圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題習(xí)題精講詳細(xì)答案

1、高中數(shù)學(xué)一根底與提升練習(xí)【橢圓】一、橢圓的定義1、橢圓的第一定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)尸到兩個(gè)定點(diǎn)品、F?的距離之和等于常數(shù)(|P£|+|PF2|=2">庫(kù)瑪),這個(gè)動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.注意：假設(shè)(|尸耳|=|五閭),那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段我石；假設(shè)(|P£+pf2|<|耳用),那么動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡無(wú)圖形.二、橢圓的方程1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(端點(diǎn)為a、b,焦點(diǎn)為c)(1)當(dāng)焦點(diǎn)在尤軸上時(shí),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：+-V=1(«>Z?>0),其中2；ab(2)當(dāng)焦點(diǎn)在),軸上時(shí),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：4+4

2、=l(«>b>0),其中/=/_；cr1廠2、兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示：二+t=1或者mx2+ny2=1mn三、橢圓的性質(zhì)(以上十=1(>人>0)為例)crb1、對(duì)稱性：對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程M+E=13>>0):是以x軸、),軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；crb-,并且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中央的中央對(duì)稱圖形,這個(gè)對(duì)稱中央稱為橢圓的中央.2、范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x=±和),=±所圍成的矩形內(nèi),所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足卜|<«,y<bo3、頂點(diǎn)：橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn).橢圓二+=1(>.>

3、;0)與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn),坐標(biāo)分別crb-為A1(-£/,0),A2(t/,0),B(0-Z?),&(0,b)o線段A4,8也分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸,IA,A2|=%,IBB?|=2.4和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).4、離心率:橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率,用c表示,記作e=2aa由于a>c>0,所以e的取值范圍是Ove<l.°越接近1,那么c就越接近",從而=JT一0?越小,因此橢圓越扁；反之,e越接近于0,c就越接近0,從而越接近于“,這時(shí)橢圓就越接近于圓.當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),6=0,這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合,

4、圖形變?yōu)閳A,方程為公+,2=.離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān),與其所處的位置無(wú)關(guān).注意：橢圓£+E=i的圖像中線段的幾何特征如下列圖：a-b-5、橢圓的第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)焦點(diǎn)和一條定直線準(zhǔn)線的距離的比為常數(shù)e,0<e<1的點(diǎn)的軌跡為橢圓S=e.d即：到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形,也即上圖2焦點(diǎn)在x軸上：4+4=1a>b>0準(zhǔn)線方程：X=±/b2C焦點(diǎn)在y軸上：4+4=1a>b>0準(zhǔn)線方程：,=±?.-lrc6、橢圓的內(nèi)外部需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請(qǐng)?jiān)谔詫?上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資

5、料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講詳細(xì)解答或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】1點(diǎn)PXo,O在橢圓二+二=14>8>0的內(nèi)部.士+M<1crcrb"222點(diǎn)P*o,光在橢圓二+二=1.>人>0的外部<=>r+yv>1crlrcru四、橢圓的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別和聯(lián)系性質(zhì)焦點(diǎn)q-c,0),F2(c,O)F,(0,-c),F2(O,c)焦距|月外|=勿|月2|=2c范圍Ix邑,|y型|x|S|yKa對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)(±4,0),(0,坳(0,±a),(±4.)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2%短軸長(zhǎng)二M離心率e=-(

6、O<e<)a準(zhǔn)線方程crX=+ccry=±c焦半徑PF=a+exOfPF2=a-exQP周=4+e),o,PF2=a-ey0五、其他結(jié)論需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請(qǐng)?jiān)谔詫?上.搜.索寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講詳細(xì)解答或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】1、假設(shè)8x0,y.在橢圓£+E=l上,那么過(guò)外的橢圓的切線方程是2+綽=1crlrcr2、假設(shè)兄即%在橢圓二十二=1外,那么過(guò)P.作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為凡、P2,那么crir切點(diǎn)弦PR的直線方程是N+邪=1crb-3、橢圓£+E=ia>b>0的左右焦點(diǎn)分別為FrF2

7、,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)/大尸居=/,那么橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為Spf=b2tan2、24、橢圓+二=1a>b>0的焦半徑公式：IMFX1=a+ex.,1MFJ=a叫"c,0,瑪c,0Mx0,>,5、設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn),A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn),連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn),那么MF_LNF.6、過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,鼠、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn),AP和AzQ交于點(diǎn)M,A2P和AQ交于點(diǎn)N,那么MFJ_NF07、AB是橢圓二+;=1的不平行于對(duì)稱軸的弦,Mx.,.為AB的中點(diǎn),那么cr3即長(zhǎng)第二一?.a

8、a?o8、假設(shè)玲小,先在橢圓£+二=1內(nèi),那么被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是crlr,%y_.y2a2b2a2b29、假設(shè)4%,先在橢圓4+4=1內(nèi),那么過(guò)p.的弦中點(diǎn)的軌跡方程是crlr/+V_xI)'o)a1b2a2b2【雙曲線】一、雙曲線的定義1、第一定義：到兩個(gè)定點(diǎn)石與6的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)V|E6|的點(diǎn)的軌跡歸用-|尸可=2<歸心4為常數(shù).這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn).要注意兩點(diǎn):1距離之差的絕對(duì)值.22aV|E£|.當(dāng)|ME|一|傷|二2石時(shí),曲線僅表示焦點(diǎn)£所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)|伊|一|傷|二一2a時(shí),曲線僅表示焦點(diǎn)石所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)引時(shí),

9、軌跡是一直線上以石、6為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a>|內(nèi)用時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.2、第二定義：動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)尸的距離與它到一條定直線/的距離之比是常數(shù)ee>1時(shí),這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線.這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),定直線/叫做雙曲線的準(zhǔn)線.二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程從=,/,其中|巴&|二2c需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講詳細(xì)解答或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】三、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系,直線與雙曲線的位置關(guān)系1、點(diǎn)與雙曲線2、直線與雙曲線四、雙曲線與漸近線的關(guān)系五、雙曲線與切線方程六、雙曲線的性質(zhì)七、弦長(zhǎng)公式1、

10、假設(shè)直線曠=履+與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B,且再,七分別為A、B的橫坐標(biāo),那么|A8|-七2+,-必,="2+1,-X,|=+1JX+%-4中2=J1+笠舍,假設(shè)%為分別為A、B的縱坐標(biāo),那么|叫=,記+“弘-力|=*r+Q(y+乃-4%乃.2、通徑的定義：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),那么弦ABl=-oa3、假設(shè)弦AB所在直線方程設(shè)為x=b,+,那么|A3|=Vi77Tly-乃|.4、特別地,焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后,利用第二定義求解八、焦半徑公式九、等軸雙曲線十、共物雙曲線需要雙曲線的詳細(xì)資料,請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)

11、習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講(詳細(xì)解答)或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】【拋物線】一、拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線/(/不經(jīng)過(guò)點(diǎn)用距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),定直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.二、拋物線的性質(zhì)三、相關(guān)定義1、通徑：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦HH稱為通徑；通徑：1HHl=2P2、弦長(zhǎng)公式：IA8I="+"u£|=,1+*1凹一月13、焦點(diǎn)弦：過(guò)拋物線y2=2Px(p>0)焦點(diǎn)F的弦AB,假設(shè)B(x2,y2),那么|AFI=X0+y,(2)A-X2=,»乃=-p'4I弦長(zhǎng)|4耳=+(

12、再+),再+芍之2jw=P,即當(dāng)Xi=x2時(shí),通徑最短為2p(4)假設(shè)AB的傾斜角為e,那么|A目二等AFBFP四、點(diǎn)、直線與拋物線的位置關(guān)系需要詳細(xì)的拋物線的資料,請(qǐng)?jiān)谔詫毶纤阉鲗氊?“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講(詳細(xì)解答)或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】,【圓錐曲線與方程】一、圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過(guò)這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線/的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e>0),那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線.其中定點(diǎn)F(c,O)稱為焦點(diǎn),定直線/稱為準(zhǔn)線,正常數(shù)e稱為離心率.當(dāng)0VeV1時(shí),軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí),軌跡為拋物線；當(dāng)e&g

13、t;1時(shí),軌跡為雙曲線.特別注意：當(dāng).時(shí),軌跡為圓(£,當(dāng)c=O.a=時(shí)).a二、橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)三、曲線與方程四、坐標(biāo)變換1、坐標(biāo)變換：2、坐標(biāo)軸的平移：3、中央或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講(詳細(xì)解答)或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】:例】以拋物線丁=8后的焦點(diǎn)尸為右焦點(diǎn),且兩條漸近線是x±VJ'v=.的雙曲線方程為.解：拋物線y2=s43x的焦點(diǎn)尸為(2、回,0),設(shè)雙曲線方程為x2-3y2=2,.-.=(2>/3)2.2=

14、9,雙.曲線方程為三一三=1【例】雙曲線匚-二二1(6£N)的兩個(gè)焦點(diǎn)F、&0為雙曲線上一點(diǎn),4b5,|所|,|石引,|所|成等比數(shù)列,那么代o解：設(shè)石(-GO)、E(gO)、p("),那么|所r+|%|2=2(|陽(yáng)2+|60|2)v2(52+c),即|用十|0612V50+23,又|所|2+|外|2二(|用|一|所|y+2|%|.|吒|,依雙曲線定義,有|所|一I陽(yáng)二4,依條件有|所|外|二|片6|2二4,.,.16+8c<50+2c,5L/c2=4+b2<-,.*.b2<-,6二1.33【例】當(dāng)機(jī)取何值時(shí),直線/：y=x+?與橢圓9/+16),

15、2=144相切,相交,相離y=x+i解：(9/+16),2=144代入得9/+16(x+m)2=144化簡(jiǎn)得25x2+32mx+16m2-144=0=(32m)2-4x25(16/-144)=-576m2+14400當(dāng)=0,即m=±5時(shí),直線/與橢圓相切;當(dāng)A>0,即-5v?v5時(shí),直線與橢圓相交;當(dāng)AvO,即7<-5或?>5時(shí),直線與橢圓相離.【例】橢圓的中央在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)焦點(diǎn)為尸,"是橢圓上的任意點(diǎn),|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2,橢圓上存在著以*x為軸的對(duì)稱點(diǎn)明和他且|固以二半,試求橢圓的方程.角華：|施L尸/c,|MFmir

16、Pa-c,貝|c己一c二才一/二.?,.2=4,設(shè)橢圓方程為£+£=1a-4設(shè)過(guò)附和版的直線方程為片一戶加將代入得：4+a2V2才/77A+3/4最=0設(shè)的M,%、/X2,%,題版的中點(diǎn)為Xo,戰(zhàn),那么x+至二互j.24+fl-4+M代入*X,得以=,4+.-4+a由于a2>4,=0,由知Xi+x2=0,xix2=一1二,又4+.-I掰版I=V5jX+肛2-4兩a=41,代入X+X2,XX2可解才二5,故所求橢圓方程為：£+£=1o54【例】某拋物線形拱橋跨度是20米,拱高4米,在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐,求其中最長(zhǎng)的支柱的長(zhǎng).需要更多的高考數(shù)

17、學(xué)復(fù)習(xí)資料,請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講詳細(xì)解答或者搜.店,鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】解：以拱頂為原點(diǎn),水平線為X軸,建立坐標(biāo)系,如圖,由題意知,|AB=20,|掰二4,小8坐標(biāo)分別為-10,4、10,-4設(shè)拋物線方程為V=-2py,將4點(diǎn)坐標(biāo)代入,得100=-2°X4,解得p=12o5,于是拋物線方程為V=-25yo由題意知E點(diǎn)坐標(biāo)為2,4,P點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2,將2代人得尸一0.16,從而|=4=o故最長(zhǎng)支柱長(zhǎng)應(yīng)為3.84米.【例】橢圓的中央在坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,直線y=A+1與橢圓交于P和.,且OP工OQ,1戶.1二半,求橢圓方程

18、.解：設(shè)橢圓方程為加0,n0,Px,yO,.儀,y2由!'：+:得/玲V+2nx+n1=0,4府"-10,即mnmnl/n.v"+ny"=1>0,由OP±00,所以m先+N為=0,Fp2必先+(%+先)+1=0,一且+1二0,m+nm-n又24.+-?=巫2,將府方2,代入得m正2m+24由、式得吟吟或吟吟故橢圓方程為或產(chǎn)“5【例】圓6的方程為22+,-12=3,橢圓6的方程為£+£=1.>0,3h"G的離心率為無(wú),如果2與6相交于48兩點(diǎn),且線段48恰為圓G的直徑,2解：由八多得/冬/一W3設(shè)橢圓方程為

19、£+£“設(shè)Ax,兌.84,乃由圓心為21./.Ai+不=4,y.+y2=2.22-2y-2條=21-2V,余減相式兩O求直線48的方程和橢圓G的方程.(8+x2)(X|一心)+2(»+y2)(H_12)=.又xl+心=4.?+乃=2,得22_-1=-L/.直以6的方程為y-1=-(x-2).y=-x+3內(nèi)一勺4務(wù)y=-x+3代入-+=1,得3x2-12X-4-18-2/?2=0.2b2b2直線48與橢歐2相交二A=2助2一72>0,需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請(qǐng)?jiān)谔?寶上.得萬(wàn).、野二723搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講詳細(xì)解答或者

20、搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】由AB=y2X-x2|=y/2yj(x+x2)2-4XjX2=解得I故所有橢圓方程今%L【例】過(guò)點(diǎn)1,0的直線/與中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在X軸上且離心率為變的橢圓2C相交于48兩點(diǎn),直線片;X過(guò)線段48的中點(diǎn),同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線/對(duì)稱,試求直線/與橢圓C的方程.解法一：由廣£=走,得二,從而養(yǎng)2,c=bo設(shè)橢圓方程為a2a22V+2;/=262,4用,yO,8M,/在橢圓上.那么1+2必2=2",x22+2y22=2b2,兩式相減得,x/一x?+2才一二.,»-.23+0西一勺2"+>2'設(shè)中點(diǎn)

21、為xo,那么匕尸一見(jiàn),又先,必在直線尸!x上,yo=xo,于是2yo22設(shè)/的方程為六一£1.右焦點(diǎn)6,0關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為/,/,1解得y=1-/7由點(diǎn)1,1-6在橢圓上,得1+2162=26,"=2.病=?.168.所求橢圓C的方程為洋+與產(chǎn)=1,/的方程為尸一行1.解法二：需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講詳細(xì)解答或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】"由廣£=走,得匕£,從而a=2b2,c=bo設(shè)橢圓C的a2cr2方程為*2+2/=29,/的方程為廣萬(wàn)一1,將/的方程代入

22、C的方程,得1+2V4/4+2-26=0,那么乂+*2二一,弘+治二乂-1+X21="乂+先一2仁一二1+2K1+2攵2直線/:*LX過(guò)48的中點(diǎn)上旦,&1也,那么上二=1.二匚,解得仁0,或K2221+2小2+242-1O假設(shè)仁0,那么/的方程為*0,焦點(diǎn)尸C,0關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)就是尸點(diǎn)本身,不能在橢圓C上,所以仁0舍去,從而抬一1,直線/的方程為*一4一1,即尸一a+1,以下同解法一.解法三：設(shè)橢圓方程為'+二=la>>0a-b-直線/不平行于y軸,否那么48中點(diǎn)在X軸上與直線/白過(guò)A6中點(diǎn)矛盾.故可設(shè)直線/的方程為y=/-1)(2)代入消.V整理得

23、：僅,2b2)x2-2k2a2xa2k2-a2b2=0(3)2k2a2設(shè)AC.,y1)B(x2f為),知：X,+a2=7又H+%=攵*1+x力-2%代入上式得:-kF+1廣2Alk%?+b?1Lbl)2117叵k-=一,：.k-2k；=,:k-k-=9乂e=a+M22k2a22ka222.<=-4=-2"7-)=-2+2=-1,二直線/的方程為y=lr,此時(shí).2=2b2,方程(3)化加工2-4.1+2-282=0,A=l6-24(l-Z?2)=8(3Z?2-I)>0二孚,橢圓C的方程可寫成：i+2),2=2/(4),又C?=-b2=>,.右焦點(diǎn)FS,0),設(shè)點(diǎn)戶關(guān)于

24、直線/的對(duì)稱點(diǎn)(見(jiàn),丸),上=1-b.f=-1,yo=li,Vo/+=1-又點(diǎn)(1,1-)在橢圓上,代入(4)得：l+2(l-/7)=2b2,.=上蟲,432=2"8,29:.lr=所以所求的橢圓方程為:16二+二=1998-16【例】如圖,例的面積為二,P為線段的一個(gè)三等分點(diǎn),求以直線4OR、0R為漸近線且過(guò)點(diǎn)戶的離心率為巫的雙曲線方程.2解：以0為原點(diǎn),NR0R的角平分線為x軸建立如下圖的直角坐標(biāo)系.設(shè)雙曲線方程為(a>0,b>0),由62=：=+&2=(巫)2得一.a2b2a2o2a2兩漸近線俯、俗方程分別為*gx和尸一gx設(shè)點(diǎn)R(%,1xi),月(入2,|

25、xz)(%i>0,X2>0),那么由點(diǎn)P分網(wǎng)所成的比人二牝二2,得戶點(diǎn)坐標(biāo)為(=41.漢口),PP?32又點(diǎn)"在雙曲線二-±二二1上,所以四十2"一工一2.9;二,a29a29«29a2即(x+2xz)2-(X-2X2)2=9才,整理得8*/2=9才又|叼=口717=平|nD|f292而內(nèi)JOPI=1必+x2=5x22x32tanPiOx12sinPQP,=-!=14.tan2P.Ox.91311H411131227：S、rob=-IOPl-IOP2Isin40P2=-xix2=-由、得a2=4,b2=9o故雙曲線方程為?-W小【例】需要更多

26、的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講詳細(xì)解答或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】“過(guò)橢圓c：E+£=is>b>0上一動(dòng)點(diǎn)P引圓0：/+的兩條切線P4P8,48為切點(diǎn),直線與x軸,y軸分別交于M、N兩點(diǎn).1P點(diǎn)坐標(biāo)為溝必并且不必于0,試求直線48方程；2假設(shè)橢圓的短軸長(zhǎng)為8,并且J+上一受,求橢圓C的方程；3橢圓C上是否存在點(diǎn)P,由OMI2IONI216P向圓.所引兩條切線互相垂直假設(shè)存在,請(qǐng)求出存在的條件；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解：1設(shè)/M,乂,8*2,/2切線P/4XM+XV=/,PB：X2xy2y=b2；P點(diǎn)

27、在切線PAP8上,/X|.¥o4-yjJo=h2:.直線AB的方程為xox+yoy=.0加豐0在直線48方程中,令*0,那么MC,X.0;令0,那么N0,發(fā)>'0b-IOMI2IQN|2V2Z>=8二房4代人得a=25,g二16.橢圓C方程:-+=l(.xyh0)2516(3)假設(shè)存在點(diǎn)P(%,必)滿足P/UP8,連接0403由|P川二|P8|知,四邊形P加8為正方形,|0P|二&|0川/+君=2廬又TP點(diǎn)在橢圓C上：.a2xb2y=a2b2由知</a>b>0：.a-6)0-.-一一爐(1)當(dāng)才一2上>0,即a>拉.時(shí),橢圓C

28、上存在點(diǎn),由P點(diǎn)向圓所引兩切線互相垂直；(2)當(dāng)才一26«0,即伏死魚.時(shí),橢圓C上不存在滿足條件的P點(diǎn)【例】點(diǎn)B(-1,0),C(1,0),P是平面上一動(dòng)點(diǎn),且滿足I記II就方國(guó)(1)求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；(2)點(diǎn)A(m,2)在曲線C上,過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE,且ADJLAE,判斷：直線DE是否過(guò)定點(diǎn)試證實(shí)你的結(jié)論.(3)點(diǎn)A(m,2)在曲線C上,過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD,AE,且AD,AE的斜率由、兒滿足兒分二2.求證：直線DE過(guò)定點(diǎn),并求出這個(gè)定點(diǎn).解：(1)設(shè)P(x,y)代入I定II比1=麗.而得而萬(wàn)WP=l+x,化簡(jiǎn)得)*=4x.(2)將4,.2)代入產(chǎn)=4

29、x得加=1,二點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).,48設(shè)直線4.的方程為y-2=心-1)代入廠=4x,得廠-工y+彳-4=0,444由丫1=2可得力=7一2,二D(+1,-2).kk?k同理可設(shè)直線4E:v-2=-(.r-l),RAv2=4不得+1,4A2).k4-+4/1k一4k那么直線OE方程為：y+4k+2=(X-必2T),化簡(jiǎn)得A°(y+2)+%(jv-5)-(y+2)=0,即y+2=-4.5),過(guò)定點(diǎn)(5.-2).H1將4.兒2)代入/=4k得,=1,設(shè)直線DE的方程為y=h+b.D(xx,m),E(ay,)由得/+2(幼一2卜+啟=0.V2=4KrAD'kE=2,二-=2(

30、X|,A2工1),JVj-1X2-1且力=3+b,y2=kx2+b/.(k2-2)Xj.v2+(劭-2A+2)(X+.巧)+(-2/-2=0,將M+x,=三絲3,修代=1代入化簡(jiǎn)得=優(yōu)-2)2,二.=±(&-2).k-k-/.b=±(k-2).將.=攵-2彳弋入y=+得,=h+%2=&.+1)2,過(guò)定點(diǎn)(一1,-2).將.=2-攵代入丫=k+得y=履+2f=總-1)+2,過(guò)定點(diǎn)(1,2),不合,舍去,/.定點(diǎn)為(-1,-2)【例】需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講(詳細(xì)解答)或者搜.店.鋪.“

31、龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】曲線£-E=im>oso)的離心率垣,直線/過(guò)A(a,0)、lr3B(0,-b)兩點(diǎn),原點(diǎn).到/的距離是走.(I)求雙曲線的方程；(II)過(guò)點(diǎn)2B作直線m交雙曲線于M、N兩點(diǎn),假設(shè)麗麗=-23,求直線m的方程.解：(I)依題意,/方程二二=1,即法-紗-h=o,由原點(diǎn)0至/的距離為il,得a-b2ahah招互京=7F又6=£=速:.b=,a=y/3o故所求雙曲線方程為二),2=i一“一33'(II)顯然直線m不與x軸垂直,設(shè)m方程為*kx-1,那么點(diǎn)M、N坐標(biāo)(匹,乃)、(心,乃)是方程組"I的解存-消去V,得(1-3公)/+6h

32、-6=0依設(shè),1-3公.0,由根與系數(shù)關(guān)系,知旦1一3公一1-3k2-IOMON=(Xj,y1)-(x2,y2)=xx2+y1y2=x1x2+(kx-Dfe-1)=(1+一%(M+£)+1=6(1+/)6k"t；+13/-13/13公-1.麗麗=-23+1=-23,k=±lo當(dāng)k二士1時(shí),方程有兩個(gè)不等3公-122的實(shí)數(shù)根故直線/方程為,=*典_【例】動(dòng)點(diǎn)P與雙曲線4r-三=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、&的距離之和為定值,且cosZF,PF2的最小值為-.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;(2)假設(shè).(0.3),M>N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上且而一而,求實(shí)數(shù)X的取值范圍.解：

33、(1)由可得：C=45,(力=.,2=9,/="2-2=42a29.所求的橢圓方程為二+E=.94方法一：由題知點(diǎn)D、M、N共線,設(shè)為直線m,當(dāng)直線m的斜率存在時(shí),設(shè)為k,那么直線m的方程為v=kx+3代入前面的橢圓方程得(4+9k2)x?+54由判別式A=(54)2-4x(4+9Ar2)x45>0,得及2吟.再設(shè)M(X1,/1),N(X2,y2),那么一方面有OAj=(X,)、-3)=4£W=4(X2,)2-3)=(44,%(乃一3),侍】個(gè)?X-3=Z(y2-3)另一方面有所+x-*,必=二-4+9-4+9產(chǎn)將=此代入式并消去X2可得上/=3+9,由前面知,0&l

34、t;±<.5(14-2)2k2k15八3242,81俗21里1i09<<一,用牛倚-<A<5o5(1+W55又當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí),不難驗(yàn)證：夭或2=5,所以為所求.55方法二:同上得<=忒2Ji_3=/(為-3)設(shè)點(diǎn)M(3cosa,2sina),N(3cosB,2sin3)那么有.cosa=Acosp2sina-3=4(2sin尸一3)由上式消去a并整理得S崎*,由于-0ng飛崎筌a,解得*y為所求.需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講(詳細(xì)解答)或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料

35、網(wǎng)】方法三：設(shè)法求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)D的距離的最大值為5,最小值為1.進(jìn)而推得義的取值范圍為叁/145.【例】如下圖,拋物線7=4x的頂點(diǎn)為0,點(diǎn)力的坐標(biāo)為5,0,傾斜角為上的直線/與線段以相交不經(jīng)過(guò)點(diǎn)0或點(diǎn)心且交拋物線于"、N4兩點(diǎn),求力椒面積最大時(shí)直線/的方程,并求/1網(wǎng)/的最大面積.解：由題意,可設(shè)/的方程為*產(chǎn)勿,-5</77<0o由方程組："+',消去匕得M+2k4/=0V2=4x 直線/與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)欣N,方程的判別式/二2小一424/二161而>0,解得加V1,又一5V/77VO,加的范圍為一5,0設(shè)yO,M*2,h那么*+乂2

36、=42勿,Xxf/,<*.IMN=4J2i-m.點(diǎn)力到直線/的距離為片坐.V2 ,.8=25+勿口了,從而區(qū)2=41一面5+而2=22一2/775+5+而W2"2"5+-5+=i28.3 &W8及,當(dāng)且僅當(dāng)22*5+勿,即加=一1時(shí)取等號(hào).故直線/的方程為尸x-1,的最大面積為8尤.【例】雙曲線C:24一/二2與點(diǎn)P1,2o1求過(guò)P1,2點(diǎn)的直線/的斜率取值范圍,使/與C分別有一個(gè)交點(diǎn),兩個(gè)交點(diǎn),沒(méi)有rt/交點(diǎn).(2)假設(shè)0(1,1),試判斷以.為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí),/的方程為產(chǎn)1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)/的斜率存在時(shí),設(shè)直線/

37、的方程為v2二履4一1),代入C的方程,并整理得(2)戈+2(-2«)*一片+4%6=0(*)(1)當(dāng)22=0,即依土及時(shí),方程(")有一個(gè)根,/與C有一個(gè)交點(diǎn)(ii)當(dāng)2"2豐0,即于土應(yīng)時(shí)4=2(-24)24(2)(一42+4%6)=16(3一2A)當(dāng)/二0,即32公0,依白時(shí),方程(")有一個(gè)實(shí)根,/與C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)/>0,即4V,大k豐土也,故當(dāng)AV一及或一及V<嬤或衣VV：時(shí),方程.有兩不等實(shí)根,/與C有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)J<0,即時(shí),方程(*)無(wú)解,/與C無(wú)交點(diǎn).綜上知：當(dāng)仁士及,或公二或A不存在時(shí),/與C只有一個(gè)交點(diǎn)；2當(dāng)VI

38、VZV：,或一及,或"V一及時(shí),/與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí),/與C沒(méi)有交點(diǎn).(2)假設(shè)以.為中點(diǎn)的弦存在,設(shè)為48,且力(小,yO,8(x2,y2),那么2一/二2,2x2,一/二2兩式相減得：2(%X2)(xi+x2)=(yi%)(必+匕)又%1-*-%2=2,y14-y2=22(XiX2)二弘一弘即卜母士上二2再一M但漸近線斜率為土拉,結(jié)合圖形知直線四與C無(wú)交點(diǎn),所以假設(shè)不正確,即以0為中點(diǎn)的弦不存在.【例】雙曲線G的中央在原點(diǎn),它的漸近線與圓/+,2-10工+20=0相切.過(guò)點(diǎn)p(yo)作斜率為3的直線/,使得/和G交于A,8兩點(diǎn),和,軸交于點(diǎn)C,并且點(diǎn)P在線段A3上,又滿足I用.

39、|=IPC.(1)求雙曲線G的漸近線的方程；(2)求雙曲線G的方程；(3)橢圓S的中央在原點(diǎn),它的短軸是G的實(shí)軸,如果S中垂直于/的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的局部,求橢圓S的方程.解：(1)設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為：丫=依,那么由漸近線與圓/+),2-10%+20=0相切可得：,網(wǎng)=小.VF+T所以,k=±-.雙曲線G的漸近線的方程為：y=±-x.22(2)由(1)可設(shè)雙曲線G的方程為：/_4),2=機(jī).把直線/的方程y=；(x+4)代入雙曲線方程,整理得3/_81-16-4?=0.那么/+/=*七/8=_14(*)VPAPB=PCf尸,A,8,C共線且

40、尸在線段相上,*(a>-xP)=(xP-xc)2,即:(4+4)1-4)=16,整理得：4(4+/)+38+32=0將*代入上式可解得：28.所以,雙曲線的方程為1rA.3由題可設(shè)橢圓S的方程為：工+工=1儲(chǔ)25.下面我們來(lái)求出S中垂直28a217于/的平行弦中點(diǎn)的軌跡.需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講詳細(xì)解答或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為為,兇,",%,MN的中點(diǎn)為那么兩式作差得：+占+-乃M+%=o28a2由于2J_11=T,X+=2%,y+/=2%M一9所以,垂直于/的平行弦中

41、點(diǎn)的軌跡為直線上-2=0截在橢圓S內(nèi)的局部.28a2又由題,這個(gè)軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的局部,所以,£=.1122所以,/=56,橢圓S的方程為：二+亡=1.2856點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的問(wèn)題時(shí),把直線投影到坐標(biāo)軸上也即化線段的關(guān)系為橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)之間的關(guān)系是常用的簡(jiǎn)化問(wèn)題的手段；有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題,常常用到“設(shè)而不求的方法；判別式和韋達(dá)定理是解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的常用工具.【例】橢圓C的中央為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),焦點(diǎn)在s軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講詳

42、細(xì)解答或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】I求橢圓C的方程;II假設(shè)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn),回二人,OM求點(diǎn)M的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么曲線.需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請(qǐng)?jiān)谔詫?上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講詳細(xì)解答或者搜店.鋪.“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】解：I設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為.,c,由得,解得a=4,c=3,WoWoWokoSo5ouoCoo.m所以橢圓.的a+c=l標(biāo)準(zhǔn)方程為E+?=i167II設(shè)Mx,y,其中xsT,4.由叫二外及點(diǎn)p在橢圓.上可得lOM?二112=儲(chǔ).整理得16萬(wàn)一9/+16分,2=12,其中xe

43、-4,4.16廠+廠L(i)X=二時(shí).化簡(jiǎn)得9V2=1124所以點(diǎn)M的軌跡方程為y=±±g-4KxW4,軌跡是兩條平行于x軸的線段.(ii)%.：時(shí),方程變形為一+哈=1,其中41iz1iz匚1622-91627當(dāng)Ov4a時(shí),點(diǎn)M的軌跡為中央在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足4-4x4的局部.當(dāng)?幾1時(shí),點(diǎn)M的軌跡為中央在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足-4WXW44的局部；當(dāng)幾21時(shí),點(diǎn)M的軌跡為中央在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓；【例】橢圓仁捺+/=11心0)的離心率為今,過(guò)右焦點(diǎn)F的直線L與C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)L的斜率為1時(shí),坐標(biāo)原點(diǎn).到L的距離為走.2(I)求a,b的值；(

44、IDC上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)L繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有格方+而成立假設(shè)存在,求出所有的P的坐標(biāo)與L的方程；假設(shè)不存在,說(shuō)明理由考點(diǎn)：此題考查解析幾何與平面向量知識(shí)綜合運(yùn)用水平,第一問(wèn)直接運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計(jì)算,第二問(wèn)利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想,借助根與系數(shù)關(guān)系解決問(wèn)題,注意特殊情況的處理.解：(I)設(shè)HaO),當(dāng)/的斜率為1時(shí),其方程為X-),-c=0Q到/的距離為l°-°-cLc故Cc-正一號(hào),由e=,得o=V3,b=yja2c&a3IIC上存在點(diǎn)P,使得當(dāng)/繞廠轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有方=m+方成立.由I知C的方程為2/+3y2=6.設(shè)4項(xiàng),州,

45、8必,心i當(dāng)/不垂直x軸時(shí),設(shè)/的方程為y=攵工-1C上的點(diǎn)P使麗=麗+麗成立的充要條件是P點(diǎn)的坐標(biāo)為x1+x2,y,+y2且2演+x22+3必=6整理得2a-12+3y2+2x22+3y2*+4xx2+6>,y2=6乂4、8在C上,艮P2xJ+3y2=62寸+3%2=6.故2x,x2+3y,y2+3=0將,=攵*一1代入2/+33,2=6,并化簡(jiǎn)得2+3k2x2-6k2x+3k2-6=0于是6k2X+X,=7-2+3公中2二筌系切必1"2=-4k?2+3k2代人解得,y=2,此時(shí)X+£=m.于是必+為=*+/一2二一七,即0±-2222因此,當(dāng)k=-加時(shí),

46、尸苧,/的方程為&x+y-&=o；當(dāng)攵=行時(shí),尸0,一斗,/的方程為&工-&=.li當(dāng)/垂直于x軸時(shí),由赤+詼=2,0知,C上不存在點(diǎn)P使方=礪+歷成立.綜上,C上存在點(diǎn)P,±T使.P=OA+08成工,此時(shí)/的方程為土y-=022【例】橢圓G：二+二=1(>0>0)的右頂點(diǎn)為41,.),過(guò)G的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)crb一軸的弦長(zhǎng)為I.(I)求橢圓G的方程；(II)設(shè)點(diǎn)尸在拋物線G：y=x2+h(/?e7?)Jl,G在點(diǎn)尸處的切線與G交于點(diǎn)M、N,當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí),求的最小值.6=1_9,解：由題意得H：所求的橢圓方程為2+

47、/=12=1b=4a(II)不妨設(shè)%),'(再,當(dāng)),尸(,戶+以那么拋物線G在點(diǎn)P處的切線斜率為y|v=2z,直線MN的方程為,=2tx-t2+h,將上式代入橢圓G的方程中,得41+(2狀-+力)2-4=0,即4(1+卜2-4f(r-h)x+(r-尸-4=0,由于直線MN與橢圓G有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以有=16-r4+2(/+2)r2-/r+4>0,設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是當(dāng),那么5二日上:窯義設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是匕,那么a=上1,2由題意得看="4,即有產(chǎn)+(1+?+1=0,其中的2=(1+力)2-420,二/d1或/?43;當(dāng)h<-3時(shí)有/?+2<

48、;0,4-/z2<0,因此不等式A,=16-?+2(h+2)t2-A2+4>0不成立；因此力之1,當(dāng)/?=1時(shí)代入方程產(chǎn)+(1+)/+1=0得P=-1,將/?=ij=1代入不等式=16-r4+2(7/+2)r-/z2+4>0成立,因此的最小值為1.【例】設(shè)橢圓E：£-+4=1(a,b>0)過(guò)M(2,加),兩點(diǎn),.為坐crb標(biāo)原點(diǎn),(I)求橢圓E的方程；(II)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且況_L刃假設(shè)存在,寫出該圓的方程,并求|AB|的取值范圍,假設(shè)不存在說(shuō)明理由.考點(diǎn)：此題屬于探究是否存在的問(wèn)題,主要考查了橢圓的

49、標(biāo)準(zhǔn)方程確實(shí)定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問(wèn)題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.解：由于橢圓E：/I(a,b>0)過(guò)M(2,N(B1)兩點(diǎn),42,+7=1b-61,r+k=1a-b-解得:所以,l/r4“：=8橢圓E的方程為?+$=1b2=484(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.4,0瓦設(shè)該圓的切線方程為y=kx+mo解方程組七22一+y=kx+m得+2kx+m2=8,即l+2k2x2+4kmx+2m2-8=0,=1184那么=16攵2m2-41+2攵22/-8=88公-m2+4>0,即Sk2-nr+4>04km2療一8X.X,=1+242=%+2仁+.=k2X|X2+kmxx+x2+nr二2"