橢圓和雙曲線練習題及答案

1、圓錐曲線測試題一、選擇題(共12題，每題5分)221已知橢圓=+匕=1 (a >5)的兩個焦點為、F2,且|FiF2|=8,弦 a 25AB過點Fi,則 ABF2的周長為()(A) 10(B) 20(C) 2河(D) 4河222橢圓工+匕=1上的點P到它的左準線的距離是 10,那么點P 100 36到它的右焦點的距離是()(A) 15 (B) 12 (C) 10 (D) 8223橢圓3 +匕=1的焦點F1、F P為橢圓上的一點,已知PF1 _LPF2,259則4 F1PF2的面積為()(A) 9 (B) 12 (C) 10 (D) 84以坐標軸為對稱軸、漸近線互相垂直、兩準線間距離為2的

2、雙曲線方程是()(A) x2-y2=2(B) y2-x2=2(C) x2 -y2 =4 或 y2 x2 =4(D) x2-y2 =2 或 y2-x2 = 2225雙曲線匕=1右支點上的一點P到右焦點的距離為2,則P169點到左準線的距離為()(A) 6(B) 8(C) 10(D) 126過雙曲線x2-y2=8的右焦點F2有一條弦PQ |PQ|=7,F1是左焦點，那么 FiPQ的周長為()(A) 28(B) 14-8應(C) 14+872 (D) 8&7雙曲線虛軸上的一個端點為 M,兩個焦點為Fi、F2/FiMF2 =1201 則雙曲線的離心率為()(A)屈(B) ? (C)等(D)?2

3、338在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為五,焦點到相應準線的距離為工，則該雙曲線的離心率為()2(A) . (B) 2(C) 2(D) 2 2229如果橢圓二十匕=1的弦被點(4 , 2)平分，則這條弦所在的直 369線方程是()(A) x2y=0 (B) x+2y4 = 0 (C) 2x+3y12=0 (D) x + 2y8 = 02210如果雙曲線t-±=1上一點P到雙曲線右焦點的距離是 2,4 2那么點P到y(tǒng)軸的距離是()(A)一 (B)寺 (C) 2 6(D) 2 311中心在原點，焦點在y軸的橢圓方程是x2 sinot + y2 cosot =1 ,冗0, 2),則

4、ct w (A.(0,-) B12已知雙曲線).(0,-C .二:44 222C：A-Z=1(aA0,bA0 )的右焦點為F,過F且斜率為 a b內的直線交C于A、B兩點，若AF=4FB,則C的離心率為()A 6B、7C 、5D、95 585二、填空題(20)2213與橢圓人+匕=1具有相同的離心率且過43點(2,-代)的橢圓的標準方程是<14離心率e=, 一條準線為x = 3的橢圓的標準方程 3是 O2215以知F是雙曲線之一上=1的左焦點，A(1,4),P是雙曲線右支上的412動點，則PF|十|PA的最小值為 2216已知雙曲線與-與=1(a >0,b >0)的左、右焦點

5、分別為 a bF1(y,0), F2(c,0),若雙曲線上存在一點P使sn3= 則該雙曲線 sin PF2F1 c的離心率的取值范圍是.三、解答題(70)17)已知橢圓C的焦點F1 ( 2V2, 0)和F2 C 0),長軸長6,設直線y = x+2交橢圓C于A B兩點，求線段AB的中點坐標。 2218)已知雙曲線與橢圓 +以=1共焦點，它們的離心率之和為925吆，求雙曲線方程.519)求兩條漸近線為x±2y=0且截直線x . y.3 = 0所得弦長為 野的雙曲線方程。20. (1)橢圓C:5+9 = 1(a >b>0)上的點 A(1,幼到兩焦點的距離之和為4,求橢圓的方程

6、；(2) 設K是(1)中橢圓上的動點,F1是左焦點,求線段F1K的 中點的軌跡方程(3)已知橢圓具有性質：若M N是橢圓C上關于原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點,當直線PM PN的斜率都存在弁記為kpM kpN時,那么女乂 kpN是與點P位置無關的定值。試對雙曲線x2 .=1寫出具有類似特性的性質，弁加以證 a2 b27解：(1) 1 =1(2) 設中點為(x,y), Fi(-1,0) K(-2-x,-y) 在<+< = i上?(x 2)2 y2-4- 于-1(3)設 M(x1,y 1), N(-x1,-y 1), P(x o,y2 x2-x12b (-y1)a22xo -x12

7、2y0 - y122xo -x1則 y 二 b26-1)y2 = b2d-1)b22 akPM kPNy0 -y1 . y y1= x0 -x1xo x1為定值。21 (1)當k為何值時，直線l與雙曲線有一個交點，兩個交點,沒有交點(2)過點P (1, 2)的直線交雙曲線于 A、B兩點，若P為弦AB的中點，求直線AB的方程；(3)是否存在直線l,使Q (1, 1)為l被雙曲線所截弦的中點若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由。解：(1)當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時，設直線l的方程為y 2=k(x 1),代入 C 的方程，弁整理得(2 k

8、2)x2+2(k2 2k)x k2+4k 6=0(*)(i )當2k2=0,即k=±T2時，方程(*)有一個根，l與C有 一個交點.(ii)當 2k=0,即 k± V2時A = 2(k2 2k) 2 4(2k2)( k2+4k 6)=16(3 -2k)當A =0,即3-2k=0,k= ”寸，方程(*)有一個實根，l與C 有一個交點.當A > 0,即kv |,又“土氏故當kv V2或一V2vk vj2或V2vkv|時，方程(*)有兩不等實根，l與C有兩個交點.當Av 0,即k>3時，方程(*)無解，l與C無交點.綜上知：當k=± V2 ,或k=3 ,或k

9、不存在時，l與C只有一2個交點；當行v kv 3,或一v2 v kv &,或kv d萬時，l與C有兩 2個交點；當k>3時，l與C沒有交點.(2)假設以P為中點的弦為 AB,且A(xi,y i),B(x 2,y 2),則 2x； y；=2,2x 22 y22=2 兩式相減得： 2(x 1 X2)(x i+X2)=(y 1 y2)(y i+y2)又 ; Xi+X2=2,y i+y2=42(xi X2)=y 1 y1即kAB=上"=1x1 - x2但漸近線斜率為± 42,結合圖形知直線 AB與有交點，所以以P 為中點的弦為：y=x+1.(3)假設以Q為中點的弦存在

10、，設為AB,且 A(xi,y i),B(x 2,y 2),則 2x： y：=2,2x 22 y22=2 兩式相減得：2(x 1x2)(x 1+x2)=(y 1 y2)(y1+y2)又 : x1+x2=2,y 1+y2=22(x 1 x2)=y 1 ykAB= 92 =2x1 -x2但漸近線斜率為土 衣，結合圖形知直線 AB與C無交點，故假設不正確，即以Q為中點的弦不存在.22_13)與橢圓寧71具有相同的離心率且過點(2, -«)的橢圓2的標準方程是=1或2啜=114)離心率e年一條準線為x = 3的橢圓的標準方程是x2 . 9y!520=1 o17）已知橢圓C的焦點F1 （ 272

11、, 0）和F2（2版,0）,長軸長6,設直線y = x+2交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標。（8分）解：由已知條件得橢圓的焦點在x軸上，其中c=2、巧,a=3,從而 b=1,所以其標準方程是：2Y 2 1、十y2 =1.聯(lián)立方程組 9 y -1,消去y得，10x2 +36x + 27 = 0 .y = x +2設 A( x1*),B( x2,y2 ),AB 線段的中點為 M( x y0 )則：185x°=J2=925所以y0 = x0+2=1.也就是說線段AB中點坐標為（-9, 1）. 55 52218）已知雙曲線與橢圓么=1共焦點，它們的離心率之和為92514,求雙曲線方程.（10分）5解：由于橢圓焦點為F（0, ±4）,離心率為e=4,所以雙曲線的焦點5為F（0, ±4）,離心率為2,從而 c=4,a=2,b=2 ,3.22所以求雙曲線方程為：玉-土=1.41220）求兩條漸近線為x±2y=0且截直線x . y3 = 0所得弦長為 這3的雙曲線方程。（10分）解：設雙曲線方程為x2-4y2r.22- .c聯(lián)立方程組得：x x -4y =,消去y