八(上)數(shù)學復習提綱

1、數(shù)學復習提綱第12章 數(shù)的開方§12.1平方根與立方根一、平方根1、平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根。（也叫做二次方根）2、平方根的性質(zhì)：（1）一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；（2）零的平方根是零； （3）負數(shù)沒有平方根。二、算術(shù)平方根1、算術(shù)平方根的定義：正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根。2、算術(shù)平方根的性質(zhì)：（1）一個正數(shù)有一個正的算術(shù)平方根；（2）零的算術(shù)平方根是零；（3）負數(shù)沒有算術(shù)平方根；（4）算術(shù)平方根的非負性：0。三、平方根和算術(shù)平方根的記法：平方根：±（讀作：正負根號a）；“±”表示a的平方根，或表示求a的

2、平方根；算術(shù)平方根：（讀作根號a）；“”表示a的算術(shù)平方根，或表示求a的算術(shù)平方根。其中a叫做被開方數(shù)。負數(shù)沒有平方根，被開方數(shù)a必須為非負數(shù)，即：a0。四、開平方：求一個非負數(shù)的平方根的運算，叫做開平方。五、立方根：1、立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根。（也叫做三次方根）2、立方根的性質(zhì)：（1）一個正數(shù)的立方根為正；（2）一個負數(shù)的立方根為負；（3）零的立方根是零。3、立方根的記法：（讀作：三次根號a），a稱為被開方數(shù)，“3”稱為根指數(shù)。中的被開方數(shù)a的取值范圍是：a為全體實數(shù)。六、開立方：求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方。七、注意事項：1、“±”、

3、“”、“”的實質(zhì)意義： 2、注意和中的a的取值范圍的應用。如：若有意義，則x取值范圍是 。若有意義，則x取值范圍是 。3、。如：，4、對于幾個算術(shù)平方根比較大小，被開方數(shù)越大，其算術(shù)平方根的值也越大。如：等。2和3怎么比較大小？（你知道嗎？不知道就問?。?、算術(shù)平方根取值范圍的確定方法：找鄰近的“完全平方數(shù)的算術(shù)平方根”作參照。如：確定的取值范圍。，23。6、幾個常見的算數(shù)平方根的值：，。§12.2實數(shù)與數(shù)軸一、無理數(shù)1、無理數(shù)定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。2、常見的無理數(shù)：（1）開方開不盡的數(shù)。如：，等。（2）“”類的數(shù)。如：，等。（3）無限不循環(huán)小數(shù)。如：2.101001000

4、1，-0.234242242224，等二、實數(shù)1、實數(shù)定義：有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。2、與實數(shù)有關(guān)的概念：（1）相反數(shù)：實數(shù)a的相反數(shù)為-a。若實數(shù)a、b互為相反數(shù)，則a+b=0。（2）倒 數(shù)：非零實數(shù)a的倒數(shù)為（a0）。若實數(shù)a、b互為倒數(shù)，則ab=1。（3）絕對值：實數(shù)a的絕對值為：3、實數(shù)的運算：有理數(shù)的所有運算法則及運算律均適用于實數(shù)的運算。4、實數(shù)的分類：（1）按照正負性分為：正實數(shù)、零、負實數(shù)三類。（2）按照定義分為： 5、幾個“非負數(shù)”：（1）a20；（2）|a|0；（3）0。6、實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關(guān)系。第13章 整式的乘除§13.1冪的運算一、同底數(shù)冪的乘法

5、1、法則：am·an·ap·=am+n+p+（m、n、p均為正整數(shù)）文字：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2、注意事項：（1）a可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。（2）一定要“同底數(shù)冪”“相乘”時，才能把指數(shù)相加。（3）如果是二次根式或者整式作為底數(shù)時，要添加括號。二、冪的乘方1、法則：(am)n=amn（m、n均為正整數(shù)）。 文字：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。2、注意事項：（1）a可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。（2）運用時注意符號的變化。（3）注意該法則的逆應用，三、積的乘方1、法則：(ab)n=anbn（n為正整數(shù)）。 文字：積的乘方等于把積的每一個因式都分別

6、乘方，再把所得的冪相乘。2、注意事項：（1）a、b可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。（2）運用時注意符號的變化。（3）注意該法則的逆應用，四、同底數(shù)冪的除法1、法則：am÷an=am-n（m、n均為正整數(shù)，mn，a0） 文字：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。2、注意事項：（1）a可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。（2）注意a0這個條件。（3）注意該法則的逆應用§13.2 整式的乘法一、單項式與單項式相乘法則：單項式與單項式相乘，只要將它們的系數(shù)與系數(shù)相乘，相同字母的冪相乘，多余的字母照搬到最后結(jié)果中。二、單項式與多項式相乘法則：（乘法分配律）只要將單項式分別去乘以多項式的每一項，

7、再將所得的積相加。三、多項式與多項式相乘法則：（1）將一個多項式中的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再將所得的積相加。 (2)把其中一個多項式看成一個整體（單項式），去乘以另一個多項式的每一項，再按照單項式與多項式相乘的法則繼續(xù)相乘，最后將所得的積相加。如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb§13.3 乘法公式一、兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名稱：平方差公式。2、注意事項：（1）a、b可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。（2）公式中的第一、二項各自相同，中間是“異號”的情況，才能用平方差公式。（3）公

8、式的來源還是“多項式×多項式”。二、完全平方公式1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名稱：完全平方公式。2、注意事項：（1）a、b可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。（2）注意公式運用時的對位“套用”；（3）注意公式中“中間的乘積項的符號”。特別提醒：利用乘法公式進行整式的運算時注意“思維順序”是：“一看二套三計算”。§13.4 整式的除法一、單項式除以單項式法則：單項式相除，只要將它們的系數(shù)與系數(shù)相除，相同字母的冪相除，只在被除式中出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。二、多項式除以單項式法則：（乘法分配律）只要將多項式的每一項分別去除以

9、單項式，再將所得的商相加。整式的運算順序：先乘方（開方），再乘除，最后加減，括號優(yōu)先。§13.5 因式分解一、因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做因式分解。（分解因式）因式分解與整式乘法互為逆運算二、提取公因式法：把一個多項式的公因式提取出來，使多項式化為兩個因式的積，這種分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定義：多項式中每一項都含有的相同的因式稱為公因式。具體步驟：（1）“看”。觀察各項是否有公因式；（2）“隔”。把每項的公因式“隔離”出來； （3）“提”。按照乘法分配律的逆運用把公因式提出來，使多項式化為兩個因式的積。 (注意：凡給出的多項式的“首項為負”時，

10、要連同“-”號與公因式一并提出來。)三、公式法：利用乘法公式進行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；名稱：平方差公式。注意事項：（1）a、b可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。（2）公式中的第一、二項各自相同，中間是“異號”的情況，才能用平方差公式。（3）公式的結(jié)構(gòu)和形式，運用時一定要判斷準確。2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名稱：完全平方公式。注意事項：（1）a、b可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。（2）注意公式運用時的對位“套用”；（3）注意公式中“中間的乘積項的符號”。四、：十字相乘法1、公式：x2+(a+b)x

11、+ab=(x+a)( x+b)。2、“十字相乘法”如：=(x+2)( x+7) =(x+2)( x-4) 1 2 1 2 1 7 1 -4 2 + 7=9 2 + (-4)=-2五、綜合1、注意利用乘法公式進行因式分解時注意“思維順序”是：“一看二套三分解”。2、遇到因式分解的題目時，其整體的思維順序是：（1）看首項是否為“一”，若為“一”，就要注意提負號；（2）看各項是否有公因式，若有公因式，應該首先把公因式提取出來再說；（3）沒有公因式時，就要考慮用乘法公式進行因式分解或者“十字相乘法”。3、注意事項：（1）注意（a-b）與（b-a）的關(guān)系是互為相反數(shù)；（2）因式分解要徹底，不要只提出公因

12、式就完，還要看剩下的因式是否可以繼續(xù)分解；（3）現(xiàn)階段的因式分解的題目，一般都要求在有理數(shù)范圍內(nèi)分解，所以不能出現(xiàn)帶根號的數(shù)；（4）注意“十字相乘法”只適用于“二次三項式型”因式分解，不要亂用此法。第14章 勾股定理ACBcab§14.1勾股定理一、直角三角形三邊的關(guān)系1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。幾何語言：a2+b2=c2。2、勾股定理的證明反映了一種常用數(shù)學思想：“面積拼圖法”。3、注意事項：（1）勾股定理必須在Rt使用，若遇到非Rt，則可引垂線段“造”Rt。（2）注意Rt中告訴的“直角”是哪個，以便準確確定“斜邊”。（3）在運用勾股定理求邊長時，要用到

13、“開平方”運算，一定要指明“邊長為正”的條件，求的是邊長的算數(shù)平方根。二、Rt的判定1、直角三角形的定義：有一個角為直角的三角形叫做直角三角形。2、有兩個銳角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2=c2，則C=90o?！肮垂蓴?shù)”：指三個滿足a2+b2=c2的正整數(shù)，我們稱為勾股數(shù)。注意勾股定理的逆定理的應用，只要涉及三角形三邊長的問題，都要判定一下是否為Rt。§14.2勾股定理的應用常見問題：1、求最短路徑問題。如“螞蟻爬樹”、“到兩個點的路程之和最短”等問題。2、“通過問題”。如“過門洞”、“路線穿過公園”等問題。3、“干擾問題”。如

14、“臺風影響”、“噪音影響”等問題。4、陰影面積問題。 5、作圖中的作，等問題。第15章 平移與旋轉(zhuǎn)§15.1平移圖形的平移1、平移的定義：把一個圖形沿著一定的方向移動一定的距離，這種圖形的運動（變換）叫做平移。2、平移的兩個要素：“一定方向”、“一定距離”。二、平移的性質(zhì)（特征）1、平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的空間位置。2、平移后的圖形與原來的圖形的對應線段平行且相等，對應角相等。3、平移后的圖形與原來的圖形的對應點所連的線段平行且相等。三、平移的作圖：注意抓住兩個關(guān)鍵要素：“平移的方向”、“平移的距離”。§15.2旋轉(zhuǎn)一、圖形的旋轉(zhuǎn)1、旋轉(zhuǎn)的定義：將一個圖形繞

15、一個定點，沿著一定的方向，轉(zhuǎn)動一定的角度的圖形的運動（變換）叫做旋轉(zhuǎn)。“定點”是旋轉(zhuǎn)中心，“一定方向”是旋轉(zhuǎn)方向（一般是指“順時針”或“逆時針”方向），“一定角度”是旋轉(zhuǎn)角度（旋轉(zhuǎn)角）。2、旋轉(zhuǎn)的要素：“旋轉(zhuǎn)中心”、“旋轉(zhuǎn)方向”、“旋轉(zhuǎn)角”3、旋轉(zhuǎn)角的確定：對應線段的夾角。二、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（特征）1、旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的空間位置。2、旋轉(zhuǎn)后的圖形與原來的圖形的對應線段相等，對應角相等。3、旋轉(zhuǎn)圖形中每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心按同一旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。4、旋轉(zhuǎn)圖形的對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。三、旋轉(zhuǎn)的作圖：注意抓住三個關(guān)鍵要素：“旋轉(zhuǎn)中心”、“旋轉(zhuǎn)方向”、“旋轉(zhuǎn)角”。四、旋

16、轉(zhuǎn)對稱圖形1、定義：一個圖形繞一個定點旋轉(zhuǎn)一定角度后能夠與自身重合，這種圖形稱為旋轉(zhuǎn)對稱圖形。2、旋轉(zhuǎn)對稱圖形的最小旋轉(zhuǎn)角。如正n邊形的最小旋轉(zhuǎn)角為：360o/n。§15.3中心對稱一、中心對稱1、定義：把一個圖形繞一個定點旋轉(zhuǎn)180o后能夠與另一個圖形重合，就稱這兩個圖形關(guān)于這點成中心對稱。這個定點稱為對稱中心。2、中心對稱的性質(zhì)（特征）（1）成中心對稱的兩個圖形中，連接對稱點的線段都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。（2）若兩個全等的圖形的所有對應點連成的線段都經(jīng)過某一定點，且被這點平分，則這兩個圖形一定關(guān)于這點成中心對稱。（3）成中心對稱的兩個圖形是全等形，其對應邊平行且相等，

17、對應角相等。3、作“成中心對稱”的作圖要訣：“連中心，順延長，取相等”。二、中心對稱圖形的定義：一個圖形繞其中心點旋轉(zhuǎn)180o后能夠與自身重合，就稱這種圖形為中心對稱圖形。（中心點就是它的對稱中心）。三、注意事項：（1）“中心對稱”與“中心對稱圖形”是兩個不同的概念。主要區(qū)別是：“中心對稱”是指兩個圖形的空間位置；而“中心對稱圖形”是指一個圖形所具有的性質(zhì)（特性）。（2）中心對稱圖形一定是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，旋轉(zhuǎn)對稱圖形不一定是中心對稱圖形。（3）找“成中心對稱”的兩個圖形的對稱中心的方法：對應點連線的交點，或?qū)c連線的中點。§15.4圖形的全等一、全等形1、定義：能夠完全重合的兩個圖形

18、叫做全等圖形，簡稱全等形。2、一個圖形經(jīng)過翻折、平移和旋轉(zhuǎn)等變換后所得到的圖形一定與原圖形全等。反之，兩個全等的圖形經(jīng)過上述變換后一定能夠互相重合。二、全等多邊形1、定義：能夠完全重合的多邊形叫做全等多邊形?；ハ嘀睾系狞c叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。2、性質(zhì)：（1）全等多邊形的對應邊相等，對應角相等。（2）全等多邊形的面積相等。三、全等三角形全等符號：“”。讀作：“全等于”第16章 平行四邊形的認識§16.1平行四邊形的性質(zhì)ABCD一、平行四邊形的有關(guān)概念1、定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、表示方法：專用符號：“”。如圖的平行四邊形

19、看表示為：ABCD；讀作：“平行四邊形ABCD”3、平行四邊形的“對邊”是指：互相平行的兩邊；“對角”是指：“開口”相對的兩角。4、平行四邊形的對角線：指兩對角定點的連線。二、平行四邊形的性質(zhì)1、對邊平行且相等，2、對角相等，鄰角互補。3、對角線互相平分。4、平行四邊形是中心對稱圖形。5、S=底×高。§16.2矩形、菱形與正方形的性質(zhì)一、矩形1、定義：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、性質(zhì)：（1）、對邊平行且相等，（2）、四個角都是直角。（3）、對角線相等且互相平分。（4）、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。（5）、S=底×高。3、直角三角形的一個重要特性：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。二、菱形1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2、性質(zhì)：（1）對邊平行，四邊相等；（2）對角相等，鄰角互補。（3）對角線互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；（4）既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；（5）S菱形=底×高=對角線