自動(dòng)控制原理_王建輝3

1、東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組1東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組2主要內(nèi)容主要內(nèi)容n 自動(dòng)控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)自動(dòng)控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)n 一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)n 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) n 高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) n 自動(dòng)控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)自動(dòng)控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)n 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 n 小結(jié)小結(jié)東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組3 學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)v了解典型信號(hào)和自動(dòng)控制系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)的定義了解典型信號(hào)和自動(dòng)控制系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)的定義 v掌握一階和二階系統(tǒng)分析與暫態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算方法掌握一階和二階系統(tǒng)分析與暫態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算方法 v建立系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系建

2、立系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 v了解系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)性能指標(biāo)的影響，能夠定性了解系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)性能指標(biāo)的影響，能夠定性分析分析高階系統(tǒng)的暫態(tài)高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)響應(yīng)過程過程 v理解和掌握線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，會(huì)用勞斯理解和掌握線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，會(huì)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 v理解穩(wěn)態(tài)誤差的概念，了解系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)誤差的影理解穩(wěn)態(tài)誤差的概念，了解系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)誤差的影響，熟練掌握誤差傳遞函數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法響，熟練掌握誤差傳遞函數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組4 系統(tǒng)的系統(tǒng)的分析方法分析方法 時(shí)域分析、頻域分析時(shí)域分析、頻域分

3、析 時(shí)域分析的目的時(shí)域分析的目的 設(shè)法從微分方程判斷出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的設(shè)法從微分方程判斷出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的主要特征主要特征而不必準(zhǔn)確地把微分方程解出來(lái)而不必準(zhǔn)確地把微分方程解出來(lái)從工程角度從工程角度分析系統(tǒng)分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)規(guī)律。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組51.1.對(duì)控制性能的要求對(duì)控制性能的要求(1)(1)系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的；系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的；(2)(2)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求；的要求；(3)(3)系統(tǒng)在暫態(tài)過程中應(yīng)滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求。系統(tǒng)在暫態(tài)過程中應(yīng)滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組62.2.自動(dòng)控制系統(tǒng)的典型輸入信號(hào)自動(dòng)控制系統(tǒng)的典型

4、輸入信號(hào)（1 1）階躍函數(shù)）階躍函數(shù)000)(tAttxr，A A=1=1時(shí)稱為單位階躍函數(shù)時(shí)稱為單位階躍函數(shù) )()()( 1)(tutxttxrr，或stLsXr1)( 1 )(東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組7（2 2）斜坡函數(shù)）斜坡函數(shù)A A=1=1時(shí)稱為單位斜坡函數(shù)時(shí)稱為單位斜坡函數(shù)000)(tAtttxr，21( )rXss東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組8（3 3）拋物線函數(shù)）拋物線函數(shù)當(dāng)當(dāng)A A=1/2=1/2時(shí)，稱為單位拋物時(shí)，稱為單位拋物線函數(shù)線函數(shù) 000)(2tAtttxr，31)(ssXr東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組9（4 4）脈沖函數(shù)）脈沖函數(shù) 0(0)( )0 0(0)rAtx

5、 ttt ，01( )lim1rXsL當(dāng)當(dāng)A A=1=1時(shí)，稱為單位脈沖函數(shù)時(shí)，稱為單位脈沖函數(shù) （t t）1)( dtt東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組10（5 5）正弦函數(shù)）正弦函數(shù)頻域分析用頻域分析用 用正弦函數(shù)作輸入信號(hào)，可以求得系統(tǒng)用正弦函數(shù)作輸入信號(hào)，可以求得系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦輸入函數(shù)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，由對(duì)不同頻率的正弦輸入函數(shù)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，由此可以間接判斷系統(tǒng)的性能。此可以間接判斷系統(tǒng)的性能。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組11 本章主要以本章主要以單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)作為系統(tǒng)的作為系統(tǒng)的輸入量來(lái)分析系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)。輸入量來(lái)分析系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)。 在工程上，許多高階系統(tǒng)常常具有近在工程上，許多高

6、階系統(tǒng)常常具有近似似一、二階一、二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。因此，深入系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。因此，深入研究一、二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)，有著廣泛研究一、二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)，有著廣泛的實(shí)際意義。的實(shí)際意義。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組121.1.一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ( )11( )1( )111cBrKXsKsWsKXssKTsssK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組132.2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) ssXr1)(sTssXsWsXrBc111)()()(TssLsTsLtxc111111)(111( )1, (0)tTcx tet 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組14ts=3T(s)，

7、 （對(duì)應(yīng)5%誤差帶） ts=4T(s)， （對(duì)應(yīng)2%誤差帶）系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T T 越小，調(diào)節(jié)時(shí)間越小，調(diào)節(jié)時(shí)間t ts s越小，越小，響應(yīng)過程的快速性也越好。響應(yīng)過程的快速性也越好。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組15例例3-1 3-1 一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示。試求該一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示。試求該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間t ts s ；如果要求如果要求t ts s(5%)(5%) 0.1(0.1(秒秒) )，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)取何，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)取何值？值？ 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組16解：解：（1 1）由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)）由系統(tǒng)結(jié)

8、構(gòu)圖可寫出閉環(huán)傳遞函數(shù) 100( )10( )100( )0.1110.1cBrX ssW sX sss得得 T T=0.1=0.1（s s）因此得調(diào)節(jié)時(shí)間因此得調(diào)節(jié)時(shí)間 t ts s=3=3T T=0.3(s)=0.3(s)，（，（取取5%5%誤誤差帶）差帶） 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組17（2 2）求滿足）求滿足t ts s (5%)(5%) 0.10.1（s s）的反饋系數(shù)值。的反饋系數(shù)值。假設(shè)反饋系數(shù)假設(shè)反饋系數(shù)K Kt t( (K Kt t0)0)，那么同樣可由結(jié)構(gòu)圖寫出閉那么同樣可由結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)環(huán)傳遞函數(shù) 由閉環(huán)傳遞函數(shù)可得由閉環(huán)傳遞函數(shù)可得 T T = 0.01/= 0

9、.01/K Kt t根據(jù)題意要求根據(jù)題意要求 t ts s (5%)(5%) 0.10.1（s s）則則 t ts s = 3= 3T T = 0.03/= 0.03/K Kt t 0.1(s)0.1(s)所以所以 K Kt t 0.3 0.3 1001/( )1000.0111tBttKsWsKssK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組181.1.典型二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性典型二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 假設(shè)初始條件為零，當(dāng)輸入量為單位階躍函數(shù)時(shí)，假設(shè)初始條件為零，當(dāng)輸入量為單位階躍函數(shù)時(shí)，輸出量的拉氏變換為輸出量的拉氏變換為 )2()(222nnncssssX東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組19系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的

10、特征方程為 0222nnss 過阻尼（過阻尼（ 11） 系統(tǒng)的特征根為系統(tǒng)的特征根為 np)1(21np)1(22東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組20輸出量的拉氏變換：輸出量的拉氏變換： 22110212222)()2()(psApsAsApspssssssXnnnnc1)(00scssXA)1(121)(22111pscpssXA)1(121)(22222pscpssXA東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組21輸出量的時(shí)間函數(shù)：輸出量的時(shí)間函數(shù)： 221101212(1)(1)222( )( )11 02111nnccttAAAx tLXsLsspspeet ，結(jié)論：當(dāng)后一項(xiàng)的衰減指數(shù)比前一項(xiàng)大很多時(shí)結(jié)論：

11、當(dāng)后一項(xiàng)的衰減指數(shù)比前一項(xiàng)大很多時(shí)，二階二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)可類似于一階系統(tǒng)的響應(yīng)。系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)可類似于一階系統(tǒng)的響應(yīng)。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組22（2 2）欠阻尼（）欠阻尼（ ） 系統(tǒng)的特征根為系統(tǒng)的特征根為 01 njp)1(21njp)1(22東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組23輸出量的拉氏變換：輸出量的拉氏變換： 2222222221( )21()(1)()(1)ncnnnnnnnnsXssssssss東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組24式中：式中： 阻尼振蕩角頻率，或振蕩角頻率阻尼振蕩角頻率，或振蕩角頻率 阻尼角阻尼角 輸出量的時(shí)間函數(shù)：輸出量的時(shí)間函數(shù)： 12222( )( )1cos 1

12、sin 1111sin, 01nncctnntdx tLXsettett nd2121arctan東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組25結(jié)論：在的情況下，結(jié)論：在的情況下，二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)的暫態(tài)分量為一按指的暫態(tài)分量為一按指數(shù)衰減的簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)數(shù)衰減的簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)間函數(shù)；振蕩程度與間函數(shù)；振蕩程度與 有關(guān)：有關(guān)： 越小，振越小，振蕩越劇烈。蕩越劇烈。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組26（3 3）臨界阻尼（）臨界阻尼（ =1=1）系統(tǒng)的特征根為系統(tǒng)的特征根為輸出量的拉氏變換：輸出量的拉氏變換： np2, 120020122( )()()ncnnnAAAXss ssss1)()(1)(2220

13、220100nnnsnsncnsncscsssXdsdAssXAssXA東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組27輸出量的時(shí)間函數(shù)：輸出量的時(shí)間函數(shù)：( )1(1), 0ntcnx tett 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組28（4 4）無(wú)阻尼（）無(wú)阻尼（ =0=0） 系統(tǒng)的特征根為系統(tǒng)的特征根為 輸出量的拉氏變換為輸出量的拉氏變換為 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為 12, nnpjpj 222( )()ncnXss s( )1 cos, 0cnX ttt 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組29 綜上所述，在不同的阻尼比時(shí)，二階系綜上所述，在不同的阻尼比時(shí)，二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)有很大的區(qū)別，因此阻尼比統(tǒng)的暫態(tài)響

14、應(yīng)有很大的區(qū)別，因此阻尼比 是二階系統(tǒng)的重要參量。當(dāng)是二階系統(tǒng)的重要參量。當(dāng) = 0= 0時(shí)，系統(tǒng)不時(shí)，系統(tǒng)不能正常工作，而在能正常工作，而在 = 1= 1時(shí)，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)進(jìn)時(shí)，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)進(jìn)行的又太慢。所以，對(duì)二階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，行的又太慢。所以，對(duì)二階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，欠阻欠阻尼尼情況（情況（ ）是最有實(shí)際意義的。）是最有實(shí)際意義的。 01東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組302.2.二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，典型二階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為時(shí)，典型二階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為 1rxtt21( )1sin,(01)1ntcdx tet 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組31mt快速性指標(biāo)：上升時(shí)間快速性指標(biāo)

15、：上升時(shí)間t tr r ，調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間t ts s平穩(wěn)性指標(biāo)：最大超調(diào)量平穩(wěn)性指標(biāo)：最大超調(diào)量 %，振蕩次數(shù)，振蕩次數(shù) 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組32（1 1）上升時(shí)間）上升時(shí)間t tr r 系統(tǒng)的輸出第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間。系統(tǒng)的輸出第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間。0sin12rdttern令令t =tr 時(shí)，時(shí)，xc(t)=1，得得21ndrt當(dāng)當(dāng) n n一定時(shí)，阻尼比越大，則上升時(shí)間一定時(shí)，阻尼比越大，則上升時(shí)間t tr r 越長(zhǎng)；越長(zhǎng)；當(dāng)阻尼比一定時(shí)，當(dāng)阻尼比一定時(shí)， n n 越大，則越大，則t tr r 越短。越短。 結(jié)論：結(jié)論：東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組33（2 2）最大超調(diào)量）最大超

16、調(diào)量 % 輸出最大值相對(duì)于輸出穩(wěn)態(tài)值的誤差。輸出最大值相對(duì)于輸出穩(wěn)態(tài)值的誤差。 max( )%100%ccxxx最大超調(diào)量發(fā)生在第一個(gè)周期中最大超調(diào)量發(fā)生在第一個(gè)周期中t t = = t tm m 時(shí)刻。時(shí)刻。令令 得得 0mttcdttdx21cossinmdmdtt21tanmdt東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組34因此因此即即因?yàn)樵谝驗(yàn)樵?時(shí)出現(xiàn)最大超調(diào)量，所以有時(shí)出現(xiàn)最大超調(diào)量，所以有 峰值時(shí)間為峰值時(shí)間為 1n nntmd21arctanntmdndmt21d mt東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組35將將 代入，得輸出最大值為代入，得輸出最大值為因?yàn)橐驗(yàn)樗运詎mt2121max21sin1e

17、x 21sinsin21max1xe 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組36由超調(diào)量定義由超調(diào)量定義在單位階躍輸入下，穩(wěn)態(tài)值在單位階躍輸入下，穩(wěn)態(tài)值 ，因此得最大超調(diào)量為因此得最大超調(diào)量為 max( )%100%ccxxx( )1cx 21%100%e結(jié)論：二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量與值有密切的關(guān)系，結(jié)論：二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量與值有密切的關(guān)系， 阻尼比越小，超調(diào)量越大。阻尼比越小，超調(diào)量越大。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組37（3 3）調(diào)節(jié)時(shí)間）調(diào)節(jié)時(shí)間t ts s 系統(tǒng)的輸出與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達(dá)到允許范圍系統(tǒng)的輸出與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達(dá)到允許范圍（一般取穩(wěn)態(tài)值的（一般取穩(wěn)態(tài)值的2%2%5%5%）而不再超出的暫

18、態(tài)）而不再超出的暫態(tài)過程時(shí)間。過程時(shí)間。 暫態(tài)過程中的偏差為暫態(tài)過程中的偏差為 tetxxxntccn221sin1東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組38當(dāng)當(dāng) 或或0.020.02時(shí)，有時(shí)，有 )02. 0( 05. 01sin122或snttesn05. 0 x忽略正弦函數(shù)的影響，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到忽略正弦函數(shù)的影響，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到0.050.05或或0.020.02時(shí)，過渡過程即進(jìn)行完畢。這樣得到時(shí)，過渡過程即進(jìn)行完畢。這樣得到 )02. 0( 05. 012或snte東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組39由此求得調(diào)節(jié)時(shí)間為由此求得調(diào)節(jié)時(shí)間為 35%, 00.9snt42%, 00.9snt結(jié)論：調(diào)節(jié)時(shí)間

19、結(jié)論：調(diào)節(jié)時(shí)間t ts s 近似與近似與 成反比關(guān)系。成反比關(guān)系。 n東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組40（4 4）振蕩次數(shù)）振蕩次數(shù) 在調(diào)節(jié)時(shí)間在調(diào)節(jié)時(shí)間t ts s內(nèi)，輸出量波動(dòng)的次數(shù)。內(nèi)，輸出量波動(dòng)的次數(shù)。fstt式中：式中： 為阻尼振蕩的周期時(shí)間。為阻尼振蕩的周期時(shí)間。 2122ndft東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組413.3.二階系統(tǒng)特征參數(shù)與暫態(tài)性能指標(biāo)之間二階系統(tǒng)特征參數(shù)與暫態(tài)性能指標(biāo)之間的關(guān)系的關(guān)系 1%, 2, 3, 42% , 55% ,mrsstttt東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組42結(jié)論：結(jié)論：（1 1）阻尼比）阻尼比 是二階系統(tǒng)的一個(gè)重要參量，由是二階系統(tǒng)的一個(gè)重要參量，由值值 的

20、大小可以間接判斷一個(gè)二階系統(tǒng)的暫態(tài)的大小可以間接判斷一個(gè)二階系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。在過阻尼（品質(zhì)。在過阻尼（ ）情況下，暫態(tài)特性為）情況下，暫態(tài)特性為單調(diào)單調(diào)變化曲線，沒有超調(diào)和振蕩，但調(diào)節(jié)時(shí)間變化曲線，沒有超調(diào)和振蕩，但調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)，系統(tǒng)反應(yīng)遲緩。當(dāng)較長(zhǎng)，系統(tǒng)反應(yīng)遲緩。當(dāng) ，輸出量作，輸出量作等幅等幅振蕩振蕩或或發(fā)散振蕩發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。10東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組43（2 2）一般情況下，系統(tǒng)在欠阻尼（）一般情況下，系統(tǒng)在欠阻尼（ ）情）情況下工作。但是況下工作。但是 過小，則超調(diào)量大，振蕩次過小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，暫態(tài)特性品質(zhì)差。應(yīng)注意數(shù)多，調(diào)

21、節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，暫態(tài)特性品質(zhì)差。應(yīng)注意到，到，最大超調(diào)量只與阻尼比這一特征參數(shù)有關(guān)。最大超調(diào)量只與阻尼比這一特征參數(shù)有關(guān)。因此，通?？梢愿鶕?jù)允許的超調(diào)量來(lái)選擇阻尼因此，通常可以根據(jù)允許的超調(diào)量來(lái)選擇阻尼比比 。10東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組44（3 3）調(diào)節(jié)時(shí)間與系統(tǒng)阻尼比和自然振蕩角頻率調(diào)節(jié)時(shí)間與系統(tǒng)阻尼比和自然振蕩角頻率這兩個(gè)特征參數(shù)的乘積成這兩個(gè)特征參數(shù)的乘積成反比反比。在阻尼比。在阻尼比 一定一定時(shí)，可以通過改變自然振蕩角頻率時(shí)，可以通過改變自然振蕩角頻率 來(lái)改變暫態(tài)來(lái)改變暫態(tài)響應(yīng)的持續(xù)時(shí)間。響應(yīng)的持續(xù)時(shí)間。 越大，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間越短。越大，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間越短。（4 4）為了限制超調(diào)量，并使

22、調(diào)節(jié)時(shí)間較短，阻）為了限制超調(diào)量，并使調(diào)節(jié)時(shí)間較短，阻尼比一般應(yīng)在尼比一般應(yīng)在0.40.40.80.8之間，這時(shí)階躍響應(yīng)的超之間，這時(shí)階躍響應(yīng)的超調(diào)量將在調(diào)量將在1.5%1.5%25%25%之間。之間。nn東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組454.4.二階工程最佳參數(shù)二階工程最佳參數(shù) 707. 021 121TsTssWK 122122TssTsWB21%100%4.3%eTtnr7 . 4122%8.4385%4.146sstTTtTT用近似公式求得為用近似公式求得為1122nnT令令東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組46例例3-2 3-2 有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如

23、下圖所示，其中其中K Kk k = 4= 4。求該系統(tǒng)的：求該系統(tǒng)的：1 1）自然振蕩角頻率；）自然振蕩角頻率；2 2）系統(tǒng)的阻尼比；）系統(tǒng)的阻尼比；3 3）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間；）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間；4 4）如）如果要求果要求 ，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)參數(shù)，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)參數(shù) K Kk k 值。值。0.707東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組47解解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為寫成標(biāo)準(zhǔn)形式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式 由此得由此得（1 1）自然振蕩角頻率）自然振蕩角頻率 2, 4KBKKKWsKssK2222)(nnnBsssW2nKK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組48（2 2）阻尼比）阻尼比 （3 3）超調(diào)量）超調(diào)量

24、 調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間 （4 4）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 25. 021n21%100%47%es 63%)5(nst20.5KnK0.70721n東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組49例例3-3 3-3 為了改善例為了改善例3-23-2系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能，滿系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能，滿足單位階躍輸入下系統(tǒng)超調(diào)量足單位階躍輸入下系統(tǒng)超調(diào)量 的要求，今的要求，今加入微分負(fù)反饋加入微分負(fù)反饋 ，如下圖所示。求微分時(shí)間常，如下圖所示。求微分時(shí)間常數(shù)數(shù) 。 %5%s東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組50解解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1411(1414)41(4)(sssss

25、WK4)41 (4)(2sssWB東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組51為了使為了使 ，令，令 。由由得得并由此求得開環(huán)放大系數(shù)為并由此求得開環(huán)放大系數(shù)為 %5%707. 04 ,4122nn457. 0412707. 02412n41.41414KK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組52由例由例3-33-3可知：可知： 當(dāng)系統(tǒng)加入局部微分負(fù)反饋時(shí)，相當(dāng)于增當(dāng)系統(tǒng)加入局部微分負(fù)反饋時(shí)，相當(dāng)于增加了系統(tǒng)的阻尼比，加了系統(tǒng)的阻尼比，提高了提高了系統(tǒng)的系統(tǒng)的平穩(wěn)性平穩(wěn)性，但，但同時(shí)也同時(shí)也降低了降低了系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組535.5.零、極點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響零、極

26、點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響(1)(1)具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性分析具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性分析 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為)2(1)1(2) 1()()(222222nnnnnnrcsssssssXsX式中：式中： 時(shí)間常數(shù)。時(shí)間常數(shù)。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組54令令 ，則，則 將系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖等效成下圖所示的結(jié)構(gòu)。將系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖等效成下圖所示的結(jié)構(gòu)。 z1)2()()()(222nnnrcsszzssXsX東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組55由之得由之得 在初始條件為零時(shí)，取拉氏反變換為在初始條件為零時(shí)，取拉氏反變換為 10 ,2)()(2221nnrncsssXsX)()()(1

27、1sXzssXsXcccssXr1)()2()(22211nnncsssLtxdttdxztxsXzsLsXLtxccccc)(1)()()()(111111東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組56則則 )1sin(11)(221tetxntcn)1cos(1)1sin(11 )1cos(1)1sin()(111)(22222222tltlzzlettzzetxnnnntnnnntcnn式中，式中，l為極點(diǎn)與零點(diǎn)間的距離，可由系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的為極點(diǎn)與零點(diǎn)間的距離，可由系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)在復(fù)平面上所在的位置確定。零點(diǎn)和極點(diǎn)在復(fù)平面上所在的位置確定。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組57零極點(diǎn)在零極點(diǎn)

28、在s s平面上的分布如下圖所示。平面上的分布如下圖所示。 22212()(1)cos1sinnnnnlzpzzll由左圖知由左圖知東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組58所以所以 22222( ) 1sin( 1)coscos( 1)sin 1 1sin( 1)1nntcnntnelx tttzeltz 2222222221arctan1arctan()(1)2nnnnnnzzzzlzzz式中：式中：東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組59令令 為閉環(huán)傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部與零為閉環(huán)傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部與零點(diǎn)的實(shí)部之比，則得點(diǎn)的實(shí)部之比，則得 所以所以zrn22221rrzl0 ),1sin(121)(22

29、222tterrtxntcn結(jié)論：由于閉環(huán)傳遞函數(shù)零點(diǎn)的存在，振蕩性增強(qiáng)。結(jié)論：由于閉環(huán)傳遞函數(shù)零點(diǎn)的存在，振蕩性增強(qiáng)。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組60(2) (2) 二階系統(tǒng)加極點(diǎn)的暫態(tài)響應(yīng)二階系統(tǒng)加極點(diǎn)的暫態(tài)響應(yīng) 系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，特征方程式的三個(gè)根為時(shí)，特征方程式的三個(gè)根為 )(2()(32232RsssRsWnnnB1212233(1)(1)nnpjpjpR 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組61因此得因此得 上式中各項(xiàng)的待定系數(shù)為上式中各項(xiàng)的待定系數(shù)為 33222102)(RsAssAsAsAsXnnc00212222( ) 1(2)(2) 12(2) 1(2) 1csnAXs

30、 sAA 式中式中 是負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)與共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部之比是負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)與共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部之比nR3東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組62三階系統(tǒng)的極點(diǎn)分布如下圖所示。三階系統(tǒng)的極點(diǎn)分布如下圖所示。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組63輸出量的暫態(tài)響應(yīng)為輸出量的暫態(tài)響應(yīng)為 32222112( )1(2)1 cos 1sin1, 01nR tctnnnnex tAAeAttt 或或 式中：式中： 222(2) 11, tan(2)1dn 22222222221(2)( )1cos(2)11(2)1(2)1(2)1 sin1(2)1(2)1 sin(), 01(2)1nnnnttcdtdtdeex ttete

31、tt 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組64 ，以，以 為參變量時(shí)三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如為參變量時(shí)三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如下圖所示下圖所示結(jié)論：具有負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)的三階系統(tǒng)，振蕩性減弱，而上升時(shí)結(jié)論：具有負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)的三階系統(tǒng)，振蕩性減弱，而上升時(shí) 間和調(diào)節(jié)時(shí)間增長(zhǎng)，超調(diào)量減小，也就是相當(dāng)于系統(tǒng)間和調(diào)節(jié)時(shí)間增長(zhǎng)，超調(diào)量減小，也就是相當(dāng)于系統(tǒng) 的慣性增強(qiáng)了。的慣性增強(qiáng)了。 5 . 0東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組65高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)形式：高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)形式：將分子和分母分解成因式：將分子和分母分解成因式： nnnnmmmmBrcasasasabsbsbsbsWsXsX11101110)()()()

32、()()()()()()(2121nmBrcpspspszszszsKsWsXsX東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組66如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，且全部的極點(diǎn)和零點(diǎn)都互不相如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，且全部的極點(diǎn)和零點(diǎn)都互不相同，而極點(diǎn)中包含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則當(dāng)輸入為單同，而極點(diǎn)中包含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，輸出量的拉氏變換為位階躍函數(shù)時(shí)，輸出量的拉氏變換為式中：式中： ；q q為實(shí)數(shù)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，為實(shí)數(shù)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，r r 為共軛極為共軛極點(diǎn)的對(duì)數(shù)。點(diǎn)的對(duì)數(shù)。 qjrknknkjmiicsspsszsKsX11221)2()()()(rqn2東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組67用部分分式展開得用部分分式展開得

33、 單位階躍響應(yīng)為單位階躍響應(yīng)為 qjrknknkkkkjjcssCsBpsAsAsX112202)(rknkktnkkknkkkqjrknkktktpjcteBCteBeAAtxnkknkkj12211201sin11cos)(東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組68結(jié)論結(jié)論（1 1）高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量衰減得快慢，系統(tǒng)）高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量衰減得快慢，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部越小，即在閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部越小，即在S S平面左側(cè)離虛軸越近，平面左側(cè)離虛軸越近，則相應(yīng)的分量衰減越慢，對(duì)暫態(tài)影響越大。則相應(yīng)的分量衰減越慢，對(duì)暫態(tài)影響越大。（2 2）高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的系數(shù)不僅和極點(diǎn)）高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的系

34、數(shù)不僅和極點(diǎn)在在S S平面中的位置有關(guān)，還與零點(diǎn)的位置有關(guān)。平面中的位置有關(guān)，還與零點(diǎn)的位置有關(guān)。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組69 如果某極點(diǎn)如果某極點(diǎn)- -p pj j靠近一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)，遠(yuǎn)離原點(diǎn)及靠近一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)，遠(yuǎn)離原點(diǎn)及其它極點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)其它極點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)A Aj j比較小，該暫態(tài)分量比較小，該暫態(tài)分量的影響也就越小。如果極點(diǎn)和零點(diǎn)靠得很近（稱為的影響也就越小。如果極點(diǎn)和零點(diǎn)靠得很近（稱為偶極子），則該極點(diǎn)對(duì)暫態(tài)響應(yīng)幾乎沒有影響。偶極子），則該極點(diǎn)對(duì)暫態(tài)響應(yīng)幾乎沒有影響。 如果某極點(diǎn)如果某極點(diǎn)- -p pj j遠(yuǎn)離閉環(huán)零點(diǎn)，但與原點(diǎn)相距較遠(yuǎn)離閉環(huán)零點(diǎn)，但與原點(diǎn)相距較近，則相應(yīng)的

35、系數(shù)近，則相應(yīng)的系數(shù)A Aj j將比較大。因此離原點(diǎn)很近并將比較大。因此離原點(diǎn)很近并且附近沒有閉環(huán)零點(diǎn)的極點(diǎn)，其暫態(tài)分量項(xiàng)不僅幅且附近沒有閉環(huán)零點(diǎn)的極點(diǎn)，其暫態(tài)分量項(xiàng)不僅幅值大，而且衰減慢，對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的影響很大。值大，而且衰減慢，對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的影響很大。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組70（3 3）主導(dǎo)極點(diǎn)：如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的）主導(dǎo)極點(diǎn)：如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí)部小于其它極點(diǎn)的實(shí)部的極點(diǎn)，其實(shí)部小于其它極點(diǎn)的實(shí)部的1/51/5，并且附，并且附近不存在零點(diǎn)，可以認(rèn)為系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)主要由這近不存在零點(diǎn)，可以認(rèn)為系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)主要由這一極點(diǎn)決定。如果找到一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，

36、那一極點(diǎn)決定。如果找到一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，那么，高階系統(tǒng)就可以近似地當(dāng)作二階系統(tǒng)來(lái)分析，么，高階系統(tǒng)就可以近似地當(dāng)作二階系統(tǒng)來(lái)分析，并可以用二階系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的暫并可以用二階系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的暫態(tài)特性。態(tài)特性。 在設(shè)計(jì)一個(gè)高階控制系統(tǒng)時(shí)，我們常常利用主在設(shè)計(jì)一個(gè)高階控制系統(tǒng)時(shí)，我們常常利用主導(dǎo)極點(diǎn)這一概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有一對(duì)共導(dǎo)極點(diǎn)這一概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣就可以近似地用一階或二階軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣就可以近似地用一階或二階系統(tǒng)的指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)。系統(tǒng)的指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組71 一個(gè)線性系統(tǒng)正常工作的首要條

37、件，就是一個(gè)線性系統(tǒng)正常工作的首要條件，就是它必須是它必須是穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。 用代數(shù)的方法判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分用代數(shù)的方法判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響，是本節(jié)要介析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響，是本節(jié)要介紹的內(nèi)容。紹的內(nèi)容。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組721. 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定的充分必線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定的充分必要條件要條件 系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）全部負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，數(shù)的極點(diǎn)）全部負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，也就是所有的閉環(huán)特征根也就是所有的閉環(huán)特征根 分布在分布在S S平面虛軸的

38、平面虛軸的左側(cè)左側(cè)，即即 。eR 0jpjp東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組732. 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 系統(tǒng)的特征方程式的標(biāo)準(zhǔn)形式：系統(tǒng)的特征方程式的標(biāo)準(zhǔn)形式：勞斯表勞斯表( (Routh Array)Routh Array)1011000nnnna sa sasaa，10112124321343212753116420gsfseesccccsbbbbsaaaasaaaasnnnn東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組743120111aaaaab5140121aaaaab7160131aaaaab2131111bbaabc3151121bbaabc4171131bbaabc1011000nnnna sa sa

39、saa，東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組75勞斯判據(jù)：勞斯判據(jù)： 系統(tǒng)特征方程的全部根都在系統(tǒng)特征方程的全部根都在S S左半平面的充左半平面的充分必要條件是勞斯表的第分必要條件是勞斯表的第1 1列系數(shù)全部是正數(shù)。列系數(shù)全部是正數(shù)。 方程在右半平面根的個(gè)數(shù)等于勞斯表中第方程在右半平面根的個(gè)數(shù)等于勞斯表中第1 1列列各元改變符號(hào)的次數(shù)。各元改變符號(hào)的次數(shù)。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組76例例3-4 系統(tǒng)的特征方程如下，試用勞斯判據(jù)判斷系系統(tǒng)的特征方程如下，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。統(tǒng)的穩(wěn)定性。07146435223456ssssss71151589718115117187525714457632012

40、3456sssssss解：列勞斯表解：列勞斯表該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2 2個(gè)個(gè)根在根在S S右半平面右半平面 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組77建立勞斯表過程中的幾種情況建立勞斯表過程中的幾種情況（1 1）勞斯表中第）勞斯表中第1 1列出現(xiàn)零列出現(xiàn)零 可用一個(gè)小的正數(shù)可用一個(gè)小的正數(shù) 代替它，而繼續(xù)計(jì)算其余各元。代替它，而繼續(xù)計(jì)算其余各元。0122234ssss例例3-5 3-5 系統(tǒng)的特征方程如下系統(tǒng)的特征方程如下, ,試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。432101112201221sssss解：列勞斯表解：列勞斯表系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)根具有正

41、實(shí)部。根具有正實(shí)部。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組78如果上面一行的首列和下面一行的首列符號(hào)相同，如果上面一行的首列和下面一行的首列符號(hào)相同，這表明有一對(duì)純虛根存在。這表明有一對(duì)純虛根存在。例例3-6 3-6 系統(tǒng)的特征方程如下系統(tǒng)的特征方程如下, ,試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表解：列勞斯表第第1 1列各元中的上面和下面的系數(shù)符號(hào)列各元中的上面和下面的系數(shù)符號(hào)不變，故有一對(duì)虛根。不變，故有一對(duì)虛根。將特征方程式分解，有將特征方程式分解，有02223sss222110123ssss2(1)20ss2,132, 1pjp解得根為解得根為東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課

42、程組79（2 2）勞斯表的某一行中，所有元都等于零）勞斯表的某一行中，所有元都等于零 這表明方程有一些大小相等且對(duì)稱于原點(diǎn)的根。在這種情況下，可利用全 0 行的上一行各元構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式（稱為輔助方程），式中均為偶次。以輔助方程的導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)代替勞斯表中的這個(gè)全 0 行，然后繼續(xù)計(jì)算下去。這些大小相等而關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根可以通過求解這個(gè)輔助方程得出。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組80解：列勞斯表解：列勞斯表例例3-7 3-7 系統(tǒng)的特征方程如下系統(tǒng)的特征方程如下, ,試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。0161620128223456ssssss0008610161221

43、620813456ssss由上表可以看出，由上表可以看出，s s3 3行的各項(xiàng)全部為零。為了求出行的各項(xiàng)全部為零。為了求出s s3 3s s0 0各項(xiàng)，各項(xiàng)，用用s s4 4行的各元構(gòu)成輔助方程式行的各元構(gòu)成輔助方程式 86)(24sssp東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組81它的導(dǎo)函數(shù)為它的導(dǎo)函數(shù)為用導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)用導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)4 4和和1212代替行相應(yīng)的元繼續(xù)算下去，得代替行相應(yīng)的元繼續(xù)算下去，得勞斯表為勞斯表為 ssdssdp1243834831248610161221620810123456sssssss結(jié)論：在新得到的勞斯表中第結(jié)論：在新得到的勞斯表中第1 1列沒列沒有變號(hào)，因此可以確定在有

44、變號(hào)，因此可以確定在S S右半平面右半平面沒有特征根。另外，由于行的各元均沒有特征根。另外，由于行的各元均為零，這表示有共軛虛根。系統(tǒng)處于為零，這表示有共軛虛根。系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組82這些虛根可由輔助方程式求出。本例的輔助方這些虛根可由輔助方程式求出。本例的輔助方程式是程式是由之求得特征方程式的大小相等符號(hào)相反的虛由之求得特征方程式的大小相等符號(hào)相反的虛根為根為 86)(24sssp21,2,26 , 54 , 32 , 1jpjpjp東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組833. 胡爾維茨判據(jù)胡爾維茨判據(jù) 系統(tǒng)的特征方程式的標(biāo)準(zhǔn)形式：系統(tǒng)的特征方程式的標(biāo)準(zhǔn)形式

45、：構(gòu)造胡爾維茨行列式構(gòu)造胡爾維茨行列式D D 1011000nnnna sa sasaa，nnnaaaaaaaaaaaaaD212031420531000000000000東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組84胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：特征方程式的全部根都在左半復(fù)平面特征方程式的全部根都在左半復(fù)平面的充分必要條件是上述行列式的充分必要條件是上述行列式D D的各階主子式均大于的各階主子式均大于0 0，即，即 . 0 , 0, 0 , 0 , 03142053132031211DDaaaaaaaaDaaaaDaDn 與勞斯表中第與勞斯表中第1 1列的系數(shù)比較，存在如下關(guān)系：列的系數(shù)比較，存在如下

46、關(guān)系： 若若 均為正，則均為正，則D D1 1，D D2 2，D Dn n自然也都為正，反自然也都為正，反之亦然?？梢妱谒狗€(wěn)定判據(jù)和胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)實(shí)質(zhì)是一之亦然。可見勞斯穩(wěn)定判據(jù)和胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)實(shí)質(zhì)是一致的。致的。當(dāng)當(dāng)n n 較大時(shí)，胡爾維茨判據(jù)計(jì)算量急劇增加，所以它通常較大時(shí)，胡爾維茨判據(jù)計(jì)算量急劇增加，所以它通常只用于只用于 的系統(tǒng)。的系統(tǒng)。 12113211/,/,/nnbDD cDDgDD111,b cg6n 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組854. 謝緒愷判據(jù)謝緒愷判據(jù) 系統(tǒng)的特征方程式：系統(tǒng)的特征方程式：上式根全部具有負(fù)實(shí)部的必要條件為上式根全部具有負(fù)實(shí)部的必要條件為其根全部具有負(fù)實(shí)

47、部的充分條件為其根全部具有負(fù)實(shí)部的充分條件為 19761976年中國(guó)學(xué)者聶義勇進(jìn)一步證明，可將此充分條件放寬為年中國(guó)學(xué)者聶義勇進(jìn)一步證明，可將此充分條件放寬為 此判據(jù)被稱為謝緒愷判據(jù)。此判據(jù)被稱為謝緒愷判據(jù)。謝緒愷判據(jù)完全避免了除法，且節(jié)省了計(jì)算量。謝緒愷判據(jù)完全避免了除法，且節(jié)省了計(jì)算量。 101103nnnna sa sasan，112(1, 2,2)iiiia aa ann1121(1, 2,2)3iiiia aa ann1120.465(1, 2,2)iiiia aaann東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組865. 參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響 例例3-8 3-8 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

48、系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 式中，式中，K Kk k為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。 123111KBKKWsTsT sT sK解：解：系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為 321 2 31 21 32 312310KTTT sTTTTTT sTTT sK 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組87列勞斯表，整理得列勞斯表，整理得假設(shè)假設(shè)T T1 1=T=T2 2 =T =T3 3 ，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界放大系數(shù)為則使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界放大系數(shù)為Kk=8=8。如果取如果取T T2 2=T=T3 3，T T1 1= 10T= 10T2 2 ，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界放大系則使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界放大系數(shù)變?yōu)閿?shù)變?yōu)镵k =24.

49、2。由此可見，將各時(shí)間常數(shù)的數(shù)值錯(cuò)開，可以允許較由此可見，將各時(shí)間常數(shù)的數(shù)值錯(cuò)開，可以允許較大的開環(huán)放大系數(shù)。大的開環(huán)放大系數(shù)。 33122123112302KTTTTTTKTTTTTT東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組886. 相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量 應(yīng)用代數(shù)判據(jù)只能給出系統(tǒng)是應(yīng)用代數(shù)判據(jù)只能給出系統(tǒng)是穩(wěn)定還是不穩(wěn)穩(wěn)定還是不穩(wěn)定，定，即只解決了即只解決了絕對(duì)穩(wěn)定性絕對(duì)穩(wěn)定性的問題。在處理實(shí)際的問題。在處理實(shí)際問題時(shí)，只判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定是不夠的。因?yàn)?，問題時(shí)，只判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定是不夠的。因?yàn)椋瑢?duì)于實(shí)際的系統(tǒng)，所得到參數(shù)值往往是近似的，對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng)，所得到參數(shù)值往往是近似的，并且有的

50、參數(shù)隨著條件的變化而變化，這樣就給并且有的參數(shù)隨著條件的變化而變化，這樣就給得到的結(jié)論帶來(lái)了誤差。為了考慮這些因素，往得到的結(jié)論帶來(lái)了誤差。為了考慮這些因素，往往希望知道系統(tǒng)往希望知道系統(tǒng)距離穩(wěn)定邊界有多少余量距離穩(wěn)定邊界有多少余量，這就，這就是是相對(duì)穩(wěn)定性相對(duì)穩(wěn)定性或或穩(wěn)定裕量穩(wěn)定裕量的問題。的問題。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組89方法：方法： 利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，以利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，以 代入系統(tǒng)代入系統(tǒng)特征方程式，寫出特征方程式，寫出z z的多項(xiàng)式，然后用代數(shù)判據(jù)判的多項(xiàng)式，然后用代數(shù)判據(jù)判定定z z的多項(xiàng)式的根是否都在新的虛軸的左側(cè)。的多項(xiàng)式的根是否都在新的虛軸的左側(cè)。 1 zs東北大學(xué)自

51、動(dòng)控制原理課程組90例例3-9 3-9 系統(tǒng)特征方程式為系統(tǒng)特征方程式為 勞斯表為勞斯表為可以看出，第一列中各項(xiàng)符號(hào)沒有改變，所以沒可以看出，第一列中各項(xiàng)符號(hào)沒有改變，所以沒有根在有根在S S平面的右側(cè)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。平面的右側(cè)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。068523sss653465810123ssss東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組91由于由于 上面的系數(shù)符號(hào)與上面的系數(shù)符號(hào)與 下面下面的系數(shù)符號(hào)相同，表明在右半平面沒有的系數(shù)符號(hào)相同，表明在右半平面沒有根，但由于根，但由于z z1 1行的系數(shù)為零，故有一對(duì)虛行的系數(shù)為零，故有一對(duì)虛根。這說(shuō)明，原系統(tǒng)剛好有根。這說(shuō)明，原系統(tǒng)剛好有 的穩(wěn)定的穩(wěn)定裕量。裕量。

52、檢查上述系統(tǒng)是否有檢查上述系統(tǒng)是否有 裕量。裕量。將將 代入原特征方程式，得代入原特征方程式，得0111 zs06) 1(8) 1(5) 1(23zzz新的特征方程為新的特征方程為列出勞斯表列出勞斯表 02223zzz321011220()2zzzz110東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組92穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 在穩(wěn)態(tài)條件下輸出量的期望值與穩(wěn)態(tài)值之間在穩(wěn)態(tài)條件下輸出量的期望值與穩(wěn)態(tài)值之間的差值。的差值。n擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差 由外擾而引起的，常用這一誤差來(lái)衡量恒值由外擾而引起的，常用這一誤差來(lái)衡量恒值系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)品質(zhì)。因?yàn)閷?duì)于恒值系統(tǒng)，給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)品質(zhì)。因?yàn)閷?duì)于恒值系統(tǒng)，給定量是不變的。量是不變的。

53、n給定穩(wěn)態(tài)誤差給定穩(wěn)態(tài)誤差 衡量隨動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)品質(zhì)的指標(biāo)。因?yàn)閷?duì)于隨衡量隨動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)品質(zhì)的指標(biāo)。因?yàn)閷?duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，給定量是變化的，要求輸出量以一動(dòng)系統(tǒng)，給定量是變化的，要求輸出量以一定的精度跟隨給定量的變化。定的精度跟隨給定量的變化。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組931. 擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差 擾動(dòng)誤差的拉氏變換：擾動(dòng)誤差的拉氏變換： )()()(1)()()(212sWsWsWsNsWsXfc擾動(dòng)誤差的傳遞函數(shù)：擾動(dòng)誤差的傳遞函數(shù)： )()()(1)()()()(212sWsWsWsWsNsXsWfce東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組9402012lim( )lim( )( )( )lim1( )

54、( )( )ssctcssfex ts XssW sN sW s W s Ws根據(jù)拉氏變換的終值定理，擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤根據(jù)拉氏變換的終值定理，擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為差為東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組95當(dāng)給定量當(dāng)給定量 時(shí)，以擾動(dòng)量為輸入量的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時(shí)，以擾動(dòng)量為輸入量的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示如下圖所示 ：例例3-10 速度負(fù)反饋系統(tǒng)速度負(fù)反饋系統(tǒng) 0)(sUr東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組96在負(fù)載電流作用下轉(zhuǎn)速誤差的拉氏變換為在負(fù)載電流作用下轉(zhuǎn)速誤差的拉氏變換為 (1)( )( )(1)(1)aszemsKRT sIsCn sT sTK式中：式中： 系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)。系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)。 1Kcs

55、feKK K KC當(dāng)負(fù)載為階躍函數(shù)時(shí)，當(dāng)負(fù)載為階躍函數(shù)時(shí)， 。則轉(zhuǎn)速的穩(wěn)態(tài)誤差為。則轉(zhuǎn)速的穩(wěn)態(tài)誤差為 zzIssI1)(0(1)lim( )lim(1)(1)(1)aszezatsmsKeKRT sICI Rn tT sTKCK由于這一系統(tǒng)在負(fù)載擾動(dòng)下存在穩(wěn)態(tài)誤差，所以稱為由于這一系統(tǒng)在負(fù)載擾動(dòng)下存在穩(wěn)態(tài)誤差，所以稱為有差系統(tǒng)有差系統(tǒng)。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組97 將上述調(diào)速系統(tǒng)中的比例調(diào)節(jié)器換成積分調(diào)節(jié)器，將上述調(diào)速系統(tǒng)中的比例調(diào)節(jié)器換成積分調(diào)節(jié)器，構(gòu)成下圖所示系統(tǒng)。構(gòu)成下圖所示系統(tǒng)。 則速度誤差的拉氏變換為則速度誤差的拉氏變換為 當(dāng)負(fù)載電流作階躍變化時(shí)，有當(dāng)負(fù)載電流作階躍變化時(shí)，有)

56、1)(1()() 1()(KTsTCRsIsTssnsmeazs0) 1)(1() 1(lim)(lim0KsTsTsCRIsTstnmseazsst該系統(tǒng)為無(wú)差系統(tǒng)。該系統(tǒng)為無(wú)差系統(tǒng)。在開環(huán)傳遞函數(shù)中，串聯(lián)積分環(huán)節(jié)，可以消除階躍擾動(dòng)的在開環(huán)傳遞函數(shù)中，串聯(lián)積分環(huán)節(jié)，可以消除階躍擾動(dòng)的穩(wěn)定誤差。穩(wěn)定誤差。 efsCKKK 式中式中東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組982. 給定穩(wěn)定誤差和誤差系數(shù)給定穩(wěn)定誤差和誤差系數(shù) 誤差定義為誤差定義為 )()()()()()(sXsWsXsXsXsEcfrfr 這個(gè)誤差是可以量測(cè)的，但是這個(gè)誤差這個(gè)誤差是可以量測(cè)的，但是這個(gè)誤差并不一定反映輸出量的實(shí)際值與期望值并

57、不一定反映輸出量的實(shí)際值與期望值之間的偏差。之間的偏差。 另一種定義誤差的方法是取系統(tǒng)輸出量另一種定義誤差的方法是取系統(tǒng)輸出量的實(shí)際值與期望值的差，但這一誤差在的實(shí)際值與期望值的差，但這一誤差在實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)無(wú)法測(cè)量。實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)無(wú)法測(cè)量。 對(duì)于左圖所示單位反饋系統(tǒng)，上述兩種對(duì)于左圖所示單位反饋系統(tǒng)，上述兩種誤差定義是相同的。誤差定義是相同的。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組99單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為式中：式中： N N 開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)的開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)的 階次，或稱系統(tǒng)的無(wú)差階數(shù)；階次，或稱系統(tǒng)的無(wú)差階數(shù)； N N個(gè)積

58、分環(huán)節(jié)串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)。個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)。 11(1)( )(1)mKiiKn NNjjKTsWssT sNs1東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組100N N = 0= 0，0 0型系統(tǒng)；型系統(tǒng)；N N = 1= 1，型系統(tǒng)；型系統(tǒng)；N N = 2= 2，型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。N N 越大越大，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越高精度越高，但系統(tǒng)的，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性愈差穩(wěn)定性愈差。一般采用的是。一般采用的是0 0型、型、型和型和型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組101（1）典型輸入情況下系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差分析典型輸入情況下系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差分析 單位階躍函數(shù)輸入單位階躍函數(shù)輸入 ssXr1)

59、(穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)態(tài)誤差為 )(11lim)(lim)(00sWssEeeKsspss令令 ， 稱為位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，則稱為位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，則 1( )1ppeK 0lim( )pKsKWspK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組102對(duì)于對(duì)于0 0型系統(tǒng)，因型系統(tǒng)，因N N = 0= 0，則位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)則位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 因此因此0 0型系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差為型系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差為 101(1)lim(1)mKiipKnsjjKTsKKT sKpspKKssEe1111)(lim)(東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組103 對(duì)于對(duì)于型或型或型系統(tǒng)，因型系統(tǒng)，因N N=1=1或或2 2，則位置誤，則位置誤差系數(shù)

60、為差系數(shù)為 故故型或型或型系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差為型系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差為 101(1)lim(1)mKiipn NsNjjKTsKsT s 1( )01ppeK 由此而知，對(duì)于單位階躍輸入，由此而知，對(duì)于單位階躍輸入，型以上各型系型以上各型系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)均為無(wú)窮大，穩(wěn)態(tài)誤差均統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)均為無(wú)窮大，穩(wěn)態(tài)誤差均為零。為零。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組104 單位斜坡函數(shù)輸入單位斜坡函數(shù)輸入 給定穩(wěn)態(tài)誤差為給定穩(wěn)態(tài)誤差為 令令 ， 稱為速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。稱為速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。 21)(ssXr)(1lim)(1 1lim)(00ssWsWseeKsKsvss0lim( )vKsKsWs