生產(chǎn)函數(shù)模型

1、經(jīng)濟數(shù)學模型與方法課程名稱：經(jīng)濟數(shù)學模型與方法班級：05級研1 周次： 1 課次： 1 / 2 目的要求：通過本節(jié)的學習使學生了解學習經(jīng)濟控制論的意義，以及初步認識和了解經(jīng)濟控制論的研究方法；掌握經(jīng)濟控制論的定義教學內(nèi)容： 第二講 生產(chǎn)函數(shù)模型1經(jīng)濟數(shù)學模型化的步驟：第一，模型化方向的設定：目標的設定1> 目標一個人無論從事什么工作總要達到某種目的。人們有許多小目標，也有許多大目標。如1，我們同學，這學期有大目標、小目標。如2，社會主義現(xiàn)階段的市場經(jīng)濟的目標：（是各盡所能、按勞分配的公平境界，以及物資較大豐富的有效益境界。）即：公平與效益。如3，何為“經(jīng)濟學”？即為：“利用有限資源、合理

2、安排生產(chǎn)（資源的合理配置），生產(chǎn)出來的產(chǎn)品在消費者中合理分配，實現(xiàn)人類現(xiàn)階段的最大滿足?！?經(jīng)濟學家統(tǒng)一認同這個概念，在這個定義中指出了經(jīng)濟學的目標是：“實現(xiàn)人類的最大滿足。” 設為函數(shù)效應函數(shù)，體現(xiàn)人類滿意度人類幸福函數(shù)經(jīng)濟學中，什么是好，由福利、規(guī)則經(jīng)濟學來定。（不知，就目標不明確，就無法控制?。┥鐣髁x經(jīng)濟學家認為市場經(jīng)濟的目標的實現(xiàn)便是人類的最大滿足； 2> 量化目標當我們給出了目標的文字描述之后，數(shù)量經(jīng)濟工作者還要給出目標的定量描述。如3中：物質(zhì)是否極大豐富這個目標，一般又用人均國民生產(chǎn)總值來衡量。即：如果在第t年，人均國民生產(chǎn)總值為y(t)元，那么目標J可表示？maxJ=y(

3、t) ？ 否。因為目標是可持續(xù)的增長， 當在第t+t時間里，人均國民生產(chǎn)總值為y(t+t)。那么目標應該是各時間段里y的加全平均值，即：maxJ=A(t)×y(t)+A(t+t)×y(t+t)+A(t+nt)y(t+nt)+=A(t+nt)×y(t+nt)A(t)為各時間段的加全系數(shù)。（權重函數(shù)）令t0，則有：maxJ=A(t)y(t)dt 物資極大豐富提問：A(t)為多少？經(jīng)濟學講，A(t)涉及到一個國家的現(xiàn)在幸福還是將來幸福之間進行選擇的問題。 有人認為：A(t)與利率有關，A(t)1/（1+in）折算回來，即利用利率貼現(xiàn)。還有人認為一樣，則A(t)1maxJ

4、=y(t)dt這個結果是荒謬的。如：（單位：億元） t： 0 1 2 y(t)： 1 0 10 y1(t)： 2 3 4 由于 101011>2349 說明第一種情況優(yōu)于第二種情況。事實上，第一種情況y(1)0表明在t1這個時間周期里的人均國民生產(chǎn)總值為0，這也就意味著人們在這個周期里無法生存！ 所以目標的設定，非常重要。 一般我們用 maxJ=y(t)dt 累加表示目標第二，模型圓形的機理分析-參數(shù)的確立。當給定目標的定量描述后，下一步就要確定采用什么手段來達到目標。比如，我們的目標是人均國民生產(chǎn)總值累積最大，那么就要研究使國民生產(chǎn)總值增加的因素是什么。用Y(t)表示第t年國民生產(chǎn)總值

5、。Y(t)與投入的資本與勞動力有關。用K1(t)表示交通等基礎設施固定資本，用K2(t)表示廠房、設備等固定資本，用L(t)表示勞動工時，那么投入的K1(t)，K2(t)，L(t)與產(chǎn)出的Y(t)有如下因果關系：Y(t)=F(K1(t)，K2(t)，L(t)上式在經(jīng)濟學上叫生產(chǎn)函數(shù)。生產(chǎn)函數(shù)1dd1-11-2××分析1：經(jīng)濟學的任務就是要研究上式數(shù)學表達式是什么類型的函數(shù)。在微觀經(jīng)濟學中，我們知道可以用柯布-道格拉斯類型的生產(chǎn)函數(shù)，或用CES類型的生產(chǎn)函數(shù)，等等。如果用柯布-道格拉斯類型的生產(chǎn)函數(shù)，那么上式具體形式：（模型化假說）Y(t)=A K1(t)a K2(t)bL(

6、t)1-a-b其中，A，a，b為參數(shù)，它的大小可以由實際數(shù)據(jù)來確定。分析2：固定資本K1(t)與K2(t)的增加可引起Y(t)，那么K1(t)與K2(t)的增加又由其它什么變量來確定呢？它們由固定資本投資來決定。用I1(t)表示基礎設施固定資本投資，I2(t)表示廠房、設備等固定資本投資，那么投資量I1(t)與I2(t)與固定資本增加有如下因果關系：第t+1年固定資本K1(t+1)=第t年固定資本K1(t)第t年固定資本折舊1×K1(t)+第t年固定資本投資I1(t)其中，1為折舊率。上式即為：K1(t+1)=K1(t) 1K1(t)+I1(t)類似地有：K2(t+1)=K2(t)

7、2K2(t)+I2(t)分析3：投資I1(t)與I2(t)的錢從哪里來呢？在沒有外債的封閉型經(jīng)濟中，投資的錢只能從Y(t)中來。設Y(t)中有一固定比例100×d%(d<1)用于消費，余下用于投資。即：I1(t)+ I1(t)=d×Y(t)再設就業(yè)人口為常數(shù)：L(t)=常數(shù)L分析4：那么我們的問題是如何分配d×Y(t)給I1(t)與I2(t)能使為均國民生產(chǎn)總值累積額最大？假如I1(t)分到的份額為100×(t)%，即：I1(t)=(t)×d×Y(t)那么策略變量便是(t)，即各個時間周期(t)應等于多少，才能使人均國民生產(chǎn)總值

8、y(t)=Y(t)/L累積量最大。第三，數(shù)學模型的建立：1建立數(shù)學模型以上我們便認為構造出從策略變量到目標變量之間的因果關系鏈，我們把這種具有因果關系的事物稱為“系統(tǒng)”。把以上數(shù)學關系式稱為“系統(tǒng)的數(shù)學模型”。我們把以上目標及系統(tǒng)數(shù)學方程式集中寫在一起：目標： maxJ=y(t)dt系統(tǒng)方程： Y(t)=AK1(t)a K2(t)bL1(t)1ab K1(t+1)=K1(t)1K1(t)+I1(t) K2(t+1)=K2(t)2K2(t)+I2(t) I1(t)+I2(t)=d×Y(t) L(y)=L I1(t)=(t)×d×Y(t) y(t)=Y(t)/L再接下

9、來的工作便是如何去求解上述數(shù)學方程了。當求出(t)的解答后，我們就明確了如何去分配資金分別投資于基礎設施建設和廠房、設備方面的建設。當然，目標設定的不同解答也會有所不同。2> 定義：在上述數(shù)學模型中，我們稱(t)為系統(tǒng)的策略變量或控制輸入變量，經(jīng)濟學中稱之為外生變量。y(t)或J稱為目標變量或輸出變量。y(t)，Y(t)，K1(t)，K2(t)等經(jīng)濟學中稱為內(nèi)生變量。3> 系統(tǒng)類型：要求解上述數(shù)學模型并非一件容易的事，一般地說，當我們依經(jīng)濟學知識構造出數(shù)學模型之后，要判斷它屬于什么類型的系統(tǒng)然后再應用相應的科學知識來求解。比如，上述系統(tǒng)屬于非線性動態(tài)離散時間系統(tǒng)。需要龐德里亞金極大

10、值原理求得。*系統(tǒng)的類型有如下幾種劃分：·線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)·靜態(tài)系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)·連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)·確定性系統(tǒng)與隨機性系統(tǒng)·精確參數(shù)系統(tǒng)與模糊參數(shù)系統(tǒng)·集中參數(shù)系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng)·實數(shù)域上系統(tǒng)與環(huán)上系統(tǒng)，或有限域上系統(tǒng)及格上系統(tǒng)上述的不同組合，將得到不同的經(jīng)濟系統(tǒng)。（學不完）如果給出靜態(tài)線性系統(tǒng)，它的最優(yōu)化問題屬于“線性規(guī)劃”學科知識，靜態(tài)非線性系統(tǒng)的優(yōu)化問題屬于“非線規(guī)劃”學科知識。如： maxJ=3x+7y約束 s.t. 5x+9y16x+5y2 線性規(guī)劃為，目標、約束均為變量的線性函數(shù)。以上我們所舉的例子非

11、線性動態(tài)離散時間系統(tǒng)的優(yōu)化問題，它可以用本書介紹的龐得里亞金極大值原理來求解。如果所涉及到的經(jīng)濟變量為隨機變量，那么相應就會得到隨機性系統(tǒng)。由于現(xiàn)實的經(jīng)濟變量基本上都是隨機變量，因此隨機性動態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)基本知識是非常重要的。如果我們把許多著名經(jīng)濟學家的知識與經(jīng)驗收集起來，構造出一個專家系統(tǒng)，那么便會涉及到數(shù)理邏輯與布爾代數(shù)的知識，由于布爾代數(shù)是格的運算，因此所建立的系統(tǒng)可以看作格上系統(tǒng)。邏輯代數(shù)：11=1,1+0=1,0+1=1,0+0=0總之，以上我們列舉了經(jīng)濟系統(tǒng)的一些類型。其中隨機性動態(tài)系統(tǒng)、模糊參數(shù)系統(tǒng)、環(huán)上系統(tǒng)、有限域上系統(tǒng)、格上系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)等都不在本書講座范圍。經(jīng)濟控制論是涉及

12、面很廣的一個學科。在上述各種類型的系統(tǒng)中，線性動態(tài)離散時間系統(tǒng)與線性動態(tài)連續(xù)時間系統(tǒng)是最基本、最常用的兩種類型系統(tǒng)。本書著重介紹這兩種類型系統(tǒng)的運動分析。做任何事都要有控制（劃船），關鍵的問題是如何蔣控制的問題轉化為數(shù)學模型。第四，求解模型：系統(tǒng)的分析。（給定、d，求Y(t)=?）當給出系統(tǒng)的數(shù)學模型后，就要探討在某種策略輸入之下，系統(tǒng)各變量的變化過程。簡單地說，就是在確定輸入變量的變化后，去求解系統(tǒng)方程。系統(tǒng)分析包括運動分析與穩(wěn)定性分析。所謂運動分析就是探討解的存在性或解的數(shù)學表達式，一旦求出解的數(shù)學表達式，便就確定了各變量變化規(guī)律。所謂系統(tǒng)穩(wěn)定性分析就是探討各變量變化趨勢。一般地說，如果某

13、個變量無休止上下起伏變化，則稱之為不穩(wěn)定，如果該變量的變化逐漸趨于平衡，則稱之為漸近穩(wěn)定。例如，在上述模型中，如果參數(shù)值為：(t)=0.4，A=1，b=0.3，L=1,1=2=0.1，d=0.7，那么模型可記為：Y(t)=K1(y)0.4K2(t)0.3 K1(t+1)=0.9K1(t)+I1(t) K2(t+1)=0.9K2(t)+I2(t) I1(t)+I2(t)=0.7Y(t) I1(t)=0.4×0.7×Y(t) Y(t)=Y(t)4> 現(xiàn)在要分析: 在資金分配策略(t)=0.4情況下，系統(tǒng)運動過程，或各變量變化規(guī)律。(政策變量變化時，K1，K2如何變化？)從

14、上述方程可得出：K1(t+1)=0.9K1(t)+0.28Y(t)K2(t+1)=0.9K2(t)+0.42Y(t)或K1(t+1)=0.9K1(t)+0.28K1(t)0.4K2(t)0.3K2(t+1)=0.9K2(t)+0.42K1(t)0.4K2(t)0.3以上我們得到了二階離散時間非線性動態(tài)系統(tǒng)。它的求解是較為困難的，現(xiàn)在我們來分析變量K1(t)與K2(T)運動過程。 考慮圖0.1，先考慮曲線1 ：1： K1(t)=0.9K1(t)+0.28K1(t)0.4K2(t)0.3或： 0.1K10.6=0.28K20.3或： 0.03232K12=K2顯然，曲線1在K1(t)，K2(t)狀

15、態(tài)平面上為向上彎曲的曲線。在1右邊的點應成立：K1(t)>0.9K1(t)+0.28K1(t)0.4K2(t)0.3上式右邊即為K1(t+1)，因此當系統(tǒng)狀態(tài)K1(t)，K2(t)處于1右邊時，成立：K1(t)>K1(t+1)即當t時，K1(t)有下降的趨勢。我們用箭頭表示出這種運動趨勢。類似地，可以看出當系統(tǒng)狀態(tài)處于1左邊時，當t時，K1(t)有上升之趨勢。 再考慮圖0.1中曲線2：2： K2(t)=0.9K2(t)+0.42K1(t)0.4K2(t)0.3或： 0.1K2(t)0.7=0.42K1(t)0.4顯然，2是向下彎曲的曲線。當系統(tǒng)狀態(tài)處于2上方時，成立：K2(t)&g

16、t;0.9K2(t)+0.42K1(t)0.4K2(t)0.3=K2(t+1)因而當t時，K2(t)有變小之趨勢。 當系統(tǒng)狀態(tài)處于2下方時，成立：K2(t)<0.9K2(t)+0.42K1(t)0.4K2(t)0.3=K2(t+1)因而當t時，K2(t)有變大之趨勢。圖0.1給出了系統(tǒng)狀態(tài)K1(t)與K2(t)運動之趨勢。從圖中不難看出： limK1(t)，K2(t)到達E點圖中E點稱為系統(tǒng)平衡點，在E處K1(t)與K2(t)值由下式計算：K1(t)=0.9K1(t)+0.42K1(t)0.4K2(t)0.3K2(t)=0.9K2(t)+0.42K1(t)0.4K2(t)0.3由上式求出

17、：K1(t)=46.410689K2(t)=69.616033 從以上計算表明：當策略變量(t)=0.4時，成立：limK1(t)=46.410689limK2(t)=69.616033limy(t)=limY(t)=limK10.4K20.3=16.575246以上我們求出了時間t趨于無窮時，系統(tǒng)狀態(tài)所到達的位置。但是我們并沒有求出K1(t)與K2(t)變化全過程。我們只是求出了系統(tǒng)運動的總趨勢，并認為系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。第五，模型的數(shù)學性質(zhì)與經(jīng)濟背景：系統(tǒng)的綜合與優(yōu)化決策。（即，當，d？時，maxJ最優(yōu)？）所謂系統(tǒng)的綜合就是要尋找最優(yōu)策略值使系統(tǒng)運動符合人的目標。就上例而言，當(t)=0.4

18、時，在t 時，y(t)=16.575246。這意味著對應每一個策略值(t)（(t)為常數(shù)的情況），便有一個穩(wěn)態(tài)時的人均國民生產(chǎn)總值y(t)與之相對應。那么=？時可對應最大的y(t)呢？有興趣的讀者不難依據(jù)以上給出的方法去求解，可以證明當=0.5714285時,對應的y(t)穩(wěn)態(tài)值最大。但應注意到這僅是對應最優(yōu)穩(wěn)態(tài)值的最優(yōu)策略。要求出從非穩(wěn)態(tài)到達穩(wěn)態(tài)的最優(yōu)軌道，要用到龐得里亞金極大值原理等基本理論知識。關于最優(yōu)控制問題是在1948年提起的，但在300年前，這樣的問題已經(jīng)有解決：約翰布魯里，關于一小球以何軌跡下滾所用時間最短？這個問題是當代最優(yōu)問題的基礎，什么最優(yōu)，需要定量描述。200年后，龐德里亞金分析出