考研高等數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

1、考研高等數(shù)學(xué)知識點總結(jié)高等數(shù)學(xué)知識點總結(jié)(tgx)sec2 x(arcsin x)11x2(ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1x2(csc x)csc x ctgx( arctgx )1(a x )a x ln a1 x2(log a x)1( arcctgx )1x ln a1x2導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表：2/17tgxdxln cos xCctgxdxln sin xCsecxdxln secxtgxCcsc xdxln csc xctgxCdx1 arctg xCa2x2aadxa21 ln xaCx22axadx1axCa2x22alnxadxarc

2、sin xCa2x2adx2cos2 xsec xdxtgx Cdxcsc2 xdxctgxCsin 2 xsecx tgxdxsecxCcscx ctgxdxcscxCa xdxa xCln ashxdxchxCchxdxshxCdxln( xx2a 2 )Cx 2a22sin n xdx2cosn xdxn1 I nI n200nx2a2 dxxx2a2a2ln( xx2a2 )C22x2a 2 dxxx2a2a 2 ln xx 2a2C22a 2x2 dxxa2x2a2arcsin xC22a三角函數(shù)的有理式積分：2u1u2，x， dx2dusinx2，cosx2u tg21 u1u21

3、 u一些初等函數(shù)：兩個重要極限：雙曲正弦: shxexe x2雙曲余弦: chxexe x2雙曲正切: thxshxexechxexearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x21xlim sin x1x 0xlim (1 1 ) xe 2.718281828459045.x xxx3/17三角函數(shù)公式：·誘導(dǎo)公式：函數(shù)角 A-90°-90°+180°-180°+270°-sincostgctg-sin cos -tg -ctg cos sin ctg tg cos -sin -ctg -tg s

4、in -cos-tg -ctg -sin -costg ctg -cos-sin ctg tg 4/17270°+ -cossin -ctg -tg 360°- -sin cos -tg -ctg 360°+ sin cos tg ctg sin() sincoscos sinsinsin2sincoscos()coscossin sin22sinsin2 cossintgtgtg (22)tgtg1coscos2coscosctgctg1ctg()22ctgctgcoscos2 sinsin22·和差角公式：·和差化積公式：5/17·

5、;倍角公式：sin 22 sincos4 sin3cos22cos21 1 2 sin2cos2sin2sin33sinctg2ctg 21cos34 cos33cos2ctg3tgtg3tg3tg 22tg1 3tg 21 tg 2·半角公式：sin1cos22tg1cos1 cos1cossin2·正弦定理：cos1cos22sinctg1cos1 cossin1cos1cossin1 cos2abc2R·余弦定理：sin Asin Bsin Cc2a2b22ab cosC·反三角函數(shù)性質(zhì)： arcsin xarccos xarctgxarcctgx

6、22高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz ）公式：n(uv)( n )Cnku ( n k ) v(k )k 0u( n) vnu ( n 1) vn(n 1) u (n 2) vn(n 1) ( n k 1) u( n k)v (k )uv(n )2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：6/17拉格朗日中值定理：f (b)f (a)f ()(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()當 F( x)x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx,其中 y tg平均曲率：.:從M點到M點，切線斜率的傾角變化量；：MM弧長。KssM 點的曲率

7、： Klimdy.sds2s0(1y)3直線： K0;半徑為 的圓：1aK.a定積分的近似計算：bba ( y0 y1矩形法： f ( x)yn 1 )anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn 1 an2bb a ( y0拋物線法： f ( x)yn )2( y2y4yn 2 ) 4( y1 y3yn 1 )a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：W Fs水壓力： FpA引力： Fk m1m2 ,k為引力系數(shù)r 21b函數(shù)的平均值： yf (x)dxb a a1bf 2 (t )dt均方根：a ab空間解析幾何和向量代數(shù)：7/17空間 2點的距離： dM1M2(x2 x1) 2(

8、y2y1 )2( z2z1 )2向量在軸上的投影： Pr j u ABAB cos,是 AB與 u軸的夾角。Pr j u (a1a2 )Pr ja1 Pr ja2a b ab cosaxbxay byazbz ,是一個數(shù)量 ,兩向量之間的夾角： cosaxbxay byazbzax 2ay 2az2bx2by 2bz 2ijkc a baxayaz , cab sin .例：線速度： vwr .bxbybzaxayaz向量的混合積： ab c(ab )cbxbybzabc cos , 為銳角時，cxc ycz代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點法式： A( xx0 )B( yy0 )C (

9、 z z0 ) 0，其中 n A, B, C, M 0 (x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abcAx0By0平面外任意一點到該平面的距離： dA2B2空間直線的方程： x x0y y0z z0t,其中 smnp二次曲面：Cz0 DC 2xx0mt m, n, p; 參數(shù)方程： yy0ntzz0pt1、橢球面： x2y2z21a2b2c2、拋物面： x2y 2（同號）22qz,p, q2 p3、雙曲面：單葉雙曲面： x2y2z21a2b2c 2雙葉雙曲面： x2y2z2（馬鞍面）a2b2c218/17多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分： dzz dx

10、z dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似計算：z dzf x ( x, y)x f y (x, y)y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 ：zf u(t ), v(t)dzzdtuzf u(x, y), v( x, y)zx當u，時，u( x, y)v v( x, y)duuudvdxdyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F ( x, y)，dy0dx隱函數(shù)F ( x, y, z)， z0xuzvtvtzuzvuxvxvvdxdyxyFx ，d 2 yFxFxdyFydx 2()()x Fyy FydxFx ，zFyFzyFz隱函數(shù)方程組： F (x, y,u, v)0(F ,G)FFFuFvJ

11、uvG(x, y,u, v)0(u,v)GGGuGvuvu1(F,G)v1(F ,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F,G)v1(F,G)yJ( y,v)yJ(u, y)微分法在幾何上的應(yīng)用：9/17x(t ), z0 )處的切線方程： x x0y y0zz0空間曲線 y(t )在點 M (x0, y0z(t)(t 0 )(t0 )(t0 )在點 M 處的法平面方程：(t0 )( x x0 )(t0 )( y y0 )(t 0 )( zz0 )0F ( x, y, z) 0FyFz FzFFx,x,若空間曲線方程為：,則切向量 TG ( x, y, z) 0G yG z G zG x

12、 Gx曲面 F ( x, y, z) 0上一點 M ( x0 , y0 , z0 )，則：1、過此點的法向量： n Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )2、過此點的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )3、過此點的法線方程：x x0y y0zz0Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )FyG yFz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向?qū)?shù)與梯

13、度：函數(shù)zf ( x, y)在一點沿任一方向的方向?qū)?shù)為： fffp( x, y)llcossinxy其中 為 軸到方向的轉(zhuǎn)角。xl函數(shù)zf ( x, y)在一點的梯度：gradf ( x, y)fifjp( x, y)xy它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是 ：f，其中e cosisin j，為方向上的grad f (x, y) ell單位向量。f 是 gradf (x, y)在l上的投影。l多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)f x ( x0, y 0 )f y ( x0 , y0 )，令：f xx ( x 0, y0 ) A , f xy ( x 0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C0A

14、CB2時， A0 , ( x0, y0 )為極大值00 , ( x0, y0 )為極小值B 2A則： AC0時，無極值A(chǔ)CB2時不確定0 ,重積分及其應(yīng)用：10/17f ( x, y)dxdyf (r cos,r sin)rdrdDD22曲面 z f ( x, y)的面積 A1zzdxdyDxyM xx ( x, y)dM yy ( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM( x, y) dM( x, y)dDD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于 x軸 I xy2( x, y)d,對于 y軸 I yx 2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）對 z軸上質(zhì)點 M (0,0, a), (a0)的引

15、力： F Fx , Fy , Fz，其中：Fxf( x, y) xd，F(xiàn)yf( x, y) yd3，F(xiàn)zfa( x, y) xd33D ( x2y2a 2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2柱面坐標和球面坐標：xr cos柱面坐標： yr sin,f ( x, y, z)dxdydzF (r , , z) rdrddz,zz其中： F (r ,球面坐標：, z) f (r cos , r sin , z)x r sin cosyr sinsin，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos, )r 2 sin2r (, ), )r 2 sinf (

16、x, y, z)dxdydzF ( r ,drddddF (r ,dr0001xdv,y1z1z dv，其中 Mxdv重心： xy dv,MMM轉(zhuǎn)動慣量： I x( y 2z2 )dv，I y( x2z2 )dv，I z( x2y2 ) dv曲線積分：第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：設(shè) f (x, y)在 L上連續(xù)， L的參數(shù)方程為： x(t) ,(t), 則：y(t)f (x, y)dsf (t ),(t )2 (t )2 (t)dt()xt特殊情況：(t )Ly11/17第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）：設(shè) L 的參數(shù)方程為x( t )y，則：( t )P ( x , y ) dxQ

17、 ( x , y ) dy P (t ),( t )(t ) Q (t ),( t )( t ) dtL兩類曲線積分之間的關(guān)系： PdxQdy( P cosQ cos) ds，其中和分別為LLL 上積分起止點處切向量的方向角。格林公式：(QP ) dxdyPdxQdy 格林公式：(QP ) dxdyPdxQdyDxyLDxyL當 Py , Qx ，即：QP2時，得到D 的面積：A1xdyydxdxdyxyD2 L平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：·、是一個單連通區(qū)域；1G2、 P ( x , y )， Q ( x , y )在 G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且Q P 。注意奇點，如(0,0

18、)，應(yīng)xy減去對此奇點的積分，注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積：·在Q P 時， PdxQdy 才是二元函數(shù)u ( x , y )的全微分，其中：xy( x , y )u ( x , y )P ( x , y ) dxQ ( x , y ) dy ，通常設(shè)x 0y 00。( x 0 , y 0 )曲面積分：對面積的曲面積分：f ( x, y, z) dsf x, y , z( x, y )1 zx2 ( x, y) zy2 ( x, y) dxdyD xy對坐標的曲面積分：P ( x, y, z) dydzQ ( x, y , z) dzdx，其中：R( x, y, z) dxdy

19、R( x, y, z) dxdyR x, y , z( x, y) dxdy，取曲面的上側(cè)時取正號；D xyP( x, y, z) dydz，取曲面的前側(cè)時取正號；P x ( y, z), y , zdydzD yzQ( x, y, z) dzdx，取曲面的右側(cè)時取正號。Q x, y( z, x ), zdzdxD zx兩類曲面積分之間的關(guān)系： PdydzQdzdx Rdxdy( P cosQ cosR cos ) ds高斯公式：12/17( PQR ) dvPdydz QdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos )dsxyz高斯公式的物理意義 通量與散度：散度： divPQR ,

20、即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若 div0,則為消失 .xyz通量：AndsAn ds，(P cosQ cosR cos )ds因此，高斯公式又可寫成： div AdvAn ds斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：( RQ )dydz(PR )dzdx( QP )dxdyPdxQdy Rdzyzzxxydydz dzdxdxdycoscoscos上式左端又可寫成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量場沿有向閉曲線的環(huán)流量：Pdx Qdy RdzA t dsA常數(shù)項級數(shù)：等比數(shù)列： 1qq 2q n

21、11q n1q等差數(shù)列： 123( n1)nn2調(diào)和級數(shù)： 1111 是發(fā)散的23n級數(shù)審斂法：13/17、正項級數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判別法）：1時，級數(shù)收斂1設(shè)：limnu n，則時，級數(shù)發(fā)散1n時，不確定12、比值審斂法：時，級數(shù)收斂U n1設(shè)：lim1 ，則1時，級數(shù)發(fā)散nU n時，不確定1、定義法：3sn u1u 2u n ; limsn 存在，則收斂；否則發(fā)散。n交錯級數(shù)u1u2u3u4或u2 u3的審斂法 萊布尼茲定理：(u1,un 0)如果交錯級數(shù)滿足unun 1u1 ,其余項 rn的絕對值 rn un 1。，那么級數(shù)收斂且其和 slim un 0n絕對收斂與條件收斂：(

22、1)u1u 2u n，其中 un 為任意實數(shù)；(2) u1u 2u3u n如果收斂，則肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù)；( 2)(1)如果發(fā)散，而收斂，則稱為條件收斂級數(shù)。( 2)(1)(1)調(diào)和級數(shù)：1(1) n發(fā)散，而收斂；nn級數(shù)：1收斂；n 2p級數(shù)：1 時發(fā)散np時收斂p 1冪級數(shù)：14/17x時，收斂于11 x x 2x3xn11xx時，發(fā)散1對于級數(shù) ( 3) a0a1 xa2 x 2an xn，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全xR時收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使xR時發(fā)散 ，其中稱為收斂半徑。RxR時不定時，10R求收斂半徑的方法：設(shè)lim an 1，其中 an， an1是(3

23、)的系數(shù)，則0時， Rnan時， R0函數(shù)展開成冪級數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f ( x )f ( x0 )( x x0 )f ( x0 ) ( xx0 ) 2f ( n ) ( x0 ) ( xx0 ) n2!n!余項： Rnf ( n 1) ( ) ( xx0 ) n 1 , f ( x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是： lim Rn0(n 1)!nx0 0時即為麥克勞林公式：f ( x ) f ( 0)f ( 0) xf ( 0) x 2f ( n ) ( 0) x n2!n!一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：(1 x) m1 mxm( m 1) x 2m( m 1) ( m n 1) x n( 1

24、x 1)2!n!sin x xx3x 5( 1) n 1x2 n 1(x)3!5!( 2 n 1)!歐拉公式：eixeixcos x2ecos x i sin x或eeixsin x2ixix三角級數(shù)：f (t ) A0An sin( nta 0( an cos nxb n sin nx )n )n 12n 1其中， a0aA 0， a nAn sinn， b nA n cos n，t x。正交性： 1,sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 xsin nx , cos nx任意兩個不同項的乘積在 ,上的積分。0傅立葉級數(shù)：15/17f ( x )a0( ancos nxbn

25、sin，周期22n 1nx )a n1f ( x ) cos nxdx( n0,1,2)其中1b nf ( x )sin nxdx( n 1,2 ,3)11211121（相加）1252822232346111211121（相減）2222422224623412正弦級數(shù)：an，bn2f ( x) sinn xdxn1,2 ,3f ( x)nsin nx是奇函數(shù)0b0余弦級數(shù)：bn，an2f ( x ) cos nxdxn0,1,2f ( x )a 0a n cos nx是偶函數(shù)020周期為 2l 的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：f ( x )a0( a ncosnxbnsinnx ，周期2 l2ll)n1a n1 lf ( x) cosnxdx(n0,1,2)ll其中l(wèi)1lf ( x ) sin nx dxb n(n1,2,3)lll微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程：yf ( x, y)或P ( x , y) dxQ ( x , y) dy0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為 g ( y) dyf ( x) dx 的形式，解法：g ( y )dyf ( x) dx得： G ( y)F ( x) C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫成dyf ( x, y )，即寫成y 的函數(shù)，