解析幾何多元方程組問題的計(jì)算策略

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 例談解析幾何多元方程組問題的計(jì)算策略解析幾何涉及到復(fù)雜的計(jì)算問題，這些計(jì)算問題主要是多元方程組的解法問題,下面我們以一道高考題為例探討解析幾何中方程組的解法.原題:雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線為的一條漸近線.(1)求雙曲線的方程.(2)過點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（點(diǎn)與的頂點(diǎn)不重合）.當(dāng),且時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).解:(1)設(shè)雙曲線方程為().由題意: ，,.雙曲線的方程為.(2)解法一：由題意知直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的方程為:,則可求.設(shè), ,， )在雙曲線上, ， .同理有: 若,則, 過頂點(diǎn),不合題意, ，,是一元二次方程的兩個(gè)根, ,，驗(yàn)知, ，

2、所求點(diǎn)的坐標(biāo)是.仔細(xì)分析上面的解法,我們發(fā)現(xiàn)本題中涉及7個(gè)未知數(shù),它們是: .上面的解法先把作為一組,構(gòu)建關(guān)于的一元二次方程,再把作為一組,構(gòu)建關(guān)于的一元二次方程,由于這兩個(gè)運(yùn)算過程完全相同, 兩個(gè)一元二次方程也完全相同,因此,是同一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根,然后就可以利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系了.本題第（2）問我們一般采用下面的解法,但是比上面的解法計(jì)算量還要大,具體過程如下:解法二：把代入雙曲線的方程為并整理得：，當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故,.由已知 ， (1) , (2)又，故由(1)得: ,由(2)得: ， ,解得：，驗(yàn)知, ，所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,0). 如果考

3、慮結(jié)論中涉及到的+怎樣用表示,剛才提供的解法二可以演變?yōu)橄旅娴慕夥ǎ航夥ㄈ?然后把,，代入上式化簡得: ，解得：，驗(yàn)知, ，所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,0)三種解法的內(nèi)在聯(lián)系:前面已經(jīng)談到本題共涉及到7個(gè)未知數(shù),事實(shí)上,由已知,我們有以下9個(gè)方程組成的方程組,它們是: (1) (5) (2) (6) (9) (3) (7) (4) (8)仔細(xì)分析題意,不難發(fā)現(xiàn)用(1)(2)可以導(dǎo) 出(3), 用(5)(6)可以導(dǎo) 出(7),因此上面的9個(gè)方程實(shí)際上等價(jià)于7個(gè)獨(dú)立的方程. 為了求出，需要通過合理的消元，解法一利用(1)、(2)、(4)、 (5)、(6) 、(8)、 (9) 這7個(gè)方程組成的方程組；解

4、法二、三利用(1)、(3)、(4)、 (5)、(7) 、(8)、 (9) 這7個(gè)方程組成的方程組.以上這些方程中,下標(biāo)為1的未知數(shù)為一類, 下標(biāo)為2的未知數(shù)為另一類,這兩類未知數(shù)涉及到的方程具有共同的形式,已知的第（9）個(gè)方程不但起著聯(lián)系這兩類未知數(shù)的作用,而且是兩個(gè)未知數(shù)的和的形式.解法一之所以比解法二、三簡單一些,就是因?yàn)槔昧诉@個(gè)特點(diǎn).當(dāng)涉及到的方程不具備這個(gè)特點(diǎn)時(shí),我們就很難使用解法一這種構(gòu)造一元二次方程的消元策略了,這時(shí)候我們一般利用解法二的消元策略.鞏固練習(xí)：已知橢圓的短軸長為，右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，為坐標(biāo)原點(diǎn)（）求橢圓的方程；（）設(shè)、是橢圓上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足，若，求直線的斜率的取值范圍參考答案：解法，、三點(diǎn)共線，而，且直線的斜率一定存在，所以設(shè)的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得，由，得設(shè),又由得， ，把代入得，消去得：，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)， ，解得，又，所以，的取值范圍是.解法設(shè),則又，則由得得 代入得， 由得，聯(lián)立消去得：，