高中數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)66529

1、平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一部分：向量的概念與加減運(yùn)算，向量與實(shí)數(shù)的積的運(yùn)算。一 向量的概念：1 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。2  向量的表示方法：    （1）°幾何表示法：點(diǎn)射線      有向線段具有一定方向的線段      有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度      記作（注意起訖）  （2）°字母表示法：可表示

2、為3.模的概念：向量的大小長度稱為向量的模。 記作：| 模是可以比較大小的4.兩個(gè)特殊的向量： 1°零向量長度（模）為0的向量，記作。的方向是任意的。 注意與0的區(qū)別2°單位向量長度（模）為1個(gè)單位長度的向量叫做單位向量。二 向量間的關(guān)系：1 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。abc 記作： 規(guī)定：與任一向量平行2 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 記作：= 規(guī)定：= 任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點(diǎn)無關(guān)。3 共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上 ， 所以平行向量也叫共線向量。三 向量的加法：1定義：求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算，

3、叫做向量的加法。 注意：；兩個(gè)向量的和仍舊是向量（簡稱和向量）aaaCCCBBBAAA2三角形法則：a+bbabba+ba+b 強(qiáng)調(diào)： 1°“向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn) 2°可以推廣到n個(gè)向量連加 3° 4°不共線向量都可以采用這種法則三角形法則3.加法的交換律和平行四邊形法則1°向量加法的平行四邊形法則（三角形法則）：2°向量加法的交換律：+=+3°向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)4.向量加法作圖：兩個(gè)向量相加的和向量，箭頭是由始向量始端指向終向量末端。四 向量的減法： 1.用“相

4、反向量”定義向量的減法1°“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量。記作 -a2°規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a 任一向量與它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0 如果a、b互為相反向量，則a = -b, b = -a, a + b = 03°向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。 即：a - b = a + (-b) 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法。2.用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b3.向量減法做圖：表示a - b。

5、強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)總結(jié)：1°向量的概念：定義、表示法、模、零向量、單位向量、平行向量、 相等向量、共線向量 2°向量的加法與減法：定義、三角形法則、平行四邊形法則、運(yùn)算定律五：實(shí)數(shù)與向量的積（強(qiáng)調(diào)：“?！迸c“方向”兩點(diǎn))1.實(shí)數(shù)與向量的積 實(shí)數(shù)與向量的積，記作：定義：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作： 1°|=|2°>0時(shí)與方向相同；<0時(shí)與方向相反；=0時(shí)=2運(yùn)算定律：結(jié)合律：()=() 第一分配律：(+)=+ 第二分配律：(+)=+ 3.向量共線充要條件：向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)使=六平面向量定理：用

6、兩個(gè)不共線向量表示一個(gè)向量；或一個(gè)向量分解為兩個(gè)向量。（其實(shí)質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合）平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么于一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2使=1+2注意幾個(gè)問題：1° 、必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2° 這個(gè)定理也叫共面向量定理3°1，2是被，唯一確定的數(shù)量第二部分：向量的坐標(biāo)運(yùn)算七向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算1.平面向量的坐標(biāo)表示：在坐標(biāo)系下，平面上任何一點(diǎn)都可用一對(duì)實(shí)數(shù)(坐標(biāo))來表示取x軸、y軸上兩個(gè)單位向量, 作基底，則平面內(nèi)作一向量=x+y，記作：=(x,

7、 y) 稱作向量的坐標(biāo)2注意：1°每一平面向量的坐標(biāo)表示是唯一的；2°設(shè)A(x1, y1) B(x2, y2) 則=(x2-x1, y2-y1)3°兩個(gè)向量相等的充要條件是兩個(gè)向量坐標(biāo)相等。3結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。同理可得：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。4實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知=(x, y) 實(shí)數(shù)則=(x+y)=x+y=(x, y)結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來的向量相應(yīng)的坐標(biāo)。八向量平行的坐標(biāo)表示結(jié)論： (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=0注意：1&#

8、176;消去時(shí)不能兩式相除，y1, y2有可能為0， ¹x2, y2中至少有一個(gè)不為02°充要條件不能寫成 x1, x2有可能為03°從而向量共線的充要條件有兩種形式： (¹)九線段的定比分點(diǎn)：1 線段的定比分點(diǎn)及 P1, P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1, P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，P1P1P1P2P2P2PPP使 = 叫做點(diǎn)P分所成的比，有三種情況：>0(內(nèi)分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)2.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式3中點(diǎn)公式：若P是中點(diǎn)時(shí)，=1 4注意幾個(gè)問題：1° 是關(guān)鍵

9、，>0內(nèi)分 <0外分 ¹-1 若P與P1重合，=0 P與P2重合 不存在 2° 中點(diǎn)公式是定比分點(diǎn)公式的特例3° 始點(diǎn)終點(diǎn)很重要，如P分的定比= 則P分的定比=24° 公式：如 x1, x2, x, 知三求一十平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（一）平面向量數(shù)量積1 定義：平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義，a×b = |a|b|cosq，q = 0°q = 180°qqqqOOOOOOAAAAAABBBBBBC 并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。×2 向量夾角的概念：范圍0°q180°C3 注意的幾

10、個(gè)問題；兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別 1°兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定。 2°兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a×b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而ab是兩個(gè)數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分。 3°在實(shí)數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0。因?yàn)槠渲衏osq有可能為0。這就得性質(zhì)2。OaAcbab 4°已知實(shí)數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c。但是a×b

11、 = b×c Þ a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA| b×c = |b|c|cosa = |b|OA| Þab=bc 但a ¹ c 5°在實(shí)數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線。（二） 投影的概念及兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：1“投影”的概念：作圖AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定義：|b|

12、cosq叫做向量b在a方向上的投影。 注意：1°投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量。 2°當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值； 當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值； 當(dāng)q為直角時(shí)投影為0； 當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|； 當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|。2向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。3兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量。 1°e×a = a×e =|a|cosq 2°ab Û a×b = 0 3°當(dāng)a

13、與b同向時(shí)，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b = -|a|b|。 特別的a×a = |a|2或 4°cosq = 5°|a×b| |a|b|十一. 平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律1. 交換律：a × b = b × a2. 結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)3. 分配律：(a + b)×c = a×c + b×c十二. 平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示1.設(shè)a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x軸上單位向量i，y軸上單位向量

14、j，則：i×i = 1，j×j = 1，i×j = j×i = 02.a×b = x1x2 + y1y23.長度、角度、垂直的坐標(biāo)表示 1°a = (x, y) Þ |a|2 = x2 + y2 Þ |a| = 2°若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，則= 3° cosq = 4°ab Û a×b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意與向量共線的坐標(biāo)表示原則）十三.平移一、 平移的概念：點(diǎn)的位置、圖形的位置改變，而形狀、大小沒有改變，從而

15、導(dǎo)致函數(shù)的解析式也隨著改變。這個(gè)過程稱做圖形的平移。（作圖、講解）一個(gè)平移實(shí)質(zhì)上是一個(gè)向量二、 平移公式：設(shè)= (h, k)，即： (x, y) = (x, y) + (h, k) 平移公式三、 注意：1°它反映了平移后的新坐標(biāo)與原坐標(biāo)間的關(guān)系 2°知二求一 3°這個(gè)公式是坐標(biāo)系不動(dòng)，點(diǎn)P(x, y)按向量a = (h, k)平移到點(diǎn)P(x, y)。另一種平移是：點(diǎn)不動(dòng)，把坐標(biāo)系平移向量-a，即：。這兩種變換使點(diǎn)在坐標(biāo)系中的相對(duì)位置是一樣的， 這兩個(gè)公式作用是一致的。十四. 正弦定理1°正弦定理的敘述：在一個(gè)三角形中。各邊和它所對(duì)角的正弦比相等公式即：=它適合于任何三角形。 2°可以證明=2R （R為ABC外接圓半徑） 3° 每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一從理論上正弦定理可解決兩類問題： 1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；