蘇科版九年級數(shù)學全冊知識點整理

1、蘇科版數(shù)學九年級全冊知識點梳理第一章圖形與證明（二）1等腰三角形的性質定理：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）。等腰三角形的判定定理：如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）2直角三角形全等的判定定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡稱“HL”）。角平分線的性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。角平分線的判定：角的內部到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。直角三角形中,30。的角所對的直角邊事斜邊的一半。3平行四邊形的性質與判定：定義：兩組對邊

2、分別平行的四邊形是平行四邊形。定理1:平行四邊形的對邊相等。定理2:平行四邊形的對角相等。定理3:平行四邊形的對角線互相平分。判定一一從邊：1兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。2一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。3兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。從角：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。對角線：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。矩形的性質與判定：定義：有一個角的直角的平行四邊形是矩形。定理1:矩形的4個角都是直角。定理2:矩形的對角線相等。定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。判定：1有三個角是直角的四邊形是矩形。2對角線相等的平行四邊形是矩形。菱形的性質與判定：定義

3、：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。定理1:菱形的4邊都相等。定理2:菱形的對角線相互垂直，并且每一條對角線平分一組對角。判定：1四條邊都相等的四邊形是菱形。2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形的性質與判定：正方形的4個角都是直角，4條邊都相等，對角線相等且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性質。判定：1有一個角是直角的菱形是正方形。2有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形。1.4 等腰梯形的性質與判定定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。定理1:等腰梯形同一底上的兩底角相等。定理2:等腰梯形的兩條對角線相等。判定：1在同一底上的

4、兩個角相等的梯形是等腰梯形。2對角線相等的梯形是等腰梯形。1.5 中位線三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。中點四邊形菱形矩形正方形a （ a三0）梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底的一半。中點四邊形：依次連接一個四邊形各邊中點所得到的四邊形稱為中點四邊形(中點四邊形一定是平行四邊形)。原四邊形對角線相等互相垂直相等且互相垂直第二章數(shù)據(jù)的離散程度2.1 極差：一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差叫做極差。計算公式：極差=最大值-最小值極差是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的一個統(tǒng)計量，可以反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍。一般說，極差越小，則說明數(shù)據(jù)的波動幅度越小。2.2 方差各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平均數(shù)叫做

5、這組數(shù)據(jù)的方差，記作S20巧用方差公式：1、基本公式：S2=(Xl-)2+(X2-)2+?+(Xn-)222222222222、簡化公式：S=(X1+X2+?+Xn)-n可寫成：S=(X1+X2+?+Xn)-22222222223、簡化：S=(X1'+X'2+?+Xn)-n也可寫成：S=(X'1+X'2+?+Xn)-標準差：方差的算術平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標準差，記作So意義：1、極差、方差和標準差都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的特征，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小，我們通常研究的是這組數(shù)據(jù)的個數(shù)相等、平均數(shù)相等或比較接近的情況。2、方差較大的波動較大，方差較小的波動

6、較小。3、方差大，標準差就大，方差小，標準差就小。因此標準差同樣反映數(shù)據(jù)的波動大小。注意：對兩組數(shù)據(jù)來說，極差大的那一組不一定方差大，反過來，方差大的極差也不一定大。第三章二次根式3.1 二次根式定義：一般地，式子區(qū)(a三0)叫做二次根式，a叫做被開方數(shù)。有意義條件：當a三0時，'總有意義；當aM時，a無意義。性質：1、三0(am)2、(xava)2=a(aoa（av0）3.2 二次根式的乘除法法則：Va年vab（a三0,b三0）Vjaa而歷=vbb（am,b>0）化簡：，ab=4炊a0,bH）“bb=Vbvb（a0,b>0）一元二次方程2的整式方程叫做一元二次方程。aw

7、0）,其中aX2稱為二次項，a稱為二次項系數(shù),c稱為常數(shù)項。X+h ） 2 =k的形式（其中h,k都是常數(shù)），如果kaX2+bX+c=0 前提：（aw0） b2-4ac 三0,記?。ㄗ⒁庠谡襛bc時須先把方程化為一般形式）（主要0,另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解把方程的一邊變成ji，.邁ii.7abJabW>1/b=VbyR"=/b=bfc（a二0，b>0）第四章4.1 概念：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是一般形式是aX2+bX+c=0（a、b、c是常數(shù),bX稱為一次項，b稱為一次項系數(shù)，4.2 解法：1、直接開平方2、配方法：先把一元二次方程變形為（三0,再

8、通過直接開平方法求出方程的解3、公式法（求根公式）：一元二次方程_-b二bP-4ac求根公式：x二2a4分解因式法包括“提公因式”和“十字相乘”）根與系數(shù)的關系：當b2-4ac>0時，方程有兩個不等的實數(shù)根；當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2-4ac<0時，方程無實數(shù)根。反之，也成立。如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為xi、x2,則有：xi+x2=-bxi*x2=-c。aa一元二次方程的根與系數(shù)的關系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根xi、x2的對稱式的值，4、因式分解法（重點是十字相乘法）根的判別式一元二次方程a

9、X2+bX+C=0（a乎0）的根的情況可由b2-4ac來判定，因此b2-4ac叫做一元二次方程根的判別式。當b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根當b2-4acV0時，方程沒有實數(shù)根。在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：設未知數(shù)（在設未知數(shù)時，大多數(shù)情況只要設問題為x;但也有時也須根據(jù)已知條件及等量關系等諸多方面考慮）；尋找等量關系（一般地，題目中會含有一表述等量關系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程）。廠日百分析求解處理問題的過程可以進一步概括為：問題T方程T解答抽象檢驗第五章中心對稱圖形（二）5.1 圓定義：圓是定點的距離

10、等于定長的點的集合。其中，定點叫做圓心，定長叫做半徑。圓有關的概念：1、連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。2、圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。3、定點在圓上的角叫做圓心角。4、圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。能夠互相重合的兩個圓叫做等圓。在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。與圓的位置關系：在平面內，點與圓有3中位置關系：點在圓內，點在圓上，點在圓外。如果設。0的半徑為，點P到圓心0的距離為d,那么“點P在圓內一”dvr;點P在圓上一”d=r;點P在圓外-d

11、”5.2 圓的對稱性圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心。圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。圓心角、弧、弦之間的關系（等對等定理）：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。5.3 圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。定理：同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半。（圓心與圓周角的位置關系分為三種情況：圓心在角的一邊上；圓心在角的內部；圓心在角的外部）推論：1、直徑（或半圓）所對的圓周角是直角。2、90°的圓周角對的弦是直徑。5.4 確定圓的條件條件：不在同一條直線上的三個點

12、確定一個圓。角形的外接圓:三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形的三邊的垂直平分線的交點，這個點叫做三角形的外心。這個三角形叫做圓的內接三角形5.5 直線與圓的位置關系1、直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交。（d<r）2、直線與圓有唯一的公共點，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點。（d=r）3、直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離。（d>r）直線與圓的位置關系可以用它們的交點的個數(shù)來區(qū)分，也可以用圓心到直線的距離與半徑的大小關系來區(qū)分，它們的結果是一致的。切線的性質與判定：判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直

13、線式圓的切線。性質：（圓的切線垂直于過切點的半徑）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直接必經(jīng)過切點。經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心切線與圓只有一個公共點；切線與圓心的距離等于半徑；切線垂直于過切點的半徑。內心：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。內切圓的圓心叫做三角形的內心，它是三角形的三條角平分線的交點。這個三角形叫做圓的外切三角形。5.6 圓與圓的位置關系性質與判定：如果兩圓的半徑分別為R和圓心距為d,那么兩圓外離d>R+r兩圓外切<>d=R+r（1）當弓形所含的弧是劣弧時,S弓形S三角形兩圓相交<>R-rvdvR+r（R>r）兩圓內切<>d

14、=R-r（R>r）兩圓內含<->0<d<R-r（R>r）連心線的性質：圓是軸對稱圖形，從上表中可以看出它們都是軸對稱圖形。沿Oi、02所在直線（連心線）對折，發(fā)現(xiàn)：兩圓相切，直線OiO2必過切點；兩圓相交，連心線垂直平分它們的公共弦。5.7 正多邊形與圓正多邊形概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形。性質：正多邊形都是對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，沒條對稱軸都通過正n邊形的中心。一個正多邊形如果有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。如果一個正多邊形是中心對稱圖形，那么它的中心就是對稱中心。邊數(shù)相同的正多邊形相似。任何正多邊形都有

15、一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓。友情提醒：（1）邊數(shù)相同的正多邊形相似，這是解與正多邊形有關問題常用到的知識。（2）任何三角形都有外接圓和內切圓，但只有正三角形的外接圓和內切圓才是同心圓。過正多邊形任意三個頂點的圓就是這個正多邊形的外接圓。作正多邊形：作半徑為R的正n邊形的關鍵是n等分圓。這就要學習兩種方法：用量角器等分圓，可以作任意正多邊形，這是近似作法。具體地說先計算出頂點在圓3600360。心的角的度數(shù)，即正n邊形的圓心角為nn，然后依次用量角器將圓等分，順次連接各分點，就作出正n邊形。用尺規(guī)等分圓，作正方形和正六邊形。具體地說：先作出兩條互相垂直的直徑，將圓四等分，順次連接各

16、分點，就做出正方形；用圓規(guī)從圓上一點順次截取等與半徑的弦，將圓六等分，順次連接各等分點，就作出正六邊形。友情提醒：在作正多邊形時，要從圓周上某一點開始連續(xù)截取等弧，否則，易產(chǎn)生誤差。5.8 弧長及扇形的面積1.圓周長公式：圓周長C=2餌R（R表示圓的半徑）X2.弧長公式：nR一弧長ig（R表不圓的半徑，n表示弧所對的圓心角的度數(shù)）180X3.扇形定義：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形X4.弓形定義：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.X5.圓的面積公式.圓的面積SR2元：（R表示圓的半徑）X6.扇形的面積公式：S扇形（R表示圓的半徑，n表

17、示弧所對的圓心角的度數(shù)）360弓形的面積公式：（如圖5）OOOACBCCBB第六章二次函數(shù)(2)當弓形所含的弧是優(yōu)弧時(3)當弓形所含的弧是半圓時5.9圓錐的側面積和全面積形S弓形三角形RS扇形1221、定義：一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a*0),那么y叫做x的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實數(shù)。2一2、二次函數(shù)y=ax的性質:a *0時，開口向上；當a <0時，開口向平行于y軸(或重合)的直線記作x = h .特別地，y軸記作直線x = 0派1.圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉一周而形成的圖形另一條直角邊旋轉而成的面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉

18、而成的面叫做圓錐的側面.X2.圓錐的側面展開圖與側面積計算：圓錐的側面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐側面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點.如果設圓錐底面半徑為r,側面母線長(扇形半徑)是1,底面圓周長(扇形弧長)為c,那么它的側面積是:一二S側c1.12rlt1.=+=霸+>=醯+22S表S側底面rlr2r(r1)與圓有關的輔助線1 .如圓中有弦的條件，常作弦心距，或過弦的一端作半徑為輔助線2 .如圓中有直徑的條件，可作出直徑上的圓周角.3 .如一個圓有切線的條件，常作過切點的半徑(或直徑)為輔助線.圓內接四邊形若四邊形的四個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓

19、內接四邊形，這個圓叫做這個四邊形的外接圓.圓內接四邊形的特征：圓內接四邊形的對角互補；(1)拋物線y=ax2的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸；(2)函數(shù)y=ax2的圖像與a的符號關系：當a>0時=拋物線開口向上;頂點為其最低點；當a<0時二，拋物線開口向下頂點為其最高點。2_yyax(a嘴匚°(3)頂點是坐標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為3、二次函數(shù)yax2+bx+C的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線。4、二次函數(shù)y=ax2+bx+c用配方法可化成：y4xh)2k的形式，其中h=<=-b,k=-4ac-b-。2a4a5、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以

20、下幾種形式：°y殊2；y=ax2+k°y=ax-“2；y=Qxhky=ax2+bx+c。6、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點a的符號決定拋物線的開口方向：當下；a,相等，拋物線的開口大小、形狀相同。7、頂點決定拋物線的位置。幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同。8、求拋物線的頂點、對稱軸的方法圓內接四邊形任意一個外角等于它的內錯角(1)公式法：y二ax22a4ac-b24a，頂點是2(b4acb(.，)2a4axb。pP26-9)2abO0a10、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:(2)配方法：運用配方的

21、方法，將拋物線的解析式化為得到頂點為(h,k),對稱軸是直線x=h(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點。注意：用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失。題11:拋物線y=x2+6x+4的頂點坐標是()A.(3,-5)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(-3,5)9、拋物線y=ax2+bx，c中，a,b,c的作用(1)a決定開口方向及開口大小，這與y=ax2中的a完全一樣。_+的對稱(2)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置。由于拋物線y-ax2'bxc軸是直線。bb

22、x=，故：b0時，對稱軸為y軸；一40(即a、b同號時，2aa對稱軸在y軸左側；一長0(即a、b異號)時，對稱軸在y軸右側。a(3)c的大小決定拋物線y-ax2,bx,c與y軸交點的位置。當x=0時，y-c，拋物線y二ax2+bx+c與y軸有且只有一個交點(0,c)：c=0,拋物線經(jīng)過原點；c>0，與y軸交于正半軸；c<0，與y軸交于負半軸。以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則函數(shù)解析式開口方向對稱軸頂點坐標-2y-ax當a>0時開口向上時當a<0開口向下x=0(軸)y()0,0y=ax2fkx-0(y軸)(0,k)ykax+2xnh(

23、h,0)y=a力一kx二h(h,k)y=ax2+bx+cbx二2ab4ac-b2十，)2a4a11、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)一般式：y=ax2+bx+c。已知圖像上二點或二對x、(2)頂點式：y(3)交點式y(tǒng)的值，通常選擇一般式。ax-h2+k.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式。已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2y-axx1xx2題12:已知關于的一x22x1+x2=4.求m的值題13:先化簡，再求值:通常選用交點式：/o元二次方程x2-2(x2-5x6題14:在平面直角坐標系中,3x23x-1)+(2-1)=0,mxm有兩個實數(shù)根1、2,且IB(k3+1,0),點A在第一象

24、限內,且/AOB=60/ABO=45°0(1)求點A的坐標；(2)求過A、O、B三點的拋物線解析式;（3）動點P從O點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿OA運動到點A止，若POB的面積為S,寫出S與時間t（秒）的函數(shù)關系；是否存在t,使POB的外心在x軸上，若不存在，請你說明理由；若存在，請求出t的值。方程組有兩組不同的解時ul與G有兩個交點;方程組只有一組解時ul與G只有一個交點；方程組無解時el與G沒有交點。（6）拋物線與x軸兩交點之間的距離：,工戚，一、，由于若拋物線y乒ax2*bx+c與x軸兩交點為Axi,0,Bx250xi、x2是方程ax2+bx，c=0的兩個根，故：bxi+x2

25、=,x1,X2=-caa12、直線與拋物線的交點（1）y軸與拋物線y=ax2,bx'c得交點為0c）0（2）與y軸平行的直線x=h與拋物線y=ax2+bx+c有且只有一個交點（h,ah2+bhc）。（3）拋物線與x軸的交點。二次函數(shù)y=ax2+bx-c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標xi、x2,是對應一元二次方程ax2+bx,+c=0的兩個實數(shù)根。拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點;00=拋物線與x軸相交；有一個交點（頂點在x軸上）WA=0二拋物線與x軸相切；沒有交點u聞0u拋物線與x軸相離。（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點：同（3）一樣可能有

26、0個交點、1個交點、2個交點。當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k,則橫坐標是ax2bxc-k的兩個實數(shù)（5）次函數(shù)y=kx+n'k*0%勺圖像l與二次函數(shù)y=ax2，bx（c孑0）yy=kx+n的圖像G的交，由方程組的解的數(shù)目來確定：2一+yaxbxc第七章銳角三角函數(shù)1正切：定義：在Rtabc中，銳角/A的對邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記作tanA,即MB-',-MH.二A的對邊tanA；二A的鄰邊tanA是一個完整的符號，它表示/A的正切，記號里習慣省去角的符號“/”；tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中/A的對邊與鄰邊的比；tanA不表示“tan

27、”乘以“A”；初中階段，我們只學習直角三角形中，/A是銳角的正切；tanA的值越大，梯子越陡，/A越大；/A越大，梯子越陡，tanA的值越大。2正弦：定義：在RtAABC中，銳角/的對邊與斜邊的比叫做/A的正弦，記作sinA,即sinA衛(wèi)A的對邊斜邊basinB,二一cosBcc面積公式：S_1ab-JA-tanB3余弦:定義：在RtAABC中，銳角/的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記作cosA,即5直角三角形的內切圓半徑cosA4A的鄰邊斜邊6直角三角形的外接chc(hc為C邊上的高);ab-cr='=面積的2倍除以周長sinAcos(90A)；cosAsin(90A)7特殊角的三角

28、函數(shù)值如右表所示:tanA=cot(90A)；8解直角三角形的幾種基本類型列表如sma,ctgdcosa,下:平方關系：an3a+cos3a：=4在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。在ABC中，/C為直角，/A、/B、/C所對的邊分別為a、b、c,則有(1)三邊之間的關系：(2)兩銳角的關系：/(3)邊與角之間的關系：sinA=acosA+b2=c2；+/B=90a.人cotA,b9件兩條邊兩條直角謖*和bc=杼+b2.t四B=9Q*一hbf直熱邊和斜道&b=Jt?-a?&nA=W.B-州-A1條邊和一個銳角一事宜!*邊也需錢笫AB=90°出c=a>SLflAb=a*ctgA斜邊P和銳角AB=90'-Aj4=ic-fmA-ge*cosA如圖2,坡面與水平面的夾