多元函數(shù)積分

1、多元函數(shù)積分1. 利用積分區(qū)域的對稱性化簡多元函數(shù)的積分1.1 利用積分區(qū)域的對稱性化簡多元函數(shù)的重積分題型一 計算積分區(qū)域具有對稱性，被積函數(shù)具有奇偶性的重積分類型（一） 計算積分區(qū)域具有對稱性、被積函數(shù)具有奇偶性的二重積分常用下述命題簡化計算二重積分.命題1 若f(x,y)在積分區(qū)域D上連續(xù)，且D關于y軸（或x軸）對稱，則（1）f(x,y)是D上關于x（或y）的奇函數(shù)時，有；（2）f(x,y)是D上關于x（或y）的偶函數(shù)時，有；其中D1是D落在y軸（或x軸）一側的那一部分區(qū)域.命題2 若D關于x軸、y軸對稱，D1為D中對應于x0,y0（或x0,y0）的部分，則命題3 設積分區(qū)域D對稱于原點

2、，對稱于原點的兩部分記為D1和D2.（1）（2）命題4 積分區(qū)域D關于具有輪換對稱性，則記D位于直線y=x上半部分區(qū)域為D1,則類型（二） 計算積分區(qū)域具有對稱性，被積函數(shù)具有奇偶性的三重積分.常用下述命題簡化具有上述性質的三重積分的計算.命題1若關于xOy平面對稱，而1是對應于z0的部分，則若關于yOz平面（或zOx平面）對稱，f關于x（或y）為奇函數(shù)或偶函數(shù)有類似結論.命題2 若關于xOy平面和xOz平面均對稱（即關于x軸對稱），而1為對應于z0,y0的部分，則若關于xOz平面和yOz平面均對稱（即關于z軸對稱），或者關于xOy平面和yOz平面均對稱，那么也有類似結論.命題3 如果積分區(qū)域

3、關于三個坐標平面對稱，而1是位于第一象限的部分，則命題4 若積分區(qū)域關于原點對稱，且被積函數(shù)關于x,y,z為奇函數(shù)，即題型三 計算積分區(qū)域具有輪換對稱性的三重積分命題5 如果積分區(qū)域關于變量x,y,z具有輪換對稱性（即x換成y,y換成z,z換成x，其表達式不變），則.1.2 利用積分區(qū)域的對稱性化簡第一類曲線積分、曲面積分題型一 計算積分曲線（面）具有對稱性的第一類曲線（面）積分類型（一） 計算積分曲線具有對稱性的第一類曲線積分命題1.2.1 設曲線L關于y軸對稱，則 其中L1是L在x0的那段曲線，即L1是L在y軸右側的部分；若曲線L關于x軸對稱，則有上述類似結論.命題1.2.2 設f(x,y

4、)在分段光滑曲線L上連續(xù)，若L關于原點對稱，則 其中L1為L的右半平面或上半平面部分.類型（二） 計算積分曲面具有對稱性的第一類曲面積分第一類曲面積分的奇偶對稱性與三重積分類似，可利用下述命題簡化計算.命題1.2.3 設積分曲面關于yOz對稱，則 其中1是在yOz面的前側部分.若關于另外兩坐標面有對稱性，則有類似結論.注意 不能把向xOy面上投影，因第一類曲面積分的投影域面積不能為0.題型二 計算平面積分曲線關于y=x對稱的第一類曲線積分命題1.2.4 若L關于直線y=x對稱，則.題型三 計算空間積分曲線具有輪換對稱性的第一類曲線積分命題1.2.5 若曲線方程中的三變量x,y,z具有輪換對稱性

5、，則.1.3 利用積分區(qū)域的對稱性化簡第二類曲線積分、曲面積分題型一 計算積分曲線具有對稱性的第二類曲線積分第二類曲線積分的奇偶對稱性與第一類曲線積分相反，有下述結論.命題1.3.1 設L為平面上分段光滑的定向曲線，P(x,y),Q(x,y)連續(xù)，（1）L關于y軸對稱，L1是L在y軸右側部分，則（2）L關于x軸對稱，L1為L在x軸上側部分，則（3）L關于原點對稱，L1是L在y軸右側或x軸上側部分，則（4）L關于y=x對稱，則即若L關于y=x對稱，將x與y對調，則L關于直線y=x翻轉，即L化為L.因而第二類曲線積分沒有輪換對稱性.題型二 計算積分曲面具有對稱性的第二類曲面積分命題1.3.2 設關

6、于yOz面對稱，則其中1是在yOz面的前側部分.這里對坐標y和z的第二類曲面積分只能考慮關于yOz面的對稱性，而不能考慮其他面，這一點也與第一類曲面積分不同.2. 交換積分次序及轉換二次積分題型一 交換二次積分的積分次序直接例題，無講解.題型二 轉換二次積分轉換二次積分是指將極坐標系（或直角坐標系）下的二次積分轉換成直角坐標系（或極坐標系）下的二次積分.由極坐標系（或直角坐標系）下的二次積分的內外層積分限寫出相應的二重積分區(qū)域D的極坐標（或直角坐標）表示，再確定該區(qū)域D在直角坐標系（或極坐標系）中的圖形，然后配置積分限.3. 計算二重積分題型一 計算被積函數(shù)分區(qū)域給出的二重積分含絕對值符號、最

7、值符號max或min及含符號函數(shù)、取整函數(shù)的被積函數(shù)，實際上都是分區(qū)域給出的函數(shù)，計算其二重積分都需分塊計算.題型二 計算圓域或部分圓域上的二重積分當積分區(qū)域的邊界由圓弧、過原點的射線（段）組成，而且被積函數(shù)為或的形狀時，常作坐標變換，利用極坐標系計算比較簡單.為此，引進新變量r,得到用極坐標（r，）計算二重積分的公式： （其中rddr是極坐標系下的面積元素）.用極坐標系計算的二重積分，就積分區(qū)域來說，常是圓域（或其一部分）、圓環(huán)域、扇形域等，可按其圓心所在位置分為下述六個類型（其中a,b,c均為常數(shù)）.類型（一） 計算圓域x2+y2a上的二重積分.類型（二） 計算圓域x2+y22ax上的二重

8、積分.類型（三） 計算圓域x2+y2-2ax上的二重積分.類型（四） 計算圓域x2+y22ay上的二重積分.類型（五） 計算圓域x2+y2-2ay上的二重積分.類型（六） 計算圓域x2+y22ax+2by+c上的二重積分.4. 計算三重積分題型一 計算積分區(qū)域的邊界方程均為一次的三重積分當積分區(qū)域主要由平面圍成時，宜用直角坐標系計算，如果積分區(qū)域的邊界方程中含某個坐標變量的方程只有兩個，則可先對該坐標變量積分。題型二 計算積分區(qū)域為旋轉體的三重積分可選用柱面坐標計算。特別當被積函數(shù)是兩個變量的二次齊式時，常用柱面坐標計算。題型三 計算積分區(qū)域由球面或球面與錐面所圍成的三重積分積分區(qū)域為球面或球

9、面與錐面所圍成的三重積分，采用球面坐標系計算可以減少計算工作量，特別當被積函數(shù)為形如的形式時，常用球面坐標系計算三重積分。用球面坐標計算三重積分時，首先，應明確球面坐標變換，及其參數(shù)，幾何意義；其次，要記住球面坐標變換后的體積元素為；最后，根據(jù)積分區(qū)域的幾何形狀及，的幾何意義正確定出三重積分的積分限。本題型還可以選用柱面坐標及先二后一的方法進行計算。題型四 計算被積函數(shù)至少缺兩個變量的三重積分法一 用先二后一法（截面法）計算當被積函數(shù)至少缺兩個變量且平行于所缺兩變量的坐標面的截面面積又易求時，可用下述公式將三重積分化為定積分求之。為方便計，設被積函數(shù)為f(x)，則，其中z1，z2是向z軸投影而

10、得到的投影區(qū)間z1，z2的端點，而D(z)是用垂直于z軸（平行于xOy平面）的平面截所得的截面，如D(z)的面積易求出，則上述積分即可求出。易知當積分區(qū)域由橢球面、球面、柱面、圓錐面或旋轉面等曲面或其一部分所圍成時，相應截面D(x)或D(y)或D(z)為圓域，其面積S(x)或S(y)或S(z)易求出。如果被積函數(shù)又至少缺兩個變量，可先對所缺的兩個變量積分，用先二后一法計算其三重積分。法二 用重心計算公式求之當被積函數(shù)只有一個變量，而的體積又易求出，則可利用重心計算公式求其三重積分。題型五 計算易求出其截面區(qū)域上的二重積分的三重積分可用先二后一法計算。雖然這時界面區(qū)域上的二重積分不等于其面積，但

11、由于易求出其值，再計算一個單積分，該三重積分也就求出。這時對被積函數(shù)不可作要求。當截面為圓域或其一部分，被積函數(shù)又為型，常選用上法計算其三重積分，且常用極坐標計算其截面區(qū)域上的二重積分。因而當為旋轉體時，其上的三重積分也可用上法求之。5. 計算曲線積分題型一 計算第一類平面曲線積分計算這類曲線積分的主要方法是根據(jù)積分曲線方程的類型（直角坐標、極坐標、參數(shù)方程），正確寫出弧長元素ds的表達式，將第一類曲線積分轉化為定積分（其下限必不超過上限）的計算。計算中要始終注意利用曲線方程化簡被積函數(shù)（因為在積分過程中動點始終沿著曲線移動，從而其坐標滿足曲線方程），這是計算曲線（面）積分特有的方法，因而可用

12、曲線方程化簡被積函數(shù)。代換后歸結為計算，而L的弧長是已知的或易求的。此外，還應注意曲線的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性和周期性和物質曲線的重心簡化計算。注意 若曲線有對稱性，雖然整個被積函數(shù)不一定關于x（或y）為奇、偶函數(shù)，但可進一步考察其某一部分是否具有奇偶性，盡量利用對稱性簡化計算。題型二 求解平面上與路徑無關的第二類曲線積分有關問題類型（一） 判斷（證明）平面曲線積分與路徑無關，并求該積分定理5.1 滿足下列四條件之一，則積分在L所圍的區(qū)域D內與路徑無關： （1）存在u(x,y)使得； （2）若D為單連通區(qū)域，且；（但若D不是單連通區(qū)域，在D內成立，不能證明在D內與路徑無關） （3），l為D內

13、任一分段光滑閉曲線； （4）若D為有唯一奇點M0的復連通域，存在一條環(huán)繞M0的路徑C，使。對于單連通區(qū)域D，為證Pdx+Qdy存在原函數(shù)u(x,y)，使du=Pdx+Qdy常驗證成立。若在單連通區(qū)域D內積分與路徑無關，則可在D中選取特殊的路徑計算，其中右端積分為終點變動的積分，通常取D中平行于坐標軸的折線路徑計算，設(x0,y0)為D內任一點有，或.若找到了原函數(shù)u(x,y),則.類型（二） 求平面上與路徑無關的第二類平面曲線積分被積式中的待定函數(shù)或常數(shù)在單連通區(qū)域內由或其他與積分路徑無關的等價條件建立待定函數(shù)(或常數(shù))所滿足的微分方程,求解次微分方程即可確定所求函數(shù)(或常數(shù)).類型（三） 證

14、明Pdx+Qdy存在原函數(shù)u(x,y)并求出u(x,y).定理5.2 設P(x,y),Q(x,y)在區(qū)域D上連續(xù),則在D內與路徑無關的充要條件是在D內存在函數(shù)u(x,y)使.值得注意的是,定理5.2只要P,Q在區(qū)域D上連續(xù),對區(qū)域D是單連通或復連通都成立.由該定理可知,討論是否與路徑無關與討論Pdx+Qdy是否存在原函數(shù)是一回事.題型三 計算平面上與路徑有關的第二類曲線積分雖然題型不同,計算第二類曲線積分方法有別,但將曲線L的方程代入被積式,化簡被積函數(shù),及利用各種對稱性簡化計算是計算第二類曲線積分的各種題型都采用的方法和技巧.類型（一） 計算平面上與路徑有關的平面曲線積分求法一 用格林公式求

15、之由知,曲線積分與路徑有關,因而不能改變其積分路徑求積分,其值可用格林公式求之.該法是計算平面上第二類曲線積分的重要方法.常有以下三種情況:(1)曲線積分滿足格林公式的各個條件,可使用該公式將曲線積分轉化為二重積分求之.(2)曲線不封閉,添加輔助線(例如添加平行于坐標軸的直線段使之構成封閉曲線),然后用格林公式把求曲線積分轉化為易求的二重積分及輔助線上的曲線積分.(3)L所圍區(qū)域含P,Q不連續(xù)點時,設法使用格林公式.這時L所圍區(qū)域為復連通區(qū)域,設法去掉P,Q不連續(xù)的點,常用下述各法求出其積分.方法一 將L的方程代入被積函數(shù),有時可去掉其不連續(xù)的點.方法二 構造單連通區(qū)域D.常用摳除P,Q不連續(xù)

16、點的小(橢)圓與曲線L和其他曲線圍成單連通區(qū)域D,再在D上使用格林公式.方法三 使用下述復連通域上的格林公式求之.命題5.1(復連通域上的格林公式) 設P(x,y),Q(x,y)在D內有一階連續(xù)偏導數(shù),且在D內處處成立.L1,L2是任意兩條通向閉路徑,且在各自所圍的區(qū)域內有相同的不屬于D的點(稱為奇點或洞點),則.求法二 寫出積分曲線的參數(shù)方程化為定積分計算計算與路徑有關又不便使用格林公式的第二類曲線積分時,常寫出其參數(shù)方程,化為定積分計算.題型四 計算空間第二類曲線積分計算沿空間閉合曲線的第二類曲線積分常用下述各法.法一 借助曲線的參數(shù)方程,化為定積分計算.法二 投影到坐標面上,化為平面上第

17、二類曲線積分計算.因第二類曲線積分是對坐標的曲線積分,dx,dy,dz是有向弧長元素在各坐標軸上的投影,可將空間曲線上的第二類曲線積分投影到坐標面上去計算.當曲線方程含一次方程時,常將一個變量用另外兩個變量表示的式子代入被積式,被積函數(shù)就化成二元函數(shù),積分曲線就向相應坐標面上投影,空間曲線積分就化為平面曲線積分.再用格林公式可化為二重積分計算.法三 用斯托克斯公式轉化為曲面積分計算.特別當曲線封閉,且被積函數(shù)為x,y,z的一次或二次多項式,空間曲線所張成的曲面為平面片或為部分球面比較簡單時常用此法求之.求時要注意由的定向按右手法則確定曲面的定向.特別當時,可選擇特殊的積分路徑求.使用上述三法計

18、算時,還應注意將曲線方程代入被積函數(shù)以化簡被積式,空間第二類曲線積分對稱性的情況同平面曲線第二類曲線積分類似,且同樣要加以充分利用以化簡計算.法四 當Pdx+Qdy+Rdz的原函數(shù)存在并易求時,通過求原函數(shù)求得曲線積分.6. 計算曲面積分題型一 計算第一類曲面積分類型（一） 計算與曲面外法線向量無關的第一類曲面積分這類曲面積分算法是將曲面積分化為投影區(qū)域上的二重積分,為此,需按下列步驟進行(1)確定曲面的方程,積分曲面的顯式表示應當是單值函數(shù),否則需將曲面分片,使分片后的各片曲面為單值函數(shù);(2)由曲面的方程(例如z=z(x,y)算出曲面微元dS(例如);(3)由曲面方程及題中所指出的范圍確定

19、曲面在相應的坐標面 (例如xOy平面)上的投影區(qū)域(例如Dxy),然后將的方程及dS的表達式代入被積式,且將積分區(qū)域變?yōu)橥队皡^(qū)域,余下的就是計算二重積分.上述求解過程可歸納為一定(曲面的方程)、二求（曲面微元dS）、三代（將的方程及dS的表示式代入被積式）、四替換（將積分區(qū)域用投影區(qū)域替換）、五計算（二重積分）.由于第一類曲面積分不考慮曲面的側,利用對稱性的情況與重積分類似,且解題中同樣要充分利用,此外還可以利用物質曲面的重心簡化計算.類型（二） 計算與曲面外法線向量有關的第一類曲面積分利用第一類與第二類曲面積分之間的關系,有時將第一類曲面積分轉化為第二類曲面積分,再用高斯公式:,.或利用斯托

20、克斯公式化為第二類曲線積分計算.題型二 計算第二類曲面積分法一 化為投影區(qū)域上的二重積分計算以計算為例的計算步驟為(1)確定積分曲面的方程z=z(x,y)及其在xOy面上的投影區(qū)域Dxy,并確定曲面的側是上側還是下側;(2)把曲面方程z=z(x,y)代入被積函數(shù)中,得到,若曲面是由方程z=z(x,y)所給出的曲面上側,取正號,否則取負號.另外,兩個積分及可類似計算.這樣需將一個完整的積分向三個坐標面投影.如果曲面方程由z=z(x,y)給出,也可由下述命題,將三個坐標面上的積分轉化為一個坐標面上的積分.此法常成為合一投影法.利用上述方法計算曲面積分時,仍需注意利用奇偶性、對稱性簡化計算.命題6.

21、1 若定曲面由方程z=z(x,y)給出,在xOy平面上的投影區(qū)域為Dxy,z(x,y)在Dxy上有連續(xù)的偏導數(shù),P,Q,R在上連續(xù),則其中正負號由的定向確定:法向量指向上側取正號,否則取負號.若將投影到y(tǒng)Oz或zOx平面可得類似計算公式.設曲面由方程z=z(x,y)給出,當取上側時,有,而,故,即.于是,這樣三個坐標面上的積分就轉化為一個坐標面上的積分.同樣,若曲面由方程x=x(y,z)或y=y(x,z)表示且將投影到y(tǒng)Oz或zOx平面也可得到類似公式.一般地,如果曲面方程由z=z(x,y)給出較簡單.例如,曲面為平面或為旋轉拋物面等可用上述合一投影法求其上的第二類曲面積分.法二 使用高斯公式

22、求之高斯公式 設空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在區(qū)域上具有一階連續(xù)偏導數(shù),則有,或.這里是的外側,cos,cos,cos是的外法向量的方向余弦.以上兩式均為高斯公式.在以上兩式中令P=x,Q=y,R=z即得,或.使用高斯公式計算第二類曲面積分有下述幾種情況:(1)曲面積分滿足高斯公式的多個條件(為封閉曲面,取外側,P,Q,R在上有連續(xù)的一階偏導數(shù)),利用該公式可把對坐標的曲面積分轉化為三重積分計算.一般計算三重積分比計算對坐標的曲面積分容易.計算過程要注意使用曲面方程化簡被積函數(shù),使用奇偶對稱性及曲面與坐標面的垂直性、物質立體（物質曲面）的重心等簡化計算。（2）