電動(dòng)力學(xué)習(xí)題及解答

1、第五章 電磁波的輻射1. 若把麥克斯韋方程租的所有矢量都分解為無(wú)旋的（縱場(chǎng)）和無(wú)散的（橫場(chǎng)）兩部分，寫(xiě)出E和B的這兩部分在真空中所滿足的方程式，并證明電場(chǎng)的無(wú)旋部分對(duì)應(yīng)于庫(kù)侖場(chǎng)。解：真空中的麥克斯韋方程組為E B/ t ，(1)E / 0 ，( 2 )B 0J 0 0 E / t ，( 3)B 0（ 4）如果把方程組中所有矢量都分解為無(wú)旋的縱場(chǎng)和無(wú)散的橫場(chǎng)，并分別用角標(biāo)L和T表示,則：由于 B 0 ，所以 B 本身就是無(wú)散場(chǎng)，沒(méi)有縱場(chǎng)分量，即BLE0， B BT ；ET，J1）得：ELJL2）得：3）得：JT， (EL (EL BTEL JL ET) ET0，0，ETET 0 ；J T 0；B

2、T / tEL/0由電荷守恒定律又因?yàn)镴LJL0 (J L0J LJT)00 t 得：0 EL /0 0 (E LEL / t)JLt) ，所以0EL)/0JTJL0 0 ET / t)( 0 EL / t)El/ t ,即（7）式簡(jiǎn)化為 所以麥克斯韋方程租的新表示方法為：ETBTELBL 0J L0BT0JTBT /0JT/0EL / tET / t（5）（6）（7）（8）（9）10）EL 0 引入標(biāo)勢(shì)2，代入EL0 得，上式的解就是靜止電荷在真空中產(chǎn)生的電勢(shì)分布，所以EL對(duì)應(yīng)靜止電荷產(chǎn)生的庫(kù)侖場(chǎng)。2.證明在線性各向同性均勻非導(dǎo)電介質(zhì)中，若 O , J O ,則E和B可完全由矢勢(shì) A決定。若

3、取 0 ，這時(shí) A 滿足哪兩個(gè)方程？解：在線性各向同性均勻非導(dǎo)電介質(zhì)中，若0，Jo ,則麥?zhǔn)戏匠瘫硎緸椋篍B/ t（1）HD/ t（2）D0（3）B0（4）其中，D E , H B/ ,由于（4）式，引入矢勢(shì)A,使將（5）代入（1）,得：(E AZ t)0 ,由此引入標(biāo)勢(shì),使 EAZt,即EAZ t將（7）式代入（3）得：2Z t( A)0所以，可由A決定，進(jìn)而，E也可完全由矢勢(shì)如果取0,由（8）式得：A 0將（5）、'(7)代入（2）,并注意到0,得：2 .2A C2A2 0B A即B可完全由矢勢(shì)A決定。A決定。（9）、（10）即為O時(shí)A滿足的兩個(gè)方程。3.證明沿Z軸方向傳播的平面電

4、磁波可用矢勢(shì)A（）表示，其中Z軸方向。（5）（6）（7）（8）（9）（10）t ZZC， A垂直于證：平面電磁波在沒(méi)有電荷分布的空間中傳播,2AZ22A 0 020 0沿Z軸方向傳播的平面波解為A A0e* JA與滿足洛倫茲條件：c2k AZ因此，只要給定 A，就可以確定t2t2勢(shì)的方程為°ei"kz J0 0 Z t 0。所以 ik A0 00，即,從而E和B隨之確定。由于AikA， E CBn所以E和B只與矢勢(shì)的橫向分量有關(guān)，即平面電磁波可由A來(lái)表示，即B A ik A ， E CB ni（ kz t）i （t ZZC）i其中 AA° eA0 eA°

5、 e根據(jù)題意A可記為A（）,其方向與Z軸垂直。i k x*ik x*4設(shè)真空中矢勢(shì) A可用復(fù)數(shù)傅里葉展開(kāi)為A（x,t） ak（t）e ak（t）e ,其中akk是ak的復(fù)共軛。（1） 證明ak滿足諧振子方程-drak（t） k2c2ak（t）0。dt2（2） 當(dāng)選取規(guī)范A 0，0時(shí)，證明k ak 0。（3）把E和B用ak和ak表示出來(lái)。第 5頁(yè)解：(1)證明：因?yàn)锳(x,t)ak(t)eikx ak(t)e ikxk所以，根據(jù)傅立葉級(jí)數(shù)的正交性，必有：ak (t)A(x,t)eik XdX2 2d ak(t)A(x,t) ikxe dx故,dt2在洛倫茲規(guī)范下,2AA 02d ak(t)dt2

6、2 2k C ak(t)2d ak(t)t22A2A/ t2，ik X e(c2(1)因?yàn)閐t2A(x,t)3)所以d2ak (t)dt2(2)當(dāng)選取規(guī)范A0 0 2A/ t2所以(1)式化為2A)dxk2c2A(x,t)eikxdx22ik x 22k C ak(t) e c AoJ ,考慮到真空中J 0 ,k2c2A(x, t)dx(2)(3)ak(t)eikx a；(t)e ikx,k2 2A(x,t) k A(x,t)式右邊積分中，被積函數(shù)為0,積分為0。所以ak滿足諧振子方程所以2 2k C ak(t)0。A 0，ak(t)eikx kik ak(t)eikxak(t)e ikxak

7、(t)kik ak(t)e ikx0ik X eak(t)ik X eak(t)是線性無(wú)關(guān)正交組，所以要使上式成立, k ak(t)(3)已知 A(x,t)因?yàn)閍k(t),必有k ak(t)0ak(t)eikxak(t)eikx,所以ikkak(t)eikxikak(t)e ikxdak(t) ikx -e k dt5.設(shè)A和是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)。dtik x (1)引入一矢量函數(shù) Z(x,t)(赫茲矢量)，若令證明12C(2)若令2P ,證明Z(x,t)滿足方程Zc2 t20 P，寫(xiě)出在真空中的推遲解。(3)證明E和B可通過(guò)Z用下列公式表出：2 1(Z) c2 0P，B p C t是

8、滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì),A 丄一 0C t代入(1)得：丄_C2 t(1)證明:所以有(1)(2)即:,所以,(2)證明:因?yàn)闃?biāo)勢(shì)1_Zc2 t在洛倫茲規(guī)范下有方程:1 2代入，得:2Z)(4),則上式化為2Z)與方程2A得方程(3)將2Z12Zc2t2°p(5)J_2AC2 t2在真空中的推遲解為2Z(x,t) ° 04oJ的推遲解A(x,t)P(x',t rc)dv'，A 丄-Z代入Ec2 tZ) C2 0P，(J_C2 t電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞,6.兩個(gè)質(zhì)量、發(fā)生。證：電偶極矩的變化產(chǎn)生的輻射場(chǎng)為：eikRB訂(P n)，E4 0C Ri

9、kReJ(X',t r/C)dV'類比,A/ t 及 B(6)A ,得:證明電偶極輻射和磁偶極輻射都不會(huì)40C2R(P n) n第4頁(yè)磁偶極矩的變化產(chǎn)生的輻射場(chǎng)為：ikRE 嚴(yán)(m n) , B4 CRikROe4 C3R(mn)第 16頁(yè)在兩個(gè)質(zhì)量、電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞的過(guò)程中，取兩粒子的連線為 X軸，則系統(tǒng)的電偶極矩P qx qx2 q(X1 X2)P q(x X2)由于兩粒子質(zhì)量相同，根據(jù)牛頓第二定律，有XiX2 ,所以P 0,因此系統(tǒng)的電偶極矩產(chǎn)生的輻射場(chǎng)為0；又由于系統(tǒng)的磁偶極矩 m 0 ,所以系統(tǒng)的磁偶極矩產(chǎn)生的輻射場(chǎng)為 0，即兩個(gè)質(zhì)量、電荷都相同的粒子

10、相向而行發(fā)生碰撞，電偶極輻射 和磁偶極輻射都不會(huì)發(fā)生。7.設(shè)有一球?qū)ΨQ的電荷分布，以頻率沿徑向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，求輻射場(chǎng)，并對(duì)結(jié)果給以物理解釋。解：因?yàn)殡姾蔀榍驅(qū)ΨQ分布， 不失一般性，設(shè)球面上均勻分布了總電量為 Q的電荷，于是,球面電荷密度為Q/4 R2取如圖所示相對(duì)的兩塊小面元 dS,dS,由于兩塊小面 元對(duì)應(yīng)相同的立體角，故有相同的面積dS1 dS2，dq1dS1dS2 dq2因?yàn)閮呻姾稍猟q, dq2球?qū)ΨQ分布，又以相同的頻率 沿徑向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所以有故此兩電荷元的振動(dòng)不能產(chǎn)生輻射場(chǎng)。根據(jù)場(chǎng)的疊加原理整個(gè)球?qū)ΨQ分布的電荷體系沿徑向的簡(jiǎn)諧振蕩是不能產(chǎn)生輻射場(chǎng)的振動(dòng)，輻射場(chǎng)為8. 一飛輪半徑為 R

11、,并有電荷均勻分布在其邊緣上，總電量為 旋轉(zhuǎn)，求輻射場(chǎng)。解：設(shè)飛輪邊緣的厚度為0。Q。設(shè)此飛輪以恒定角速度體系的電偶極矩為d,于是邊緣上的電荷面密度Q CX2 R亠d2 RddlQ/2 Rd ,dlQ2cos202Sin0d ey0體系的磁偶極矩mS匚20,故輻射場(chǎng)為R2ezQ R22 ez由此得P 0, m9.利用電荷守恒定律，驗(yàn)證A和 的推遲勢(shì)滿足洛倫茲條件。0。證明：推遲勢(shì)A與可寫(xiě)作:A(Xlt)jdV',1(X,t)4-3dV'0 V'A J(x',t')4 V'J(x',t')dV'J(x',t'

12、)V''-dV'4 V，r'J(x',t')dV'vrJ(x',t')t' COnStdV其中t' tr-tX x'OCC對(duì)于r的函數(shù)，有IA(x,t)0J (x',t')'dV'4 V'r0J(x',t')1 -dV'0 14 V'r4 V，r因?yàn)? J1JJ(x',t')r'rC t'Ct''J(x',t')'J(x',t )t' Con

13、St1 J'rC t'所以J(x',t')'J(x',t ) t' const'J(X,t')J(x',t')dV'1-dV'-'J(x',t')f constr 4 v，rJ(X ,t )dV' -'J(x',t')t' COnStdV' r4 V，r由于'J¾v',V'S'4)dS'r0,所以另外1C2 t_L 4 V' r1 1C2 4'J(x

14、9;,t')t' COnStdV'所以C21 1 dV'-0dV'，0V'r t4 ,'1-'J(x',t')t' Const4 V，rV，r t'由電荷守恒定律,J (X ,t )t' const -0即得A和的推遲勢(shì)滿足10.半徑為R°的均勻永磁體，磁化強(qiáng)度為 M。，球以恒定角速度繞通過(guò)球心而垂直于 M。的軸旋轉(zhuǎn)，設(shè) R0C ,求輻射場(chǎng)和能流。（提示：M。以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，可分解為相位差為 2的互相垂直的線振動(dòng)；e×SincoscoscosSineySinSincosS

15、incosezcosSin0直角坐標(biāo)基矢與球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系為eRee解：本題相當(dāng)于一個(gè)位于原點(diǎn)的磁偶極子的旋轉(zhuǎn)，此磁偶極子的磁偶極矩為:433戌M。x，y方向上相位差為 2的簡(jiǎn)諧振蕩的合成。43其旋轉(zhuǎn)振蕩可分解為m3R°M°cos( t)e，my4 3-RoMOSin( t)ey33R0 M O cos( t )ey2用復(fù)數(shù)形式表達(dá)為:m根據(jù)磁偶極矩輻射場(chǎng)公式BX4 c2RikR 4e -4 c2R302RX i(2e3c R230R0 M 0 i(kRi 2 e3c R再根據(jù)直角坐標(biāo)基矢與球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系同理可得BySin cosBXByeyez02R3M 03c2R

16、2 3ll II0 ROMO3c2RSin SinBX By同理，根據(jù)輻射場(chǎng)公式i t.4eex，myi -3ikR Ze (mn)n ,32 i tRo Ml 0e(exkR t>(exer )er得er) erer )3i tR0M0e eyt)(eyerCoScosCoSSineRSincoscosSin(ecoscose Sin(ecosSine cos02r3m0 Zcosi (kR)ie (3c2RIe)ei(kR)ei(kRt)t)ELeikR (m4 CR及坐標(biāo)基矢變換關(guān)系，可得：0 2刼0廠_(ie 3cR0 4r06mOM 不廠(118c Rn)，42m32 2c3R

17、2sin2 ncos2cos)er11.帶電粒子 和輻射能流。解：帶電粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其磁偶極矩m是常矢量，因此不產(chǎn)生電磁輻射，但此系統(tǒng)e作半徑為a的非相對(duì)論性圓周運(yùn)動(dòng)，回旋頻率為。求遠(yuǎn)處的輻射電磁場(chǎng)的電偶極矩是一旋轉(zhuǎn)的變化量 的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振蕩：P eaer ,仿上題解法，把旋轉(zhuǎn)量P分解為x，y方向上由此可得:根據(jù)公式得:PXPyPXPyea CoS texeacos( tteae exte ey，eai oke4 RezikR(nSinSineae i t eXi ( t /2). i teae ey eaie ey2i teae eX.2 i tiea e ey2)eyPXPyP)及直角

18、坐標(biāo)基矢與球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系CoSSinCoS2o ea / (e cos4 CRCoS coscos SinSinie )ei(kRSineRCOSi okC ikR Z-e (n p) n ， S 4 R球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系，得2Oeai (kR t )E (e cos ie )e， S4 R12.設(shè)有一電矩振幅為于導(dǎo)體平面。設(shè)a解：如圖所示，設(shè)平面再根據(jù)公式3232oC R2Sin n及直角坐標(biāo)基矢與法，得:構(gòu)造圖中電偶極子2 2e a “222 (1 cos 32 2CR2Po ,頻率為的電偶極子位于距理想導(dǎo)體平面為，求在R處電磁場(chǎng)及輻射能流。xoy是導(dǎo)體平面，利用鏡像Po的鏡象Po。由

19、圖可i tPoeeX， PPoeeX ，iPoe)era/2處，Po平行P電偶極子P產(chǎn)生的輻射磁場(chǎng)為a1ik (R cos )e -4oC3R2POBiikacos2tex2PoePoe i t iteeri(kR t)e( QRiPoR2eX3 e4 oC R電偶極子的鏡象 P產(chǎn)生的輻射磁場(chǎng)為a ik (R cos ) I 2erB21 i3 e4 0C3RPo3 e4 oC3Rika CoS2ei(kR t>exer所以 B(R,t) Bi B22p0ei(kR3 e4 0C RikaP0 ei(kRe4 0C R.3i °aP0 e3再由磁場(chǎng)求出:E(R,t)CBerS C2 013.設(shè)有線