數(shù)列題型及解題方法歸納總結材料

1、實用標準數(shù)列數(shù)列的概念r-等差數(shù)列等差數(shù)列的定義 an an=d(n之2)等差數(shù)列的通項公式 等差數(shù)列的求和公式 、等差數(shù)列的性質 anan = a1 +(n -1)dcn /，、Sn = 一 (a1 +an) = na2+ am = ap +aq (m + n =等比數(shù)列J等比數(shù)列的定義三=q(n22) an _L等比數(shù)列的通項公式an =a1qna1 anqa1 (1 - q )等比數(shù)列的求和公式Sn=< 1q1 -qna1(q =1)'公 分 錯4裂 倒 累 歸式法 組求和 位相減求和 項求和 序相加求和 加累積納猜想證明、等比數(shù)列的性質 anam =apaq(m +n =

2、 p +q)數(shù)列 求和數(shù)列的分類數(shù)列的通項公式.函數(shù)角度理解、數(shù)列的遞推關系n(n -1)H id2 p q)(q =1)數(shù)列的應用分期付款其他知識框架掌握了數(shù)列的基本知識，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項公式、 求和公式及性質，掌握了典型題型的解法和數(shù)學思想法的應用，就有可精彩文檔能在高考中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法1、求通項公式(1)觀察法。(2)由遞推公式求通項。對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通常可通過對遞推公式的變換轉化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1)遞推式為an+產(chǎn)a+d及an+i=qan (d, q為常數(shù))例1、 已知an滿足an+1=an+2,而且a1。求an。

3、例1、解:an+1-an=2為常數(shù)，an是首項為1,公差為2的等差數(shù)列 - an=1+2 (n1 ) 即 an=2n11例2、已知an滿足an+ = 一 an,而a = 2 ,求& =?2解二3 二m是常數(shù)%2，%是以2為首項，公比為;的等比數(shù)列 / = 2 ( - ) 11-1 = 27(2)遞推式為 an+1=an+f (n)11例 3、已知an中 a = 一，an+ = an +2，求 an.24n2-1一1111解：由已知可知an+an=-(-)(2n 1)(2n-1)2 2n-1 2n 1令 n=1, 2, , (n-1 ),代入得(n-1 )個等式累加，即(a2-a 1)

4、+ (a3-a2)+ + ( an-a n-1 )1/1、 /11、 < 1 1 J + l) + " + )2l 33 52。- 3 2n-l W (I-實用標準說明只要和f11 4n - 3an=a1.一(1 -)=2 2n -1 4n -2(1) +f (2) +f (n-1 )是可求的，就可以由an+產(chǎn)an+f (n)以n=1, 2,，(n-1)代入，可得 n-1個等式累加而求 an。(3)遞推式為an+1=pan+q (p, q為常數(shù))例 4、an中，a1 =1,對于 n>1 (n e N)有 an =3an,+ 2 ,求 an.解法一：由已知遞推式得 an+1

5、=3an+2, an=3an-1+2。兩式相減：an+1-a n=3 (an-an-1)因此數(shù)列an+1-a n是公比為3的等比數(shù)列，其首項為a2-a 1= (3X 1+2) -1=4.an+1-an=4 -3n1;an+1=3an+23an+2-a n=4 -3n-1即 an=2-3n-1-1解法二：上法得a n+1-a n是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a 1=4, a3-a 2=4 3 a4a 3 =4 , 3 , ，an-a n-1 =4 , 3 ,把 n-1 an=2 3n-1-1個，-舟二4 (他3 + 3/+擲)H(1-產(chǎn))付1-3說明對于遞推式可兩邊除從嚴，得j引輔助數(shù)列&

6、amp;), &=刀，fbn+ q q qqn(5)遞推式為4也=pa。由+ qan思路：設 an2 = pan+qan,可以變形為：an也一aan = p(an(CL + p = p就是廣+ 貝阿從科Q * p =-于是a n+1- a an是公比為3的等比數(shù)列，就轉化為前面的類型。:二二E% + 1后用 q q1a an),解得。，6.精彩文檔a + p分析-q2?an+lh+2 fln+l(4)遞推式為an+1=p an+q n (p, q為常數(shù))【例5】已知(aj中，(J)叫求M略解在。+工=3+.的兩邊乘以*得2n+1 * an+1 = -(2%) +1,令勾=2%二I2 n

7、bn+ -bn =一(bn -bn 二) 由上題的解法，得：必=3-2( 一) 33bn q/1 n1nan =- -3(-) -2(-)2n2321【例6】已知數(shù)冽聞中,的=2, 9?=%1 +弓On。2CL + 8 = :，+ 為兩邊減去得=-1 (占 H)a是公比為,首項為時-1的等比數(shù)列。"1+價（-；）叩（6）遞推式為&與an的關策式此類型可利用FSz【例。設凡）前n項的和4二4工尹,（2）試用n表示an。-（1）求/+i與4的關系;解（1）由S仇=4-=7得51rl4 -4 a*11 :Sn 1 - Sn - (an an 1 ) (n _2 n 4 )22數(shù)列求

8、和的常用方法：1、拆項分組法：即把每一項拆成幾項，重新組合分成幾組，轉化為特殊數(shù)列求和。2、錯項相減法：適用于差比數(shù)列（如果an等差，bn等比，那么anbn叫做差比數(shù)列）即把每一項都乘以bn的公比q,向后錯一項，再對應同次項相減，轉化為等比數(shù)列求和。3、裂項相消法：即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有限幾 項，可求和。11適用于數(shù)列1-1一 >和1 1（其中an等差）an an 1 Ia -1 an - an，1 |可裂項為：-1=-（-）,an an 1 d an an 1_1,工an 1 - 2 an2n上式兩邊同乘以等差數(shù)列前n項和的最值同題：2n+1得2n+1an+1=

9、2nan+2則2 nan是公差為2的等差數(shù)列。2nan= 2+ ( n-1 ) 2=2n1、若等差數(shù)列 an的首項a1 A 0 ,公差d < 0 ,則前n項和Sn有最大值。4an - 0(i)若已知通項an,則Sn最大仁n nan 1 M 0(ii)若已知 & = pn2+qn,則當n取最靠近-9 的非零自然數(shù)時 S最2p大；2、若等差數(shù)列an的首項a1 <0 ,公差d a0 ,則前n項和Sn有最小值an < 0(i )若已知通項an ,則Sn最小£ n；an 1 二 0(ii)若已知Sn = pn2+qn,則當n取最靠近q-的非零自然數(shù)時 Sn最2p?。粩?shù)

10、列通項的求法：公式法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。已知Sn(即a1+a2+"|+an= f (n)求an,用作差法特別地，(1)形如an = kan十b、an = kan+bn (k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉化為公比為k的等比數(shù)列 后，再求an ；形如an = kan/+ kn的遞推數(shù)列都可以除以 kn得到一個等差數(shù)列后，再求an °(2)形如anan-1 的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。kanb(3)形如an由 = ank的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項。(7)(理科)數(shù)學歸納法。(8)當遇到an+- an=d或a" = q時，分奇數(shù)項偶數(shù)

11、項討論，結果可ana _；S,(n =1)anSn -Sn4,(n -2)f(1),(n=1)已知現(xiàn)占2_an =f (n)求an ,用作商法：an = < f (n) (f，(n-2)已知條件中既有S還有an,有時先求Sn ,再求an；有時也可直接求an。 若 an«an = f(n)求 an用 累 加 法an =(an -an4) (an4 -an?) Ill (a2 -ai)+a(n 之 2)。已知且土 =f(n)求不，用累乘法：a。： an .an .川,還ai"會)。 anan 1 an -2ai已知遞推關系求 a ,用構造法(構造等差、等比數(shù)列)。能是分段

12、形式。數(shù)列求和的常用方法：(1)公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。(2)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與 組合數(shù)相關聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是 等差數(shù)列前n和公式的推導方法).(4)錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前 n和公式的推導方 法).(5)裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯(lián)，那么常選用裂項相消

13、法求和.常用裂項形式有：=(1L)；n(n 1) n n 1 n(n k) k n n k，111/11 2 :二-=一( )k k -12 k -1 k 11111111=<=-k k 1 (k 1)kk2(k -1)k k -1 k1n(n 1)(n 2)1(n 1)(n 2)n(n 1)!11n! (n 1)! 2( . n 1 一4n)2：: 1 :二 2n - Jn 1 n n ： Jn -1=2(、, n _、一 n _ 1)、解題方法:14 (n = 1) a0：2n (n . 2)練習1數(shù)列an滿足 Sn+Sn41 =9an書，a1 = 4,求 an 3(注意到an+ =

14、Sn+ - Sn代入彳導: ' =4 Sn又S1=4,.Sj是等比數(shù)列，Sn = 4n求數(shù)列通項公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an(n=1 時，a1 =S1, n 至2時，an =Sn -Sn)3、求差(商)法如：an滿足 1al + 12 a2 + + 1 an = 2n + 5< 1 >n 222 42 n n1解：n =1 時，-a1 =2 1 5, . a1 =142r, 111n 圭2時，-a1 +7a2 + +ran= 2n1+5<27 2 1 2222 n n1八<1 > -<2 > 得:an =22 n nn 1an =

15、2n 之 2時，an = Sn - Sn/=3 , 4n_14、疊乘法例如：數(shù)列aj中，a1=3, an+=n ，求anan n 1解：呢趣二 2a a 2a n _1 233又a1 =3, . . an =n5、等差型遞推公式口n a1n由an - an=f (n), a1 = a0,求an,用迭加法n 之 2時，a2 - a1 = f (2)a3a2=f(3)兩邊相加,得:an an口 = f(n),an -ai =f(2) +f(3)+f(n).an =a0 +f(2) +f(3) +f (n)練習1數(shù)列an, a1 =1, an = 3n,+an(n 之2卜 求an1(an =1(3n

16、 一1)6、等比型遞推公式an =can+d (c、d 為常數(shù)，c#0, c#1, d#0)可轉化為等比數(shù)列，設an x c an4 x二an 二canc-1 xad令(c-1)x=d, . x =c -1：4an + l是首項為a1c為公比的等比數(shù)列c -1c -1 1)7、倒數(shù)法例如：a1 = 1, an41 = 2an ,求 an an 2由已知得：,二更一2三1. an -1 2an2 an111 -二一an 1 a n 2為等差數(shù)列，- = 1,公差為-an Ia121an一 c -1+旦 c -1=1 +(n -1) an+qI c -1練習1數(shù)列 <an滿足a1 =9, 3

17、an由+an=4,求an2.數(shù)列求和問題的方法(1)、應用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前 下公式對求和來說是有益的。1 + 2 + 3+n =口8+1)n項和公式求和，另外記住以1+3+5+十 (2n-1)=n1 + (n3 + n -1)2，轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。+ 2 (門2-2) +3 , (n2-3 2) +n (-n?)Cn + 1) (n -1)例 10、解 Sn =Q*c0+3Cn+6Cn'+|+3nCrn+ 2' +寸+n2 =-F+23+33+/=半與。 心【例 8】 求數(shù)列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17

18、+19),前 n 項的和。1 ,、解本題頭際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的刖n項中，共有1+2+n=n(n+1)2個奇數(shù)，最后一個奇數(shù)為：1+ 1 n(n+1)-1 x2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前 n項的和為=yn (n + 1) * 二;i? (n + 1)(2)、分解轉化法對通項進行分解、組合例9求和S=1 (n2-1 )解 S=n 2 (1+2+3+n) - (13+23+33+/)rCn+1) . g+d =1 2 4n4n(3)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒 著寫的兩個和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn = 3C：+6C；+IH

19、+3nCrn又Sn = 3nC：+ 3 (n -1) C，】 +0C： 相加，且運用ct = cF可得2sli = 3n © +C： + +喘)=3-21kSn=3n - 2n-1(4)、錯位相減法如果一個數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘構成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯位相減求和.例 11、 求數(shù)列 1, 3x, 5x2, ,(2n-1)x n-1 前 n 項的和.解 設 S=1+3+5x2+(2n-1)x n-1 .當x = 1時,SB=, n=nJ.(2)x=0 時，S=1.(3)當xw。且xw1時，在式兩邊同乘以 x得xS n=x+3x2+5

20、x3+(2n-1)x n,-，得(1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+ - +2xn-1-(2n-1)x n.由公式知 -1 +-(2n-l)xn_ l + x ll. + D.11 +(2n l)xM+i(5)裂項法：把通項公式整理成兩項(式多項)差的形式，然后前后相消。常見裂項方法：n(n +k) k n n + kj解依題意，設f (n) = 口的+ 口( " d1_ 1T111 'n(n + l)(n -+ 2) 2n n + 1 n + 2再中而侃例12、求和十 十 十川1 *5 3 *7 5 *9(2n-1)(2n 3)1 1 1 1伊3 求和+1 - 5

21、3 - 7 5 -9(2n-l)(2n+3)51111 (科-1?(2nl+3) f2n-l a+ 3 Jt 1.§ 1 +4F ' " + j11a 4l 5 3 7 5 92n-3 2n+l 2n -1 2n + 3J1 1 1 1# -r i +1# 3 2n + l 2口 + 3n(4n+5)# 父2口 +1)(2力+ 3)注：在消項時一定注意消去了哪些項，還剩下哪些項，一般地剩下的正項與負項一樣多。在掌握常見題型的解法的同時，也要注重數(shù)學思想在解決數(shù)列問題 時的應用。二、常用數(shù)學思想方法1 .函數(shù)思想運用數(shù)列中的通項公式的特點把數(shù)列問題轉化為函數(shù)問題解決。【例13】等差數(shù)列an的首項ao0,前n項的和為Sn,若S=Sk (l wk)問n為何值時Sn最大？此函數(shù)以n為自變量的二次電散a1