平行四邊形ABCD1菱形，當(dāng)/ABC90。時(shí)，菱形ABCD1正方形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;B項(xiàng)，-四邊形ABCD1平行四邊形，當(dāng)/ABC90。時(shí)，平行四邊形ABCDI矩形，當(dāng)AC=BD時(shí)，無(wú)法得出四邊形ABCDI正方形，故B選項(xiàng)正確;C項(xiàng)，-四邊形ABCD!平行四邊形，當(dāng)AB=BC時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)AC=BD時(shí)，菱形ABCDI正方形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，-四邊形ABCD1平行四邊形，當(dāng)/ABC90。時(shí)，平行四邊形ABCD1相形，當(dāng)ACLBD時(shí)，矩形ABCD1正方形，