數(shù)學(xué)專業(yè)本科畢業(yè)論文定稿

1、關(guān)于無(wú)窮小量進(jìn)行無(wú)限次運(yùn)算的探討數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)【摘要】無(wú)窮小思想在微積分和數(shù)學(xué)分析的早期發(fā)展中起著重要作用，也是理解微積分的一個(gè)關(guān)鍵性概念.對(duì)于無(wú)窮小量的再認(rèn)識(shí)以及在一種嚴(yán)格的基礎(chǔ)上重新論述，是現(xiàn)今數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)引人注意的課題.無(wú)窮小量是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，它在高等數(shù)學(xué)中占有很高的地位當(dāng)運(yùn)算從有限變到無(wú)限時(shí)，很多在有限運(yùn)算中成立的結(jié)論在無(wú)限運(yùn)算中卻不成立無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小量的乘積不一定是無(wú)窮小就說(shuō)明了這一點(diǎn)對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，很多人做了研究，并舉出了一些例子.但這些例子并沒有概括無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小乘積的所有情形【關(guān)鍵詞】無(wú)窮小量；無(wú)限次代數(shù)和；無(wú)限乘積目錄關(guān)于無(wú)窮小量進(jìn)行無(wú)限次運(yùn)

2、算的探討I1 課題背景與發(fā)展概況11.1 課題背景11.2 無(wú)窮小量的發(fā)展史12無(wú)窮小量的概念及基本性質(zhì)22.1 無(wú)窮小量的概念22.2 無(wú)窮小量基本性質(zhì)23 無(wú)窮小量進(jìn)行無(wú)限次運(yùn)算的探討33.1 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和3343.2 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的積44564 結(jié)束語(yǔ)8參考文獻(xiàn)81 課題背景與發(fā)展概況1.1 課題背景極限與無(wú)窮小量是微積分學(xué)的基礎(chǔ)概念之一.它們不但貫穿了整個(gè)微積分學(xué)，同時(shí)為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下了扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)它們的重要意義在于微積分、微分學(xué)、積分學(xué)中等一系列概念都是建立在極限與無(wú)窮小的基礎(chǔ)上.從歷史上看，建立極限與無(wú)窮小量的概念，并不是一帆風(fēng)順的是經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的歷史時(shí)期，不乏在數(shù)學(xué)

3、界經(jīng)過(guò)激烈的爭(zhēng)論，在第二次數(shù)學(xué)危機(jī)下,由柯西逐漸完善的.可以這樣說(shuō):沒有極限與無(wú)窮小量就沒有微積分學(xué).無(wú)窮小思想在微積分和數(shù)學(xué)分析的早期發(fā)展中起著重要作用，也是理解微積分的一個(gè)關(guān)鍵性概念.對(duì)于無(wú)窮小量的再認(rèn)識(shí)以及在一種嚴(yán)格的基礎(chǔ)上重新論述，是現(xiàn)今數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)引人注意的課題.例如上世紀(jì)ARobinson建立了“非標(biāo)準(zhǔn)分析”，被視為一個(gè)重要數(shù)學(xué)進(jìn)展.無(wú)窮小量是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，它在高等數(shù)學(xué)中占有很高的地位在對(duì)無(wú)窮小量性質(zhì)的理解中，學(xué)生能夠理解有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小，但卻主觀上認(rèn)為無(wú)窮小乘無(wú)窮小會(huì)“越變?cè)叫　?，因而錯(cuò)誤認(rèn)為無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小也是無(wú)窮小而事實(shí)并非如此當(dāng)運(yùn)算從有限變到無(wú)限時(shí)，很多

4、在有限運(yùn)算中成立的結(jié)論在無(wú)限運(yùn)算中卻不成立無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小量的乘積不一定是無(wú)窮小就說(shuō)明了這一點(diǎn)對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，很多人做了研究，并舉出了一些例子.但這些例子并沒有概括無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小乘積的所有情形為此，本文對(duì)這個(gè)問(wèn)題的進(jìn)行進(jìn)一步全面的探討.討論無(wú)窮小量無(wú)限次運(yùn)算，包括無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量代數(shù)和與積.1.2 無(wú)窮小量的發(fā)展史人們對(duì)無(wú)窮小量的認(rèn)識(shí)已經(jīng)經(jīng)歷了幾千年漫長(zhǎng)而曲折的過(guò)程，正如Hilbert所指出的：“無(wú)窮!還沒有別的問(wèn)題如此深地打動(dòng)人們的心靈；也沒有別的想法如此有效地激發(fā)人的智慧；更沒有別的概念比無(wú)窮這個(gè)概念更需要澄清.1 西蒙辛格.費(fèi)馬大定理M.上海:上海譯文出版社,1998.1 他還指出“數(shù)學(xué)是處理無(wú)窮

5、的科學(xué)”數(shù)學(xué)史上所謂3次危機(jī)都與無(wú)窮有關(guān)，它在本質(zhì)上源于人們對(duì)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)不斷深入的過(guò)程中所引起的認(rèn)識(shí)上的困難我們可以把到目前為止人們對(duì)無(wú)窮小的認(rèn)識(shí)大體上分為以下5個(gè)階段2 匡繼昌.微積分和無(wú)窮小量的哲學(xué)思考J.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào).2007,16(2):1-3.第一，對(duì)無(wú)窮小認(rèn)識(shí)的初級(jí)階段是早在公元前5世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為了解決不可公度的問(wèn)題，提出了“原子論”作為一種非常小的度量單位此后，無(wú)窮小伴著古希臘的“窮竭法”，卡瓦列利的“不可分量原理”，促使微積分方法的萌芽和發(fā)展在我國(guó)，則有戰(zhàn)國(guó)時(shí)期(公元前446-256年)的分杵原理，即惠施提出的“一尺之杵， 日取其半，萬(wàn)世不竭”等第二階段是以微積分

6、的誕生為標(biāo)志，對(duì)無(wú)窮小量的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了三百年左右的曲折認(rèn)識(shí)，到19世紀(jì)才將無(wú)窮小量作為其極限為零的變量使用這是屬于潛無(wú)窮的認(rèn)識(shí)階段承認(rèn)潛在可實(shí)現(xiàn)性抽象在邏輯上可以導(dǎo)出數(shù)學(xué)歸納法原理第三，19世紀(jì)70年代集合論的建立，使人們對(duì)無(wú)窮小量的認(rèn)識(shí)進(jìn)入到實(shí)無(wú)窮階段實(shí)無(wú)窮抽象作為一種深遠(yuǎn)的理想化所生成客體的“現(xiàn)實(shí)性”并不是直接的.在邏輯上，承認(rèn)實(shí)無(wú)窮抽象導(dǎo)致承認(rèn)排中律而把它作為一條邏輯原理第四，20世紀(jì)60年代的非標(biāo)準(zhǔn)分析將實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到超實(shí)數(shù)域，其中每一個(gè)通常的實(shí)數(shù)看成是超實(shí)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)部分，它的周圍聚集著無(wú)窮小鄰域即單子，對(duì)單子結(jié)構(gòu)的分析，是認(rèn)識(shí)無(wú)窮小的一個(gè)本質(zhì)的進(jìn)步但這種認(rèn)識(shí)仍有其時(shí)代的局限性例如Robin

7、son僅從數(shù)理邏輯的角度來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)窮小，并且用“互補(bǔ)原則”來(lái)看待無(wú)集集合等事實(shí)上，無(wú)窮小世界并不滿足因果律第五，20世紀(jì)80年代興起的“超弦”理論，為無(wú)窮小理論提供了新的模型20世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，促使人們逐步認(rèn)識(shí)到實(shí)數(shù)集合有離散性和連續(xù)性兩方面每個(gè)實(shí)數(shù)和數(shù)軸上唯一的點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng)，實(shí)數(shù)集合從代數(shù)的角度看，它呈現(xiàn)出群、環(huán)、域等離散性的側(cè)面，而從拓?fù)涞慕嵌瓤矗蔷植苛芯o的，又呈現(xiàn)出連續(xù)性的一面；實(shí)數(shù)集的無(wú)窮性看成潛無(wú)窮時(shí)，就要研究實(shí)數(shù)形成過(guò)程的一般性質(zhì)，例如要用有理數(shù)列來(lái)逼近無(wú)理數(shù)；而看成實(shí)無(wú)窮時(shí)則是將實(shí)數(shù)集合當(dāng)作一個(gè)數(shù)學(xué)客體來(lái)研究超弦理論的基本思路是將基本粒子作為它的一種泛函空間來(lái)研究，而不再像

8、傳統(tǒng)的觀點(diǎn)那樣將基本粒子作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)(幾何點(diǎn))來(lái)看待2無(wú)窮小量的概念及基本性質(zhì)2.1 無(wú)窮小量的概念1在收斂數(shù)列中,我們稱極限為0的數(shù)列為無(wú)窮小量,例如數(shù)列都是無(wú)窮小量.要注意,無(wú)窮小量是一個(gè)變量,而不是一個(gè)非常小的量.3 陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2004,35-36. 2設(shè)在某內(nèi)有定義.若則稱為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量.4 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2001,59-60.3在柯西借助于嚴(yán)格的極限理論，明確指出了無(wú)窮小量是以0為極限的變量其本質(zhì)是：無(wú)窮小量是一個(gè)變量，它在自己的變化過(guò)程中，就其絕對(duì)值而言，可以小于任何給定的正數(shù)e，或者說(shuō)它可以無(wú)

9、限地接近于0.5 李慶高.微分思想話今昔J.潮潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),1994, 16(1):54-69.綜上：極限為零的變量稱為無(wú)窮小量(簡(jiǎn)稱無(wú)窮小).4. 注意：（1）這里指極限，包括數(shù)列極限和六種形式的函數(shù)極限；（2）無(wú)窮小量是相對(duì)某個(gè)極限過(guò)程而言；（3）無(wú)窮小量是極限為零的變量，而不是絕對(duì)值很小的數(shù)；（4）數(shù)0可視為無(wú)窮小量，但無(wú)窮小量不一定是0.2.2 無(wú)窮小量基本性質(zhì)由無(wú)窮小量的定義我們可以立刻推得如下性質(zhì)6 鐘友明,王平平,柳健.微積分M.北京:科學(xué)出版社,2008,23-39.性質(zhì)1 在自變量的同一變化過(guò)程中,兩個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量.證明：，性質(zhì)2 有界變量與無(wú)窮小量的乘

10、積是無(wú)窮小量.證明：性質(zhì)3 有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍是無(wú)窮小量.推論推論1 有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍為無(wú)窮小量.推論2 常量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3 有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積也是無(wú)窮小量.推論4 無(wú)窮小以極限不為零的變量除量，其商仍是無(wú)窮小.3 無(wú)窮小量進(jìn)行無(wú)限次運(yùn)算的探討3.1 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和 舉例說(shuō)明無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和我們由推論已知有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍然是無(wú)窮小量，但是無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和未必是無(wú)窮小量.無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量代數(shù)和在某個(gè)角度上其實(shí)是一個(gè)以無(wú)窮小量為項(xiàng)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，根據(jù)無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)可以知道無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和不一定收斂，即使收斂也不一定為無(wú)窮小量.不煩舉例說(shuō)明

11、：例1 為時(shí)的無(wú)窮小量，但是發(fā)散.說(shuō)明無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量代數(shù)和不一定收斂.例2 設(shè)則對(duì)于每個(gè)為時(shí)的無(wú)窮小量；故不再是時(shí)的無(wú)窮小量.說(shuō)明無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量代數(shù)和即使收斂，也未必是無(wú)窮小量.綜上：無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和不一定收斂，即使收斂也不一定為無(wú)窮小量. 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和為無(wú)窮小量的條件7 戎海武,王向東.關(guān)于無(wú)窮大和無(wú)窮小的幾個(gè)問(wèn)題J.高等數(shù)學(xué)研究,2007,3-5.無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和為無(wú)窮小量的充分條件：如果都是無(wú)窮小量且關(guān)于一致收斂，則是無(wú)窮小量.證明：即3.2 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的積我們已經(jīng)知道有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量，那么無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的乘積又是怎樣呢？下面我們一起探討這個(gè)問(wèn)題

12、.同樣我們可以舉例說(shuō)明，無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的積不一定收斂，即使收斂也不一定為無(wú)窮小量. 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小數(shù)列的積8 許必才.關(guān)于可列個(gè)無(wú)窮小乘積的例子J.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005, 31(3):473-474.定義：設(shè)是無(wú)窮小序列，即對(duì)（為自然數(shù)集）均有記若對(duì)任意固定的，有，則稱無(wú)窮乘積收斂于，或者.例3 設(shè) 令（1）若此時(shí)即：無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的乘積可以是無(wú)窮大量.（2）若此時(shí)不存在.（3）若此時(shí)即：無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量乘積可以是事先給定的任意常數(shù). 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小函數(shù)列的積例49 李艷麗.無(wú)窮小量運(yùn)算的一個(gè)注記J.雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào),2005,21(2):68-69.設(shè)則顯然為時(shí)的無(wú)窮小量.下證

13、，對(duì)每個(gè)均不收斂：固定存在正整數(shù)使得時(shí)，有故由于不存在，故不收斂.說(shuō)明無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的積不一定收斂.例 5 設(shè)對(duì)于，則對(duì)每個(gè)均為時(shí)的無(wú)窮小量.下面證明從上式可知，顯然，其無(wú)窮乘積不再是無(wú)窮小量.說(shuō)明了無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的積即使收斂，也不一定是無(wú)窮小量. 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量積為無(wú)窮小量的條件1. 充分條件：如果都是無(wú)窮小量且關(guān)于一致收斂，則是無(wú)窮小量.證明方法同無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量代數(shù)和.2充要條件I） 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小數(shù)列為無(wú)窮小量的充要條件定理1 設(shè)是無(wú)窮小序列，即對(duì)（為自然數(shù)集）均有記他們乘積為若對(duì)任意固定的，存在，則證明：（1） 必要性：，從而有故取（2） 充分性：從而上式中令我們得到由的任意性知.利用定

14、理1,容易得到：推論1 設(shè)是無(wú)窮小序列，即對(duì)（為自然數(shù)集）均有若他們乘積為有意義，即對(duì)任意，存在.若存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，則是一個(gè)無(wú)窮小數(shù)列.證明：取由定理1可知即是一個(gè)無(wú)窮小數(shù)列.推論2 設(shè)是無(wú)窮小序列，即對(duì)（為自然數(shù)集）均有若他們乘積為有意義，即對(duì)任意，存在.若存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，則是一個(gè)無(wú)窮小數(shù)列.證明方法同推論1.II）無(wú)限個(gè)無(wú)窮小函數(shù)列乘積為無(wú)窮小量充要條件10 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2001,78-81.設(shè)函數(shù)列在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且即為無(wú)窮小量.設(shè)若存在，則稱有意義，記作在連續(xù)且那么討論在是否無(wú)窮小量的問(wèn)題，即實(shí)質(zhì)上是討論連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)是否

15、在點(diǎn)連續(xù)的問(wèn)題，由數(shù)學(xué)分析11 艾紅.無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量的充要條件J.遼寧師專學(xué)報(bào),2003,5(3):51-53.給出的充分條件，即要求在的某領(lǐng)域內(nèi)一致收斂于.因此有：定理212 劉永輝,鞏子坤.再談無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小量之積J.棗莊師專學(xué)報(bào),1991,8(2),23-25.The Research About The Endless Operation Of InfinitesimalCollege of Mathematics and Computer Science Major in Pure and Applied Mathematics 105012007117 Huang L

16、i Adviser: Li Ying guoAbstract: Thought Infinitesimal plays an important role in early development of calculus and mathematical analysis. It is also a key concept for understanding of calculus. Its a attractive subject in modern mathematic field, that recognition of Infinitesimal and strictly re-exp

17、osition. Infinitesimal is an important concept in advanced mathematics. It holds a high status in advanced mathematics. When the operation changes from the finite to the infinite, many conclusions established in limited operation are not true when in infinite one. The product by endless Infinitesima

18、l numbers which is not sure to get an Infinitesimal number proves this point. For this issue, many people do the research, making many examples. However, they havent summarized all cases of the product by endless Infinitesimal numbers.The article firstly illustrates the historical development of Infinitesimal, clarifying the concept and the nature of the Infinitesimal. And then do further research of the Infinitesimal endless operation from the two sides, the algebraic sum and product o