電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)-文檔資料

1、1 2本章所研究的問(wèn)題是電磁波的輻射。方本章所研究的問(wèn)題是電磁波的輻射。方法和穩(wěn)恒場(chǎng)情況一樣，當(dāng)考慮由電荷、電法和穩(wěn)恒場(chǎng)情況一樣，當(dāng)考慮由電荷、電流分布激發(fā)電磁場(chǎng)的問(wèn)題時(shí)，引入勢(shì)的概流分布激發(fā)電磁場(chǎng)的問(wèn)題時(shí)，引入勢(shì)的概念來(lái)描述電磁場(chǎng)比較方便。念來(lái)描述電磁場(chǎng)比較方便。本章首先把勢(shì)的概念推廣到一般變化電本章首先把勢(shì)的概念推廣到一般變化電磁場(chǎng)情況，然后通過(guò)勢(shì)來(lái)解輻射問(wèn)題。磁場(chǎng)情況，然后通過(guò)勢(shì)來(lái)解輻射問(wèn)題。345 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，討論真空中的電磁場(chǎng)：為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，討論真空中的電磁場(chǎng)： 0 tDjHBtBED , A. , 00HBED6針對(duì)磁場(chǎng)針對(duì)磁場(chǎng)引入引入 的物理意義可由下式看出：的物理意義可由下式看出

2、：即在任一時(shí)刻，矢量即在任一時(shí)刻，矢量 沿任一閉合回路沿任一閉合回路L的線積的線積分等于該時(shí)刻通過(guò)以分等于該時(shí)刻通過(guò)以L為邊線的曲面為邊線的曲面S的磁通量。的磁通量。 0 BABLSsdBl dAAA7對(duì)于電場(chǎng)對(duì)于電場(chǎng) 不能像靜電場(chǎng)那樣直接引入電勢(shì)。由不能像靜電場(chǎng)那樣直接引入電勢(shì)。由Faraday電磁感應(yīng)定律可得：電磁感應(yīng)定律可得： EtAAttBE)(0tAEtAE8即即 tAEtAEAB 當(dāng)當(dāng) 與時(shí)間無(wú)關(guān)，即與時(shí)間無(wú)關(guān)，即 時(shí)時(shí),且且這時(shí)這時(shí) 就直接歸結(jié)為電勢(shì)；就直接歸結(jié)為電勢(shì)；A0tAE9 絕對(duì)不要把絕對(duì)不要把 中的標(biāo)勢(shì)中的標(biāo)勢(shì)與電勢(shì)與電勢(shì) 混為一談。因?yàn)樵诜欠€(wěn)恒情混為一談。因?yàn)樵诜欠€(wěn)恒

3、情況下，況下， 不再是保守力場(chǎng)，不存在勢(shì)能的概念，不再是保守力場(chǎng)，不存在勢(shì)能的概念，這就是說(shuō)現(xiàn)在的這就是說(shuō)現(xiàn)在的 ，在數(shù)值上不等于把單位正電，在數(shù)值上不等于把單位正電荷從空間一點(diǎn)移到無(wú)窮遠(yuǎn)處電場(chǎng)力所做的功。為荷從空間一點(diǎn)移到無(wú)窮遠(yuǎn)處電場(chǎng)力所做的功。為了區(qū)別于靜電場(chǎng)的電勢(shì)，把這里的了區(qū)別于靜電場(chǎng)的電勢(shì)，把這里的 稱為標(biāo)勢(shì)稱為標(biāo)勢(shì)（Scalar potential)。 在時(shí)變場(chǎng)中，磁場(chǎng)和電場(chǎng)是相互作用著的在時(shí)變場(chǎng)中，磁場(chǎng)和電場(chǎng)是相互作用著的整體，必須把矢勢(shì)整體，必須把矢勢(shì) 和標(biāo)勢(shì)和標(biāo)勢(shì) 作為一個(gè)整體來(lái)作為一個(gè)整體來(lái)描述電磁場(chǎng)。描述電磁場(chǎng)。tAE)(EEA10 雖然雖然 和和 ，以及，以及 和和 是

4、描述電磁場(chǎng)的兩是描述電磁場(chǎng)的兩種等價(jià)的方式，但由于種等價(jià)的方式，但由于 、 和和 、 之間是微之間是微分方程的關(guān)系，所以它們之間的關(guān)系不是一一對(duì)分方程的關(guān)系，所以它們之間的關(guān)系不是一一對(duì)應(yīng)的，這是因?yàn)槭竸?shì)應(yīng)的，這是因?yàn)槭竸?shì) 可以加上一個(gè)任意標(biāo)量函可以加上一個(gè)任意標(biāo)量函數(shù)的梯度，結(jié)果不影響數(shù)的梯度，結(jié)果不影響 ，而這個(gè)任意標(biāo)量函數(shù)，而這個(gè)任意標(biāo)量函數(shù)的梯度在的梯度在 中對(duì)中對(duì) 要發(fā)生影響，但要發(fā)生影響，但將將 中的中的 與此融合也作相應(yīng)的與此融合也作相應(yīng)的變換，則仍可使變換，則仍可使 保持不變。保持不變。EBAEBAABtAEEtAEE11 設(shè)設(shè) 為任意的標(biāo)量函數(shù)，即為任意的標(biāo)量函數(shù)，即 ，作下

5、，作下述變換式：述變換式：于是我們得到了一組新的于是我們得到了一組新的 ，很容易證明：，很容易證明：),(txtAAA . A12由此可見(jiàn)，由此可見(jiàn)， 和和 描述同一電磁場(chǎng)。描述同一電磁場(chǎng)。EtAttAtAtttABAAAA)()()()()()() . (A) . (A13 庫(kù)侖規(guī)范條件為庫(kù)侖規(guī)范條件為 ，即規(guī)定，即規(guī)定 是一個(gè)是一個(gè)有旋無(wú)源場(chǎng)（橫場(chǎng)）。這個(gè)規(guī)范的特點(diǎn)是有旋無(wú)源場(chǎng)（橫場(chǎng)）。這個(gè)規(guī)范的特點(diǎn)是 的縱的縱場(chǎng)部分完全由場(chǎng)部分完全由 描述（即描述（即 具有無(wú)旋性具有無(wú)旋性)，橫，橫場(chǎng)部分由場(chǎng)部分由 描述（即描述（即 具有無(wú)源性）。由具有無(wú)源性）。由可見(jiàn)，可見(jiàn)， 項(xiàng)對(duì)應(yīng)庫(kù)侖場(chǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)庫(kù)侖場(chǎng)

6、 ， 對(duì)應(yīng)著感應(yīng)對(duì)應(yīng)著感應(yīng)0 AAEAtAtAE庫(kù)EtA14場(chǎng)場(chǎng) 。 洛侖茲規(guī)范條件為洛侖茲規(guī)范條件為 ，即規(guī)，即規(guī)定定 是一個(gè)有旋有源場(chǎng)（即是一個(gè)有旋有源場(chǎng)（即 包含橫場(chǎng)和縱場(chǎng)兩包含橫場(chǎng)和縱場(chǎng)兩部分），這個(gè)規(guī)范的特點(diǎn)是把勢(shì)的基本方程化為部分），這個(gè)規(guī)范的特點(diǎn)是把勢(shì)的基本方程化為特別簡(jiǎn)單的對(duì)稱形式。特別簡(jiǎn)單的對(duì)稱形式。感E012tCAAA15 從從Maxwells equations及及出發(fā)推導(dǎo)矢勢(shì)出發(fā)推導(dǎo)矢勢(shì) 和標(biāo)勢(shì)和標(biāo)勢(shì) 所滿足的方程，得到：所滿足的方程，得到：00B=H DEAEBAt A02022222)1(1AtjtcAtAcA16 上述方程化為上述方程化為此時(shí)，標(biāo)勢(shì)所滿足的方程與靜

7、電場(chǎng)相同。此時(shí)，標(biāo)勢(shì)所滿足的方程與靜電場(chǎng)相同。 )0( AjtctAcA02222202)(11012tcA17上述方程化為上述方程化為這就是所謂這就是所謂。jtAcAtc02222022221118 試求單色平面電磁波的勢(shì)試求單色平面電磁波的勢(shì) 單色平面電磁波在沒(méi)有電荷，電流分布的自單色平面電磁波在沒(méi)有電荷，電流分布的自由空間中傳播，因而勢(shì)方程（達(dá)朗貝爾方程在由空間中傳播，因而勢(shì)方程（達(dá)朗貝爾方程在Lorentz規(guī)范條件下）變?yōu)椴▌?dòng)方程：規(guī)范條件下）變?yōu)椴▌?dòng)方程：其解的形式為：其解的形式為：010122222222tAcAtc19由由Lorentz規(guī)范條件規(guī)范條件 ，即得，即得這表明，只要給

8、定了這表明，只要給定了 ，就可以確定單色平面電，就可以確定單色平面電磁波，這是因?yàn)椋捍挪?，這是因?yàn)椋?12tcAAkcicAk i220)(1A)(0)(0txkitxkieAAe20)()()(2222AkkciAkAkkciAiAkck iAik itAE橫縱橫縱橫Ak iAk iAk iAAk iAk iAB)(0 0（對(duì)于單色平面波而言）（對(duì)于單色平面波而言）21如果取如果取 ，即只取，即只取 具有橫向分量，那么具有橫向分量，那么有有從而得到：從而得到：因此有：因此有：BncBkc2橫AAA0橫AkAk02Akc22其中：其中：如果采用庫(kù)侖規(guī)范條件，勢(shì)方程在自由空間中變?nèi)绻捎脦?kù)侖規(guī)范

9、條件，勢(shì)方程在自由空間中變?yōu)闉闄M橫AiAitAtAEAk iAk iAB)0( Ak0110222222tctAcA23當(dāng)全空間沒(méi)有電荷分布時(shí)，庫(kù)侖場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)當(dāng)全空間沒(méi)有電荷分布時(shí)，庫(kù)侖場(chǎng)的標(biāo)勢(shì) ，則只有則只有其解的形式為其解的形式為由庫(kù)侖規(guī)范條件得到由庫(kù)侖規(guī)范條件得到即保證了即保證了 只有橫向分量，即只有橫向分量，即 ，從而得到，從而得到0012222tAcA)(0txkieAA0Ak iAA橫AA24通過(guò)例子可看到：通過(guò)例子可看到： 庫(kù)侖規(guī)范的優(yōu)點(diǎn)是：它的標(biāo)勢(shì)庫(kù)侖規(guī)范的優(yōu)點(diǎn)是：它的標(biāo)勢(shì) 描述庫(kù)侖作描述庫(kù)侖作用，可直接由電荷分布用，可直接由電荷分布 求出，它的矢勢(shì)求出，它的矢勢(shì) 只有只有橫向分量，恰好足夠描述輻射電磁波的兩種獨(dú)立橫向分量，恰好足夠描述輻射電磁波的兩種獨(dú)立偏振。偏振。 洛侖茲規(guī)范的優(yōu)點(diǎn)是：它的標(biāo)勢(shì)洛侖茲規(guī)范的優(yōu)點(diǎn)是：它的標(biāo)勢(shì) 和矢勢(shì)和矢勢(shì) 構(gòu)成的勢(shì)方程具有對(duì)稱性。它的矢勢(shì)構(gòu)成的勢(shì)方程具有對(duì)稱性。它的矢勢(shì) 的縱向部的縱向部) 0( AAiAitAtAEAk