熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出

1、第一章 熱傳導(dǎo)方程本章介紹最典型的拋物型方程熱傳導(dǎo)方程,在研究熱傳導(dǎo),擴散等物理現(xiàn)象時都會遇到這類方程.§1 熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出1.1熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出物理模型在三維空間中,考慮一均勻,各向同性的物體,假定它內(nèi)部有熱源,并且與周圍介質(zhì)有熱交換,需要來研究物體內(nèi)部溫度的分布和變化.以函數(shù)表示物體在位置及時刻的溫度.物體內(nèi)部由于各部分溫度不同,產(chǎn)生熱量的傳遞,它們遵循能量守恒定律.能量守恒定律物體內(nèi)部的熱量的增加等于通過物體的邊界流入的熱量與由物體內(nèi)部的熱源所生成的熱量的總和.在物體內(nèi)任意截取一塊.現(xiàn)在時段上對使用能量守恒定律.設(shè)是溫度(度),是比熱(焦耳度·千克),是

2、密度(千克/米3), 是熱流密度(焦耳/秒·米2),是熱源強度(焦耳/千克·秒).注意到在時段內(nèi)通過的邊界上小塊 進入?yún)^(qū)域的熱量為(是的外法向),從而由能量守恒律,我們有 （1.1）大家知道,熱量流動的原因是因為在物體內(nèi)部存在溫差.依據(jù)傳熱學(xué)中的傅立葉實驗定律,在一定條件下,熱流向量與溫度梯度成正比 （梯度） （1.2）這里負號表明熱量是由高溫向低溫流動,是物體的導(dǎo)熱系數(shù).從而(1.1)式可改寫為 (1.3)假設(shè)在柱體內(nèi)具有連續(xù)微商.則應(yīng)用散度定理(或高斯公式)立得:,由于被積函數(shù)在內(nèi)連續(xù),以及,的任意性,又由于物體均勻,各向同性, 都是常數(shù),立得: 令是三維Laplace

3、算子,則 （1.4）稱為熱傳導(dǎo)方程.當時表示熱源,當時表示熱匯.為了具體確定物體內(nèi)部的溫度分布,我們還需要知道物體的初始溫度分布以及通過物體的邊界受周圍介質(zhì)的影響.初始條件邊界條件有三類:1.已知邊界上的溫度分布這里.特別當常數(shù)時,稱物體的邊界保持恒溫.2.已知通過邊界的熱量(為上的單位外法向量),表示流入,表示流出,特別當表示物體絕熱.3已知通過邊界與周圍介質(zhì)有熱交換.或這里表示周圍介質(zhì)溫度,表示熱交換系數(shù).定解問題為了具體確定物體的溫度場,我們需要求解熱傳導(dǎo)方程的某一特定的定解問題.設(shè)是空間中的有界開區(qū)域.第一初邊值問題第二初邊值問題第三初邊值問題初值問題(或稱Cauchy問題)什么是定解

4、問題的解(解說一下)驗證是方程的一個解;(是參數(shù))是方程的一個解.數(shù)學(xué)物理方程的主要問題,在推導(dǎo)出方程之后,求出方程的解.然而求出一個偏微分方程的精確解一般是困難的.附注1 方程雖然通常稱為熱傳導(dǎo)方程,但絕不只用來表述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象.事實上,自然界還有很多現(xiàn)象同樣可用這個方程來刻劃,一個重要的例子是考慮某類分子在介質(zhì)(如空氣,水,)中的擴散.濃度的不均勻產(chǎn)生分子運動(擴散),它遵循質(zhì)量守恒定律.根據(jù)Nernst實驗定律:分子運動速度與濃度的梯度成正比:,稱為擴散系數(shù).從而同樣可導(dǎo)出分子濃度適合的方程,這里是一個與擴散系數(shù)成正比的常數(shù),表示反應(yīng)項.因此人們通常把方程稱為擴散方程,而稱為擴散項.附注2

5、 對某些三維問題,如果根據(jù)問題的某些性質(zhì),適當選取坐標系,可以化歸為或近似地化歸為一維或二維問題來處理.這樣的簡化對于 求解定解問題,特別是求問題的近似解帶來方便.例1. 如果物體可看成一根細桿,它的側(cè)表面絕熱,它與周圍介質(zhì)的熱交換只在桿的兩端進行;如果在任意一個與桿的軸線垂直的截面上,初始溫度和熱源強度的變化很小,那么我們可以近似地認為桿上的溫度分布只依賴于截面的位置.因此如果取桿的軸線為軸,那么方程(1.4)可改寫為 （1.5）我們稱它為一維熱傳導(dǎo)方程.同樣,如考慮薄片物體上的熱傳導(dǎo),薄片的側(cè)面絕熱,可得二維熱傳導(dǎo)方程.例2 考慮一半徑為的球體,它通過球表面與周圍介質(zhì)有熱交換.如果在球面上所有各點所受周圍介質(zhì)的影響都相同,且球內(nèi)任意一點的初始溫度和熱源強度只依賴于它到球心的距離而與它的方位無關(guān),那么如果我們選擇以球心為坐標原點并引進球坐標,從而球內(nèi)的溫度適合方程這是由于.,同理 ,于是 .我們稱它為球?qū)ΨQ問題的熱傳導(dǎo)方程.例3 考慮一高為,半徑為的圓柱形物體.引入柱坐標系,取柱體的軸線為軸,下底落在平面上,假設(shè)在柱體的側(cè)表面和上下底上給出的邊界條件只分別依賴于和(點到軸線的距離),且柱體初始溫度和內(nèi)部熱源亦只是的函數(shù).這樣在柱體內(nèi)溫度適合方程這是一個二維軸對稱問題的熱傳導(dǎo)方程.這是由于若進一步假設(shè)柱長無窮,且通過柱體側(cè)表面受周圍介質(zhì)的影響是相同的,又若柱體的初始溫度的內(nèi)部熱