平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角說課稿教案教學(xué)設(shè)計(jì)

1、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析平面向量的數(shù)量積，教材將其分為兩部分.在第一部分向量的數(shù)量積中，首先研究平面向 量所成的角，其次，介紹了向量數(shù)量積的定義，最后研究了向量數(shù)量積的基本運(yùn)算法則和基本 結(jié)論；在第二部分平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示中，在平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示研討了平面向量所成角的計(jì)算方式，得到了兩向量垂直的判定方法 ，本節(jié)是平面向量數(shù)量積的第二部分 .前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積，以及平面向量的坐標(biāo)表示 .那么在有了平面向量的坐標(biāo)表示以及坐標(biāo)運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)和引進(jìn)平面向量的數(shù)量積后，就順其自然地要考慮到平面向量的數(shù)量積是否也能用坐標(biāo)表示的問題

2、.另一方面，由于平面向量數(shù)量積涉及了向量的模、夾角,因此在實(shí)現(xiàn)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示后，向量的模、夾角也都可以與向量的坐標(biāo)聯(lián)系起來.利用平面向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算 ，結(jié)合平面向量與平面向量數(shù)量積的關(guān)系來推導(dǎo)出平面向量 數(shù)量積以及向量的模、夾角的坐標(biāo)表示.教師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.通過例題分析、課堂訓(xùn)練，讓學(xué)生總結(jié)歸納出對(duì)于向量的坐標(biāo)、數(shù)量積、向量所成角及模等幾個(gè)因素 ，知道其中一些因素，求出其他因素基本題型的求解方法.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的，這都為數(shù)量積的坐標(biāo)表示奠定了知識(shí)和方法基礎(chǔ).

3、三維目標(biāo) 1.通過探究平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示方法.2.掌握兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)條件以及能運(yùn)用兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等幾何問題. 3.通過平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的運(yùn)算速度，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 教學(xué)難點(diǎn)：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用 . 課時(shí)安排 1課時(shí)教學(xué)過程 導(dǎo)入新課思路1.平面向量的表示方法有幾何法和坐標(biāo)法，向量的表示形式不同，對(duì)其運(yùn)算的表示方式也會(huì)改變.向量的坐標(biāo)表示，為我們解決有關(guān)向量的加、 減

4、、數(shù)乘運(yùn)算帶來了極大的方便. 上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積 ，那么向量的坐標(biāo)表示，對(duì)平面向量的數(shù)量積的表示方 式又會(huì)帶來哪些變化呢？由此直接進(jìn)入主題.思路2.在平面直角坐標(biāo)系中，平面向量可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示，兩個(gè)平面向量共線的條件也可以用坐標(biāo)運(yùn)算的形式刻畫出來，那么學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積之后，它能否用坐標(biāo)來表示？若能，如何通過坐標(biāo)來實(shí)現(xiàn)呢？平面向量的數(shù)量積還會(huì)是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)嗎？同時(shí) ， 平面向量的模、夾角又該如何用坐標(biāo)來表示呢？通過回顧兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和向量的 坐標(biāo)表示，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)、探索平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示推進(jìn)新課新知探究 提出問題 平面向量的數(shù)量積能否用坐標(biāo)表

5、示？已知兩個(gè)非零向量a=(x i,y i), b=(X2,y 2),怎樣用a與b的坐標(biāo)表示a b呢？怎樣用向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)平面向量垂直的條件？你能否根據(jù)所學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出向量的長(zhǎng)度、距離和夾角公式？活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用前面所學(xué)知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行推導(dǎo)和探究.前面學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)可以用平面直角坐標(biāo)系中的有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示，而且我們也知道了向量的加、減以及實(shí)數(shù)與向量積的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來表示.兩個(gè)向量共線時(shí)它們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)也具備某種關(guān)系，那么我們就自然而然地想到既然向量具有數(shù)量積的運(yùn)算關(guān)系，這種運(yùn)算關(guān)系能否用向量的坐標(biāo)來表示呢？教師提示學(xué)生在向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行推導(dǎo)數(shù)量積 的坐標(biāo)表

6、示.教師可以組織學(xué)生到黑板上板書推導(dǎo)過程，教師給予必要的提示和補(bǔ)充.推導(dǎo)過程如下：- a=xi i +yij , b=X2 i +y2j , a b=(x 1 i +yij ) (x 2 i +y2j)=xiX2 i 2+xiy2 i - j +x2yi i - j +yiy句 2.又 : i , i =1, j - j =1, i - j =j - i =0, - a - b=xix2+yiy2.教師給出結(jié)論性的總結(jié)，由此可歸納如下：1平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即 a=(x 1,y 1), b=(x2,y 2),貝U a - b=x1x2+y1y2.

7、2向量模的坐標(biāo)表示若 a=(x,y),則 | a| 2=x2+y2,或| a|= xxy2 .如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么22a=(x2-x1,y 2-y 1),| a|=(x2x1 )(y2 y1).3 兩向量垂直的坐標(biāo)表不'設(shè) a=(x 1,y 1), b=(x2,y 2),則 a±bxtx2+y1y2=0.4兩向量夾角的坐標(biāo)表不設(shè)a、b都是非零向量，a=(x 1,y 1), b=(x 2,y 2), 9是a與b的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐 標(biāo)表小,可得cose=?x1x2y1y2I a lib I x1

8、2 y12 ? x2 y2討論結(jié)果：略. 應(yīng)用示例例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷2 BC的形狀，并給出證明.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來解決平面圖形的形狀問題.判斷平面圖形的形狀，特別是三角形的形狀時(shí)主要看邊長(zhǎng)是否相等，角是否為直角.可先作出草圖，進(jìn)行直觀判定，再去證明.在證明中若平面圖形中有兩個(gè)邊所在的向量共線或者模相等，則此平面圖形與平行四邊形有關(guān)；若三角形的兩條邊所在的向量模相等或者由兩邊所在向量的數(shù)量 積為零，則此三角形為等腰三角形或者為直角三角形.教師可以讓學(xué)生多總結(jié)幾種判斷平面圖形形狀的方法.解：在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A(1,2),B(2

9、,3),C(-2,5) 三點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)BC是直角三角形下面給出證明.AB=(2-1,3-2)=(1,1),AC =(-2-1,5-2)=(-3,3),AB AC =1X( -3)+1 X3=0.AB ± AC .A BC是直角三角形.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用向量垂直的條件和模長(zhǎng)公式來判斷三角形的形狀.當(dāng)給出要判定的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，首先要作出草圖，得到直觀判定，然后對(duì)你的結(jié)論給出充分的證明.變式訓(xùn)練在A BC中，AB =(2,3), AC =(1,k),且BC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k的值.解：由于題設(shè)中未指明哪一個(gè)角為直角，故需分別討論 若/ A=90，則 AB &#

10、177; AC ,所以 AB AC =0.一 一,2于是 2X1+3k=0.故 k=3同理可求，若Z B=90°日,k的值為 U；3若/ C=90日,k的值為31325故所求k的值為 2或11或3 v13332例 2 (1)已知三點(diǎn) A(2,-2),B(5,1),C(1,4), 求/B AC的余弦值；(2) a=(3,0), b=(-5,5),求 a 與 b 的夾角.活動(dòng)：教師讓學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出兩向量a=(X1,y1)與b=(x2,y 2)的數(shù)量積a - b=x1X2+y1y2和模| a|= y； ,| b|= dx； y2的積，其比值就是這兩個(gè)向量夾角的余2y2.當(dāng)求出兩

11、向量夾角的余弦值后再求兩向弦值，即 COS0=E,"x2 y1y2|a|b| x2 y；? x2量的夾角大小時(shí)，需注意兩向量夾角的范圍是 向量的坐標(biāo)表示清楚，以免出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤0< 0 w兀.學(xué)生在解這方面的題目時(shí)需要把AC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6),解：(1) AB=(5,1)-(2,-2)=(3,3),AB AC=3X (-1)+3 x 6=15.又AB |=3232 =3 2,| AC |=( 1)262 = 37 ,-AB?AC155 74| AB | AC |3 2? 3774(2) a b=3X(-5)+0X5=-15,| a|=3,| b|=52

12、.設(shè)a與b的夾角為。，則a?b 15cos 0 = |a|b| 3 5 2點(diǎn)評(píng)：本題考查的是利用向量的坐標(biāo)表示來求兩向量的夾角.利用基本公式進(jìn)行運(yùn)算與求解主要是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與提高.變式訓(xùn)練設(shè) a=(5,-7), b=(-6,-4), 求 a b 及 a、b 間的夾角 0 .(精確到 1° ) 解:a - b=5X (-6)+(- 7) X (-4)=-30+28=-2.|a|= 52( 7)274 ,| b|= ( 6)2( 4)252由計(jì)算器得cos0 = -0.03.7452利用計(jì)算器中得0=92。.例3已知| a|=3, b=(2,3),試分別解答下面兩個(gè)問題：(1)若 a

13、,b,求 a;(2)若 a / b,求 a.活動(dòng)：對(duì)平面中的兩向量a=(x1,y 1)與b=(x2,y 2),要讓學(xué)生在應(yīng)用中深刻領(lǐng)悟其本質(zhì)屬性向量垂直的坐標(biāo)表示X1X2+y1y2=0與向量共線的坐標(biāo)表示X1y2-X2y1=0很容易混淆，應(yīng)仔細(xì)比較并熟記，當(dāng)難以區(qū)分時(shí)，要從意義上鑒別，兩向量垂直是 a b=0,而共線是方向相 同或相反.教師可多加強(qiáng)反例練習(xí)，多給出這兩種類型的同式變形訓(xùn)練.解：(1)設(shè) a=(x,y),由 |a|=3 且 a±b,222得 xy|a|9,2x 3x 0, 99x： 13,x13,解得13或136 6y 13 y 13, 1313 .a=(且忑了互、記)

14、或a= 9 13, 6 13. 13131313(2)設(shè) a=(x,y),由 | a|=3 且 a / b,得222X y | a | 9,3x 2y 0.x ,13,x解得 13 或y 13y13163 13,193 13.,6 96 9 a= ( 13, 13)或 a=( 丁13, 、13).13131313點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生對(duì)公式的掌握情況，學(xué)生能熟練運(yùn)用兩向量的坐標(biāo)運(yùn)算來判斷垂直或者共線，也能熟練地進(jìn)行公式的逆用，利用已知關(guān)系來求向量的坐標(biāo) . 變式訓(xùn)練求證：一次函數(shù)y=2x-3的圖象(直線11)與一次函數(shù)y= lx的圖象(直線12)互相垂直2解：在 1 1：y=2x-3 中，令 x=1 得 y=-1;令 x=2 得 y=1,即在 1 1 上取兩點(diǎn) A(1,-1),B(2,1).同理，在直線12上取兩點(diǎn)C(-2,1),D(-4,2), 于是：AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1 + 1)=(1,2),CD =(-4,2)-(-2