2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5.1平面幾何中的向量方法導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修4

1、2.5.1平面幾何中的向量方法學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.學(xué)習(xí)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題及其他一些實(shí)際問題的過程.2.體會(huì)向量是一種處理幾何問題的有力工具3 培養(yǎng)運(yùn)算能力、分析和解決實(shí)際問題的能力.西問題導(dǎo)學(xué)-向量是數(shù)學(xué)中證明幾何命題的有效工具之一.在證明幾何命題時(shí)，可先把已知條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算就很容易得出結(jié)論 .一般地，利用實(shí)數(shù)與向量的積可以解決 共線、平行、長(zhǎng)度等問題，利用向量的數(shù)量積可解決長(zhǎng)度、角度、垂直等問題向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系了起來，這樣就可以用代數(shù)方程研究幾何問題，同時(shí)也可以用向量來研究某些代數(shù)問題向量的數(shù)量積體現(xiàn)了向量的長(zhǎng)度與三角函數(shù)間的關(guān)系，把向量的

2、數(shù)量積應(yīng)用到三角形中，就能解決三角形的邊角之間的有關(guān)問題.知識(shí)點(diǎn)一幾何性質(zhì)及幾何與向量的關(guān)系設(shè)a= (xi,yi),b= (X2,y2),a,b的夾角為0.思考 1 證明線段平行、點(diǎn)共線及相似問題，可用向量的哪些知識(shí)？答案 可用向量共線的相關(guān)知識(shí)：a/b?a=入b?Xiy2-X2yi= 0(b*0).思考 2 證明垂直問題，可用向量的哪些知識(shí)？答案 可用向量垂直的相關(guān)知識(shí)：a丄b?ab= 0?X1X2+yiy2= 0.梳理 平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來.知識(shí)點(diǎn)二向量方法解決平面幾何問題的步驟1. 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量

3、表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題2. 通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題3. 把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.題型探究-類型一用平面向量求解直線方程例 1 已知ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)A(0，- 4) ,B(4 , 0) ,C( - 6, 2)，點(diǎn) D,E,F分別為邊BC CAAB的中點(diǎn).(1)求直線DE EF, FD的方程；2求AB邊上的高線CH所在的直線方程解由已知得點(diǎn)D( 1, 1),日一 3, 1),F(2 , 2)，設(shè)Mx,y)是直線DE上任意一點(diǎn),則DM/BEDM=(x+ 1,y 1) ,6E=( 2, 2).(2)x(x+1)(2)X(y1)=0

4、,即xy+ 2= 0 為直線DE的方程.同理可求，直線EF,FD的方程分別為x+ 5y+ 8 = 0,x+y= 0.(2)設(shè)點(diǎn)N(x,y)是CH所在直線上任意一點(diǎn)，則SNLABSN- XB=0.又SN=(x+ 6,y 2) ,XB=(4 , 4). 4(x+ 6) + 4(y 2) = 0,即x+y+ 4= 0 為所求直線CH的方程.反思與感悟利用向量法解決解析幾何問題，首先將線段看成向量，再把坐標(biāo)利用向量法則進(jìn)行運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練 1 在厶ABC中,A(4 , 1) ,B(7 , 5) ,C( 4, 7)，求/A的平分線所在的直線方程 解AB=(3,4), AC=(8,6),/A的平分線的一個(gè)方

5、向向量為5.設(shè)P(x,y)是角平分線上的任意一點(diǎn),整理得 5x+y 29= 0.類型二 用平面向量求解平面幾何問題例 2 已知在正方形ABCD,E、F分別是CD AD的中點(diǎn)，BE CF交于點(diǎn)P.求證：(1)BE!CF/ A的平分線過點(diǎn)AP/a,所求直線方程為-A,515(x 4)訓(xùn)-1) = 0.AB-+|AB5 +-5 , 53(2)AP= AB證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則A(0, 0) ,B(2 , 0),C(2 , 2) ,E(1 ,2) ,F(0 , 1).(1) BE= (-1,2), 2F=(-2, -1). BE- CF=(-1)X(2)+2X(1)=0, B

6、E!6F,即BEL CF(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y)，則FP= (x,y 1),FC=(2,1)FP/ FC,x= 2(y 1)，即x= 2y 2,同理，由 BP/盲E得y= 2x+ 4,i=2y2,x=5，由*得y=2x+ 4,|8y=5,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6, 5).繭=5 J 52=2T馬,即AP= AB反思與感悟 用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路：(1) 向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟：選取基底；用基底表示相關(guān)向量；利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找出相應(yīng)關(guān)系；把幾何問題向量化(2) 向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；把相關(guān)向量坐標(biāo)化；用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找出相應(yīng)關(guān)系；把幾何問

7、題向量化.跟蹤訓(xùn)練 2 如圖，在正方形ABCDh P為對(duì)角線AC上任一點(diǎn)，PELAB PFL BC垂足分別為E,F,連接DP EF,求證：DPL EF.4證明 方法一 設(shè)正方形ABCD勺邊長(zhǎng)為 1,AE= a（0a1）,則ElAE= a,PF=EB=1 a,Al2a, 6P- EF=（陥Ap（EPPF） =DA- EP+ SA-P+pP- EP+ AP-PF=1xaxcos 180 +1x（1a）xcos 90 +2axaxcos 45 +2ax（1a）xcos 452=a+a+a（1 a） = 0. DPIEF,I卩DPI EF方法二 如圖，以A為原點(diǎn)，AB AD所在直線分別為x軸，y軸建立

8、平面直角坐標(biāo)系.設(shè)正方形ABC啲邊長(zhǎng)為 1,AP=入（0 入 2）,則D（0,1） ,P（2入，+ 入），E（2入，0），F(xiàn)（1 ,2入）.DP=（扌入，# 入-1） ,EF= （1 - 入， 入）.DP-EF= 入1入2+ 2 入22 2 2 5P1EF,l卩DPL EF商當(dāng)堂訓(xùn)練-1. 已知在ABC中，若 屁=a,AC=b,且a-b0,則厶ABC勺形狀為()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.不能確定答案 A2. 過點(diǎn)A(2 , 3)，且垂直于向量a= (2 , 1)的直線方程為()A.2x+y 7 = 0B.2x+y+ 7= 0入=0,5c.x 2y+ 4 = 0D.x 2y

9、4= 0答案 A解析 設(shè)P(x,y)為直線上一點(diǎn)，則XFa,即(x 2)x2+ (y 3)x1= 0,即卩 2x+y 7 = 0.3. 在四邊形ABCD中，若AUC?B=0,NC目D=0，則四邊形ABC()A.平行四邊形B.矩形C.等腰梯形D.菱形答案 D解析I ADCB= 0, AD=目C,四邊形ABCD為平行四邊形.又AC-BD=0,ACLBD即平行四邊形ABCD勺對(duì)角線垂直，平行四邊形ABCD菱形.4. 如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8,AD= 5,CF= 3PDAP- BF= 2,則AB- AD勺值是_.答案 22A AA 1 A 1 A A A A A 1 A A A A

10、A1 A A A解析 由CF= 3PD得DF=7 DC= ;AB AF=ADF DF=AM ;AB BF=AFAB= AM：AB- AB= AD4444|AB因?yàn)閄P-BP=2,所以(ADF4AB-(At|AB= 2,即AD gAbAB-AB= 2.又因?yàn)锳D= 25 ,AB= 64 ,所以AB-At= 22.5.如圖所示，在厶ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn).過點(diǎn)O的直線分別交直線AB, AC于不同的兩點(diǎn)M N若AB= mAM AC=nAN,貝U mFn的值為_.答案 26解析TO是BC的中點(diǎn),7 KO=2(XB+X(C.又:miAMAG=nXNT mi nAO -AMT - AN22又M 0,

11、N三點(diǎn)共線，m n 2+2=1，貝U mTn= 2.廠規(guī)律與方法-利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題利用向量解決平面幾何問題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量；另一種思路 是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及的向量的坐標(biāo)課時(shí)作業(yè)、選擇題1.在厶ABC中,已知A(4 , 1) ,B(7 , 5) ,C 4 , 7)，貝U BC邊的中線AD的長(zhǎng)是()A.25B.25C.3 5答案 B2點(diǎn)0是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足0AAB=AB-&=AC- 0A則點(diǎn)0是厶ABC勺( )A. 三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B. 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C.

12、 三條中線的交點(diǎn)D. 三條高的交點(diǎn)答案 D I AD =5 ,52-解析IBC的中點(diǎn)為8解析/0A-AB=AC(6AAC-6B=o,9OB CA=0, OBL AC同理OAL BC OCL ABO為三條高的交點(diǎn).0),1因?yàn)锳CAIB+AD BE=BCAE=AD-2 屁所以AC-EBE= (ABAD-(AD-2AB1A A1Ao Ap121=，ABAD-2AB+AD= oa+4a+1.由已知，得規(guī)+ a+ 1 = 1,1 1又因?yàn)閍 0，所以a= ，即AB的長(zhǎng)為 2*二、填空題8.已知在矩形ABCDKAB=2,AD=1,E,F分別為BC CD的中點(diǎn)，則（AE+AF） -BD=_答案一 9解析

13、如圖，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0 , 0) ,02, 0) ,DO , 1),- C(2 , 1).A.1 B.2 C. 3D.11 (A 曰AF)BD=IX(2)9.已知直線ax+by+c= 0 與圓x2+y2= 1 相交于A,B兩點(diǎn)，若|AB =I，則oA-0B=答案12解析如圖，作ODL AB于點(diǎn)D,則在 RtAOD中,OA=1,AD=,所以/AOD=60 , /AOB=120,所以0A0B= |OAOBfcos 120 = 1X1X(10.若點(diǎn) 皿是厶ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足 3AM-AB- AC=0,則厶ABMfAABC的面積之 比為

14、 .答案 1：3解析如圖，D為BC邊的中點(diǎn),則XD= 2(AB+X(C.因?yàn)?3AM-AB-AC=0,所以 3AM=2AD所以AM=AD21所以SABD= SAAB(C三、解答題11.在等腰梯形ABC曲，已知AB/ DC AB=2 ,BC=1，/ABC=60，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線 E,F分別為BC CD的中點(diǎn),E2,1,F(1 , 1),3, I ,BD=( 2,1),12段BC和DC上，且 醛 入BC艮丄DC求尺E陸的最小值. 9 入解 在等腰梯形ABCD中,由AB=2,BC=1, /ABC=60,可得DC=1,AE=AB 入BC AF=f1AAAAAA1AA葉 9yDC AEAF=（AB+入

15、BC）（A葉気DCAAA1A A A A1A=AB* AD+ AB* DGF入BC* AD入BC* DC9 入9 入1 1=2X1XCOS 60 +2X +入x1x1xCOS 60 +入cos 1209 入9 入證明 設(shè)PD=入SD并設(shè)ABC的邊長(zhǎng)為a,則有A A A A1 A2 A A1 APA= P內(nèi)DA=入C內(nèi) 3BA=入（-BA- BC+ 3BA33=1（2 入 + 1）EAA-入BCEA=A-1BCPA/ EA,. （2 入 + 1）BA入BC= kBA-kBC33132入+1=k，于是有1入=3k， PD= BP= BC+CP=三討7BA務(wù)2BA_ BCA A 14 -2 - -2

16、 入 17+ + 9 入 218由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知AE- AF22入.9 入2當(dāng)且僅當(dāng)2229，即入=3 時(shí)，取得最小值12.如圖所示,在正三角形ABC中,D E分別是AB BC上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且分別靠近點(diǎn)點(diǎn)B,且AECD交于點(diǎn)P.求證：BPL DC解得入=1.18 181729+13從而BP- CD=（尹C+ -BA（3BA-BC/3148212102=21a-7a-21a C0S 60= ，BP丄CD二BPL DC求頂點(diǎn)D的坐標(biāo);若DB2EC F為AD的中點(diǎn)，求AE與BF的交點(diǎn)I的坐標(biāo).(1)設(shè)點(diǎn)D(m n)，因?yàn)閄D=BG,所以(m n) = (6 , 8) - (4 , 1) = (2 , 所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2 , 7).設(shè)點(diǎn)I(x,y)，則點(diǎn)F坐標(biāo)為i1.由于DE=2EC故(XE2,yE 7) = 2(6 XE,8 yE，所以E蒙,23,由于BF= 3,2, Bl =(x4,y1), BF/ Bl,所以|(x 4) =- 3(y 1),723解得x= 4,y=23723則點(diǎn)I的坐標(biāo)為(-,).48四、探究與拓展答案 2解析設(shè)/BAG=0,AD= x,則AC- AB=2x-3-cos0 =5,13.如圖，已知平行四邊形8).7),14又AE/Ki，所以23x=y,14.在厶ABC中,AB=3,AC邊上的中線BD=.5,AC-AB=5,則AC的長(zhǎng)為155 xcos0 =