專題七 探索問題

1、1Best Wish For You 信心源自于努力信心源自于努力2345 探索問題主要考查學生探究、發(fā)現(xiàn)、總結問題的能力探索問題主要考查學生探究、發(fā)現(xiàn)、總結問題的能力, ,主要包括規(guī)律探索問題、動態(tài)探索問題、結論探索問題和主要包括規(guī)律探索問題、動態(tài)探索問題、結論探索問題和存在性探索問題存在性探索問題. . (1) (1)規(guī)律探索問題通?？疾閿?shù)的變化規(guī)律，然后用代數(shù)規(guī)律探索問題通?？疾閿?shù)的變化規(guī)律，然后用代數(shù)式表示這一規(guī)律，或者根據(jù)規(guī)律求出相應的數(shù)值式表示這一規(guī)律，或者根據(jù)規(guī)律求出相應的數(shù)值. .解題時，解題時，要通過觀察、猜想、驗證等步驟，應使所得到的規(guī)律具有要通過觀察、猜想、驗證等步驟，應

2、使所得到的規(guī)律具有普遍性，只有這樣才能應用與解題普遍性，只有這樣才能應用與解題. .6 (2) (2)動態(tài)探索問題通常與幾何圖形有關，給出相應的背動態(tài)探索問題通常與幾何圖形有關，給出相應的背景，設置一個動態(tài)的元素，在此基礎上，探索其中的位置景，設置一個動態(tài)的元素，在此基礎上，探索其中的位置關系或數(shù)量關系，解題時應化動為靜關系或數(shù)量關系，解題時應化動為靜. . (3) (3)結論探索問題，通常給出相應的條件，然后探索未結論探索問題，通常給出相應的條件，然后探索未知的結論知的結論. .解題時，首先結合已知條件，大膽猜想，然后經(jīng)解題時，首先結合已知條件，大膽猜想，然后經(jīng)過推理論證，最后作出正確的判斷

3、，切忌想當然的確定結過推理論證，最后作出正確的判斷，切忌想當然的確定結論論. . (4) (4)存在性探索問題是運用幾何計算進行探索的綜合型存在性探索問題是運用幾何計算進行探索的綜合型問題，要注意相關的條件問題，要注意相關的條件, ,可以先假設結論成立，然后通過可以先假設結論成立，然后通過計算求相應的值，再作存在性的判斷計算求相應的值，再作存在性的判斷. . 78規(guī)律探索問題規(guī)律探索問題規(guī)律探索問題是指由幾個具體結論通過類比、猜想、推理規(guī)律探索問題是指由幾個具體結論通過類比、猜想、推理等一系列的數(shù)學思維過程，來探求一般性結論的問題，解等一系列的數(shù)學思維過程，來探求一般性結論的問題，解決這類問題

4、的一般思路是通過對所給的具體的結論進行全決這類問題的一般思路是通過對所給的具體的結論進行全面、細致的觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律，面、細致的觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律，并猜想出一般性的結論，然后再給出合理的證明或加以運并猜想出一般性的結論，然后再給出合理的證明或加以運用用. .9【例例1 1】(2010(2010鐵嶺中考鐵嶺中考) )有一組數(shù)：有一組數(shù)： ,請請觀觀察它們的構成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第察它們的構成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第n(nn(n為正整數(shù)為正整數(shù)) )個數(shù)為個數(shù)為_._.1 3 579, ,2 5 10 17 2610【思路點撥思路點撥】【自主解答自

5、主解答】經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，分子是連續(xù)的奇數(shù)，即經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，分子是連續(xù)的奇數(shù)，即2n-1,2n-1,分分母是序數(shù)的平方加母是序數(shù)的平方加1 1，即，即n n2 2+1+1，因此第，因此第n n個數(shù)為個數(shù)為答案：答案：22n 1.n122n 1n1111.(20101.(2010湛江中考湛江中考) )觀察算式：觀察算式：3 31 13 3，3 32 29 9，3 33 32727，3 34 48181，3 35 5243243，3 36 6729729，3 37 72 1872 187，3 38 86 5616 561， . .通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定3 32 002

6、2 002的個位數(shù)字是的個位數(shù)字是( )( )(A)3 (B)9 (C)7 (D)1(A)3 (B)9 (C)7 (D)1【解析解析】選選B.B.經(jīng)觀察可知，經(jīng)觀察可知，3 3n n的個位數(shù)字按照的個位數(shù)字按照3 3、9 9、7 7、1 1；3 3、9 9、7 7、1 1；3 3、9 9、7 7、1 1的規(guī)律循環(huán)，而的規(guī)律循環(huán)，而2 0022 0024=4=5005002 2，因此，因此3 32 0022 002的個位數(shù)字是的個位數(shù)字是9.9.122.(20112.(2011山西中考山西中考) )如圖是用相同長度的小棒擺成的一組如圖是用相同長度的小棒擺成的一組有規(guī)律的圖案，圖案有規(guī)律的圖案，圖

7、案(1)(1)需要需要4 4根棒，圖案根棒，圖案(2)(2)需要需要1010根小根小棒棒，按此規(guī)律擺下去，第，按此規(guī)律擺下去，第n n個圖案需要小棒個圖案需要小棒_根根( (用用含有含有n n的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示).).13【解析解析】本題考查的是規(guī)律探索題目，可以結合圖形從不本題考查的是規(guī)律探索題目，可以結合圖形從不同方向研究其變化規(guī)律同方向研究其變化規(guī)律. .如從第二個圖形開始，圖案都是由如從第二個圖形開始，圖案都是由兩層構成，上面的層數(shù)共有兩層構成，上面的層數(shù)共有4n4n個小棒，下面小菱形個數(shù)比個小棒，下面小菱形個數(shù)比上面少一個，每個小菱形只需再加上面少一個，每個小菱形只需再加2 2

8、根小棒，即下層共需根小棒，即下層共需2(n-1)2(n-1)根，所以第根，所以第n n個圖案需要個圖案需要4n+2(n-1),4n+2(n-1),即即(6n-2)(6n-2)根小棒根小棒. .答案：答案：(6n-2)(6n-2)143.(20113.(2011成都中考成都中考) )設設 則則S=_(S=_(用含用含n n的代數(shù)式表示，其中的代數(shù)式表示，其中n n為正整數(shù)為正整數(shù)).).1222223n122222n1111 S1,S1,12231111S1,S1SSS34nn 1S , ，設15【解析解析】通過探索規(guī)律可得通過探索規(guī)律可得答案：答案：22nn22nn 1 S,Sn n 1nn

9、13713nn 1Sn n 12612n n 1111111112612n n 111111 n2612n n 111111111n 1n 1.22334nn 1n 1 所以，所以1n 1(n 1) 16動態(tài)探索問題動態(tài)探索問題動態(tài)探索問題的特點是：以幾何圖形為背景，討論某個元動態(tài)探索問題的特點是：以幾何圖形為背景，討論某個元素的運動變化，探索其中隱含的規(guī)律，如線段關系、角度素的運動變化，探索其中隱含的規(guī)律，如線段關系、角度大小、面積關系、函數(shù)關系等大小、面積關系、函數(shù)關系等. .在解決動態(tài)問題時，要抓住在解決動態(tài)問題時，要抓住不變的量，找出其中的規(guī)律不變的量，找出其中的規(guī)律, ,同時還應該考

10、慮到，當動態(tài)元同時還應該考慮到，當動態(tài)元素去某一位置時，素去某一位置時，“動動”則變?yōu)閯t變?yōu)椤办o靜”，從而化動為靜，從而化動為靜. .17【例例2 2】(2010(2010泰安中考泰安中考) )如圖，如圖，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，A=90A=90，點，點P P、Q Q分別是分別是ABAB、ACAC上的一動點，且滿足上的一動點，且滿足BP=AQBP=AQ，D D是是BCBC的中點的中點. .18(1)(1)求證：求證：PDQPDQ是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(2)(2)當點當點P P運動到什么位置時，四邊形運動到什么位置時，四邊形APDQAPDQ是正方形，并說是正

11、方形，并說明理由明理由. .【思路點撥思路點撥】(1)(1)利用三角形全等證明利用三角形全等證明PD=QDPD=QD和和PDQ=90PDQ=90. .(2)(2)結合正方形的判定方法以及題目的已知條件，探索當點結合正方形的判定方法以及題目的已知條件，探索當點P P運動到何處時，滿足正方形的條件運動到何處時，滿足正方形的條件. .19【自主解答自主解答】(1)(1)連接連接AD.AD.ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，D D是是BCBC的中點的中點, ,ADBCADBC，AD=BD=DCAD=BD=DC，DAQ=B.DAQ=B.又又BP=AQ,BP=AQ,BPDBPDAQD.AQD

12、.PD=QDPD=QD，BDP=ADQ.BDP=ADQ.BDP+ADP=90BDP+ADP=90, ,ADQ+ADP=PDQ=90ADQ+ADP=PDQ=90. .PDQPDQ為等腰直角三角形為等腰直角三角形. .20(2)(2)當當P P點運動到點運動到ABAB的中點時，四邊形的中點時，四邊形APDQAPDQ是正方形是正方形, ,由由(1)(1)知知ABDABD為等腰直角三角形為等腰直角三角形, ,當當P P為為ABAB的中點時，的中點時，DPABDPAB，即，即APD=90APD=90. .又又BAC=90BAC=90，PDQ=90PDQ=90, ,四邊形四邊形APDQAPDQ為矩形為矩形

13、. .又又DP=AP= AB,DP=AP= AB,四邊形四邊形APDQAPDQ為正方形為正方形. .12214.(20114.(2011益陽中考益陽中考) )如圖，小紅居住的小區(qū)內(nèi)有一條筆直如圖，小紅居住的小區(qū)內(nèi)有一條筆直的小路，小路的正中間有一路燈，晚上小紅由的小路，小路的正中間有一路燈，晚上小紅由A A處徑直走到處徑直走到B B處，她在燈光照射下的影長處，她在燈光照射下的影長l與行走的路程與行走的路程s s之間的變化關之間的變化關系用圖象刻畫出來，大致圖象是系用圖象刻畫出來，大致圖象是( )( )2223【解析解析】選選C.C.小紅由小紅由A A處徑直走到處徑直走到B B處，她在燈光照射下

14、的處，她在燈光照射下的影長影長l先變短再變長，只有選項先變短再變長，只有選項C C符合這一變化過程符合這一變化過程. .245.(20105.(2010河南中考河南中考) )如圖，在梯形如圖，在梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E E是是BCBC的的中點，中點，AD=5AD=5，BC=12BC=12，CD= CD= ，C=45C=45，點，點P P是是BCBC邊上一邊上一動動點，設點，設PBPB的長為的長為x.x.(1)(1)當當x x的值為的值為_時，以點時，以點P P、A A、D D、E E為頂點的四邊形為頂點的四邊形為直角梯形；為直角梯形；(2)(2)當當x x的值為的值為_

15、時，以點時，以點P P、A A、D D、E E為頂點的四邊形為頂點的四邊形為平行四邊形；為平行四邊形；4 225(3)(3)點點P P在在BCBC邊上運動的過程中，以邊上運動的過程中，以P P、A A、D D、E E為頂點的四為頂點的四邊形能否構成菱形？試說明理由邊形能否構成菱形？試說明理由. .26【解析解析】(1)3(1)3或或8 (2)18 (2)1或或1111(3)(3)能能, ,理由如下理由如下: :由由(2)(2)知，當知，當BP=11BP=11時，以點時，以點P P、A A、D D、E E為為頂點的四邊形是平行四邊形頂點的四邊形是平行四邊形, ,EP=AD=5.EP=AD=5.過

16、過D D作作DFBCDFBC于于F F，C=45C=45,CD= ,CD= ,DF=FC=4DF=FC=4，EF=EC-FC=6-4=2,EF=EC-FC=6-4=2,FP=EP-EF=5-2=3FP=EP-EF=5-2=3，DP=DP=4 22222FPDF345.27EP=DP,EP=DP,故此時平行四邊形故此時平行四邊形PDAEPDAE是菱形是菱形. .即以點即以點P P、A A、D D、E E為頂點的四邊形是菱形為頂點的四邊形是菱形. .28結論探索問題結論探索問題結論探索問題主要是指根據(jù)條件，結合已學的相關知識、結論探索問題主要是指根據(jù)條件，結合已學的相關知識、數(shù)學思想方法，通過歸納

17、分析逐步得出結論，或通過觀察、數(shù)學思想方法，通過歸納分析逐步得出結論，或通過觀察、試驗、猜想、論證等方法求解試驗、猜想、論證等方法求解. .這類問題的解決特別強調(diào)數(shù)這類問題的解決特別強調(diào)數(shù)形結合思想的運用形結合思想的運用. .29【例例3 3】(2010(2010蚌埠中考蚌埠中考) )已知如圖已知如圖1,O1,O過點過點D(3D(3，4),4),點點H H與點與點D D關于關于x x軸對稱，過軸對稱，過H H作作O O的切線交的切線交x x軸于點軸于點A.A.(1)(1)求求sinHAOsinHAO的值；的值；30(2)(2)如圖如圖2 2，設，設O O與與x x軸正半軸交點為軸正半軸交點為P

18、 P，點，點E E、F F是線段是線段OPOP上上的動點的動點( (與點與點P P不重合不重合) )，連接并延長，連接并延長DEDE、DFDF交交O O于點于點B B、C C，直線直線BCBC交交x x軸于點軸于點G G，若，若DEFDEF是以是以EFEF為底的等腰三角形，試為底的等腰三角形，試探索探索sinCGOsinCGO的大小怎樣變化，請說明理由的大小怎樣變化，請說明理由. .31【思路點撥思路點撥】(1)(1)連接連接OH, OH, 過點過點H H作作HPyHPy軸于點軸于點P P，構造直，構造直角三角形，利用勾股定理求出線段的長，然后利用等角，角三角形，利用勾股定理求出線段的長，然后

19、利用等角，求出求出sinHAOsinHAO的值的值. .(2)(2)過點過點D D作作DMEFDMEF于于M M，并延長，并延長DMDM交交O O于于N N，連接，連接ONON，交，交BCBC于于T T，利用等腰三角形的性質以及圓的軸對稱性，證明，利用等腰三角形的性質以及圓的軸對稱性，證明CGO =MNOCGO =MNO，而，而sinMNOsinMNO的值不變的值不變. .32【自主解答自主解答】(1)(1)如圖所示：連接如圖所示：連接OH,OH,過點過點H H作作HPyHPy軸于點軸于點P P，則根據(jù)題意可知則根據(jù)題意可知OP=4,PH=3,OP=4,PH=3,則則OH=5.OH=5.AHA

20、H為為O O的切線的切線,OHAH.,OHAH.又又AOP=90AOP=90,HAO=HOP.,HAO=HOP.因此因此sinHAO=sinHOP=sinHAO=sinHOP=3.533(2)(2)當當E E、F F兩點在兩點在OPOP上運動時上運動時( (與點與點P P不重合不重合) )，sinCGOsinCGO的的值不變值不變. .過點過點D D作作DMEFDMEF于于M M，并延長，并延長DMDM交交O O于于N N， 連接連接ONON，交，交BCBC于點于點T.T.因為因為DEFDEF為等腰三角形，為等腰三角形，DMEFDMEF，所以所以DNDN平分平分BDC,BDC,所以所以 所以所

21、以OTBCOTBC，所以所以CGO+GOT=GOT+MNO=90CGO+GOT=GOT+MNO=90, ,BNCN，34所以所以CGO =MNO,CGO =MNO,所以所以sinCGO =sinMNO=sinCGO =sinMNO=即當即當E E、F F兩點在兩點在OPOP上運動時上運動時( (與點與點P P不重合不重合) )，sinCGOsinCGO的值的值不變不變. .OM3.ON5356.(20106.(2010青海中考青海中考) ) 觀察探究，完成證明和填空觀察探究，完成證明和填空. .如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD中，點中，點E E、F F、G G、H H分別是邊分別是邊A

22、BAB、BCBC、CDCD、DADA的中點，順次連接的中點，順次連接E E、F F、G G、H H，得到的四邊形，得到的四邊形EFGHEFGH叫中叫中點四邊形點四邊形. .36(1)(1)求證：四邊形求證：四邊形EFGHEFGH是平行四邊形；是平行四邊形； (2)(2)如圖，當四邊形如圖，當四邊形ABCDABCD變成等腰梯形時，它的中點四邊形變成等腰梯形時，它的中點四邊形是菱形，請你探究并填空：是菱形，請你探究并填空：37當四邊形當四邊形ABCDABCD變成平行四邊形時，它的中點四邊形是變成平行四邊形時，它的中點四邊形是_；當四邊形當四邊形ABCDABCD變成矩形時，它的中點四邊形是變成矩形時

23、，它的中點四邊形是_；當四邊形當四邊形ABCDABCD變成菱形時，它的中點四邊形是變成菱形時，它的中點四邊形是_；當四邊形當四邊形ABCDABCD變成正方形時，它的中點四邊形是變成正方形時，它的中點四邊形是_；(3)(3)根據(jù)以上觀察探究，請你總結中點四邊形的形狀是由原根據(jù)以上觀察探究，請你總結中點四邊形的形狀是由原四邊形的什么決定的？四邊形的什么決定的？38【解析解析】(1)(1)連接連接BD.BD.EE、H H分別是分別是ABAB、ADAD的中點，的中點，EHEH是是ABDABD的中位線的中位線, ,EHEH BDBD，且，且EHBD.EHBD.同理得同理得FGFG BDBD，且，且FGB

24、D.FGBD.EHEHFGFG，且，且EHFG.EHFG.四邊形四邊形EFGHEFGH是平行四邊形是平行四邊形. .(2)(2)填空依次為平行四邊形，菱形，矩形，正方形填空依次為平行四邊形，菱形，矩形，正方形. .(3)(3)中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的關系來決定中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的關系來決定的的. .1212397.(20117.(2011菏澤中考菏澤中考) )我市一家電子計算器專賣店每只進價我市一家電子計算器專賣店每只進價1313元，售價元，售價2020元，多買優(yōu)惠；凡是一次買元，多買優(yōu)惠；凡是一次買1010只以上的，每只以上的，每多買多買1 1只，所買的全部計

25、算器每只就降低只，所買的全部計算器每只就降低0.100.10元，例如，某元，例如，某人買人買2020只計算器，于是每只降價只計算器，于是每只降價0.100.10(20-10)=1(20-10)=1(元元) )，因，因此，所買的全部此，所買的全部2020只計算器都按照每只只計算器都按照每只1919元計算，但是最元計算，但是最低價為每只低價為每只1616元元. .40(1)(1)求一次至少買多少只，才能以最低價購買求一次至少買多少只，才能以最低價購買? ?(2)(2)寫出該專賣店當一次銷售寫出該專賣店當一次銷售x(x(只只) )，所獲利潤，所獲利潤y(y(元元) )與與x(x(只只) )之間的函數(shù)

26、關系式，并寫出自變量之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x x的取值范圍的取值范圍; ;(3)(3)若店主一次賣的只數(shù)在若店主一次賣的只數(shù)在1010至至5050只之間，問一次賣多少只只之間，問一次賣多少只獲得的利潤最大？其最大利潤為多少？獲得的利潤最大？其最大利潤為多少？41【解析解析】(1)(1)設一次購買設一次購買x x只，才能以最低價購買，則有：只，才能以最低價購買，則有：0.1(x-10)=20-160.1(x-10)=20-16，解這個方程得，解這個方程得x=50;x=50;答：一次至少買答：一次至少買5050只，才能以最低價購買只，才能以最低價購買. .(2)y=(2)y=220 x 1

27、3x7x(0 x10)120 130.1 x 10 xx8x(10 x 50)1016x 13x3x(x50) 42(3)(3)將將y= +8xy= +8x配方得配方得y= (x-40)y= (x-40)2 2+160+160，所以店主一次賣所以店主一次賣4040只時可獲得最高利潤，最高利潤為只時可獲得最高利潤，最高利潤為160160元元.(.(也可用公式法求得也可用公式法求得) )21x1011043存在性探索問題存在性探索問題存在性探索問題是指滿足某種條件的事物是否存在的問題，存在性探索問題是指滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類題目的一般解題規(guī)律是：假設存在這類題目的一般解題規(guī)律是：假

28、設存在推理論證推理論證得出得出結論結論. .若能推導出合理的結論，就作出若能推導出合理的結論，就作出“存在存在” 的判斷，的判斷，若推導出不合理的結論，或與已知、已證相矛盾的結論，若推導出不合理的結論，或與已知、已證相矛盾的結論，則作出則作出“不存在不存在”的判斷的判斷. .44【例例4 4】(2010(2010陜西中考陜西中考) )如圖，在平面直角坐標系中，拋如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過物線過A(-1,0)A(-1,0)，B(3,0),C(0B(3,0),C(0，-1)-1)三點三點. .45(1)(1)求該拋物線的表達式；求該拋物線的表達式；(2)(2)點點Q Q在在y y軸上，點軸

29、上，點P P在拋物線上，要使在拋物線上，要使Q Q、P P、A A、B B為頂點為頂點的四邊形是平行四邊形的四邊形是平行四邊形, ,求所有滿足條件的點求所有滿足條件的點P P的坐標的坐標. .【思路點撥思路點撥】 46【自主解答自主解答】(1)(1)設該拋物線的表達式為設該拋物線的表達式為y=axy=ax2 2+bx+c,+bx+c,根據(jù)題意，將根據(jù)題意，將A A、B B、C C三點的坐標代入三點的坐標代入得得解得解得所求拋物線的表達式為所求拋物線的表達式為abc09a3bc0,c1 1a32b.3c1212yxx 1.3347(2)(2)48ABAB為邊時，只要為邊時，只要PQABPQAB且

30、且PQ=AB=4PQ=AB=4即可即可. .又知點又知點Q Q在在y y軸上，軸上，點點P P的橫坐標為的橫坐標為4 4或或-4-4，這時符合條件的點，這時符合條件的點P P有兩個，分別有兩個，分別記為記為P P1 1,P,P2 2. .而當而當x=4x=4時，時，y= y= ；當；當x=-4x=-4時，時，y=7y=7，此時，此時P P1 1(4(4， ),P),P2 2(-4,7).(-4,7).535349當當ABAB為對角線時，只要線段為對角線時，只要線段PQPQ與線段與線段ABAB互相平分即可互相平分即可, ,又又知點知點Q Q在在y y軸上，且線段軸上，且線段ABAB中點的橫坐標為

31、中點的橫坐標為1,1,點點P P的橫坐標為的橫坐標為2 2，這時符合條件的，這時符合條件的P P只有一個記為只有一個記為P P3 3. .而當而當x=2x=2時時,y=-1,y=-1，此時，此時P P3 3(2(2，-1).-1).綜上，滿足條件的點綜上，滿足條件的點P P的坐標為的坐標為(4(4， ) )或或(-4,7)(-4,7)或或(2(2，-1).-1).53508.(20108.(2010南通中考南通中考) )在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOyxOy中，已知點中，已知點P(2P(2，2)2)，點，點Q Q在在y y軸上，軸上，PQOPQO是等腰三角形，則滿足條件是等腰三角形，則滿足條件的點的點Q Q共有共有( )( )(A)5(A)5個