2019屆高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題復(fù)習(xí)：圓錐曲線定比弦的存在定理

1、圓錐曲線定比弦的存在定理摘要本文研究了圓錐曲線中過(guò)定點(diǎn)并以此點(diǎn)為定比分點(diǎn)的弦的存在問(wèn)題，給出了圓錐曲線中定比弦存在的較為一般的判定定理。關(guān)鍵詞圓錐曲線 定點(diǎn) 中點(diǎn)弦 定比弦The Existe nee Theroem of Fixed proporti onNypothe nuse in Coni eal CuryeCao Houlia ng(Class 9702,Departme nt of Mathematics,Hubei Normal Uni versity)AbstractIn this paper,we carry out a research into the existenee

2、 problem of aeertain hypothenuse whichpasses through a fixed point and has it as a fixed-proporti on poin t, in coni cal curve give out severalcom mon theorems to judge the existe nee of fixed-proport ion hupothe nuse in conical curve.Key Word:c oni cal curve;fixed poin t;ce nter-po int hypothe nu s

3、e;fixed-proport ion hypothe nuse首先給出如下定義：定義 設(shè) P 點(diǎn)為定點(diǎn)，T 為圓錐曲線，AB 是它的弦，若 AB 所在直線過(guò) P 點(diǎn)，且被 PAP點(diǎn)所分成的有向線段代數(shù)長(zhǎng)之比(定值)，則 AB 便叫做 T 的定比弦。當(dāng)=1時(shí)，PB定比弦即是中點(diǎn)弦。本文研究定比弦的存在定理，對(duì)此，我們有2 2定理一 橢圓務(wù)+=1 存在以 P ( x0y0) (xo2+ yo2 0)為分點(diǎn)，人為定比的定比a b弦的充要條件是：(1)當(dāng) 0 時(shí)，()2a2b2 b2xo2+a2yo2va2b2;1+九(2)當(dāng) =0 時(shí)，b2xo2+a2yo2=a2b2(I)(3)當(dāng)九v0 時(shí)(九工

4、-1), a2b2vb2xo2+a2yo2w(1)2a2b21+九證明：設(shè) A ( x, y)，貝 UB(1+J X0_X ,(上)Xy)，則有k&,2 2 2 2 2 2b x +a y =a b2,、022,、02222b (1+ ) x -x +a (1+ ) y -y =a b ()兩式相減，得b2(1+，)2xo2-2b2(1+，) x0+a2(1+ )2y2-2a2(1+，) yy-a2b2( 2-1) =0 (*)當(dāng) 0 時(shí)，=(1+ 扎)(b2/2+a2y02)._2b2x+a2b2(1_&)72a2y022a2y0代入b2x2a2y02=a2b2，并化簡(jiǎn)得到：222222 2

5、 2 2 2 2 2 2 2 2 24b (b xoa yo)x -4b Xo(W，)(b xoa y) a b (1 - )x 2a b (1 )222222222422442(b2xoa2yo) (1 )2(b2xoa2yo) 4a4b2y。a4b4(1 )2=0()假設(shè)弦AB存在， 則X，R,所以上述方程有實(shí)根， 從而o,對(duì)其化簡(jiǎn)整理， 得： (1 + ?.)2(b2xoa2yo2)2-2a2b2(1 + X2)(b2xo a2yo2) + a4b4(1亠丸) o 時(shí)，(- )2a2b2 b2xo2+a2yo2x2即2 2 2a2、(1 )xoa (1-Ja卩24xo(1)當(dāng) o 時(shí)，(

6、1)2a2o）存在以（xo，yo）為分點(diǎn)，以為定比的定比弦的充要 條件是：2，由此得(1)亡o (-1)時(shí)，(yo-2pxo)vo；(2) =0時(shí)，y2pxo(n)證明：設(shè) A ( x, y)，貝U(1，)xo-xCT，)y。- y、B (-,-),得y2=2px2(i -)yo-y =2p w jx。- j(* *)兩式相減得到：(T )2y2 2(1 )yy =2p (1 )x。-2p( )x(* *)21當(dāng)竹0 時(shí)，y=(i)%2pX。2px2yo代入 y2=2px，得2222422224p x 4p(；T)y。-2pxox(V) y。4p x。一4p，(1 )x()y。0()設(shè)弦 AB

7、 存在，則xR,.方程有實(shí)根，. 0,對(duì)此化簡(jiǎn)即得：(1)九九工。工。(人工-1),丸(yo2-2pxo)v。；(2)，=0 時(shí)，y2=2px。.2當(dāng) y=0 時(shí)，這時(shí) P 點(diǎn)為(X0, 0)由(* * )得1x=x，又因 y2=2py，所以 y2=2p X。，由此得，當(dāng)豐。時(shí)，X。0, 當(dāng) =0時(shí)，x= =。. .這個(gè)結(jié)論就是(n)式中取 y0=。時(shí)的情形，故不管 y0 是否為零，(n)式總成立。 反過(guò)來(lái)，若(n)式成立， 由于以上推導(dǎo)過(guò)程可逆，因而以 P (x。，y。)為分點(diǎn)，則以為定比的定比弦必存在.定理三雙曲線b2x2a2y2二a2b2存在以 P (x,y。) (乂乂。2+ +丫丫。2

8、工。)為分點(diǎn)，以為定比的定比弦的充要條件是：(1)當(dāng)，。時(shí)，b.f/y。2-)a2b2或xf-aUva2b21 + k(2)當(dāng)= =。時(shí)，匕匕 。2七七2丫丫。2= =玄玄2(川)(3)當(dāng)v。時(shí)，匕匕. .。2的。2(1)2a2b2或乂乂。2#。2 a2b2, 或 b2xo2-a2yo2 0(推論四 圓 x2+y2=R2存在以 P (xo, yo) (Xo2+yo2Mo)為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦的充要條件是： xo2+yo2R2(W)下面舉例定比弦存在定更換一些應(yīng)用舉例：例 1 若橢圓 4x2+9y2=36 存在以 P (x, yo)為分點(diǎn)，以-2 為定比的定比弦，求 P 點(diǎn)的 存在范圍。解：由定理 1

9、 知當(dāng) o ( 工-1 )時(shí)，橢圓 b2x2+a2y2=a2b2存在以 P (心 y。)為分點(diǎn)， 為定比的定比弦的充要條件是a2b2 b2xo2+a2yo2w(匕一)2a2b2,將 a2=9, b2=4, =-21+九代入得 36 4xo2+9yo2w324，故 P 點(diǎn)在存在范圍是由橢圓 4x2+9y2=36 與 4x2+9y2=324 所夾的 區(qū)域(含4x2+9y2=324).例 2 P ( Xo, yo)在何區(qū)域內(nèi)，雙曲線 x2-4y2=4 不存在以 P (xo, yo)為分點(diǎn)，以-2 為定 比的定比弦？解：由定理三知，當(dāng) (上一)2a2b2或 b2xo2-a2yo2 a2b2,1 + &將 a2=4,b2=1, =-2 代入得 xo2-4yo236 或 x2-4yo2 4,從 P 點(diǎn)所在區(qū)域就是 x2-4yo24,即雙曲線 x2-4y2=36 與 x2-4y2=4，所夾的區(qū)域(含雙曲線x2-4y2=4)