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文檔簡介

1、1矩陣的相似1.1定義1.2性質(zhì)1.3定理(證明)1.4相似矩陣與若爾當(dāng)標準形2相似的條件3相似矩陣的應(yīng)用(相似矩陣與特征矩陣相似矩陣與矩陣的對角化相似矩陣在微分方程中的應(yīng)用【1】)矩陣的相似及其應(yīng)用1.1矩陣的相似定義1.1:設(shè)A,B為數(shù)域P上兩個n級矩陣,如果可以找到數(shù)域P上的n級可逆矩陣X,使得B=XAX,就說A相似丁B記作AsB1.2相似的性質(zhì)(1) 反身性AsA:;這是因為A=EAE.(2) 對稱性:如果AsB,那么BsA;如果AsB,那么有X,使B=XAX,令丫=X',就有A=XBX直=YBY,所以BsA。(3) 傳遞性:如果AsB,BsC,那么AsC。已知有X,Y使B=X

2、AX,C=Y,BY。令Z=XY,就有C=YXAXY=Z,AZ,因此,AsC。1.3相似矩陣的性質(zhì)若A,BWC",AsB,見J:(1)r(A)=r(B);引理:A是一個s><n矩陣,如果P是一個ss可逆矩陣,Q是nn可逆矩陣,那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)證明:設(shè)A,B相似,即存在數(shù)域P上的可逆矩陣C,使得B=CAC,由引理2可知,秩(B)=秩(B=CAC)=秩(AC)=秩(A)(2)設(shè)A相似于B,f(x)是任意多項式,貝Uf(A)相似于f(B),即PAP=B=Pf(A)P=f(B)證明:設(shè)f(x)=anxn,anxn4lllaxa。于是,f(A)=anAnanAnH

3、la1Aa0Ef(B)=anBnanBnll|aBa°E由于A相似于B,貝UAk相似與Bk,(k為任意正整數(shù)),即存在可逆矩陣X,使得Bk=XAkX,因此XfAX=XanAnanJAn-a1Aa0EX=anXAnXanXAnX川aXAXa0E=anBnanBn川a1Ba°E=f(B)所以f(A)相似于f(B)。(3) 相似矩陣有相同的行列式,即|A=|B,trA=trB;證明:設(shè)A與B相似,即存在數(shù)域P上的可逆矩陣C,使得B=CAC,兩邊取行列式得:B|=CAC=CAC=ACC=A,從而相似矩陣有相同的行列式。乂由性質(zhì)(2)知,A與B有相同的特征多項式,因而有相同的特征值播

4、,旗,川,十,而A的跡trA=兀+赤2+|+九n,B的跡trB=兀+1%+川+兀n,從而trA=trB,即相似矩陣有相同的跡(4) A與B有相同的Jordan標準形;(5) 相似矩陣同時可逆或同時不可逆。證明:設(shè)A與B相似,由性質(zhì)2可知A=|B,若A可逆,即A#0,從而B#0,故B可逆;若A不可逆,即A=0,從而B=0,故B不可逆。_l'A0),fB0、(6) 若A與B相似,B與D相似,則與相似。<0C)0D;證明:A與B相似,即存在可逆矩陣P,使得B=PAP,C與D相似,即存在可逆矩陣Q,使得D=QCQ,由于=<0D八。"<0口"P0"

5、一工r顯然是可逆矩陣。由此可見,則<0QJ0A0/P0'Q“0C人0Q;0fA0VP0'Q)<0C人0Q;(A0)UB0ztI與相似。<0C)10D;定理1.1:線性變換在不同基下所對應(yīng)的矩陣是相似的;反過來,如果兩個矩陣相似,那么它們可以看作同一個線性變換在兩組基下所對應(yīng)的矩陣。證明:先證前一部分。設(shè)線性空間V中線性變換A在兩組基:跖電,Illg(1)叫,”2,.|H,"n(2)下的矩陣分別為A和B,從基到基的過渡矩陣為X,貝U:(A.A62,川,A'n)=(跖&2,.|,&n)A,(Ai,A2,lH,An)=(l,2JII

6、,n)B(1,2,川,n)=(;1,2,JH,n)X于是(AIi,A2,lll,An)=A(叫足,|,氣)=A(8"2,.|H)X=(AA;2,HI,A;n)X=(;i,;2,川,.n)AX=(1,2,.川,n)XAX由此可得B=XAX現(xiàn)在證后一部分。設(shè)n級矩陣A和B相似,那么它們可以看作是n維線性空間V中一個線性變換在基布,&2,.|H,8n下的矩陣。因為B=XAX,令:(叫,勺,|,,叫)=(辱,盼川,耳/,顯然,七。2,|仰n也是一組基,A在這組基下的矩陣就是Bo氣1九2i2*,14JZ1n例一:證明相似,其中i1,i2,HI,in1,2,|H,n的一個排列。n,%,1

7、g)=停1,&2,11位n)1)f'2,則X(,".,,.1九"因方兒2和KqA(;1,;2)1;nAi1氣2口,”,是線性變換A在不同基下的矩陣,故它們相似。I刀n/定理2.1:設(shè)A,B是數(shù)域P上的兩個n級矩陣,A與B相似的充要條件是它們的特征矩陣兀EA和AEB等價。bca七ab>例一:設(shè)a,b,c是實數(shù),A=cab,B=abc,證明A與B相似。<abc<bc"證明:久-b-c-a''-a-bX-c久-c_a-b'%EA=-c九a-bT-c九a-bT-b-c九a<a-b*cj&-b-caJ&

8、lt;a九一bcJ以_c-a-bt-a"b-c=|#E-B、-b-c兀-a,故ZEA和AEB等價,從而AsB3,矩陣相似的應(yīng)用3.1相似矩陣與特征矩陣定義3.1.1:把矩陣A(或線性變換A)的每個次數(shù)大丁零的不變因子分解成互相同的一次因式方籍的乘積,所有這些一次因式方籍(相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算)稱為矩陣A(或線性變換A)的初等因子。定理3.1.1:數(shù)域F上的方陣A與B相似的充要條件是舄E-A和AE-B有相同的列式因子。定理3.1.2:兩個同級復(fù)數(shù)矩陣相似充要條件是它們有相同的初等因子。例1:證明:任何方陣A與其轉(zhuǎn)置方陣A相似。證明:因為九E-A與7-E-A'互為轉(zhuǎn)置矩陣,

9、它們對應(yīng)k階子式互為轉(zhuǎn)置行列式,故相等。從而兩者有完全相同的各階行列式因子,丁是兩者有完全相同的不變因子。故九E-A與九E-A'等價,從而A與A相似。例2:證明:相似方陣有相同的最小的多項式。證法一:設(shè)A與B相似,即可存在可逆矩陣Q,使B=QAQ,乂設(shè)A與B的最小多項式分別為g(舄詞2(舄),丁是:g(B)=g2(Q-AQ)=Q-g(A)Q=0,但是,B的最小多項式整除任何以B為根的多項式,故g(舄)=g2(丸)證法二:設(shè)A與B相似,則赤EA和九EB等價,從而有完全相同的不變因子,但最后一個不變因子就是最小多項式,故A與B有相同的最小的多項式。4相似矩陣與矩陣的對角化矩陣的對角化問題的

10、解法及其應(yīng)用都有其明顯特色,因而線性代數(shù)中通常被單獨處理,盡管矩陣相似是完全獨立的另一概念,但是卻與對角化問題有重要的關(guān)聯(lián)。定義3.1.2:數(shù)域F上方陣A,如果與一個F上的對角方陣相似,則稱A在F上可對角化。定理3.2.3:復(fù)數(shù)矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是A的初等因子全是一次的。定理3.2.4:復(fù)數(shù)矩陣A與對角陣相似的充分必要條件是A的不變因子都沒有重根。定理3.2.5:復(fù)數(shù)域上方陣A與一個對角矩陣相似的充分必要條件是A的最小多項式?jīng)]有重根。定理3.2.6:設(shè)A是n階方陣,則以下條件是等價的:(1)A相似丁對角矩陣;(2)屆丁A的不同特征值的特征向量線性無關(guān);(3)A有n個線性無關(guān)的特

11、征向量;(4)A的每一特征值的代數(shù)重數(shù)都等丁它的幾何重數(shù)。例4:設(shè)復(fù)矩陣A的最小多項式fm)=/k-1,證明:A與對角陣相似。證明:(f(赤),f-1,202kJL)=1,即A的最小多項式無重根,所以A的初等因子都是一次的,所以A相似丁對角陣。例5:設(shè)A為n階方陣,f(丸)=|LE-A是A的特征多項式,并令:fG5)=W,證明:A與一個對角矩陣相似的充分必要條件是f',fg(A)=0。證明:設(shè)f(舄)=”EA|=("7“n1(九乳2片知)n,其中氣,&,.%互不相等,且n+山+|n=n,貝U:g(兀)=(人島X舄一舄2)|(兀舄r)。如果A與一個對角矩陣相似,則|九E

12、A的初等因子都是一次的,其中全部不同的初等因子是九妃人九2,川,-',它們的乘積就是冷E-A最后一個不變因子dn(兀),亦即dn(%)=(iX'”一“2yH(&Lr)=g(,。)。但dn(九)就是赤EA的最小多項式,所以g(A)=dn(A)=0。反之,若g(A)=0,則A的最小多項式dn(%)整除g(3,因而dn(%)沒有重根,故A與對角矩陣相似。,-3-1'例7:設(shè)A=210,試證明:E11>(1)A在復(fù)數(shù)域上可對角化;(2)A在有理數(shù)域上不可對角化。證明:f(舄)="EA=/3人2+12舄一8,f'(九)=3禹26赤+12,用輾轉(zhuǎn)相除法可證得(f(舄),f'(%)=1,故在復(fù)數(shù)域上A相似丁對角矩陣。(2)若A在有理數(shù)域上可對角化,那么A的特征值必須都是有理數(shù),從而fm)有有理根,而f(%)的首項系數(shù)為1,從而f(zj的有理根必為整數(shù)根。由丁f(舄

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