高中數(shù)學(xué)必修五《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》教案

1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案一、教學(xué)目的1、使學(xué)生理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程的思想與方法，并掌握公式。2、使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，正確運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的應(yīng)用問題。3、使學(xué)生通過自主觀察、分析、探索、歸納、交流，培養(yǎng)學(xué)生的自主探索能力、數(shù)學(xué)建模能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力。4、通過從具體到抽象，從特殊到一般的探索，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，逐步樹立科學(xué)發(fā)展觀，優(yōu)化思維品質(zhì)，養(yǎng)成健康的心理素質(zhì)。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。教學(xué)關(guān)鍵：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的關(guān)鍵是通過情境的創(chuàng)設(shè)，發(fā)現(xiàn)倒序求和法。應(yīng)

2、用公式的關(guān)鍵是如何從實(shí)際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，建立等差數(shù)列模型，運(yùn)用公式解決問題。三、教具、學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課件。運(yùn)用多媒體教學(xué)手段，增大教學(xué)容量和直觀性，提高教學(xué)效率和質(zhì)量。四、教學(xué)方法按現(xiàn)代教育觀，課堂教學(xué)應(yīng)充分發(fā)揮“教為主導(dǎo)，學(xué)為主體，練為主線”的教學(xué)思想。本節(jié)課運(yùn)用“引導(dǎo)探索發(fā)現(xiàn)法”，采用“情境引入自主探究成果交流變式應(yīng)用反思回授”等五個(gè)環(huán)節(jié)，并使用多媒體輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦去觀察、分析、探索、歸納獲得解決問題的方法，把教學(xué)過程變?yōu)榭释粩嗵剿髡胬聿е篮酶星樯实囊庀蚧顒?dòng)。五、學(xué)法指導(dǎo)“授人以魚，不如授人以漁”。教是為了不教，教給學(xué)生好的學(xué)習(xí)方法，讓他們會(huì)學(xué)習(xí)，并善于用數(shù)學(xué)思維

3、去分析問題和解決問題，受益終身。本節(jié)課根據(jù)教材特點(diǎn)，激“疑”生“趣”，學(xué)生自主探究，學(xué)會(huì)從具體到抽象，從特殊到一般，由淺入深去分析、探索，循序漸進(jìn)地發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的普遍規(guī)律，從而得出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，在應(yīng)用公式解決問題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，抽象出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，獲得解決問題的方法，帶領(lǐng)學(xué)生踏上“再創(chuàng)造”之旅。六、教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)回顧，以舊悟新（1）等差數(shù)列的定義：，為常數(shù)。（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：。（3）等差數(shù)列中，若，則（、）。2、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課200多年前，德國著名數(shù)學(xué)家Gauss（高斯）10歲讀小學(xué)時(shí)，老師出了一道數(shù)學(xué)題：據(jù)說，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，

4、高斯經(jīng)過思考后很快得出其結(jié)果是5050。師：“小高斯快速算出的和，成為千古美談。同學(xué)們，我們也能成長為高斯。這節(jié)課我們研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，就是與高斯比一比，我們也能快速算出，并且把這種方法推廣到更一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法中去?！边@個(gè)問題實(shí)際上就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：（板書課題）2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一般地,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和用表示,即現(xiàn)在分小組討論探究下面的問題：1、1，2，3，98，99，100從數(shù)列角度來看，這是什么數(shù)列？高斯用什么方法快速算出這個(gè)數(shù)列的和？2、高斯的算法妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和嗎？3、這些方法用到了等差數(shù)列哪一個(gè)性質(zhì)？4、能否用高斯的速

5、算法求下列等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：（1）計(jì)算（2）計(jì)算學(xué)生閱讀、小組討論時(shí)，老師要眼觀六路，耳聽八方，對(duì)每個(gè)學(xué)生在自覺和小組討論中遇到的難題，要進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)拔，使他們的學(xué)習(xí)走上正軌，然后各小組匯報(bào)研究性學(xué)習(xí)成果，進(jìn)行全班交流。A組小組長說：1，2，3，98，99，100是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列，高斯的算法是：（1+100）+（2+99）+（50+51）=。B組小組長說：也可以寫成算式的形式：。師：很好，這種方法就是把數(shù)列各項(xiàng)的順序倒過來再相加的方法，我們把這種方法稱為“倒序求和法”。這種倒序求和法運(yùn)用了等差數(shù)學(xué)哪一個(gè)性質(zhì)？B組小組長說：運(yùn)用了等差數(shù)列中與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和等

6、于首末兩項(xiàng)和的性質(zhì)。即在等差數(shù)列中，若，則（、）。3、講授新課，推導(dǎo)公式教師因勢設(shè)問：“能把倒序求和法推廣到一般的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和嗎？”C組小組長說：可以運(yùn)用高斯算法倒序求和法可計(jì)算：，D組小組長說：同理運(yùn)用高斯算法倒序求和法也可計(jì)算：E組小組長搶答:由下列算法也可以得到公式：以代入也可得到公式的形式。師：非常好。公式、稱為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，用這些公式可求得等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。引導(dǎo)學(xué)生比較得出：若已知等差數(shù)列首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，項(xiàng)數(shù)為，可直接運(yùn)用公式求和；若已知等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，項(xiàng)數(shù)為，則直接運(yùn)用公式求和較為簡便。從公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，公式化共包含五個(gè)量，只要知道其中三個(gè)量，就可以求

7、出其余兩個(gè)量。思考：比較兩個(gè)公式、，說說它們分別從哪些角度反映等差數(shù)列的性質(zhì)？4、初步應(yīng)用，熟悉公式請(qǐng)同學(xué)們解下列一組題。計(jì)算下列各題：（1）。（2）。（3）。（4）。生：直接利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)的公式求得：（1）原式（這是正整數(shù)列之和）。（2）原式（這是正奇數(shù)列之和）。（3）原式（這是正偶數(shù)列之和）。師：第（4）題中的數(shù)列不是等差數(shù)列，但在解題時(shí)我們應(yīng)仔細(xì)觀察，由此及彼，由表及里，去偽存真，尋找規(guī)律，可能某局部成等差數(shù)列（學(xué)生在老師引導(dǎo)下會(huì)悟到）。生甲：把正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)分開，正好組成正奇數(shù)列與正偶數(shù)列之差。生乙：原數(shù)列雖然不是等差數(shù)列，但還有一個(gè)規(guī)律，相鄰兩個(gè)正整數(shù)之差為1，即依次相鄰兩項(xiàng)結(jié)

8、合都為，可得另一解法：師：從以上解題過程反思，可以看到一些題目表面上好像沒有什么規(guī)律，在解題時(shí)只要我們仔細(xì)觀察、尋找規(guī)律，是會(huì)找到好的解題方法的。5、建立模型，獲解方法例1、求集合的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和。引導(dǎo)學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到，要找到解應(yīng)用題的方法，必須運(yùn)用理論聯(lián)系實(shí)際的方法，抽象出數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，這是尋找解題方法的關(guān)鍵。求等差數(shù)列的和，要特別注意數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n是什么。師：元素的個(gè)數(shù)應(yīng)根據(jù)什么條件確定？生：應(yīng)根據(jù)、的范圍、條件確定，由，得，又，。師：請(qǐng)把這14個(gè)元素從小到大列出來。生：7，14，21，98。師：這是一個(gè)什么數(shù)列？生：這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為，其中首項(xiàng)，末項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)

9、，公差，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得：。答：集合M共有14個(gè)元素，它們的和等于735。師：可能用公式解答嗎？生：可以，有：。師：比較一下，這兩種方法有什么不同之處？生：用公式要先求出，再運(yùn)用公式。用公式不需求就可以直接運(yùn)用公式，顯然用公式方法簡單。小結(jié)：1、在應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解應(yīng)用題時(shí)，運(yùn)用理論聯(lián)系實(shí)際的方法抽象出數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，即等差數(shù)列模型，從而獲得解題方法。2、分別用公式、解答，即掌握題目的數(shù)量關(guān)系后，可以從多角度去解應(yīng)用題。例2、2000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知。某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10

10、年時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)，據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元，為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元，那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？對(duì)此例題，老師先啟發(fā)引導(dǎo)，然后讓學(xué)生練習(xí)，如有不懂再點(diǎn)拔。實(shí)施“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)，每年是多少？總投入經(jīng)費(fèi)是多少？想一想這個(gè)問題的數(shù)量關(guān)系與我們所學(xué)過的哪些數(shù)學(xué)規(guī)律類似？500萬，50萬，未來10年的“10年”，工程總投入等相當(dāng)于數(shù)學(xué)理論中什么量？從中建立求解的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生甲：根據(jù)題意，從2001年起到2010年該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增

11、加50萬，可以建立一個(gè)等差數(shù)列，表示從2001年起每年投入的資金。其中。由公式可知，投入金額為：。學(xué)生乙：也可以用公式求解：，。答：從2001年起到2010年，該市在“校校通”工程中總投入資金7250萬元。小結(jié)：解應(yīng)用題必須建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。6、加強(qiáng)練習(xí)，練中提高（1）、求集合的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和。（2）、一位技術(shù)人員計(jì)劃用下面的辦法測試一種賽車：從時(shí)速10km/h開始，每隔2s速度提高20km/h。如果測試時(shí)間為30s，測試距離是多長？（3）、請(qǐng)同學(xué)們參考例1、例2和課堂練習(xí)題自己編寫一道求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的練習(xí)題。7、歸納總結(jié)，提高認(rèn)識(shí)師：誰來總結(jié)一下，本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容和方法

12、？生：（1）、本節(jié)課學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（2）、學(xué)習(xí)了一種嶄新的數(shù)學(xué)方法倒序求和法。師：總結(jié)得很好，我們還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）、公式、共有五個(gè)量，只要知道其中三個(gè)量，就可以求出其他兩個(gè)量。這是下一節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。（2）、求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，要特別注意公式中的項(xiàng)數(shù)n是什么。（3）、解應(yīng)用題時(shí)，必須運(yùn)用理論聯(lián)系實(shí)際的方法，抽象出數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，才能找到適當(dāng)?shù)慕忸}方法。8、布置作業(yè)（1）、課本習(xí)題2.3第2題。（2）、自己編寫一道求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的練習(xí)題。（3）、寫一篇學(xué)習(xí)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的心得。（4）、預(yù)習(xí)：課本。9、教學(xué)信息反饋五分鐘測驗(yàn)如圖，一個(gè)堆放鉛筆的

13、V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個(gè)V形架上共放多少支鉛筆？教案說明本教案的內(nèi)容是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的第一節(jié)課，現(xiàn)將該節(jié)課設(shè)計(jì)意圖簡單介紹如下：根據(jù)新課標(biāo)的要求，盡可能將數(shù)學(xué)文化與高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容有機(jī)結(jié)合。因此本節(jié)課創(chuàng)設(shè)高斯10歲時(shí)快速解出1+2+3+100=？的情境，通過學(xué)生預(yù)習(xí)課文、小組討論、全班交流等形式，讓學(xué)生在互幫、互辯、互學(xué)中去分析問題、發(fā)現(xiàn)問題，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中提高人文素養(yǎng)和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。在公式推導(dǎo)中，學(xué)生通過從具體到抽象、從特殊到一般、由淺入深的嚴(yán)格邏輯推理，從而獲得等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。這種設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)了學(xué)生的分析能力和創(chuàng)新意識(shí)，逐步樹立科學(xué)發(fā)展觀。同時(shí)，在不斷變式推理過程中，讓學(xué)生在實(shí)踐認(rèn)識(shí)再實(shí)踐再認(rèn)識(shí)的道路上循序漸進(jìn)去發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，在數(shù)學(xué)實(shí)踐中滲透理性思維，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。本節(jié)課加強(qiáng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)，在老師啟發(fā)、引導(dǎo)下，學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用理論聯(lián)系