歐幾里得空間習(xí)題課

1、1基本內(nèi)容例題選講基本解題方法2一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 基本概念(1) 內(nèi)積與歐氏空間概念(4個(gè)條件)(2) 向量的長度、距離與夾角|( ,) ( ,) |d ( ,),arccos, 0,.| 長度：距離：夾角：3111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)( )(,)(,)(,)nnijnnnnnnAa(3) 度量矩陣12 ( ,),. nX AYXY 與與 的的內(nèi)內(nèi)積積可可用用矩矩陣陣表表示示: :其其中中和和 分分別別是是 與與 在在基基下下的的坐坐標(biāo)標(biāo)12,n基基的的度度量量矩矩陣陣首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4(4) 標(biāo)準(zhǔn)正交基

2、由兩兩正交的單位向量組成的基.1212,( ,)0,VVVV 恒恒有有(5) 正交子空間11,( ,)0,VV 恒恒有有|( ,)0 WWVWVWW 的的正正交交補(bǔ)補(bǔ)：且且(6) 歐氏空間的同構(gòu)同構(gòu)映射保持運(yùn)算(加法、數(shù)乘、內(nèi)積)首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 基本性質(zhì)設(shè)V為歐氏空間,對于V的內(nèi)積,有:(1) ,( ,)00.V 對對于于1111(2) (,)(,).ststiijjijijijijklk l 2(3) ( ,)( ,)( ,).|( ,)| | .,. 即即 等等號號成成立立線線性性相相關(guān)關(guān)關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基, 有:(4) 正交向量組是線性無關(guān)

3、的.6首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12(5) ,1, (,) ( ,1,2, )0, nijiji jnij 是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基的的當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)3. 標(biāo)準(zhǔn)正交基下基本度量的表達(dá)式1211, , ,nnniiiiiiVxy設(shè)設(shè)是是歐歐氏氏空空間間 的的一一個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基12,.n 即即: :是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基的的是是它它的的度度量量矩矩陣陣是是單單位位矩矩陣陣則則721(3) |niix 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1(2) ( ,)niiix y (1) ( ,) , (1,2, )iixin 12211(4) ,arccosniiinniiiix yxy 8首頁 上頁

4、下頁 返回 結(jié)束 4. 標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性與正交化方法12,:n設(shè)設(shè)，是是一一組組基基. .正正交交化化過過程程如如下下11111111111 |(,)1 |mmmmiiimmm (1,2,1)mn21(5) ()()niiidxy 9首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5. 正交變換與正交矩陣1212. : 1) ,( ( ),( )( ,); 2) ,|( )| |; 3) ,(),(),(); 4) nnnVVVVV 設(shè)設(shè) 是是 維維歐歐氏氏空空間間 的的一一個(gè)個(gè)線線性性變變換換是是正正交交變變換換的的刻刻化化對對對對都都有有設(shè)設(shè)是是 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基是是正正交交變變換換也也是是 的的

5、標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基是是正正交交變變換換在在任任意意標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正 交交基基下下的的.矩矩陣陣是是正正交交陣陣10.nAA AE 級級實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)矩矩陣陣 是是正正交交矩矩陣陣標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣;11221122(),1, ,0, .1, 0, ijijijninjijijinjnAaAija aa aa aijija aa aa aij 設(shè)設(shè)則則 是是正正交交矩矩陣陣當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .nAAR是是正正交交矩矩陣陣的的列列向向量量組組和和行行向向量量組組都都構(gòu)構(gòu)成成 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6. 對稱變換與對稱矩陣.

6、: 1) ,( ( ),)( ,( ); 2) .nVV 設(shè)設(shè) 是是 維維歐歐氏氏空空間間 的的一一個(gè)個(gè)線線性性變變換換是是對對稱稱變變換換的的刻刻化化對對是是對對稱稱變變換換在在標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基下下的的矩矩陣陣是是對對 稱稱矩矩陣陣 (2) 實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).(1) 對稱變換的特征值都是實(shí)數(shù).主要結(jié)論:12 (3) .對對稱稱變變換換的的屬屬于于不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量必必正正交交 (4) .對對稱稱變變換換的的屬屬于于不不同同特特征征值值的的特特征征子子空空間間必必正正交交(5) ,.nARA 設(shè)設(shè) 是是實(shí)實(shí)對對稱稱矩矩陣陣 則則中中屬屬于于 的的不不同同特特

7、征征值值的的特特征征向向量量必必正正交交1 (7) , .nAnTT ATTAT 對對 級級實(shí)實(shí)對對稱稱陣陣都都存存在在 級級正正交交矩矩陣陣 ，使使為為對對角角陣陣(6) , 設(shè)設(shè) 是是對對稱稱變變換換 則則存存在在標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基 使使在在這這個(gè)個(gè)基基下下的的矩矩陣陣是是對對角角矩矩陣陣. .首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 13二、基本解題方法二、基本解題方法首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 學(xué)習(xí)歐氏空間,要抓住“內(nèi)積”這個(gè)概念. 內(nèi)積實(shí)際上是定義在線性空間V上的二元實(shí)函數(shù).它滿足對稱性、線性性、非負(fù)性. 1. 歐氏空間是一個(gè)實(shí)數(shù)域上的線性空間, 對于線性空間的一些基本概念,比如向量的線性相關(guān)性、基、維數(shù)、坐標(biāo)、子空間以及有關(guān)性質(zhì),對歐氏空間都適用. 注:同一個(gè)線性空間對不同的內(nèi)積,所作成的歐氏空間一般是不同的.14 3.對有限維歐氏空間的討論,標(biāo)準(zhǔn)正交基是核心,在標(biāo)準(zhǔn)正交基下,向量的度量性質(zhì)顯得較為簡單. 4.用正交化方法求標(biāo)準(zhǔn)正交基,可以從一組基出發(fā),先正交化,得正交基,再