2019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：第29講等差數(shù)列及其前n項和(含解析)

1、第 29 講 等差數(shù)列及其前n項和考試說明 1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.考情分析考點考查方向考例考查熱度等差數(shù)列的概念等差數(shù)列的判斷與證 明2015 全國卷n16,2015 全國卷I17通項公式求數(shù)列中的某項、通項 公式以及通項公式的 性質(zhì)2017 全國I4,2017 全國卷n15,2016 全國卷I3,2014 全國卷I17求和公式求數(shù)列前n項和、部分 項和、和的最值2013 全國卷I7,2013 全國卷n16真題再現(xiàn) 2017-2013課標(biāo)全國真題再現(xiàn)1. 2017 全國卷I記$為等差數(shù)列an的前n項和若a4+a5=2

2、4, S=48,則an的公差為（）A.1 B.2C.4 D.8解析C 設(shè)an的公差為d,則 2a1+7d=24 且 6a1+15d=48,解得d=4.I2. 2017 全國卷n等差數(shù)列an的前n項和為 S,a3=3, S=10,貝血:;:_2n答案汁1卩丄）解析設(shè)公差為d,則ai+2d=3 且 4ai+6d=10,解得ai=1,d=1,所以S=,=2 二J,烏扛舊倜”+舖鋸3._ 2013 全國卷II等差數(shù)列an的前n項和為S,已知So=O,$5=25,則nS的最小值為 _.答案-49102n3*10n:解析由已知,ai+aio=O,ai+ai5=一？d=,ai=-3,AnS=,易得n=6 或

3、n=7 時,nS出現(xiàn)最小值.當(dāng)n=6時，n$=-48;n=7 時，nS=-49.故nS的最小值為-49.4.2014 全國卷I已知數(shù)列an的前n項和為S, a=1,anM0,an+1=入S-1,其中入為常數(shù).(1) 證明：an+2-an=入.是否存在 入，使得an為等差數(shù)列？并說明理由.解:(1)證明:由題設(shè),anan+1=入Sn-1,an+1an+2=入Sn+1-1,兩式相減得an+1(an+2-an)=入an+1.因為an+1豐0,所以an+2-an=入.(2) 由題設(shè),a1=1,a1a2=入S-1,可得a2=入-1,由(1)知,a3=入+1.若an為等差數(shù)列，則 2a2=a1+a3,解得

4、 入=4,故an+2-an=4.由此可得aan-1是首項為 1,公差為 4 的等差數(shù)列，a2n-1=4n-3;a2n是首項為 3,公差為 4 的等差數(shù)列，a2n=4n-1.以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在 入=4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列. 2017-2016其他省份類似高考真題1.2017 浙江卷已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為$,則“d0”是“S+S2S”的()A 充分不必要條件B.必要不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件解析C 由題意,得S=n日+d,則S4+S-2S=(4ai+6d)+(6ai+15d)-2(5ai+10d)=d.因此當(dāng)d0時，S4+S-

5、2S50,則S+S2S5；當(dāng)S+S2S5時，S+S-2S50,則d0.所以“d0” 是“S+S2S5” 的充分必要條件.因此選C.2.2016 北京卷已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項和.若ai=6,a3+a5=0,則 S=_.答案6解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因為a3+a5=0,所以 6+2d+6+4d=0,解得d=-2,所以6 巧S6=6X6+X(-2)=36-30=6.3. 2016 山東卷改編已知數(shù)列an的前n項和 S=3n2+8n,bn是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1,求數(shù)列bn的通項公式解：由題意知，當(dāng)n2 時，an=S-Sn-1=6n+5,當(dāng)n=1 時,ai=S=11,所以a

6、n=6n+5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d.01 = 61 + hj* (11=2 Ai +4= 4,由l収2二如+婦即!17 = 2加+3血解得（d二3,所以bn=3n+1.【課前雙基鞏固】知識聚焦1.an-an-1=d2an=a+(n-1)d an=am+(n-m)d(n,m N)2na+ 2 d2.ap+aq2ak等差3.d n+a1-d次函數(shù)孤立遞增遞減常數(shù)列：2M-n2+- n二次函數(shù)孤立大小對點演練的+4讓$= 3,1.- 3 解析設(shè)等差數(shù)列陽的公差為 d,則由條件得也仙+2二仙+心+6解得血 1 二2.-21解析.在等差數(shù)列丨中，a2=-1,a6=-5,.S7=_(ai+a7)=_(+3

7、5)=_x(-6)=-21.3.24 解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S,S8-S4,SS8成等差數(shù)列，所以 2X(12-4)=4+(S2-12),解得S2=24.4.8 解析a3+a6+aio+ai3=32,即(a3+ai3)+(a6+aio)=32,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得2a8+2a8=32,則as=8,故m=8.5. 7 或 8解析an=ai+(n-i)d=-28+4(n-i)=4n-32.由an 0,得 4n-32w0,即nW8,則a8=0,當(dāng)n7 時，an0,所以前n項和S取得最小值時n=7 或 8.7.100 解析|ai|+|a2|+|a2|=(ai+aaii)-(a2+a3如)=S1-(S

8、20-S1 i)=2S1-S20,而11,(刪2叭2卜1S1=55, $0=10 x20+x(-1 )=1 0,則|ai|+|a2|+|a20|=i 00.【課堂考點探究】例 1 思路點撥(1)將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項ai和公差d的方程組，進而求得ai和d,然后利用等差數(shù)列的通項公式求a4；(2)首先由a6=3a4確定首項ai與公差d的關(guān)系，然后代入So=入a4即可求得 入的值.a4=a +3d=-1+3x2=5.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由a6=3a4,得a計 5d=3 (a計 3d),貝Uai=-2d,又So=入a4,所以Sy? 10c 卄空攀 dZ.入=：；：= rd = _.一一 =2

9、5.I a；= di+2d = lt(ai二 N變式題(1)B(2)A解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則由題意得 庇二血+4d=4 解得d21342則數(shù)列an的前 13 項和S3=13ai+2d=91.(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由 3as=a6+4 得 3(a2+d)=a?+4d+4,即d=2a2-4.由S5 0,6. m 解析由題意知數(shù)列an滿足伽蘭即 l20+8dWQ 所以(dJ 205注u 2 I-亍即夕vdW.(1)B(2)D解析 (1)設(shè)等差數(shù)列=】=5(3a2-4)10,解得a22,故選 A例 2 思路點撥(1)首先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到ai+aio=a2+a9=a3+a

10、8=a4+a7=a5+a6=4,然后進行指數(shù)與對數(shù)運算;(2)若數(shù)列%為等差數(shù)列，其前 n 項和為 S,貝譏也成等差數(shù)列，利用以上性質(zhì)即可求解；(3)由等差數(shù) 列的性質(zhì)知，S672,S1344-S672,S2016-S1344成等差數(shù)列，由此建立方程可求解.(1)B(2)-2017(3)C解析(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)知a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a5=4,貝U_ =紳嘗寸咖=?如汀財=25X:log_)=log225X4=20.b1*設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,因為fi=a+(n-1)d,所以數(shù)列I也成等差數(shù)列差為 1,因此；門$=一+(2017-1)X1=-1,故&

11、17=-2017.由等差數(shù)列的性質(zhì)知，Ss72,S344-S672,S16-S1344成等差數(shù)列，則 2(S344-S672)=S?72+016-S1344,即 2X(12-2)=2+S016-12,解得S2016=30.1變式題(1)B(2) 一： (3)C解析(1)由題意可得a3+a5+a7+a9+sh=5a7=45,圧=3 比=-3,則a7=9,a2=-1,則數(shù)列的公差d=2,故a5=a2+3d=5.時旳葉站71+2 14?因為數(shù)列an和b均為等差數(shù)列，所以 J二=、= _.=_：.IrJ-是等差數(shù)列，.S n,S2n-Sn,S?n-S2n成等差數(shù)列，即2(Sn-Sn)=S+(S3n-S

12、2n),TSn=3,S3n=21, 2(弘 3)=3+21 Sn,解得Sn=10,故選 C例 3思路點撥(1)對數(shù)列他J的遞推公式進行變換，使其出現(xiàn)an卄 1 與an+1 的關(guān)系，即可證明;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論利用等差數(shù)列的通項公式求解.広3屮11鋼*4111| 1解：(1)證明：因為an+計仁投艮+1=坯汽,所以 4 = %+【：=3+汀 I 所以 UfE=3,所以是首項為1血】i =3,公差為 3 的等差數(shù)列由；門：*=2 得該數(shù)列的公例 2 思路點撥(1)首先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到ai+aio=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,然后進行指數(shù)與對數(shù)1(2)由(1)得祁

13、1=3n,所以an=-1.變式題 解:Tai,a2(aia2)分別為方程x2-6x+5=0 的兩個根,ai=1,a2=5,等差數(shù)列an的公差為 4,唯 12.Sn=n 1+ 4=2n -n.1sn訴咆證明:當(dāng)c=-_時,bn=. =. =2n,bn+i-bn=2(n+i)-2n=2,bi=2,bn是首項為 2,公差為 2 的等差數(shù)列.例 4思路點撥(i)首先根據(jù)條件確定數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)數(shù)列各項的符號情況得到不等式組，進而確定n的值,或求出前n項和S的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；(2)根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性來處 理數(shù)列的最值.(i)DB 解析(i)方法一：由d=-2,S=2i,得

14、3ai+3d=3ai+3x一-=2i,解得ai=9,所以通項公式為911an=9+(n-i) (-2)=11-2n,則由也卄二11一2仇+1S 6解得nw 2,所以當(dāng)n=5 時，S取得最大值,故選 Dn(n4)方法二：同方法一可求得ai=9,因為d=-2,所以S=9n+ _n2+i0n=-(n-5)2+25,則當(dāng)n=5 時，S 取得最大值，故選 D.d d設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因為ai0,所以數(shù)列聲的前n項和S=n2+ a n對應(yīng)的18+3(圖像開口向上，其對稱軸為n=一=27,所以當(dāng)n=27 時，&取得最小值，故選 B.竺323變式題 (i)D (2)B解析(i)設(shè)等差數(shù)列 的公差為d,

15、因為ai0,所以1 4949S=n a+ 2 d=dGn2-6 J,對應(yīng)圖像的對稱軸為n=7,整數(shù)中 8 距對稱軸最近，所以當(dāng)S取最小值時,n=8, 故選 D.由題意可得納；0,公差d0,aii0,aio+aii0,S2o=1 0(a1 o+ ai)0 的n的最大值為 19.【備選理由】例 1 為等差數(shù)列的基本運算問題；例 2 是等差數(shù)列的綜合性問題；例 3 為等差數(shù)列前n項和的 最大值問題.這些例題有利于訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維.例 1 配合例 1 使用2017 泉州模擬在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列也J中，其前n項和為 S,當(dāng)n N,nfl2 時,有S =訕叱國),則Sao-2So=()A 5oB.

16、-5oC 1ooD.-1oo3332解析A 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則當(dāng)n=3 時，S3=_( - 1),即 3a1+3d三(a1+2d)2-,整理得1204? 11- a+d=2d(a1+d),可得d=,所以 So-2So=2oa+ 2x2-20a-10X9x2=50,故選 A.2配合例 3 使用2017 河南中原質(zhì)檢設(shè)等差數(shù)列織 J 的前n項和為 S,且S5=a5+a6=25.(1) 求的通項公式；若不等式2S+8n+27 -k(an+4)對所有的正整數(shù)n都成立，求實數(shù)k的取值范圍解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則5a+- d=a+4d+a+5d=25,/.a1=-1,d=3.數(shù)列的通項公式為an=3n-4.(2)$=-n+ -,貝U2S+8n+27=3n2+