線段和差最值問題學(xué)生版

1、專題一.線段和(差)的最值問題I.專題精講【知識依據(jù)】1. 線段公理一一兩點(diǎn)之間，線段最短；2. 對稱的性質(zhì)一一關(guān)于一條直線對稱的兩個(gè)圖形全等；對稱軸是兩個(gè)對稱圖形對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線;3三角形兩邊之和大于第三邊；4三角形兩邊之差小于第三邊；5、垂直線段最短。一、已知兩個(gè)定點(diǎn)：1 1、在一條直線 m 上，求一點(diǎn) P,使 PA+PB 最??；(1)點(diǎn) A、B 在直線 m 兩側(cè):(2)點(diǎn) A、B 在直線同側(cè):A AB B-m m2 2、在直線 m、n 上分別找兩點(diǎn) P、Q,使 PA+PQ+QB 最小。(2) 個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè):B(3) 兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：變式一：已知點(diǎn) A、B 位于直線 m,

2、n 的內(nèi)側(cè)，在直線 n、m 分別上求點(diǎn)D、E 點(diǎn)，使得圍成的四邊形 ADEB 周長最短.(4 )、臺球兩次碰壁模型(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè):變式二：已知點(diǎn) A 位于直線 m,n 的內(nèi)側(cè)，在直線m、n 分別上求點(diǎn) P、Q 點(diǎn) PA+PQ+QA 周長最短.Ao四、求兩線段差的最大值問題（運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊）1 1、在一條直線 m 上，求一點(diǎn) P,使 PA 與 PB 的差最大；（1）點(diǎn) A、B 在直線 m（2）點(diǎn) A、B 在直線 m同側(cè)異側(cè)：: mn nA A*B B、一個(gè)動點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn):）動點(diǎn)在直線上運(yùn)動：點(diǎn) B 在直線 n 上運(yùn)動，在直線 m 上找一點(diǎn) P,使 PA+PB 最?。ㄔ趫D中

3、畫出點(diǎn) P 和點(diǎn) B）2、兩點(diǎn)在直線同側(cè):- m）動點(diǎn)在圓上運(yùn)動：點(diǎn) B 在OO 上運(yùn)動，在直線 m 上找一點(diǎn) P,使 PA+PB 最?。ㄔ趫D中畫出點(diǎn) P 和點(diǎn) B）2、點(diǎn)與圓在直線同側(cè):1、兩點(diǎn)在直線兩側(cè):1、點(diǎn)與圓在直線兩側(cè):三、已知 A A、B B 是兩個(gè)定點(diǎn)，P P、Q Q 是直線 m m 上的兩個(gè)動點(diǎn), 兩點(diǎn)，使得 PA+PQ+QBPA+PQ+QB 的值最小。（原理用平移知識解）（1）點(diǎn) A、B 在直線 m 兩側(cè)：P P 在 Q Q 的左側(cè)，且 PQPQ 間長度恒定，在直線 m m 上要求 P P、Q Q（2）點(diǎn) A、B 在直線 m 同側(cè)：一歸入“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”I“飲馬

4、”幾何模型：模型應(yīng)用：1 如圖，正方形 ABCD 的邊長為 2, E 為 AB 的中點(diǎn)，P 是 AC 上一動點(diǎn).則 PB+PE 的最小值是 _2.如圖，OO 的半徑為 2,點(diǎn) A、B、C 在OO 上，0A 丄 OB，/ AOC=60 , P 是 0B 上一動點(diǎn)，則 PA+PC 的最小值 是.5.如圖，等腰梯形 ABCD 中，AB = AD = CD = 1 , / ABC = 60, P 是上底，下底中點(diǎn) EF 直線上的一點(diǎn)，則 PA+PB 的 最小值為_.H.典型例題剖析中，AB = 42,/ BAC = 45,/ BAC 的平分線交 BC 于點(diǎn) D, M、N 分別是 AD 和 AB 上的動

5、4.如圖，在直角梯形PD 的和最小時(shí)，點(diǎn) P 是 AB 上一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng) PC +PB 的長為6.如圖,MN 是半徑為 1 的O0 的直徑，點(diǎn) A 在O0 上，/ AMN = 30 B 為 AN 弧的中點(diǎn),P 是直徑 MN 上一動點(diǎn),-2 -10-13.如圖， 在銳角厶 ABC 點(diǎn)， 貝U BM + MN 的最小值是AB = 5, BC= 6,則 PA+ PB 的最小值為7.已知 A(-2, 3), B(3, 1), P 點(diǎn)在 x 軸上，若 PA+ PB 長度最小，則最小值為 _.若 PAPB 長度最大，則最大值為_ .n.臺球兩次碰壁模型模型應(yīng)用：1.如圖，/ AOB=45 , P 是/ AO

6、B 內(nèi)一點(diǎn)，PO=10 , Q、R 分別是 OA、0B 上的動點(diǎn)，求 PQR 周長的最小值.2.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A, B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(2, - 3), B(4, 1)設(shè) M , N 分別為 x 軸和 y 軸上的動點(diǎn)，請問：是否存在這樣的點(diǎn)M(m, 0), N(0, n),使四邊形 ABMN 的周長最短？若存在，請求出 m =_ , n = _ (不必寫解答過程)；若不存在，請說明理由.Jir211jIII2 -100 12 345 ?-1-2-3 n中考賞析：1 1 著名的恩施大峽谷(A)和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山( B)位于筆直的滬渝高速公路 X 同側(cè)， AB=50km、

7、B 到直線 X 的距離分別為 10km和 40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P,向 A、B 兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖(1)是方案一的示意圖(AP 與直線 X 垂直，垂足為 P) , P 到 A、B 的距離之和 Si= FA+ PB,圖(2)是方案二的 示意圖(點(diǎn) A 關(guān)于直線 X 的對稱點(diǎn)是 A，連接 BA交直線 X 于點(diǎn) P), P 到 A、B 的距離之和 S?= PA + PB.(1) 求 0、S2,并比較它們的大??；(2) 請你說明 S2= PA+ PB 的值為最??；(3)擬建的恩施到張家界高速公路Y 與滬渝高速公路垂直，建立如圖(3)所示的直角坐標(biāo)系，B 到直線 Y

8、 的距離為30km，請你在 X 旁和 Y 旁各修建一服務(wù)區(qū) P、Q,使 P、A、B、Q 組成的四邊形的周長最小.并求出這個(gè)最小值.歸入“三角形兩邊之差小于第三邊”2已知 A、B 兩個(gè)村莊的坐標(biāo)分別為(2, 2), (7, 4), 一輛汽車(看成點(diǎn) P)在 x 軸上行駛試確定下列情況下汽車(點(diǎn) P)的位置：(1)求直線 AB 的解析式，且確定汽車行駛到什么點(diǎn)時(shí)到A、 B 兩村距圖(3)1直線 2x-y-4=0 上有一點(diǎn) P,它與兩定點(diǎn) A (4, -1 )、B ( 3, 4)的距離之差最大，則P 點(diǎn)的坐標(biāo)是_ .離之差最大？(2) 汽車行駛到什么點(diǎn)時(shí)，到 A、B 兩村距離相等？5(7,4)*好題

9、賞析：原型：已知：P 是邊長為 1 的正方形 ABCD 內(nèi)的一點(diǎn)，求 PA + PB + PC 的最小值.aC例題：如圖，四邊形 ABCD 是正方形， ABE 是等邊三角形，M 為對角線 BD (不含 B 點(diǎn))上任意 一點(diǎn)，將 BM 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 得到 BN，連接 EN、AM、CM .(1) 求證： AMBENB;(2) 當(dāng) M 點(diǎn)在何處時(shí)，AM + CM 的值最??；當(dāng) M 點(diǎn)在何處時(shí)，AM + BM + CM 的值最小，并說明理由；(3) 當(dāng) AM + BM+ CM 的最小值為-3+ 1 時(shí)，求正方形的邊長.變式：如圖四邊形 ABCD 是菱形，且/ ABC = 60 , ABE 是等邊三角形，M 為對角線 BD （不含 B 點(diǎn)）上任意一點(diǎn), 將 BM 繞點(diǎn) B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到 BN,連接 EN、AM、CM，則下列