高等數(shù)學習題課

1、 第十二章第十二章(1) 數(shù)項級數(shù)的斂散與冪級數(shù)的收斂域數(shù)項級數(shù)的斂散與冪級數(shù)的收斂域三、課外練習題三、課外練習題一、數(shù)項級數(shù)的審斂法一、數(shù)項級數(shù)的審斂法二、求冪級數(shù)收斂域的方法二、求冪級數(shù)收斂域的方法 )(0 xunn 求和求和)(xS展開展開(在收斂域內(nèi)進行在收斂域內(nèi)進行)(0 xunn 基本問題：基本問題：判別斂散；判別斂散；求收斂域；求收斂域；求和函數(shù)；求和函數(shù)；級數(shù)展開級數(shù)展開.為傅立葉級數(shù)為傅立葉級數(shù).xnbxnaxunnnsincos)( 當當為傅氏系數(shù)為傅氏系數(shù)) 時時,時為數(shù)項級數(shù)時為數(shù)項級數(shù);0 xx 當當nnnxaxu )(當當時為冪級數(shù)時為冪級數(shù);nnba ,(1. 利

2、用利用部分和數(shù)列的極限部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性判別級數(shù)的斂散性2. 正項級數(shù)正項級數(shù)審斂法審斂法必要條件必要條件0lim nnu不滿足不滿足發(fā)發(fā) 散散滿足滿足比值審斂法比值審斂法 lim n1 nunu 根值審斂法根值審斂法 nnnulim1 收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散1 不定不定 比較審斂法比較審斂法用它法判別用它法判別積分判別法積分判別法部分和極限部分和極限1 為收斂級數(shù)為收斂級數(shù) 1nnuLeibniz判別法判別法: 若若,01 nnuu且且,0lim nnu則交錯級數(shù)則交錯級數(shù)nnnu 1)1(收斂收斂 ,概念概念:且余項且余項.1 nnur 1nnu若若收斂收斂 , 1nnu稱稱絕

3、對收斂絕對收斂 1nnu若若發(fā)散發(fā)散 , 1nnu稱稱條件收斂條件收斂;)1()1(:11 nnnnnnn判判斷斷級級數(shù)數(shù)斂斂散散性性例例1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散 1).0()1()2ln()2(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時時從而有從而有,

4、)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1101時時即即當當 aa原級數(shù)收斂；原級數(shù)收斂；,1110時時即即當當 aa原級數(shù)發(fā)散；原級數(shù)發(fā)散；,1時時當當 a,)11()2ln(1 nnnn原級數(shù)為原級數(shù)為,)11()2ln(lim nnnn原級數(shù)也發(fā)散原級數(shù)也發(fā)散例例2.11ln12的收斂性的收斂性判定級數(shù)判定級數(shù) nn解解故故因因),(111ln22 nnn)11ln(limlim222nnunnnn 根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂知所給級數(shù)收斂.221limnnn . 1 例例3.)cos1(11的的收收斂斂

5、性性判判定定級級數(shù)數(shù)nnn 解解 因為因為)cos1(1limlim2323nnnunnnn 22)(211limnnnnn 根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂知所給級數(shù)收斂.212 11nnnnba 與與均收斂均收斂 , 且且nnnbca , ),2,1( n證明級數(shù)證明級數(shù) 1nnc收斂收斂 .證證 nnnnabac 0, ),2,1( n則由題設則由題設)(1nnnab 收斂收斂)(1nnnac 收斂收斂 1nnc)(1nnnnaac )(1nnnac 1nna收斂收斂練習題練習題: P322 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性:;1

6、)1(1 nnnn;2) !()2(122 nnn;2cos)3(132 nnnn ;ln1)4(210 nn. )0,0()5(1 sanansn提示提示: (1) ,1lim nnn有有時時當當,Nn 11nn)1(11 nnnn據(jù)比較判別法據(jù)比較判別法, 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散 .因調(diào)和級數(shù)發(fā)散因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,0N P322 題題2用比值法用比值法, 可判斷級數(shù)可判斷級數(shù) 12nnn因因 n 充分大時充分大時,ln1110nn 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散 . :2) !()2(122 nnn:2cos)3(132 nnnn :ln1)4(210 nn: )0,0()5(1 sanansn用比值判

7、別法可知用比值判別法可知:時收斂時收斂 ;時時, 與與 p 級數(shù)比較可知級數(shù)比較可知時收斂時收斂;1 s時發(fā)散時發(fā)散.再由比較法可知原級數(shù)收斂再由比較法可知原級數(shù)收斂 .1 s1 a時發(fā)散時發(fā)散.1 a1 a 21nn發(fā)散發(fā)散,收斂收斂, 1nnu和和 1nnv 12)(nnnvu也收斂也收斂 .提示提示: 因因,0limlim nnnnvu存在存在 N 0,nnnnvvuu 22,又因又因)(222nnvu )()(2Nnvunn 利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂都收斂, 證明級數(shù)證明級數(shù)當當n N 時時2)(nnvu P323 題

8、題3 1nnu收斂收斂 , 且且,1lim nnnuv 1nnv是否也收斂？說明理由是否也收斂？說明理由.但對任意項級數(shù)卻不一定收斂但對任意項級數(shù)卻不一定收斂 .,)1(nunn 問級數(shù)問級數(shù)提示提示: 對對正項級數(shù)正項級數(shù),由比較判別法可知由比較判別法可知 1nnv級數(shù)級數(shù) 1nnu收斂收斂 , 1nnvnnnuv lim收斂收斂,級數(shù)級數(shù)發(fā)散發(fā)散 .nnn)1(lim1 1 例如例如, 取取nnvnn1)1( P323 題題4;1ln)1()3(1 nnnn;1)1()1(1 npnn;sin)1()2(1111 nnnn .! )1()1()4(11 nnnnn提示提示: (1) P 1

9、 時時, 絕對收斂絕對收斂 ;0 p 1 時時, 條件收斂條件收斂 ;p0 時時, 發(fā)散發(fā)散 .(2) 因各項取絕對值后所得因各項取絕對值后所得強強級數(shù)級數(shù) 原級數(shù)絕對收斂原級數(shù)絕對收斂 .故故 ,111收斂收斂 nn P323 題題5 11ln)1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun 因因單調(diào)遞減單調(diào)遞減, 且且但但nnn1ln1 nknkk1ln)1ln(lim)1ln(lim nn 所以原級數(shù)所以原級數(shù)僅條件收斂僅條件收斂 .kknk1ln1 nlim由由Leibniz判別法知級數(shù)判別法知級數(shù)收斂收斂 ;0lim nnu 11! )1()1()4(nnnnn因因 nnuu12)2

10、(! )2( nnn1)111(12 nnnn1! )1( nnn n11 e所以原級數(shù)絕對收斂所以原級數(shù)絕對收斂 .斂斂？是是條條件件收收斂斂還還是是絕絕對對收收斂斂？如如果果收收散散，是是否否收收判判斷斷級級數(shù)數(shù) 1ln)1(nnnn例例5解解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,ln1ln)1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnnnn即原級數(shù)非絕對收斂即原級數(shù)非絕對收斂,ln)1(1級級數(shù)數(shù)是是交交錯錯 nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( x

11、xxf,), 1(上單增上單增在在,ln1單單減減即即xx ,1ln1時時單單減減當當故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯級數(shù)收斂，所以此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂故原級數(shù)是條件收斂?1)1(,2112斂斂是絕對收斂還是條件收是絕對收斂還是條件收試問交錯級數(shù)試問交錯級數(shù)收斂收斂設級數(shù)設級數(shù) nuunnnnn例例6),(2122baab 利用不等式利用不等式解解11)1(22 nununnn有有,112122 nun均收斂，均收斂，和和因為因為 121211nnnnu收斂，收斂，故故 12211nnnu由比較審斂法知，由比較審斂法知，收斂，收斂， 1

12、21)1(nnnnu即原級數(shù)絕對收斂即原級數(shù)絕對收斂?11,)1(,11是否收斂是否收斂試問級數(shù)試問級數(shù)發(fā)散發(fā)散且級數(shù)且級數(shù)單調(diào)減少單調(diào)減少設正數(shù)列設正數(shù)列 nnnnnnnuuu例例7,單調(diào)減少單調(diào)減少由于正數(shù)列由于正數(shù)列nu解解; 0,lim aaunn且且存在存在故故,)1(1發(fā)散發(fā)散而級數(shù)而級數(shù) nnnu,)1(01收收斂斂將將得得到到否否則則由由萊萊布布尼尼茲茲審審斂斂法法蘊蘊含含了了 nnnua),與題設矛盾與題設矛盾, 1110 a于是有于是有.111收斂收斂即幾何級數(shù)即幾何級數(shù)nna ,aun 又因為又因為nnnau 1111.111收斂收斂故由比較審斂法知故由比較審斂法知nnn

13、u 標準形式冪級數(shù)標準形式冪級數(shù): 先求收斂半徑先求收斂半徑 R , 再討論再討論Rx 非標準形式冪級數(shù)非標準形式冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標準形式通過換元轉(zhuǎn)化為標準形式直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法處的斂散性處的斂散性 . 求下列級數(shù)的斂散區(qū)間求下列級數(shù)的斂散區(qū)間:;)11()2(12 nnnxn.2)4(21nnnxn 練習練習:P323 題題7 1 解解 nnnnnna)11(limlim 當當ex1 因此級數(shù)在端點發(fā)散因此級數(shù)在端點發(fā)散 ,enn 1)11(nneu nn)11( nn)11( )(01 ne. )1,1(ee e 時時, 12)11()2(nnnxn,1eR ex

14、e11 即即時原級數(shù)收斂時原級數(shù)收斂 .故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為nnnxn212)4( )()(lim1xuxunnn 解解 因因)1(2121 nnxn22x nnxn22,122 x當當時，時，即即22 x,2時時當當 x故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為. )2,2( 級數(shù)收斂級數(shù)收斂;一般項一般項nun 不趨于不趨于0, nlim級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散; .)1(31的收斂半徑的收斂半徑求冪級數(shù)求冪級數(shù)nnnnxn 解解 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù)分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù),lim1nnaan nnna lim極限不存在極限不存在 1)(kkx ,24212kkkxk 1)(kkx 12112122 kkkxk)()(1limxxnnn ,)4(2x 411 R)()(1limxxnnn ,)2(2x 212 R 原級數(shù)原級數(shù) = 1)(kkx 1)(kkx 其收斂半徑其收斂半徑4121,min RRR注意注意: 類似地，類似地，P323 題題7(1)1判定下列級數(shù)的收斂性：判