特殊的平行四邊形菱形含答案

1、已知：如圖，在 ABC中，D E分別是邊AB AC的中點(diǎn)，連接DE AF/ BC；且AF=BC,連接DF.(1) 求證：四邊形AFDE是平行四邊形；(2) 如果 AB=ACZ BAC=60，求證：ADL EF.(1 )通過證明邊DE平行且等于對邊 AF，即可證明四邊形 AFDE是平行四邊形；(2 )由題意得ABC是等邊三角形，故有 AC=BC，又點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，可得出DE=AE，四邊形 AFDE是菱形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分得證.證明：(1 ) / D、E分別是邊 AB、AC的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，即得 DE / BC，DE=-BC.（2 分）/ AF / BC，/ DE /

2、AF，DE=AF .二四邊形AFDE是平行四邊形.(2 分).(i 分)(2 ) / AB=AC，/ BAC=60 ° ，ABC是等邊三角形，即得： AC=BC.（i 分）于是，由點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，得 又丁四邊形AFDE是平行四邊形, 四邊形AFDE是菱形.D£ = -BC=AC=AE£ £.（1 分）/ AD 丄 EF.(1 分).(1 分)題型：解答題難度：壓軸 詳細(xì)信息知，如圖，在 Rt ABC中，/ C=90，/ A=60° , AB=12cm 點(diǎn) P從點(diǎn) A沿3以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C以每秒1cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動， 點(diǎn)

3、P、Q分別從點(diǎn)A C同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動時(shí)間為t (秒)(0vt V6)，回答下(1)直接寫出線段APAQ的長(含t的代數(shù)式表示)：AP=(2) 設(shè)厶APQ的面積為(3) 如圖，連接PCS,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；并把 PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP C,那么是否 t，使四邊形PQP C為菱形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存2(3 )當(dāng)t=4時(shí)，四邊形PQP'C是菱形,t2+3 職;廠 X -1 X (6-t )=- CXACX PH=(1 )根據(jù) / A=60 °，AB=12cm ，得出 AC 的長，進(jìn)而得出 AP=2t，AQ=6-t .(2 )過點(diǎn)P作PH丄AC于H .由A

4、P=2t ，AH=t，得出PH" t，從而求得S與t的函數(shù)關(guān)系式； (3 )過點(diǎn)P作PM丄AC于M，根據(jù)菱形的性質(zhì)得 PQ=PC，則可得出PN=QM=CM ，求得t即可.【解析】(1 ) t 在 Rt ABC 中，/ C=90 °，/ A=60 °，AB=12cm ，AC=6，由題意知：AP=2t，AQ=6-t ，(2 )如圖過點(diǎn)P作PH丄AC于H .C=90，/ A=60，AB=12cm / B=30， / HPA=30 ， AP=2t ，AH=t ， PH= -t，11S=_證明：如圖過點(diǎn)P作PM丄AC于M ,1/ CQ=t，由（2）可知，AM= AP=tcm

5、 ,1/ QC=AM ，當(dāng) PC=PQ 時(shí)，即 CM=MQ=AQ= AC=2 時(shí)，四邊形PQP C是菱形，即當(dāng)t=4時(shí)，四邊形PQP'C是菱形.題型：填空題難度：中等詳細(xì)信息一個(gè)平行四邊形的一邊長是9,兩條對角線的長分別是12和6 口，則此平行 四邊形的面積為題型：填空題難度：困難詳細(xì)信息如圖，梯形 ABCD中, AD/ BC / C=90，且 AB=AD連接BD，過A點(diǎn)作BD的 垂線交 BC于 E,如果 CE=3cm CD=4cm 那么 BD=cm.連接DE，因?yàn)锳B=AD , AE丄BD , AD / BC ,可證四邊形 ABED為菱形，從而得到 BE、BC的長，繼連接DE .在直

6、角三角形CDE中，根據(jù)勾股定理，得 DE=5/ AB=AD , AE 丄 BD ,/ AE 垂直平分 BD , / BAE= / DAE ./ DE=BE=5 ./ AD / BC ,/Z DAE= / AEB./Z BAE= Z AEB/ AB=BE=5 / BC=BE+EC=8 ,BD=4在直角三角形BCD中，根據(jù)勾股定理，得 故答案為：4.如圖， ABC中，點(diǎn)D E分別是邊BC AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF/ BC交線段D 的延長線相交于F點(diǎn)，取AF的中點(diǎn)G,如果BC=2AB求證：（1四邊形ABDF是菱形；（2） AC=2DG（1 ）首先根據(jù)三角形的中位線定理，得DE / AB，結(jié)合AF /

7、 BC，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以判斷該四邊形是平行四邊形，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2 ）根據(jù)菱形的性質(zhì)可以進(jìn)一步得到AFGDFEA，貝U GD=AE，即可證明結(jié)論.證明：（1 ） T點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)， DE是ABC的中位線（三角形中位線的定義），DE / AB，DE= AB （三角形中位線性質(zhì)）.（1分）/ AF / BC，四邊形ABDF是平行四邊形（平行四邊形定義）.（1分）/ BC=2AB ，BC=2BD ，/ AB=BD .（ 1 分）四邊形ABDF是菱形.（1分）（2 ） v四邊形ABDF是菱形， AF=AB=DF（菱形的四

8、條邊都相等）.11/ DE= AB，1"八EF= AF .（ 1 分）v G是AF的中點(diǎn).咼/ GF= AF，GF=EF .（ 1 分）/ FGDFEA， （ 1 分）/ GD=AE ，v AC=2EC=2AE ，AC=2DG .（ 1 分）已知：如圖，矩形ABCD勺對角線AC的垂直平分線EF與AD AC BC分別交于 點(diǎn) E、O F.(1) 求證：四邊形AFCE是菱形；(2) 若AB=5 BC=12 EF=6求菱形 AFCE的面積.(1 )根據(jù)ABCD為矩形，根據(jù)矩形的對邊平行得到AE與CF平行，由兩直線平行得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，又EF垂直平分AC，根據(jù)垂直平分線的定義得到 AO=C

9、O，且AC與EF垂直，再加上一對對頂角相 等，利用“ ASA得到三角形AOE與三角形COF全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AE=FC，由一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到AFCE為平行四邊形，又根據(jù)對角線垂直的平行四邊形為菱形即可得證；(2 )由矩形的性質(zhì)得到 / B為直角，在直角三角形 ABC中，由AB與BC的長，利用勾股定理求出 AC 的長，又已知EF的長，而AC與EF為菱形AFCE的兩條對角線，根據(jù)對角線乘積的一半即可求出菱形 的面積.【解析】(1 ) v四邊形ABCD是矩形，/ AE / FC，/Z EAO= / FCO，/ EF垂直平分 AC，/ AO=CO ，F(xiàn)E 丄

10、AC，又 Z AOE= Z COF， AOE COF，/ EO=FO，/四邊形AFCE為平行四邊形，又v FE丄AC，/平行四邊形AFCE為菱形；(2 )在 Rt ABC 中，由AB=5 ，BC=12 ，根據(jù)勾股定理得：心'ab2-bc2=0 1八=13 ，又 EF=6 ，X13X 6=39/菱形AFCE的面積S= AC?EF=題型：選擇題難度：簡單 詳細(xì)信息 下列命題中，真命題是()A. 對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形B. 有一條對角線平分對角的四邊形是菱形 C菱形是對角線互相垂直平分的四邊形D.菱形的對角線相等型：選擇題難度：壓軸詳細(xì)信息等腰梯形的兩底中點(diǎn)的連線與兩腰中點(diǎn)的連線

11、，它們的關(guān)系是( )A. 相等B. 互相垂直但不一定互相平分C. 互相平分但不一定互相垂直D. 互相垂直平分可先畫岀示意圖，根據(jù)等腰梯形的腰長相等可得岀答案.DFC【解析】根據(jù) AD=BC , GH / AB / DC 可得 EF 丄 GH ,結(jié)合中位線定理可得 EF、GH互相平分.故選D.題型：解答題難度：困難詳細(xì)信息如圖，？ABCD中 AB=9對角線 AC與 BD相交于點(diǎn)O, AC=12 BD亜,(1) 求證：?ABCD1菱形；(2) 求這個(gè)平行四邊形的面積.(1 )由四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，即可求得AO與BO的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求得KO

12、B為直角三角形，則可得 AC丄BD，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可證得 ?ABCD是菱形；(2 )由菱形的面積等于兩條對角線的積的一半，即可求得菱形的面積.(1 )證明：T四邊形ABCD為平行四邊形，AC=12 ，BD=6 應(yīng)，1 1y IBD=3 苗/ A0= #AC=6 , B0= t 在AOB 中，AB=9 , T62+ （3）2=9 2 ,2 2 2即 AO +BO =AB ,AOB為直角三角形，/Z AOB=90 ,即AC丄BD, ?ABCD是菱形;(2 )由(1 )可知：？ABCD 是菱形，即 S 菱形 abcd = ACX BD=36 ，-.題型：填空題難度：壓軸詳細(xì)

13、信息如圖，在矩形ABCD中, E、F、G H分別是四條邊的中點(diǎn)，HF=2 EG=4貝U四 邊形EFGH的面積為.AH5由四邊形ABCD是矩形與E、F、G、H分別是四條邊的中點(diǎn)，根據(jù) SAS，易證得AEHDGHBEFCGF，則可得EH=EF=FG=GH ，根據(jù)由四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得四邊形EFGH是菱形，又由菱形的面積等于其對角線積的一半，即可求得四邊形EFGH的面積.【解析】t四邊形ABCD是矩形，/ AB=CD ，AD=BC，Z A= Z B= Z C= Z D=90，t E、F、G、H分別是四條邊的中點(diǎn)，/ AE=DG=BE=CG ，AH=DH=BF=CF ，/ AEHDGH

14、 BEF CGF (SAS )，/ EH=EF=FG=GH ，/四邊形EFGH是菱形，t HF=2，EG=4，1 1/四邊形 EFGH 的面積為：；HF?EG= ' X2X 4=4 .故答案為：4 .題型：填空題難度：中等詳細(xì)信息下列命題：矩形的對角線互相平分且相等；對角線相等的四邊形是矩形；菱形的每一條對角線平分一組對角；一條對角線平分一組對角的平行四邊 形是菱形.其中正確的命題為(注：把你認(rèn)為正確的命題序號都填上)根據(jù)正方形、平行四邊形、菱形和矩形的判定，對選項(xiàng)一一分析，選擇正確答案.【解析】 矩形的對角線互相平分且相等；故正確； 對角線相等的四邊形是矩形，不能正確判定，故錯(cuò)誤；

15、菱形的每一條對角線平分一組對角，這是菱形的一條重要性質(zhì)，故正確； 一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形，故正確.故答案為：題型：解答題難度：困難詳細(xì)信息如圖，矩形ABCD中，對角線AC BD相交于0點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上一動點(diǎn)(不 與點(diǎn)D重合)，P0的延長線交BC于 Q點(diǎn).(1) 求證：四邊形PBQ助平行四邊形.(2) 若AB=3cm AD=4cm P從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/秒的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為t秒，問四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相 應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.P DcQc(1 )依據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理判定APODQOB，所以O(shè)P

16、=OQ，則四邊形PBQD的對角線互相平分，故四邊形 PBQD為平行四邊形.(2 )點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動t秒時(shí)，AP=tcm ，PD= (4-t ) cm .當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD=(4-t ) cm 在直角AABP中，根據(jù)勾股定理得到 AP2 +AB 2=PB 2,即t2+3 2= (4-t ) 2，由此可以求得 t的值.(1 )證明：如圖，/四邊形ABCD是矩形，/ AD / BC，OD=OB ，/Z PDO= / QOB，在APOD與AQOB中，« OD=OB./ PODQOB (ASA )，/ OP=OQ，/四邊形PBQD為平行四邊形；(2 )點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動t秒

17、時(shí)，AP=tcm ，PD= (4-t ) cm . 當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD= ( 4-t ) cm .t四邊形ABCD是矩形，/Z BAP=90 ，/在直角 AABP 中，AB=3cm ，AP2+AB 2=PB 2，即卩 t2+3 2= (4-t )二點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為 秒時(shí)，四邊形PBQD能夠成為菱形.題型：解答題難度：中等詳細(xì)信息已知，如圖，正方形ABCD勺邊長為6,菱形EFGH勺三個(gè)頂點(diǎn)E、G H分別在 正方形ABCD勺邊AB CD DA上, AH=2連接CF.(1) 當(dāng)DG=2時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形；(2) 求證：/ AEHM CGF(3) 設(shè)DG=x用含x的代數(shù)式表

18、示 FCG的面積.D G C(1 )由于四邊形ABCD為正方形，四邊形 HEFG為菱形，那么/ D= / A=90 °，HG=HE，而AH=DG=2 ，易證AHEDGH，從而有 / DHG= / HEA，等量代換可得 / AHE+ / DHG=90° ，易證四邊形HEFG為正方形；(2 )過F作FM丄CD，垂足為M，連接GE，由AB與CD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對 角相等，再由GE為菱形的對角線，利用菱形的性質(zhì)得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等式的性質(zhì)即可得證；(3 )欲求FCG的面積，由已知得 CG的長易求，只需求出 GC邊的高，通過證明 AHE MFG可 得.(1

19、)證明：在HDG和AAEH中，丁四邊形ABCD是正方形，/Z D= / A=9C°，T四邊形EFGH是菱形，/ HG=HE ，在 Rt AHDG 和 AAEH 中，(HG-HE/ Rt HDGAEH ( HL )，/Z DHG= Z AEH，/Z DHG+ Z AHE=90/Z GHE=90 ，/菱形EFGH為正方形，/Z EHG=90 :/ CD / AB ,/ GF / HE ,HEG= / FGE ,AEH= / FGM ;(3 )由(2)得至U / AEH= / FGM , 在 Rt AHE 和 Rt SFM 中，(zJ =?0° AEH 2.FGMHEFG%5/

20、Rt AAHE 幻 Rt AGFM (AAS ),/ MF=2 ,-DG=x , CG=6-x ,百 Sfcg= CG?FM=6 -x .題型：解答題難度：中等 詳細(xì)信息如圖，已知0為矩形ABCD寸角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE/ AC過點(diǎn)C作 CE/ BD且DE CE相交于E點(diǎn).(1) 請你判斷四邊形OCE啲形狀，并說明理由；(2) 若AB=6 BC=8求四邊形OCE的面積.(1 )首先由CE / BD , DE / AC，可證得四邊形 CODE是平行四邊形，又由四邊形 ABCD是矩形，根 據(jù)矩形的性質(zhì)，易得 OC=OD，即可判定四邊形 CODE是菱形，(2 )由矩形的性質(zhì)可知四邊形 OCED的面

21、積為矩形 ABCD面積的一半，問題得解.【解析】(1 )四邊形OCED的形狀是菱形，理由如下：/ CE / BD , DE / AC ,四邊形CODE是平行四邊形，t四邊形ABCD是矩形，/ AC=BD , OA=OC , OB=OD ,OD=OC ,四邊形CODE是菱形；(2 ) / AB=6 , BC=8 ,矩形ABCD的面積=6X 8=48 ,1：S ODC = “S 矩形 ABCD =12 ,四邊形OCED的面積=2S odc =24 .題型：解答題難度：困難詳細(xì)信息如圖，在菱形 ABCD中, AB=4 / AND=60，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn) M是AB邊 上一動點(diǎn)(不與點(diǎn) A重合)，

22、延長ME交射線CD于點(diǎn)N,連接MD AN.(1) 求證：四邊形AMDN1平行四邊形；(2) 填空： 當(dāng)AM的值為時(shí)，四邊形AMDN1矩形； 當(dāng)AM的值為時(shí)，四邊形AMDN1菱形.(1 )利用菱形的性質(zhì)和已知條件可證得NDEMAE，即可利用四邊形 AMDN的對角線互相平分證得四邊形AMDN是平行四邊形；(2 )有(1)可知四邊形 AMDN是平行四邊形，利用有一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形即/DMA=90° ，所以 AM= ?AD=2 時(shí)即可；當(dāng)平行四邊形AMND的鄰邊AM=DM 時(shí)，四邊形為菱形，利用已知條件再證明三角形 AMD是等邊三 角形即可.(1 )證明：丁四邊新ABCD是菱形，

23、/ AB / CD ,/Z DNE= / AME ,T點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，/ AE=DE ,在ANDE 和 MAE 中,r ZDNE-AAMEDE-AE* ,:. NDE MAE (AAS ),/ NE=ME ,:四邊形AMDN是平行四邊形；(2 )【解析】 當(dāng)AM的值為2時(shí)，四邊形AMDN是矩形.理由如下：1/ AM=2=】AD ,：Z ADM=3°vZ DAM=6°,：Z AMD=9°,:平行四邊形AMDN是矩形； 當(dāng)AM的值為4時(shí)，四邊形AMDN是菱形.理由如下：/ AM=4 ,: AM=AD=4 ,: AMD是等邊三角形，: AM=DM ,:平行四邊形AM

24、DN是菱形.故答案為；(1 ) 2 ,( 2 ) 4 .題型：解答題難度：困難詳細(xì)信息(1) 如圖甲，矩形ABCD勺對角線AC BD交于點(diǎn)0,過點(diǎn)D作DP/ OC且 DP=0C連接CP判斷四邊形C0DP勺形狀并說明理由.(2) 如果題目中的矩形變?yōu)閳D乙菱形結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?，說明理由.(1 )根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形C0DP是平行四邊形，再根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得 0C=0D ,然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形解答；(2 )根據(jù)菱形的對角線互相垂直可得AC丄BD ,再根據(jù)垂線的定義求出 Z BOC=90 ° ,然后根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形解答.【解析】(1 )是菱形.理由如下：/ DP / 0C , DP=0C ,四邊形CODP是平行四邊形，T矩形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)0,OC=OD ,二平行四邊形CODP是菱形，故四邊