第3章_連續(xù)信號(hào)的頻譜——傅里葉變換

1、第三章第三章連續(xù)信號(hào)的頻譜連續(xù)信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換 本章的主要內(nèi)容：1、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析2、典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)3、傅里葉變換4、典型非周期信號(hào)的傅里葉變換5、沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換6、傅里葉變換的基本性質(zhì)7、卷積特性（卷積定理）8、周期信號(hào)的傅里葉變換9、抽樣信號(hào)的傅里葉變換10、抽樣定理第一節(jié)第一節(jié)引言引言傅里葉分析發(fā)展史從本章開始由時(shí)域分析轉(zhuǎn)入頻域分析。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的。傅里葉分析的研究與應(yīng)用經(jīng)歷了一百余年。1822年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉（J.Fourier,1768-1830）在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”著作

2、，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理將周期函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。論基礎(chǔ)。泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去。伴隨電機(jī)制造、交流電的產(chǎn)生與傳輸?shù)葘?shí)際問(wèn)題的需要，三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及傅里葉分析等數(shù)學(xué)工具已得到廣泛的應(yīng)用。直到19世紀(jì)末，制造出電容器。20世紀(jì)初，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用開辟了廣闊的前景。從此，在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用之中，采用采用頻率域（頻域）的分析方法比經(jīng)典的時(shí)間域（時(shí)域）方法頻率域（頻域）的分析方法比經(jīng)典

3、的時(shí)間域（時(shí)域）方法有許多突出的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)今，傅里葉分析方法已成為信號(hào)分析與系統(tǒng)設(shè)計(jì)不可缺少的重要工具。20世紀(jì)70年代，出現(xiàn)的各種二值正交函數(shù)（沃爾什函數(shù)），它對(duì)通信、數(shù)字信號(hào)處理等技術(shù)領(lǐng)域的研究提供了多種途徑和手段。使人們認(rèn)識(shí)到傅里葉分析不是信息科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域中唯一的變換域方法。但傅里葉分析始終有著極其廣泛的應(yīng)用，它是研究其他變換方法的基礎(chǔ)。而且出現(xiàn)了”快速傅里葉變換（FFT）”它給傅里葉分析這一數(shù)學(xué)工具增添了新的生命力。傅里葉分析方法不僅應(yīng)用于電力工程、通信和控制領(lǐng)域之中，而且在力學(xué)、光學(xué)、量子物理和各種線性系統(tǒng)分析等許多有關(guān)數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用。本章討論的路線：本章討

4、論的路線：傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念；通過(guò)典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對(duì)于周期信號(hào)而言，進(jìn)行頻譜分析可用傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換；傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。最后對(duì)研究周期信號(hào)與抽樣信號(hào)的傅里葉變換，并介紹抽樣定理，抽樣定理奠定了數(shù)字通信的理論基礎(chǔ)。 第二節(jié)第二節(jié)周期信號(hào)的傅里周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析葉級(jí)數(shù)分析一、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) ）角頻率為任意周期信號(hào)（周期設(shè)1112,Tf(t)T則其可展開為三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)11;nn其中基波角頻率為的分量次諧波角頻率為的分量0111cos()s

5、in()( )nnnaaf tttbnn1 1、一種三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)、一種三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 011001001010111011cos()11( )( )2( )2( )1,2,in).s (tTTttTtnntTtf t dtf t dtTTf tdtTf tdtttTnaabnn直流分量：其中 余弦分量幅度：正弦分量幅度：為了積分方便，通常取積分區(qū)間為：220111TTT或三角函數(shù)集是一組完備函數(shù)集。110101cos( )( )s)in()nnnnnnf tf tddntctcn或展開為常用形式f(t)2 2、另一種三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)、另一種三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

6、 20200,nnnnnnnnnnddaarctgarctgcacabbab 其 中f(t)傅里葉級(jí)數(shù)存在的充分條件：周期信號(hào)須滿“狄利克雷”(Dirichlet足)條件，即010( )tTtf t dt 間斷點(diǎn)極值絕一周期內(nèi)僅有限個(gè)；一周期內(nèi)僅有限個(gè)；一周可期內(nèi)對(duì)，積3 3、傅里葉級(jí)數(shù)展開的充分條件、傅里葉級(jí)數(shù)展開的充分條件 通常所遇到的周期性信號(hào)都能滿足此條件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考慮這一條件。4 4、基波、諧波、基波、諧波 通常把頻率為：1112wTf稱為基波。頻率為：1112222wTf稱為二次諧波。1112333wTf頻率為：稱為三次諧波。1112333wTf頻率為：稱為

7、三次諧波。 可見，直流分量的大小以及基波與各次諧波的幅度、相位取決于周期信號(hào)的波形。1nnc單邊頻譜圖：信號(hào)的幅度譜1nn信號(hào)的相位譜其中各頻率分量幅度稱為“”；連各譜線頂點(diǎn)的曲線稱為 “譜線包絡(luò)線”。5 5、幅度譜、相位譜、幅度譜、相位譜 0n1w13w1nww1w13w0cnc1c2c3c1nww0離散性諧波性具有、收斂性周期信號(hào)的主要特點(diǎn)：二、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)二、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) ）角頻率為任意周期信號(hào)（周期設(shè)1112,Tf(t)T則其可展開為指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)11( )jtnnnFf te1 1、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的形式、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的形式 2.指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

8、中各個(gè)量之間的關(guān)系指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)中各個(gè)量之間的關(guān)系 221n021122(nnnnnnnnnnnjFFaFjbabce當(dāng)時(shí)，其中三角函數(shù)形式）)(21nnjnnjbaeFFn010110100()1( )tTtnnjtf tdtTnFnFFcae 記復(fù)函數(shù)：其中直流分量：3.指數(shù)形式表示的信號(hào)頻譜指數(shù)形式表示的信號(hào)頻譜-復(fù)數(shù)頻譜復(fù)數(shù)頻譜11nnnnF雙邊頻譜圖：復(fù)函數(shù)幅度譜，復(fù)函數(shù)相位譜具有、（負(fù)頻率的結(jié)離散果僅性諧波性收斂性是數(shù)學(xué)處理）Fn一般是復(fù)函數(shù)，所以稱這種頻譜為復(fù)數(shù)頻譜。1w0cnF121c221c1nww01w1nw0n1nww1nw1w0cnF121c221c1nww01w

9、1nw幅度譜與相位譜合并幅度譜與相位譜合并正、負(fù)頻率相應(yīng)項(xiàng)成對(duì)合并，才是實(shí)際頻譜函數(shù)。正、負(fù)頻率相應(yīng)項(xiàng)成對(duì)合并，才是實(shí)際頻譜函數(shù)。4.周期信號(hào)的功率特性周期信號(hào)的功率特性時(shí)域和頻域能量守恒定理時(shí)域和頻域能量守恒定理f(t)P平均功率時(shí)域與頻域的能量守恒：任意周期信號(hào)的等于其傅各諧波分量里葉級(jí)數(shù)展有效值開式中的平方和周期信號(hào)的平均功率平均功率P：在一個(gè)周期內(nèi)求平方再求積分。)(2tfP 12220)(21nnnbaannF2100)(121TttdttfT122021nncc帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理1.函數(shù)的對(duì)稱性函數(shù)的對(duì)稱性三、函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系三、函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系

10、要將信號(hào)f(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，如果f(t)是實(shí)函數(shù)，且它波形滿足某種對(duì)稱性，則在其傅里葉級(jí)數(shù)中有些項(xiàng)為0，留下的各項(xiàng)系數(shù)的表示式也比較簡(jiǎn)單。波形對(duì)稱性有兩類：波形對(duì)稱性有兩類：（1）對(duì)整周期對(duì)稱。即偶函數(shù)和奇函數(shù)。（2）對(duì)半周期對(duì)稱。即奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)。2.傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)求解傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)求解(1)偶函數(shù)信號(hào)偶函數(shù)信號(hào)1()F n其傅里葉級(jí)數(shù)三角展開式中 僅含和，其傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)展開式中 直為流項(xiàng)余弦項(xiàng)實(shí)函數(shù)。112014cos( )( )()0()nnTtanf tdtTf tfbt1)偶函數(shù)信號(hào)：,20nnnnnnacaFFt)(tfE021T21T例如：周期三角波信號(hào)是一偶函數(shù)

11、)5cos(251)3cos(91)cos(42)(1112twtwtwEEtf其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：1()F n其傅里葉級(jí)數(shù)三角展開式中 僅含，其傅里葉級(jí)正弦項(xiàng)數(shù)指數(shù)展開式純中 為虛函數(shù)。102011004( )()( sin()Tnnaf tftf tabtTtnd2)奇函數(shù)信號(hào)：，0010,290nnnnnncacbFFbj )3sin(31)2sin(21)sin()(111twtwtwEtf其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：t)(tf2E021T21T例如：周期鋸齒波信號(hào)是一奇函數(shù)2E（2）奇函數(shù)信號(hào)）奇函數(shù)信號(hào)其傅里葉級(jí)數(shù)三角展開式中僅含和基波奇次諧波1112011201cos()sin4(

12、)4()0)nnnTTnababnnnttf tdtTf tdtnT為偶，為奇，（3）奇諧函數(shù)信號(hào)（半波對(duì)稱函數(shù)）奇諧函數(shù)信號(hào)（半波對(duì)稱函數(shù) ）002210,2nnnnnnnncacabFarctbagc 奇諧函數(shù)信號(hào)奇諧函數(shù)信號(hào)：若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形并不發(fā)生變化，即滿足：00a )2()(1Ttftf例子例子例如：奇諧函數(shù)t)(tf2E021T21T2Et)(tf2E021T21T2E)cos(1twt)(tf2E021T21T2E)sin(1twt)(tf2E021T21T2E)2sin(1tw四、傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差四、傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均

13、誤差010221)( )1(nNNtTtEdtTtt方均誤差：0111( )cos()sin()NnnNnnttaabStn有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)：( )(f(t( )NNtStf t其中誤為逼近的差函數(shù)）實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)代替無(wú)限項(xiàng)級(jí)數(shù)。顯然，有限項(xiàng)數(shù)是一種近似的方法，所選項(xiàng)數(shù)愈多，有限項(xiàng)級(jí)數(shù)愈逼近原函數(shù)，其方均誤差愈小。例子例子以下為對(duì)稱方波，注意不同的項(xiàng)數(shù)，有限級(jí)數(shù)對(duì)原函數(shù)的逼近情況，并計(jì)算由此引起的方均誤差。t)(tf2E041T41T2Et)(tf)cos(21twE041T41T2E只取基波分量一項(xiàng))5cos(51)3cos(31)cos(2)(111twtwtwEtf解解

14、：其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：從上面例子看出：（1）n愈大，則愈逼近原信號(hào)f(t)。(2) 當(dāng)信號(hào)f(t)是脈沖信號(hào)時(shí)，其高頻分量主要影響脈沖的跳變沿；低頻分量影響脈沖的頂部。f(t)波形變化愈劇烈，所含的高頻分量愈豐富；f(t)變化愈緩慢，所含的低頻分量愈豐富。(3)當(dāng)信號(hào)中任一頻譜分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，輸出波形一般要發(fā)生失真。t)(tf)cos(21twE041T41T2E取基波分量和三次諧波分量)3cos(321twE取基波、三次諧波分量和五次諧波分量t)(tf)cos(21twE041T41T2E)cos(21twE)5cos(521twE當(dāng)選取傅里葉有限級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)N很大時(shí)，該峰起

15、值趨于一個(gè)常數(shù)，它大約等于總跳變值的9%，并從不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。此現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。五、吉布斯（五、吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象）現(xiàn)象105 .0t)(tf1n%99n3n舉例舉例3.1：指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)形式和將圖示信號(hào)展開為三角f(t) -T -T/2 0 T/2 T t 解：解：0)(natf為奇函數(shù)02, 1220, 12)(tTtTTttTtf11)sin()(nntnbtf20111)sin()(4TndttntfTb201111)sin( 124TdttntTTbababavduuvudv分部積分法2011201111112)cos()cos(124T

16、TndtTtntntTnTb1210111421cos()TtdntTnT , 2 , 1,2411nnTn20111111)sin(1214TntnnTTnb11)sin(2)(ntnntf11)90cos(12)(ntnntf常用形式次諧波分量的相位）（第次諧波分量的幅值）（第（直流分量）其中n90n200nnnnnabarctgnbcc112nnnFFbjjnntjnjeentf1)90(1)(ntnjen901112nnFn ，舉例舉例3.2：求其平均功率畫出信號(hào)的頻譜圖，并已知信號(hào))45cos(21)3cos()4sin()3sin()sin(21)(ttttttf)435cos(2

17、1)24cos()3sin()3cos()2cos(21)(ttttttf解：)435cos(21)24cos()43cos(2)2cos(21)(tttttf常用形式;43,21;2, 1;4,2; 0, 0;2, 2; 155443322110cccccc即其幅度頻譜圖根據(jù)其常用展開式畫出0nC234512其相位頻譜圖根據(jù)其常用展開式畫出0n2345443225. 22121212121252423222120ccccccP作業(yè)P1603-1，3-2，3-3，3-8第三節(jié)第三節(jié)典型周期信號(hào)的典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)典型周期信號(hào)的頻譜

18、分析可利用：典型周期信號(hào)的頻譜分析可利用：傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換或傅里葉變換介紹的典型周期信號(hào)有如下：介紹的典型周期信號(hào)有如下：1、周期矩形脈沖信號(hào)、周期矩形脈沖信號(hào)2、周期鋸齒脈沖信號(hào)、周期鋸齒脈沖信號(hào)3、周期三角脈沖信號(hào)、周期三角脈沖信號(hào)4、周期半波余弦信號(hào)、周期半波余弦信號(hào)5、周期全波余弦信號(hào)、周期全波余弦信號(hào)1 1、周期矩形脈沖信號(hào)、周期矩形脈沖信號(hào)(1)(1)周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期矩形脈沖：脈寬為，脈沖幅度為E，周期為T1。02/2/E2/1T2/1T1Tt)(tf22,22)(11TtTtutuEtf011102,nnabTa

19、nESEa偶函數(shù)解：11110122,0,0,012nnnnnnnnnSaScacccFFETETaEan11111111cos()2( )2jtnnnEEf tTnSatSnaTnEe 三角指數(shù)1,20 ,21fBBBn周期矩形脈沖信號(hào)的幅度頻譜中收斂規(guī)律為主要能量集中在第一個(gè)零點(diǎn)以內(nèi)，即稱為其頻帶寬度（2）周期矩形脈沖信號(hào)的幅度、相位譜）周期矩形脈沖信號(hào)的幅度、相位譜1w1TEnC1nww012w24幅度譜0nw1nw相位譜24復(fù)數(shù)頻譜：1w1TEnFw0212w24實(shí)數(shù)頻譜：幅度譜與相位譜合并幅度譜與相位譜合并1w0cnCw012w24 周期對(duì)稱方波信號(hào)是周期矩形信號(hào)的一種特殊情況，對(duì)稱

20、方波信號(hào)有兩個(gè)特點(diǎn)：a.是正負(fù)交替正負(fù)交替的信號(hào)，其直流分量a0等于零。b.它的脈寬恰等于周期的一半，即 T1/2（3）舉例：周期對(duì)稱方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)）舉例：周期對(duì)稱方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)02E4/1T4/1T1Tt)(tf2E1T解：解：0002,1,3,5.2.nnnSanEEnaba 偶函數(shù)且，奇諧函數(shù)00,1,3,5.0,0,012222nnnnnnnnccaccFFSaSaEncnEn，11121( )1,1,3.sincos()2sin2njnntEf tEnnnnnnte 三角指數(shù)1n周期對(duì)稱方波信號(hào)的幅度頻譜中 收斂規(guī)律na1ww012w13w14w15w1wna15ww01

21、2w幅度譜13w14w0nw1w相位譜13w15w17w(2)(2)周期鋸齒脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期鋸齒脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期鋸齒脈沖信號(hào)，是奇奇函數(shù)。t)(tf2E021T21T2E解：它是奇函數(shù)0na可求出傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)bn,留給同學(xué)們做。111111)sin(1) 1()3sin(31)2sin(21)sin()(nntnwnEtwtwtwEtf其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：此信號(hào)的頻譜只包含正弦分量正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂規(guī)律收斂。(3)(3)周期三角脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期三角脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期三角脈沖信號(hào)，是偶偶函數(shù)。解：它是偶函數(shù)0nb可求出傅里葉

22、級(jí)數(shù)的系數(shù)a0,an,留給同學(xué)們做。此信號(hào)的頻譜只包含直流、基波及奇次諧波分量只包含直流、基波及奇次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂規(guī)律收斂。t)(tfE021T21T112221112)cos()2(sin142)5cos(251)3cos(91)cos(42)(ntnwnnEEtwtwtwEEtf其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：(4)(4)周期半波余弦信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期半波余弦信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期半波余弦信號(hào)，是偶偶函數(shù)。解：它是偶函數(shù)0nb可求出傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)a0,an,留給同學(xué)們做。此信號(hào)的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2

23、的規(guī)律收斂規(guī)律收斂。111121112)cos()2cos() 1(12)4cos(154)2cos(34)cos(2)(TwtnwnnEEtwtwtwEEtfn其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：t)(tfE021T21T1T1T(5)(5)周期全波余弦信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期全波余弦信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期全波余弦信號(hào)，是偶偶函數(shù)。解：令余弦信號(hào)為00012)cos()(TwtwEtf此信號(hào)的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂規(guī)律收斂。1021111)2cos(141) 1(42)6cos(351)4cos(151)2cos(3142)(nn

24、tnwnEEtwtwtwEEtf其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：t)(tfE021T21T1T1T則，全波余弦信號(hào)為：)cos()()(01twEtftf作業(yè)P1603-4，3-6，3-7，3-10，3-11(a)，3-12，第四節(jié)第四節(jié)傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換（非周期信號(hào)）1.1.傅里葉變換引入傅里葉變換引入 10101111111f(t),0,( ),1(T()()0ntTtjtjtnnnF nFF ndf tfntdtTee 設(shè)為任意非周期信號(hào)（周期）則其指數(shù)展開式由于周期信號(hào)的周期T1，譜線的間隔w10，則離散譜變成連續(xù)譜離散譜變成連續(xù)譜。 由于周期信號(hào)的周期T1，譜線的長(zhǎng)度F(nw1

25、)趨于零，則其頻譜失去頻譜失去應(yīng)有的意義。應(yīng)有的意義。 但從物理意義上講，既然是一個(gè)信號(hào)，那么必然有能量，無(wú)論如何分解，必須存在頻譜分布。2.2.頻譜密度的概念頻譜密度的概念 11011T1102limlimT()()defFFnnF：定義信號(hào)的頻譜值頻譜密度函數(shù)單位頻帶 對(duì)非周期信號(hào)不能采用周期信號(hào)的頻譜定義方式。而必須引入一個(gè)新的量。頻譜密度函數(shù)：在T1，譜線的間隔w10 ,不趨于零，而趨近于有限值，且變成一個(gè)連續(xù)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為頻譜函數(shù)。( )( )j tf tf tFdte 定義：傅里葉正變換F1()()12( )j tdf tFFe 定義：傅里葉逆變換F( )fdtt 傅里葉變換存在的充

26、分條件：3.3.傅里葉變換定義傅里葉變換定義wnw1dwnw12)()(11wFwnwF1nw由：得：)()(wFtfFT)()(tfwFIFT4.4.非周期信號(hào)的幅度頻譜與相位頻譜非周期信號(hào)的幅度頻譜與相位頻譜)()()(wjewFwF頻譜函數(shù)F(w)：一般是復(fù)函數(shù)。)( wF：是F(w)的模，它代表信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)相對(duì)大小。)(w：是F(w)的相位函數(shù)，它代表信號(hào)中各頻率分量的相位關(guān)系相位關(guān)系。人們習(xí)慣上也把：wwF)(：為非周期信號(hào)的幅度頻譜；ww)(：為非周期信號(hào)的相位頻譜。()( )( ) c( )os)s(n)i(jFFjttFe 指數(shù)轉(zhuǎn)三角形式：coss1( )()()()

27、 i22(n)f tdjdtFtF 5.5.傅里葉變換形式的三角形式傅里葉變換形式的三角形式( ) t連續(xù)性收斂性具有、（除）() () F 雙邊頻譜圖：密度幅度譜，相位譜6.6.傅里葉變換的特點(diǎn)傅里葉變換的特點(diǎn)非周期信號(hào)和周期信號(hào)一樣，可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量。由于非周期信號(hào)的周期趨于無(wú)限大，基波趨于無(wú)限小，于是它包含了從零到無(wú)限高的所有頻率分量包含了從零到無(wú)限高的所有頻率分量。由于周期趨于無(wú)限大，因此，對(duì)任一能量有限（功率無(wú)限）的信號(hào)（如單脈沖信號(hào)），在各頻率點(diǎn)的分量幅度趨于零。非周期信號(hào)的頻譜用頻譜密度頻譜密度來(lái)表示。看出：周期信號(hào)其頻譜為離散譜；（傅里葉級(jí)數(shù)）非周期信號(hào)其頻

28、譜為連續(xù)譜；（傅里葉變換）周期信號(hào)與非周期信號(hào)，傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換，離散譜與連續(xù)譜，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化并統(tǒng)一起來(lái)。7.7.傅里葉變換的存在充分條件傅里葉變換的存在充分條件 傅里葉變換存在的充分條件是在無(wú)限內(nèi)滿足絕對(duì)可積條件：dttf)( 借助奇異函數(shù)（如沖激函數(shù)）的概念，可使許多不滿足絕對(duì)可積條件的信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件的信號(hào)，如周期信號(hào)、階躍信號(hào)、符號(hào)函數(shù)等存在傅里葉變換存在傅里葉變換。第五節(jié)第五節(jié)典型非周期信號(hào)典型非周期信號(hào)的傅里葉變換的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換 本節(jié)主要介紹以下幾種典型的非周期信號(hào)的頻譜。1、單邊指數(shù)信號(hào)2、雙邊指數(shù)信號(hào)3、

29、奇雙邊指數(shù)信號(hào)4、矩形脈沖信號(hào)5、鐘形脈沖信號(hào)6、符號(hào)函數(shù)7、升余弦脈沖信號(hào)一、單邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換一、單邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換 (1)( )(0)( )atu tf tae：?jiǎn)芜呏笖?shù)（復(fù)函數(shù)）22()1()1),aFarctFaajg 其傅里葉變換為：代入傅里葉變換定義公式中jwaejwadtedteeadtetfwFtjwatjwajwtatjwt1)(1)0()()(0)(0)(0解：?jiǎn)芜呏笖?shù)信號(hào)的頻譜如下：02w)()(awarctgw2( )(0()atufttae01t時(shí)域波形頻域頻譜221( )Fa0a1wa21a3(2)( )(0)a tf tae偶雙邊：指數(shù)（正實(shí)函數(shù)）二

30、、雙邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換二、雙邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換 222222( )( ),0(aFaaaF 其傅里葉變換為：代入傅里葉變換定義公式中220)(0)(00211)(1)(1)0()()(waajwajwaejwaejwadteedteedteeadtetfwFtjwatjwajwtatjwtatjwttajwt解：雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜如下：頻域頻譜( )(0)a tf tae01t時(shí)域波形222( )aFa0a2wa1a3相位等0(3)( )(0),0,0fatattaetet：奇雙邊指數(shù)2222()()2(),022,02jaaFF（純虛函數(shù)）三、奇雙邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換三、奇雙邊指數(shù)

31、信號(hào)的傅里葉變換 頻域頻譜01t時(shí)域波形( )(0)00atatf taetet，0a1wa222( )aFa02w0202)(www222(4)( )ftttE uu矩形脈沖：2( ),0,( )0,( )0)2( )E SaFFFE SaF（實(shí)函數(shù)）的門函數(shù)（脈寬為)(tg四、矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換四、矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換 22( )E u tu tf t0tw()2SFEa0E22. 0EE13. 0( )2SFE a0w22112,2fBwfw時(shí)域有限時(shí)域有限的矩形脈沖信號(hào)，在頻域頻域上是無(wú)限分布無(wú)限分布。通常，認(rèn)為信號(hào)占有頻率范圍（頻帶）為2(5)( )ttEfe：鐘形脈沖五、

32、鐘形脈沖信號(hào)的傅里葉變換五、鐘形脈沖信號(hào)的傅里葉變換（高斯脈沖）（高斯脈沖） 2222( )( ),0EFFEee （正實(shí)函數(shù)）其傅里葉變換為：2( )tf tEe0tEeE22( )FEe w0E2eE因?yàn)殓娦蚊}沖信號(hào)是一正實(shí)函數(shù)，所以其相位頻為相位頻為零。零。10(6)0sgn( )0010,0lim,0ttattttaateet，：符號(hào)函數(shù)，（純虛函數(shù)）六、符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換六、符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換 (2(),02,02)()2FFj 其傅里葉變換為：sgn( ) t0t110w)(wF0w)(w22 這種信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，但它卻存在傅里葉變換。采用符號(hào)函數(shù)與雙邊指數(shù)衰減函數(shù)相乘

33、，求出奇雙邊指數(shù)的頻譜，再取極限，從而求得符號(hào)函數(shù)的頻譜。( )2F,02,02( ) （純虛函數(shù)）七、升余弦脈沖信號(hào)的傅里葉變換七、升余弦脈沖信號(hào)的傅里葉變換 升余弦脈沖信號(hào)：)0()cos(12)(ttEtf其傅里葉變換為：221)(1)sin()(wwSaEwwwEwF)cos(12)(tEtf0tE2E222)(wFw02EE34 它的頻譜是由三項(xiàng)構(gòu)成的，他們都是矩形脈沖的頻譜，只是有兩項(xiàng)沿頻率軸左、右平移了w代入傅里葉變換定義公式中)(2)(2)(442)cos(12)()(000wSaEwSaEwSaEdteeEdteeEdteEdtetEdtetfwFjwttjjwttjjwtj

34、wtjwt解：221)(1)sin()(wwSaEwwwEwF化簡(jiǎn)得：作業(yè)P1643-15，3-16，3-17，3-18，3-19，3-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，第六節(jié)第六節(jié)沖激函數(shù)和階躍函沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換數(shù)的傅里葉變換（1）沖激函數(shù)的傅里葉正變換沖激函數(shù)的傅里葉正變換 f(t)= t(1(), 1)(0)FF（正實(shí)函數(shù)）一、沖激函數(shù)的傅里葉變換一、沖激函數(shù)的傅里葉變換 單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)頻譜等于常數(shù)，即：在整個(gè)頻率整個(gè)頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻分布均勻分布的。 在時(shí)域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所

35、有頻率分量。 稱此頻譜為“均勻譜均勻譜”或“白色譜白色譜”。0)(t) 1 (tw01)(wF其傅里葉變換為：（2）沖激函數(shù)的傅里葉反變換）沖激函數(shù)的傅里葉反變換 其傅里葉變換為：直流信號(hào) f(t)=E (2)(,)20EFEF （正實(shí)函數(shù)）)()(wwF求f(t)沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)。沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)。反過(guò)來(lái)，直流信號(hào)的頻譜是沖激函數(shù)直流信號(hào)的頻譜是沖激函數(shù)。w01)(w)(tf021t求解直流信號(hào)的傅里葉變換解：采用寬度為的矩形脈沖 的極限而求得。22( )E u tu tf t0t( )2SFEa0w22w0)2(E)(w)(tf0Et當(dāng) 時(shí)，矩形脈沖成為直流信號(hào)f(t)=E,其

36、傅氏變換為：若令)2(limwSaEwF)(limkwSakk2k比較上兩式可得到：)(2wEwF當(dāng)E=1時(shí)，)(2wwF)(211)(wtFTFT二、沖激偶信號(hào)的傅里葉變換二、沖激偶信號(hào)的傅里葉變換 沖激偶函數(shù)沖激偶函數(shù)：)(tf)( t)( )(ttf01t1w0)(wFw0)(w22(,0( ),2,( )0)2FjF （純虛函數(shù)）其傅里葉變換為：推導(dǎo)：推導(dǎo)：解：解： dwetIFTjwt21)(:兩邊求導(dǎo)：dwejwdttdjwt)(21)(得：jwdttdFT)(nFTnnjwdttd)()(推廣：推廣： nnnFTndwwdjt)()(2 222( ),10,0,02,021( )

37、( )FjF （復(fù)函數(shù)）三、階躍信號(hào)的傅里葉變換三、階躍信號(hào)的傅里葉變換 階躍函數(shù)：階躍函數(shù)u(t)不滿足絕對(duì)可積條件，但它仍存在傅里葉變換。2121)(tu)sgn(t)()f tu t01t 222( )1F w0可見：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)u(t)的頻譜的頻譜在w=0點(diǎn)存在存在一個(gè)沖激函數(shù)，沖激函數(shù)，即：u(t)含有直流分量含有直流分量。此外：由于u(t)不是純直流信號(hào)不是純直流信號(hào)，它在t=0點(diǎn)有跳變，因此在頻譜中還存在其他頻率分量存在其他頻率分量。第七節(jié)第七節(jié)傅里葉變換傅里葉變換的基本性質(zhì)的基本性質(zhì)v傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換建立了時(shí)間函數(shù)f(t)與頻譜函數(shù)F(w)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)

38、系。其中，一個(gè)函數(shù)確定之后，另一函數(shù)隨之被唯一地確定。1、對(duì)稱性 2、線性（疊加性）3、奇偶虛實(shí)性 4、反折5、共軛性能 6、尺度變換特性7、時(shí)移特性 8、頻移特性9、微分特性 10、積分特性v傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)( )F( )()(t)ffF t與具相同表達(dá)式， 與具相同表達(dá)式）(1)( )(:f tF 若對(duì)稱性FT()2( )F tf 則FTw0)2()(w)(tf01tt0)1 ()(t)(wf01w( )2SFEa0w220t)(tf1220w)(2)(2wfwf12cw2cw0tcw2cw2)(tFv傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)1122(2):f ( )( ), f

39、( )( )tFtF 線性若性FFTT11122122f ( )f ( )( )(aa)attFaF 則FT其中，其中，a1,a2為常數(shù)為常數(shù)f( )( )( );f( )( )f( )( );f( )( )( )tFtFtFtF 則當(dāng)為時(shí)，為偶函，為奇函當(dāng)為函時(shí)，為實(shí)偶函；實(shí)函數(shù)實(shí)偶實(shí)當(dāng)為函時(shí)，為虛奇函當(dāng)為時(shí)，為偶函虛函數(shù)奇，為奇函。v傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)(3)f( )( )tF 奇偶虛實(shí)： 若性F為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù)(5)f( )( )tF 若共軛性：F*f ( )(),f ()( )ttFF 則FF(4):f( )( )tF 若反折性Ff()()Ft 則Fv傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉

40、變換的性質(zhì)1f(),0Faaata 則F(6)f( )( )tF 尺度變換：若性Fv傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)當(dāng)信號(hào)在時(shí)域中壓縮（當(dāng)信號(hào)在時(shí)域中壓縮（a0)，等效于在頻域中擴(kuò)展。，等效于在頻域中擴(kuò)展。當(dāng)信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展（當(dāng)信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展（a0)，等效于在頻域中壓縮。，等效于在頻域中壓縮。當(dāng)信號(hào)在時(shí)域中當(dāng)信號(hào)在時(shí)域中 沿縱軸反折（沿縱軸反折（a=-1)，說(shuō)明信號(hào)在時(shí)域中，說(shuō)明信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反折等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反折。沿縱軸反折等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反折。即：信號(hào)的波形壓縮即：信號(hào)的波形壓縮a倍，信號(hào)隨時(shí)間變化加快倍，信號(hào)隨時(shí)間變化加快a倍，則倍，則它所包含的頻率分量增加它

41、所包含的頻率分量增加a倍。即頻譜展寬倍。即頻譜展寬a倍。根據(jù)能倍。根據(jù)能量守恒定律，各頻率分量的大小必然減小量守恒定律，各頻率分量的大小必然減小a倍。倍。在通信系統(tǒng)中，通信速度與占用頻帶寬度是一對(duì)矛盾。在通信系統(tǒng)中，通信速度與占用頻帶寬度是一對(duì)矛盾。(7)f( )( )tF 若時(shí)移性：F00000f()( ),0f(1)j ttjaaaFttttFatee 則FFv傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 信號(hào)在時(shí)域中延時(shí)信號(hào)在時(shí)域中延時(shí)t-t0（沿時(shí)間軸右移），等效于（沿時(shí)間軸右移），等效于在頻域中相位產(chǎn)生偏差（在頻域中相位產(chǎn)生偏差（-wt0),其幅度譜不變。其幅度譜不變。v例例3-23-2求下列所

42、示三脈沖信號(hào)的頻譜。求下列所示三脈沖信號(hào)的頻譜。0)(tfE22TTt解：令解：令f0(t)表示矩形單脈沖信號(hào)表示矩形單脈沖信號(hào)0t)(0tf122)2()(0wSaEwF0w22)(0wFE)()()()(000TtfTtftftf由時(shí)移特性可得：由時(shí)移特性可得：)cos(21)2()1)()(0wTwSaEeewFwFjwTjwT0wT2)(wFE3其頻譜如下：其頻譜如下：T42v例例3-33-3求雙求雙Sa信號(hào)的頻譜。信號(hào)的頻譜。解：令解：令f0(t)表示為表示為Sa信號(hào)波形信號(hào)波形0t)(0tfcw)2()()(twSatwSawtfccc0t2)2(0tf0t)(tfcw2由時(shí)移特性

43、得：由時(shí)移特性得：ccwwwwwF01)(00w)(0wF1cc已知已知F0(w)表示為表示為Sa信號(hào)頻譜信號(hào)頻譜ccwjwjFTwwwweewFtf0)()2(2200可得可得幅度譜：幅度譜：ccwwwwwwF0)sin(2)(0w)(wF2cccw雖然單雖然單Sa信號(hào)的頻譜最為信號(hào)的頻譜最為集中，但它含有直流分量，集中，但它含有直流分量，使得它在實(shí)際傳輸過(guò)程中使得它在實(shí)際傳輸過(guò)程中帶來(lái)不便，而雙帶來(lái)不便，而雙Sa信號(hào)的信號(hào)的頻譜能消去直流分量。頻譜能消去直流分量。(8)f( )( )tF 若頻移性：F000f( )(),0jttFe 則F000000f( )()()s1cosin,f( )

44、()()22ttFFtFjFt調(diào)制性：v傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)頻譜搬移技術(shù)在通信中應(yīng)用廣泛。如調(diào)幅、同步解調(diào)、頻譜搬移技術(shù)在通信中應(yīng)用廣泛。如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過(guò)程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。變頻等過(guò)程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻域上右移頻域上右移w0,等效等效時(shí)域中信號(hào)調(diào)制時(shí)域中信號(hào)調(diào)制。即乘以因子。即乘以因子tjwe0v例例3-43-4已知矩形調(diào)幅信號(hào)如圖所示已知矩形調(diào)幅信號(hào)如圖所示其中其中G(t)為矩形脈沖，脈幅為為矩形脈沖，脈幅為E，脈寬為，脈寬為 ，試求其頻譜。，試求其頻譜。)cos()()(0twtGtf0t2)(tfE2解：解：G(t)矩形脈沖的頻譜為：矩形脈

45、沖的頻譜為：0w2)(wGE)2()(wSaEwG根據(jù)頻移特性：根據(jù)頻移特性：f(t)的頻譜的頻譜F(w)為為2)(22)(2)(21)(21)(0000wwSaEwwSaEwwGwwGwF其頻譜圖為：其頻譜圖為：w00w20w)(wG2E0wv例例3-53-5已知余弦信號(hào)已知余弦信號(hào)利用頻移定理求利用頻移定理求其頻譜。其頻譜。)cos()(0twtf解：已知直流信號(hào)的頻譜是位于解：已知直流信號(hào)的頻譜是位于w=0點(diǎn)的沖激函數(shù)，即點(diǎn)的沖激函數(shù)，即)(2)(1)(wwFtfFT利用頻移定理，可求得利用頻移定理，可求得)()()()cos()(000wwwwwFtwtfFT其頻譜位于其頻譜位于0,頻

46、譜圖如下：頻譜圖如下：w0w0w0)(wF余弦、正弦信號(hào)即為單頻信號(hào)。余弦、正弦信號(hào)即為單頻信號(hào)。(10)f( )( )tF 微分性： 若F( )( )( )( )nnnnnnf tddtjtFFfdtjd 則，F(xiàn)Fv傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)(9)f( )( )tF 若積分性：F ( )( )( )( )( )(00)tFfFfdtjtjdtfF 則，F(xiàn)Fv例子例子已知單位階躍信號(hào)已知單位階躍信號(hào)u(t)的傅里葉變換的傅里葉變換利用時(shí)域微分定理，求利用時(shí)域微分定理，求 (t)及及 (t) 。)(1)(wjwtu解：解：1)(1)()(wjwjwdttdutFTjwjwdttdtFT1)

47、()( v例例3-63-6已知三角脈沖信號(hào)已知三角脈沖信號(hào)利用微分特性求其頻譜利用微分特性求其頻譜F(w).)2(0)2()21 ()(tttEtf解：解：f(t)的波形如右的波形如右tdttdf)(E022t)(tfE022求導(dǎo)求導(dǎo)再求導(dǎo)再求導(dǎo)t22)(dttfdE2022E2E4求其頻譜求其頻譜最后求出最后求出f(t)的頻譜的頻譜F(w).將將f(t)取一階與二階導(dǎo)數(shù)：取一階與二階導(dǎo)數(shù)：2)20(02)02(2)(ttEtEdttdf)(2)2()2(2)(22tttEdttfd求出二階導(dǎo)數(shù)的頻譜求出二階導(dǎo)數(shù)的頻譜F2(w).)()()()()()()(22222wFwwFjwwFdttf

48、dwFtfFTFT求得求得f(t)的頻譜為：的頻譜為：22)()(22222jwjwFTeeEwFdttfd)(2)2()2(2)(22tttEdttfd)(1)(22wFwwF)4(2)4(4sin24sin4222cos2222)(22222222wSaEwwEwwEwwEeewEwFjwjw其頻譜圖其頻譜圖02E)4(2)(wSaEwF4848wv例例3-73-7求下列截平斜變信號(hào)的頻譜求下列截平斜變信號(hào)的頻譜)()0(1)2(0)(000ttttttttf解：利用積分特性求解：利用積分特性求y(t)的頻譜的頻譜Y(w).已知：矩形脈沖信號(hào)已知：矩形脈沖信號(hào)f(t) ，其積分就是，其積分

49、就是y(t)t)(tf01t00tttdfty)()(100t求積分求積分通過(guò)積分特性通過(guò)積分特性求其頻譜求其頻譜最后求出最后求出y(t)的頻譜的頻譜Y(w).已知矩形脈沖信號(hào)已知矩形脈沖信號(hào)f(t)的頻譜的頻譜根據(jù)積分特性求出根據(jù)積分特性求出y(t)的頻譜的頻譜Y(w).01)0(F)(1tft01t020t20tt)(tf01t00t時(shí)移時(shí)移)2()(01wtSawF200)2()(tjwewtSawF時(shí)移時(shí)移tdfty)()()()2(1)()0()(1)(200wewtSajwwFwFjwwYwtj作業(yè)P168 3-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-

50、27，3-28，3-29，3-30，第八節(jié)第八節(jié)卷積特性卷積特性（卷積定理）（卷積定理）卷積特性是傅里葉變換性質(zhì)之一，由于它卷積特性是傅里葉變換性質(zhì)之一，由于它在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理中的重要地位應(yīng)在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理中的重要地位應(yīng)用最廣。所以單獨(dú)以一節(jié)來(lái)講。用最廣。所以單獨(dú)以一節(jié)來(lái)講。共分二個(gè)定理：共分二個(gè)定理：時(shí)域卷積時(shí)域卷積定理定理頻域卷積頻域卷積定理定理卷積特性卷積特性v、時(shí)域卷積定理、時(shí)域卷積定理給定兩個(gè)時(shí)間函數(shù)給定兩個(gè)時(shí)間函數(shù)已知：已知：)()(21t、ftf( (w w) )F F( (t t) )f f( (w w) )F F( (t t) )f f2 2F FT T2 21 1F

51、 FT T1 1( (w w) )F F( (w w) )F F( (t t) )f f( (t t) )f f2 21 1F FT T2 21 1 則：則：時(shí)域卷積時(shí)域卷積頻域相乘。頻域相乘。即：兩個(gè)時(shí)間即：兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積。頻譜的乘積。v證明：證明：根據(jù)卷積定義根據(jù)卷積定義 dtfftftf)(*)()(*)(2121則：則：)()()()()()()()()(*)()(*)(211221212121wFwFdefwFdewFfddtetffdtedtfftftfjwjwjwtjwtFT v、頻域卷積定理、頻域卷積定理給定兩個(gè)時(shí)

52、間函數(shù)給定兩個(gè)時(shí)間函數(shù)已知：已知：)()(21t、ftf( (w w) )F F( (t t) )f f( (w w) )F F( (t t) )f f2 2F FT T2 21 1F FT T1 1( (t t) )f f( (t t) )f f2 21 1( (w w) )F F( (w w) )F F2 21 1I IF FT T2 21 1 則：則：頻域卷積頻域卷積時(shí)域相乘。時(shí)域相乘。即：兩個(gè)時(shí)間即：兩個(gè)時(shí)間函數(shù)函數(shù)頻譜頻譜的卷積的卷積等效于各個(gè)時(shí)間函數(shù)等效于各個(gè)時(shí)間函數(shù)的乘積（乘的乘積（乘以系數(shù)）。以系數(shù)）。2 21 1v例例3-3-已知余弦脈沖信號(hào)已知余弦脈沖信號(hào) )2(0)2()

53、cos()(tttEtf解：把余弦脈沖信號(hào)看成是矩形脈沖信號(hào)解：把余弦脈沖信號(hào)看成是矩形脈沖信號(hào)(t) 與周期余弦信與周期余弦信號(hào)相乘。號(hào)相乘。t)(tfE022 利用卷積定理求其的頻譜。利用卷積定理求其的頻譜。t)(tfE022 t)(tGE022 乘乘以以等等于于t tcos1022 時(shí)域：時(shí)域：頻域：頻域：w tF cos)(0 )(0w2)(wGE2 40w3)(wFE23 5卷卷積積等等于于已知：已知：)cos()()(ttGtf )2()(wSaEwG )()()cos( wwtFT 2)(22)(2)()(*)(21)cos()(wSaEwSaEwwwGttGFT化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得：

54、 2)(1)2cos(2)(wwEwFv例例3-3-題目同例已知三角脈沖信號(hào)題目同例已知三角脈沖信號(hào)利用卷積定理求其頻譜利用卷積定理求其頻譜F(w).)2(0)2()21 ()(tttEtf解：兩個(gè)同樣矩形脈沖的解：兩個(gè)同樣矩形脈沖的卷積卷積即為三角脈沖。如下：即為三角脈沖。如下：t)(tfE022卷積卷積tE2044 )(tG等于等于tE2044 )(tG時(shí)域卷積等于頻域相乘。時(shí)域卷積等于頻域相乘。乘以乘以等于等于0w8)(wG2E4 40w3)(wFE23 50w8)(wG2E4 4即求出三角脈沖的頻譜即求出三角脈沖的頻譜F(w).)4(22)(wSaEwG )4(2)4(22)()(22

55、2wSaEwSaEwGwF v補(bǔ)充例子補(bǔ)充例子3.3.：)F()(的求圖示信號(hào)tf -2 -1 0 1 2 t f(t) 2 按定義求傅里葉變換）法解：（11012211)(其它tttfdttfjFetj)()(dtdtdteeetjtjtj211112211112111eeetjtjtjjjjeeeejjjjj221 SaSa224質(zhì)求利用傅里葉變換線性性）法解：（2 SaSatgtgF224)()(22)()()(42tgtgtf 24)(2)(2)(42SatgSatgSaEtEg，即請(qǐng)同學(xué)們畫出頻譜圖請(qǐng)同學(xué)們畫出頻譜圖 422FSaSa用畫出頻譜圖：用畫出頻譜圖：v補(bǔ)充補(bǔ)充3.3.：已

56、知f(t)=g2(t)cos(500t)，求其頻譜函數(shù)cos(100t)cos(1000t)()500cos()(2tgttf1（）法 利用傅里葉變換線性性和頻移性求)(212500500tgeetjtjeetjtjtgtg50025002)()(21v 解： 2( )( )22g tSag tSa即50050022( )2500( )2500jtjtg tSag tSaee， 500500SaSaF )500()500(2122GGF利用信號(hào)的調(diào)制作用求）法解：（2)()500cos()(2tgttf Satg2)(2 500500SaSaFv頻譜圖頻譜圖 500500FSaSa Sav補(bǔ)充

57、例子補(bǔ)充例子3.3.：)F(12)(2的求信號(hào)ttf222et212et即對(duì)稱性求解：利用傅里葉變換的)(2)()()(ftFFtfeF 2)(v頻譜圖：頻譜圖：22( )1f tteF 2)()F()4cos(sin)(的求信號(hào)ttttf頻移性和對(duì)稱性求解：利用傅里葉變換的 sin22)(2 Satg)()(212sin22ggtt)(2)()()(ftFFtfv補(bǔ)充例補(bǔ)充例. .：eetjtjtttf4421sin)(22( )(4)(4)2Fgg000f( )(),0jttFe F)F()(的求圖示信號(hào)tfv補(bǔ)充例補(bǔ)充例3.3.：)(tft時(shí)移性和微積分性求解：利用傅里葉變換的) 1()

58、 1() 1(1211)(tutututtf性即不可直接套用微積分, 01)(f) 1() 1() 1() 1(21)(, 1)(21tutututtftf設(shè)) 1() 1() 1(121) 1() 1(21)(2tttttututf tg221 112ft Satg22 ，)0( )( )( )(FjFdftft 22( )f tFSa 22( )( )(0)Saf tFSaj ， jSa)( 12( )( )2(0)f tFFFSaSaj ， 3)(jSav頻譜圖：頻譜圖：()()3S aFj ()()3SaFj作業(yè)P1693-31，3-32，3-33，3-34，第九節(jié)第九節(jié)周期信號(hào)的周期

59、信號(hào)的傅里葉變換傅里葉變換一、周期信號(hào)的傅里葉變換一、周期信號(hào)的傅里葉變換 周期信號(hào)周期信號(hào)-傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)非周期信號(hào)非周期信號(hào)- 傅里葉變換傅里葉變換周期無(wú)窮大周期無(wú)窮大求和變求積分求和變求積分 周期信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，但在允許沖激函數(shù)周期信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，但在允許沖激函數(shù)存在并認(rèn)為它有意義的前提下，絕對(duì)可積條件就成為不存在并認(rèn)為它有意義的前提下，絕對(duì)可積條件就成為不必要的限制。也就有周期信號(hào)的傅里葉變換。必要的限制。也就有周期信號(hào)的傅里葉變換。目的：目的：把周期信號(hào)與非周期信號(hào)的分析方法統(tǒng)一起來(lái)，把周期信號(hào)與非周期信號(hào)的分析方法統(tǒng)一起來(lái)，使傅里葉變換得到廣泛應(yīng)用。使傅里葉變

60、換得到廣泛應(yīng)用。v1.正弦、余弦周期信號(hào)的傅里葉變換正弦、余弦周期信號(hào)的傅里葉變換 111cos()()()t ：余弦信號(hào)F111sin()()()tj 正弦信號(hào)：F000f( )(),0jttFe F21( ) t F000,02()jte Fv頻譜頻譜0ttwtf1cos)( 10ttwtf1sin)( 1w0w0w0)(wFw0w0w0)(wjF v例子例子0t2)(tfE2其頻譜圖為：其頻譜圖為：w00w20w)(wG2E0w有限長(zhǎng)的余弦信號(hào)有限長(zhǎng)的余弦信號(hào) 有限長(zhǎng)余弦信號(hào)有限長(zhǎng)余弦信號(hào)f0(t)的寬度的寬度 增大時(shí)，頻譜增大時(shí)，頻譜F0( )越來(lái)越集中越來(lái)越集中到到1的附近，當(dāng)?shù)母浇?/p>