四邊形解題技巧

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上四邊形解題技巧一、平行四邊形應(yīng)用舉例平行四邊形具有對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分等性質(zhì)，它們在計(jì)算、證明中都有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)舉例說明1求角的度數(shù)例1 如圖，ABCD中AD=2AB，點(diǎn)E、A、B、F在一條直線上，且EAABBF，求DOC的度數(shù)例2 （2007·河北）如圖，若ABCD與EBCF關(guān)于BC所在直線對稱，ABE=90°，則F=_2求線段的長例3 如圖，在四邊形ABCD中，AB6，BC8，A =120°，B60°，BCD150°，求AD的長例4 (2006·河北)如圖，在DABCD中，AD5，A

2、B=3，AE平分BAD交BC邊于點(diǎn)E，則線段BE、EC的長度分別為( ) A2和3 B3和2 C4和1 D1和43求周長例5 (2006·日照)如圖，在ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，EAF= 45°，且AE+AF=，求ABCD的周長4求第三邊的取值范圍例6 (2006·雙柏)如圖，在ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)0，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范圍是( ) A10<m<12 B2<m<22 Cl<m<ll D5<m<65綜合計(jì)算題例7 如圖,ABCD的周長為，BC的長為，AEBC

3、于E，AFDC，垂足為DC延長線上的點(diǎn)F，AE=3 求：(1)D的度數(shù)；(2)AF的長6探索題例8 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BCD的平分線CF交邊AB于點(diǎn)F，ADC的平分線DG交邊AB于點(diǎn)G，且DG與CF交于點(diǎn)E請你在已知條件的基礎(chǔ)上再添加一個(gè)條件，使得EFG為等腰直角三角形，并說明理由二、添作中位線，妙證幾何題三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半這是三角形的一條很重要的性質(zhì)，它包含了位置與數(shù)量兩種關(guān)系在題中，若有線段的中點(diǎn)，可過中點(diǎn)作第三邊的平行線或取另一邊中點(diǎn)構(gòu)造中位線，運(yùn)用中位線定理，實(shí)現(xiàn)線段或角的轉(zhuǎn)移，從而迅速找到解題突破口，往往會(huì)使得某些看似無法解

4、決的幾何題化難為易，迎刃而解例9 如圖，在ABC中，AB<AC，點(diǎn)D在AC上，且有CD=AB，E、F分別是AD和BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長與BA的延長線相交于點(diǎn)G，求證：AE=AG例10 如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC=BD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于M、N求證：OMN=ONM.例11 如圖，ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，BE的延長線交AC于點(diǎn)F，求證：.例12 如圖，ABC的中線AD、BE相交于點(diǎn)G，求證：.三、巧算與矩形有關(guān)的面積題解答這類問題可考慮用未知數(shù)表示某些線段，構(gòu)造方程來求解例13 如圖，矩形ABCD的面積

5、為S，E是AB的四等分點(diǎn)，F(xiàn)是BC的三等分點(diǎn)，G是CD的中點(diǎn)，則EFG的面積為_例14 如圖，矩形ABCD中，E是BC上的點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)，且，則等于( )A.2 B.3 C.4 D.5四、折疊問題近幾年一些省市的中考題中出現(xiàn)了很多有關(guān)矩形紙片折疊的問題由于這類問題的實(shí)踐性強(qiáng)，需要同學(xué)們通過動(dòng)手操作去發(fā)現(xiàn)解決問題的方法其規(guī)律為利用折疊前后線段、角的對應(yīng)相等關(guān)系，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理來求解以下面例題加以說明例15 矩形紙片ABCD中AD=4 cm，AB=10 cm，按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則DE=_cm例16 將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示的圖形，已知

6、CED'=60°，則AED的大小是( ) A60° B50° C75° D55°例17 如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果將該矩形沿對角線BD折疊，那么圖中陰影部分的面積是多少？五、路在何方我們知道如果直線mn，A、B為直線n上的兩點(diǎn)，C、P為直線m上的兩點(diǎn)(如圖)，容易根據(jù)平行線之間的距離處處相等及同底等高的兩個(gè)三角形面積相等的知識，得到兩對面積相等的三角形，即ABC和ABP面積相等；CPA和CPB面積相等，還有一對面積相等的三角形，你知道嗎？ 我們進(jìn)一步看：如果A、B、C為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在m上移動(dòng)，那么無論點(diǎn)P移動(dòng)到任何

7、位置，總有ABP與ABC的面積相等， 理由：因?yàn)槠叫芯€間的距離相等，所以無論點(diǎn)P在m上怎么移動(dòng)，總有ABP與ABC的同底等高，因此，它們的面積總相等例18 如左圖，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如右圖所示形狀，但承包土地與開始荒地的分界小路(圖中折線CDE)還保留著，為了便于通行，張大爺想過E點(diǎn)修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時(shí)的一樣多，請你用有關(guān)數(shù)學(xué)知識，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計(jì)出修路方案（不計(jì)分界小路與直路的占地面積） (1)寫出設(shè)計(jì)方案，并在圖中畫出相應(yīng)的圖形； (2)說明方案設(shè)計(jì)理由 六、聚焦閱讀理解題 閱讀綜合理解題主

8、要考查同學(xué)們對“新事物”“新知識”的接受和理解能力，也考查同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識來解決“新事物”“新知識”的能力解決這類綜合問題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用所學(xué)知識來理解題目，從而做到正確解題。例19 閱讀以下短文，然后解決下列問題： 如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形這邊所對的頂點(diǎn)在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”，如圖所示，矩形ABEF即為ABC的“友好矩形”顯然，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè) (1)依照以上敘述，說明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”； (2)如圖，若ABC為直角三角形，且C=90°，在圖中畫出AB

9、C的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大小； (3)如圖，若ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖中畫出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以說明圖 圖 圖七、“Face to Face”中點(diǎn)四邊形 順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形這個(gè)中點(diǎn)四邊形有許多重要性質(zhì)，在中考試題中也屢見不鮮，中點(diǎn)四邊形的四個(gè)結(jié)論如下：1任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形 已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)求證：四邊形EFGH是平行四邊形2對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形 已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H

10、分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，AC=BD.求證：四邊形EFGH是菱形3對角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形 已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，ACBD.求證：四邊形EFGH是矩形4對角線相等且垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形 因?yàn)樗倪呅蔚膬蓷l對角線垂直，所以這個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形，又因?yàn)檫@個(gè)四邊形的兩條對角線相等，所以這個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形既是矩形又是菱形的圖形就是正方形 中點(diǎn)四邊形的這四個(gè)結(jié)論應(yīng)結(jié)合以下特例靈活掌握：菱形的中點(diǎn)四邊形為矩形，矩形的中點(diǎn)四邊形為菱形，正方形的中點(diǎn)四邊形為正方形例20 順次連結(jié)等腰梯形四邊中點(diǎn)得到一個(gè)

11、四邊形，再順次連結(jié)所得四邊形四邊中點(diǎn)得到的圖形是( ) A.等腰梯形 B直角梯形 C菱形 D矩形例21 （2007·牡丹江）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=3，BC=5，AC、BD相交于0點(diǎn)，且BOC=60°，順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所得四邊形的周長是( ) A24 B.20 C16 D.12八、“智力魔方”一七巧板 七巧板是由正方形按如圖所示的方法制作成的（沿實(shí)線剪開），其中有五塊都是等腰直角三角形，一塊正方形，一塊平行四邊形，七巧板是一種數(shù)學(xué)玩具，有很強(qiáng)的益智性與趣味性，深受人們的喜愛在近幾年的中考試題中，就出現(xiàn)了一些與七巧板有關(guān)的拼圖和計(jì)算題，值得關(guān)注例2

12、2 七巧板是我們祖先創(chuàng)造的一種智力玩具，它來源于勾股法如圖(1)，整幅七巧板是由正方形ABCD分割成七小塊（其中：五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形）組成如圖(2)，是由七巧板拼成的一個(gè)梯形，若正方形ABCD的邊長為12 cm，則梯形MNGH的周長是_cm（結(jié)果保留根號）例23 用邊長為1的正方形紙板制成一副七巧板(如圖(1)，將它拼成“小天鵝”圖案(如圖(2)，其中陰影部分的面積為( )A B C D 九、四邊形“聯(lián)姻”直角坐標(biāo)系 中考中常把四邊形與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合起來考查，這類題目有利于同學(xué)們把“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來思考，提高同學(xué)們綜合運(yùn)用知識的能力例24 一張矩形紙片OAB

13、C平放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，0為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4如圖，將紙片沿CE對折，點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐標(biāo)例25 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別是(O，O)、(5，O)和(2，3)求：(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)對角線AC、BD的交點(diǎn)E的坐標(biāo)例26 已知菱形ABCD的邊長為5，BAD是銳角，把它放在平面直角坐標(biāo)系之中，并且使AD邊在y軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)D的下方，這時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，10) (1)求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)畫出符合題意的圖形例27 一個(gè)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)O和A的坐標(biāo)分別是(O，0)和(4，O)，請寫出另外兩個(gè)頂

14、點(diǎn)的坐標(biāo)十、“天塹”變“通途” 梯形是不同于平行四邊形的一類特殊四邊形，解決梯形問題的基本思路是通過添加輔助線，對梯形進(jìn)行割補(bǔ)、拼接，使“天塹”變“通途”，從而轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形問題，使看似不可能的問題得到解決，一般而言，梯形中常用的輔助線主要有以下幾種1平移一腰 過梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，從而利用平行四邊形的性質(zhì)，將分散的條件集中到三角形中去，使問題順利得解.例28 如圖，梯形ABCD中ADBC，AD=2 cm，BC=7 cm，AB=4 cm，求CD的取值范圍 規(guī)律總結(jié)：通過作腰的平行線，構(gòu)造平行四邊形、三角形，從而把分散的條件集中到一個(gè)三角形中去，從而為解題創(chuàng)造必要條件，這種方法很重要，需切實(shí)掌握2延長兩腰交于一點(diǎn) 將梯形的兩腰延長，使之交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化為大、小兩個(gè)三角形，從而利用特殊三角形的有關(guān)性質(zhì)解決梯形問題例29 如圖，梯形ABCD中，ADBC，B=C，試說明梯形ABCD是等腰梯形 規(guī)律總結(jié)：延長兩腰交于一點(diǎn)，可把梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題解決3平移一條對角線 從梯形一底的一個(gè)頂點(diǎn)向梯形外作對角線的平行線，與另一底的延長線相交，構(gòu)成平行四邊形和特殊三角形（直角三