2022年云南省高考數(shù)學總復習：立體幾何（附答案解析）

1、2022年云南省高考數(shù)學總復習：立體幾何1 .如圖，在三棱錐尸-A8C中，以，平面ABC,NBAC=90°,D,E,尸分別是棱AB,BC,CP的中點，AB=AC=PA=2.(1)求直線網(wǎng)與平面OE尸所成角的正弦值.(2)求點P到平面力E尸的距離.2 .如圖，在四棱錐S-A8CO中，底面ABC。為矩形，SAO為等腰直角三角形，SA=SO=2y2,AB=2,F是BC的中點，二面角S-AO-B的大小等于120°.(1)在AC上是否存在點E,使得平面SEFL平面ABC。，若存在，求出點E的位置;若不存在，請說明理由；(2)求宜線SA與平面SBC所成角的正弦值.3 .如圖，三棱錐E-

2、BCD中，XECD為正三角形，平面EC£)_L平面BCD,BC=DC=¥BD=2,M,N分別是線段ED和80的中點.(I)求點C到平面8DE的距離；(II)求直線硒與平面MCB所成角的正弦值.4 .如圖，在三棱柱ABC-。中，平面44CCi_L平面ABC,ABC和44C都是正三角形，。是AB的中點(1)求證：BC1平面4OC；(2)求宜線A8與平面。CCi所成角的正切值.5 .如圖，在等腰直角三角形ADP中，已知4=今AD=3,B,C分別是AP,OP上的點,E是CO的中點，HBC/AD.現(xiàn)將PBC沿8c折起，使得點P在平面4BCD上的射影為點A.(1)若8,C分別是AP、的

3、中點，求證：平面布C_L平面尸CD(2)請判斷是否存在一種折法，使得直線？8與平面ABCO所成角的余弦值是直線尸8與平面布E所成角的正弦值的?倍？若存在，求出AB的長；若不存在，請說明理由.6 .在直三棱柱ABC-AiBiCi中，NB4c=90°,AC=AB=AAi=2,設點M,N,P分別是AB,BC,BiCi的中點.(I)證明：A4平面PMN；(H)若Q為A4上的動點，試判斷三棱錐P-QMN的體積是否為定值？并說明理由.7 .在多面體A8CGA181中，四邊形A88M1為菱形，BC/BC,BC=bC,AiCi=AiA,ABLBiC,ZBBA=60Q,平面4BB1A1_L平面ABC.

4、(1)在棱AB上是否存在點O,使得A8J_平面81OC?若存在，請給予證明：若不存在,請說明理由.(2)求二面角Ci-AC-B的正弦值.8 .在四棱錐q_48(7£>中，側(cè)面41O_L底面A8CO,PA=AD=DC=6,AC=6魂,A8=3,CD平面般B,/必。=60°.(I)求證：平面PCDJ_平面PBC；(II)求二面角P-BC-D的余弦值.9 .如圖，已知四棱錐S-A8CZ）的底面是邊長為2的正方形，且平面SAO_L平面48CD,M,N分別為棱4。，8C的中點，SA=SD,SALSD,P,。為側(cè)棱SD上的三等分點（點P靠近點S）.（1）求證：PN平面MQC；（2

5、）求多面體MPQCN的體積.10 .如圖，四邊形AM8C中，ABC是等腰直角三角形，AC±BC,M4C是邊長為2的正三角形，以AC為折痕，將MAC向上折疊到4c的位置，使點。在平面A8C內(nèi)的射影在AB上，再將4c向下折疊到E4C的位置，使平面E4cL平面ABC,形成幾何體DABCE.(1)點F在BC上，若。F平面£AC,求點F的位置;(2)求宜線A8與平面E8C所成角的余弦值.11 .如圖，宜三棱柱8CF-AHE中，。為E4的中點，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=2.(I)求證：AFVBH-,(II)求平面AOC與平面A8C所成角的余弦值.12 .在如圖所示的幾何

6、體中，四邊形48。是菱形，ZBAD=120°,AE±nABCD,AE/CF.(1)求證：OF平面ABE；(2)若AO=AE=2C尸=2,求該幾何體的表面積.13 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，B4Q是等邊三角形，平面平面ABCD,底面ABC。是直角梯形，AD/BC,已知AD=2BC=4,NBAD=60°.(1)若E為以的中點，求證：3E平面PCD；(II)求二面角B-PC-D的正弦值.14 .已知在平行四邊形ABCZ)中，AD=2,AB=y3,NAOC=，如圖，DE/CF,且CEo=3,CF=4,/DCF/且平面48C£>_L平面SEE(I)求證

7、：4c，平面CDEF：(II)求二面角。-4E-C的余弦值.15 .如圖，已知四棱錐P-A8CD中，AD/BC,AB=CD,A£>=28C=2PC=2,PD=瓜ZADC=60°.(1)求證：BPLCD-,(2)若BP=夜，求直線PC與平面布。所成角的正弦值.16 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，B4D是等邊三角形，平面用DL平面A8CD,底面ABCQ是直角梯形，AD/BC,已知AD=28C=4,N3A£)=60°.(I)若E為必的中點，求證：5E平面PCD；(II)求四極錐P-ABC。的體積.17 .如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCj中，AB=B

8、C=A4i,AB1BC,。為AB的中點，E為BC上一點，滿足CE=2EB.(1)求證：4c平面81DE；(2)求二面角8i-AiC-Ci的余弦值.18 .已知在平行四邊形ABCZ)中，AD=2,AB=y3,NAOC=，如圖，DE/CF,且CEo=3,CF=4,/DCF/且平面48C£>_L平面SEE(I)求證：4c，平面CDEF：(H)求四棱錐F-ABCD的體積.19 .如圖所示，在四棱錐E-ABCO中，四邊形ABC。是宜角梯形，A8=AE=BC=%Z)=1,BC/AD,AE_L平面ABC。，NBAD=90°,N為OE的中點.(1)求證：NC平面EAB；(2)求二面角

9、A-CN-。的余弦值.20 .如圖，在多面體A8CDEF中，四邊形ABCZX四邊形ACFE均為菱形，ZBAD=ZEAC=120°.(1)求證：平面BDF_L平面ACFE；(2)若BE=DE,求二面角C-8F-E的余弦值.21 .如圖所示，在三棱錐48co中，ABBC=BD=2,AD=2®NCBA=NCBO=*點E,F分別為40,80的中點.(1)求證：平面ACC平面BCE；(II)求四面體CCE尸的體積.C22.如圖，在棱長為3的正方體中，過頂點。作平面a交441于E點，交3B1于尸點，使得4E=1,BF=.(I)求證：AC平面a；(II)求點。到平面a的距離.23.已知A

10、BC,AB=BC,NC84=60°,沿著邊CB把力BC進行翻折，使平面A8C與回答下列問題.平面DBC垂直，QBC可由ABC翻折得至!J.(1)直線4C與平面A8O所成角的余弦值；(II)二面角A-BD-C的余弦值.24.如圖，四棱錐P-A8CD,底面四邊形ABC。為梯形，且滿足40=1,AB=CD=3,BC=4且AD/BC,PDJ_底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為I.(1)求/與平面PDC所成的角；(II)已知FD=1,求平面以B與平面PDC所成的銳二面角的余弦值.25 .如圖，在三棱臺ABC-A'B'C中，已知平面A8B'A'_L平面

11、ABC,AC±BC,ZCBA=四邊形ABB'A'是等腰梯形，AB=2A'B'=2BB',E,尸分別為A8,A'6c的中點.(1)求證：EF±AC；(2)求直線E尸與平面ACC'A'所成角的正弦值.26 .如圖，ABC為正三角形，半圓。以線段BC為直徑，力是座上的動點(不包括點8,C),平面ABCL平面BCD.(1)是否存在點。，使得BZXLAC?若存在，求出點。的位置；若不存在，請說明理由.(2)若NC8£»=30°,求二面角。-A£>-C的余弦值.27 .如圖，Z

12、VIBC是正三角形，D,E,尸分別是線段AB,BC,AC的中點，現(xiàn)將A。尸和CEF分別沿著。尺EF折起，使得4,C兩點在P點重合，得到四棱錐P-BEFD(1)證明：平面尸平面BEFC；(2)設正三角形A8c的邊長為4,求三棱錐產(chǎn)-P8E的體積.28 .如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A3CD為正方形，必。為等邊三角形，平面以。_L平面PCD.(1)證明：直線CDJ_平面PAD-.(II)若A8=2,。為線段PB的中點，求三棱錐。-PCO的體積.29 .如圖，在四棱錐P-ABC。中，AD/BC,ADA.AB,并且8c=2A£>=2AB=2,PM=點在平面ABCD內(nèi)的投影恰為的中

13、點M.(I)證明：BP_L平面PCD；(ID求點4到平面PC。的距離.30 .如圖，在四棱錐P-ABC。中，已知必_L平面A8CD,且四邊形A8CO為直角梯形，ZABC=ZBAD=AD=2,A8=BC=1.(O當四棱錐P-ABCD的體積為1時，求異面直線AC與尸。所成角的大小；(2)求證：C£>,平面PAC.31 .如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB=BC=BD=2,AD=2®/C3A=NC8O=%,點E,F分別為AD,8。的中點.(I)求證：EF平面ABC；(in求平面BCE與平面ACF所成銳二面角的余弦值.32 .如圖，在四棱錐P-ABC。中，AD/BC,AD&

14、#177;AB,并且8c=2AO=2AB,點P在平面ABCD內(nèi)的投影恰為80的中點(1)證明：CO_L平面PBD；(II)若PM=A。，求直線勿與C£所成角的余弦值.33 .如圖，在三棱錐尸-A8c中，底面A8C,ZXABC是邊長為2的正三角形，側(cè)棱PB與底面所成的角為4(1)求三棱錐P-ABC的體積V；(2)若。為PB的中點，求異面直線網(wǎng)與CD所成角的大小.34 .如圖1,在三棱柱ABC-4B1C1中，已知48_LAC,AB=AC=i,AAi=2,且A4i_L平面ABC,過Ai,C,B三點作平面截此三棱柱，截得一個三棱錐和一個四棱錐（如圖2）.（1）求異面直線BC1與AA1所成角的

15、大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；（2）求四棱錐8-ACCiAi的體積和表面積.35 .如圖，在矩形中，將ACZ)沿對角線AC折起，使點。到達點E的位置，且AELBE.(1)求證：平面ABE_L平面ABC；3V7(2)若8c=3,三棱錐B-AEC的體積為求點E到平面ABC的距離.36 .如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，ABC是正三角形，點。在棱5囪上，且BB=3B1D,點E為81C的中點.(1)證明：平面AQE_L平面BCCiBi；(2)若881=3迎，AB=2,求點C到平面AQE的距離.37 .如圖所示，在直三棱柱ABC-4BC1中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,CA

16、=CB=CCi=2.點、D,Ci分別是棱AC,A1C1的中點.(1)求證：D,B,B,D四點共面；(2)求直線BC1與平面DBBiDi所成角的大小.38 .如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形,AB/CD,CD=2AB=4,AD=遙,SCO是等腰直角三角形，SCSD,SA=3.(I)證明：平面SC£>1_平面ABC。；(II)若平面SAD與平面SCB的交線為I,求二面角C-1-D的余弦值.39 .如圖，在矩形ABC。中，將ACO沿對角線AC折起，使點。到達點E的位置，且AE1BE.(I)求證：平面A8E_L平面ABC；(2)若EB=小,三棱錐AEC的體積為呼，求

17、二面角E-AC-8的余弦值.40 .如圖，在三棱柱A8C-4BC1中，P,Q分別是A4i,CB上一點，且AP=2B4i,CQ=2QB.(1)證明：A。平面CP8i；(2)若三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，且AAi=3,BC=BA=V15,AC=2百，求點B到平面CPBi的距離.41 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CD是正方形，AB=2,PD_L平面A8CD,PB與底面A5CD所成的角為45°,過AO的平面分別與PB,PC交于點£F.()求證：EFVDC-,2>/2IPEI（11）若二面角P-AD-E所成角的余弦值為三求兩的值.42 .在四棱柱ABCD-

18、AiBiCiDi中，四邊形A8CZ）是平行四邊形，AA=AC-1,ZABC30°,8c=2,平面ABBiAiJ_平面ABCD,M,N分別為AiC,A8的中點.（I）求證：MN平面AiBCi；（II）若cosNACB=?，求二面角C-MN-。的余弦值.43 .如圖所示，三棱柱ABC-481。中，平面ACGAiJ_平面ABC,AAilAC,A4i=A5=8c=2,D,Qi分別為AC,AiCi的中點，且NBAC=3(T.(I)求證：DDilBC；(II)求二面角B-DAi-Ci的余弦值.尸分別是PA,44 .如圖，四棱錐P-A8CO的底面為正方形，尸C=/M=卓PD的中點.(I)證明：E尸

19、，平面PC£；(II)求二面角A-CE-尸的余弦值.45 .如圖，在四棱錐尸-A8CD中，等邊三角形陰。所在平面與梯形ABCD所在平面垂直,且CD/AB,AD=BD=2,DC=VL點G為叢PAD的重心，AC與8。交于點M.(D求證：GM平面PCD；(2)求點C到平面P5D的距離.46 .如圖，直三棱柱AiBiCi-ABC中，AB=AC=,BAC=4A=4,點攸為線段AiA的中點.（1）求直三棱柱AiBiCi-ABC的體積；（2）求異面直線8M與所成的角的大小.（結(jié)果用反三角表示）47 .如圖，已知直角梯形A8CD,BC/AD,BC=CD=2,AD=4,ZBCD=90°,點E

20、為AD的中點，現(xiàn)將三角形ABE沿8E折疊，得到四棱錐H-BCZJE,其中NA£D=12t)°,點M為4D的中點.(1)求證：48平面EMC；(2)若點N為8C的中點，求四面體4MNB的體積.48 .如圖，在三棱錐P-ABC中，ABC為正三角形，點£分別為AC,總的中點，其中PAPB4-/2,PCAC4.(1)證明：平面8DE_L平面ABC；V6(2)若點F是線段AC上異于點D的一點，直線4E與平面3EF所成角的正弦值為二,4求空的值.49.如圖，在四棱錐P-48CQ中，四邊形A8C£是梯形，AB/CD,ABLBC,且=BC=CD=1,AB=2,PC=V3

21、.(1)證明：BD_L平面雨£；(2)求直線AD與平面P8C所成角的正弦值.50.在四棱錐P-ABC。中，PA=PC=2,底面A8CD是菱形，AB=2y3,ZABC=60°.(I)求證：AC_LPB；(II)求四棱錐P-ABCD的體積.2022年云南省高考數(shù)學總復習：立體幾何參考答案與試題解析1.如圖，在三棱錐P-ABC中，布，平面ABC,NB4C=90°,D,E,尸分別是棱AB,BC,C尸的中點，AB=AC=PA=2.(1)求直線以與平面。E尸所成角的正弦值.(2)求點P到平面DEF的距離.【解答】解：(1)以4為原點，AB,AC,4尸所在直線分別為x,y,z軸

22、，建立空間直角坐標系，'：AB=AC=PA=2,：.B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),D(1,0,0),E(1,1,0),F(0,1,1),>>>：.AP=(0,0,2),DE=(0,1,0),DF=(-1,1,1),設平面OE尸的法向量蔡=(x,y,z),則鴻=”0,取X-編=(1(0,i),(nDF=-x+y+z=0T»設以與平面。e尸所成角為e,則sine=華?=*=AP-n2Y2V2直線PA與平面CEF所成角的正弦值為三.(2)'：PF=(0,1,-1),n=(1,0,1),TT廠點P到平面DEF的距離d=比典=尊|n|V

23、222.如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面ABC。為矩形，SAO為等腰直角三角形，SA=SD=2y/2,AB=2,尸是8c的中點，二面角S-A3-8的大小等于120°.(1)在40上是否存在點E,使得平面SEFJ_平面ABCQ,若存在，求出點E的位置；若不存在，請說明理由；(2)求直線SA與平面SBC所成角的正弦值.【解答】解：(1)在線段上存在點E滿足題意，且E為AO的中點.如圖，連接E尸，SE,SF,:四邊形4BCZJ是矩形，.ABLA。，又E、F分別是A。、8c的中點，：.EF/AB,AD1EF,SA。為等腰直角三角形，SA=SD,£為AO的中點，：.SE±

24、AD,"：SECiEF=E,SE、EFu平面SEF,；.AO_L平面SEF,AOu平面ABC。，平面SE尸_L平面A8C£),故AD上存在中點E,使得平面SEFL平面ABCD.(2)由(1)知，SE±AD,EFLAD,.NSEF為二面角S-A。-8的平面角，即NSEF=120°.以E為原點，EA.EF所在的直線分別為x、y軸，作Ez，平面4BCQ,建立如圖所示的空間直角坐標系，在等腰RtZkSAO中，SA=SD=2V2,：.AD=4,SE=2,：.S(0,-1,V3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),>>>：.S

25、A=(2,1,-V3).SB=(2,3,-V3),SC=(-2,3,-V3),設平面SBC的法向量煬=(x,y,z),則戶»=°,即2"+3y-遮：=0,(n.SC=0lx+3y-V3z=0令y=l,則x=0,z=V3,：.n=(0,1,V3),設直線SA與平面SBC所成角為0,ttSA-n1-3J2則sin0=|cos<SA,n>=-1=|-=1=卷，SAnV4+1+3X24故直線SA與平面SBC所成角的正弦值為感.43.如圖，三棱錐E-8CQ中，£：(7£>為正三角形，平面£CC_L平面8C£),BC=

26、DC=BD=2,M,N分別是線段ED和8。的中點.(I)求點C到平面8DE的距離；(II)求直線EN與平面MCB所成角的正弦值.【解答】解：（1）.平面平面BCO,且ECO為正三角形，CO=2,二點E到平面BCD的距離為百，：BC=DC=號BD=2,：ABCD是等腰直角三角形，1：.Sbcd=專BCDC=2.在8OE中，BE=BD=2V2,DE=2,1LLS/BDE=2x2xy7=y7.設C到平面3。七的距離為d,*.*Vebcd=Vcbde.：.-xV3x2=ixjxV7,解得6/=馬亞,3§/2721故點C到平面BDE的距離為7一.(II)以。為原點，CD、C8所在的直線分別為x

27、、)，軸，作Cz,平面8CD,建立如圖所示的空間直角坐標系，3bL則8(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(-,0,),E(1,0,V3),N(1,221,0),TLT3V3一:EN=(0,1,/3),CM=(,0»),CB=(0,2,0),22TT/3Vq.5=0,bp，2x+Tz=0.n-CB=012y=0令x=l,則y=0,z=V3,；n=(1,0,V3),設直線EN與平面MBC所成角為0,T->-ENn33則sin0=|cos<FA,n>|=|1=6方=彳，EN-n2X24故直線EN與平面MBC所成角的正弦值為44.如圖，在三棱柱ABC-A

28、i81cl中，平面AiACCi_L平面ABC,ZVIBC和AiAC都是正三角形，。是AB的中點(1)求證：3。平面4QC；(2)求直線A3與平面。CC1所成角的正切值.【解答】（1）證明：連接AC1,交4C于E,連接OE, .四邊形A14CC1是平行四邊形，.E是4cl的中點，是A8的中點，：.DE/BC, ；£>Eu平面AiOC,8cle平面AiOC,平面4OC.(2)解：取AC的中點。，連接AiO,BO,ABC和4AC都是正三角形，：.AOLAC,BOLAC, .平面AiACCiJ_平面ABC,平面AiACCiC平面ABC=AC,平面ABC,：.AOLBO,以。為原點，OB

29、、0C、041所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,設AC=2,則A(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(,-1,0),Ci(0,2,V3),：.AB=(V3,1,0),CD=(一,-之0),DC.=(一浮，遮)，22122設平面DCQ的法向量燦=,則丁也=°,HPT,(n-DCi=0|-x+|y+V3z=0令x=3,則尸百，z=-1,：.n=(3,V3,-1),設直線AB與平面DCC所成的角為。，則sin。=|cos<AB,n>=|-.|=|4B|.|n|2x49+3+12V3TH，tan0=2V3.故直線A8與平面DCC所成角的

30、正切值為2次.5.如圖，在等腰直角三角形AOP中，已知4=今AD=3,B,C分別是AP,OP上的點,E是CD的中點，KBC/AD.現(xiàn)將PBC沿BC折起，使得點P在平面ABCO上的射影為點A.P（1）若B,C分別是AP、4P的中點，求證：平面fl4C_L平面尸CD（2）請判斷是否存在一種折法，使得直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB與平面力E所成角的正弦值的厚倍？若存在，求出A8的長；若不存在，請說明理由.【解答】（1）證明：.點P在平面A8CO上的射影為點A,平面4BCC,:C£）u平面A8C。，二PA1CD,等腰RtZ4£>P,且C為。尸的中點，.'

31、;.AC1.CD,'：PACiACA,PA.ACu平面B4C,.C£>J_平面PAC,又C£>u平面PCD,二平面以CJ_平面PCD.D(2)解：.以1.平面ABCD,.NA8尸為直線尸B與平面A8C。所成的角，設其大小為a,則cosa=囂過點8作交AE于點M,連接尸M,1出J_平面ABC。，.PA1BM,又AEAB4=A,AE,胡u平面如£,平面PAE,.NBPM為直線PB與平面以E所成的角，設其大小為0,則sinp=曾，.直線尸8與平面ABC。所成角的余弦值是直線PB與平面用E所成角的正弦值的?倍,.".cosa=-1sinp.S

32、PAB=,設48=r(0<f<3),則DE=3cD=/d=93V26ab£設/ABM=N£)A£=e,在AOE中，由正弦定理知,DEADsinZ-DAE sinZ.AED"sind-sin(芋-9)7TVsin2e+cos20=l,且%(0,-),2 n_6T COSu=i,J2t2-12t+36 DA/t(6t).BM=iJ2t212£+36t(6-t)5V2t2-12t+36 - V26，又bm=%，化簡整理得，2尸+廣3=0,解得r=l或一“舍負),故當AB=1時，直線PB與平面ABC。所成角的余弦值是直線PB與平面以

33、3;所成角的726正弦值的一倍.56 .在直三棱柱ABC-AiBiCi中，NB4c=90°,AC=AB=AAi=2,設點M,N,P分別是AB,BC,BiCi的中點.(I)證明：A4平面PMN；(ID若Q為A4上的動點，試判斷三棱錐P-QA/N的體積是否為定值？并說明理由.【解答】(I)證明：點M,N,P分別是AB,BC,81cl的中點，；.PNCCi,又；AAiC。，：.AAi/PN,.AA1C平面PMN,PNu平面PMN,.AAi平面PMN；(U)解：如圖，連接AN,AP,根據(jù)等體積法可知，VPQMNVq-PMN,由(I)可知，AAi平面PMN,又。為AAi上的動點，Vq-pmn=

34、Va-pmn=Vp-amn,SAMN=2X1X1=2，即Vp-QMN=VqPMN=Va-PMN=Vp-AMN=X2X1=.若Q為A4上的動點，則三棱錐p-QMN的體積定值7 .在多面體ABCC1481中，四邊形4B814為菱形，BC/BCi,BC=BC,AiCi=AiA,ABlBiC,ZBiBA=60°,平面48B14J_平面ABC.(1)在棱AB上是否存在點O,使得48,平面81OC?若存在，請給予證明；若不存在,第58頁共115頁請說明理由.(2)求二面角C-AC-B的正弦值.【解答】解：(1)在棱AB上存在點。(。為棱AB的中點)，使得AB_L平面B10C.理由如下：連接AB1

35、,；四邊形A8814為菱形，且NB18A=6O°,.AB1B是等邊三角形，又。為AB的中點，：.BOLAB,'：ABVBC,BiOQBiC=B,BiOu平面BiOC,BiCu平面BiOC,平面BiOC.(2)由(1)知,ABJ平面BiOC,：.AB±OC,又平面ABBiAi_L平面ABC,平面ABBAD平面ABC=A8,，OCJ平面ABBiAi,OCA-BiO,以O為坐標原點，OB,OC,08i所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，取BiCi的中點E,連接4E.CE,由題意知幾何體ABC-AiBiE是三棱柱，取481中點D,連接DE,則。力與1設AAi=2,則

36、O(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,1,0),B(0,0,百)，Ai(-2,0,V3),>tt；.OC1=0B1+8出+41G=0Bx+2OA+2OC=(0,0,5/3)+2(-1,0,0)+2(0,1,0)=(-2,2,V3),：.C(-2,2,V3),AC=(1,1.0),ACX=(-1,2,6)，設平面AC。的法向量薪=(x,y,z),則色g=x+y=0，取尸1,得蔡=(1,7,(m-ACr=x+2y+V3z=0平面ABC的一個法向量1=(0,0,1),設二面角Ci-AC-B的平面角為sin0=.二面角Ci-AC-B的正弦值為8.在四棱錐P-ABCC中，側(cè)面用C_L底面A

37、BC。，PA=AD=DC=6,AC=60,AB=3,C£>平面辦B,ZB4D=60°.(I)求證：平面PCO_L平面PBC：(II)求二面角P-BC-D的余弦值.【解答】解：(I)證明："：AD=DC=6,AC=6V2,：.AD2+DC2=AC2,.AD1DC,一側(cè)面以。，底面ABCD,側(cè)面以OC底面ABCD=AD,.CQJ平面布。，PAD,：.CD±PD,取PC和。C的中點分別為M和N,連接MN,BM,則MN尸。，：.CDLMN,CO平面附B,CO平面A8C£),平面出8c平面ABC£)=A8,：.CD/AB,：48=NO=3

38、,.四邊形A8N。為平行四邊形，：.BN/AD,J.CDLBN, :BNCMN=N,平面8MM,/BMu平面BMN,：.CDIBM, .,CO_L平面PAD,且加u平面PAD,：.AB±PA,即方8為宜角三角形，PB=V62+32=3而，'：PB=BC,且M是PC的中點，：.PC±BM, :penCD=C,BM_L平面PCD,平面PBC,，平面PCC平面PBC.(H)在方。中，'：PA=AD=6,ZRAD=60°,.必£>為等邊三角形，PD=6,取40的中點O,連接PO,：.POLAD,且PO=V62-32=373,平面以£

39、;)_L平面ABCD,平面外力fl平面ABCD=AD,；.PO_L平面ABCD,過點P作PHLBC,交BC于點H,連接OH,則/P"。即為三面角尸-8C-。的平面角，'：PD=CD=6,CDLPD,.PDC為等腰直角三角形，PC=VCD2+PD2=V62+62=65/2,由(I)知PB=BC=3V§,M為PC的中點，：.BMLPC,在RtABMC中，BM=y/BC2-MC2=J(3>/5)2-(3>/2)2=3百，11在APBC中，S&pbc=PC=PH-BC,解得PH=%普，/nunpo3&/IO則smNP"°=而=

40、通=丁,-5-心尸”0中，NPHO為銳角,：.cosZPHO=,4二面角P-BC-D的余弦值為之.49.如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且平面SAE»J_平面ABCD,M,N分別為棱A。，BC的中點，SA=SD,SA1SD,P,。為側(cè)棱SC上的三等分點(點尸靠近點S).(1)求證：PN平面MQC；(2)求多面體MPQCN的體積.S【解答】證明：(1)如圖，連接ND交CM于點R,連接QR,在正方形ABCC中，VM,N分別為AO,8c的中點，四邊形MNCD為矩形,得R為NQ的中點，又Q為PD的中點，：.PNQR,；.PN平面MQC；解：(2)連接SM,為4。的中點，

41、SA=SD,SALSD,且SM=%D=1,又平面SAO_L平面ABCD,平面SAOA平面ABCC=AO,二5"_1平面48。.121122:Vp_MNCSamncxgSM=3X2XX2X3X1=：9-,平面S4O_L平面ABC。，平面SAOA平面43CO=AO,CD_LAD,CZ)J_平面SAO.又在RtZSMD中，SD=V2SM=V2,SP=PQ=QD,*S&PQM=3S&SMD»1111111Vc-pqm=SapqmxCD=wx2asmdxCD=wXwX)xlxlx2=q.211:,多面體MPQCN的體積V=VP,MNC+V.pqm=5+/=右s10 .

42、如圖，四邊形MA8C中，48C是等腰直角三角形，AC±BC,MAC是邊長為2的正三角形，以AC為折痕，將M4C向上折疊到D4C的位置，使點。在平面ABC內(nèi)的射影在AB上，再將MAC向下折疊到以：的位置，使平面EACL平面ABC,形成幾何體DABCE.(1)點尸在8c上，若。F平面EAC,求點F的位置；(2)求直線AB與平面EBC所成角的余弦值.【解答】解：(1)點尸為BC的中點,理由如下：設點。在平面A8C內(nèi)的射影為O,連接。，OC,'：AD=CD,：.OA=OC,.在RtZABC中，。為AB的中點,取AC的中點H,連接£”，由題意知又平面E4CL平面ABC,平面E

43、ACD平面ABCAC,.E/71,平面4BC,由題意知。O_L平面ABC,ADO/EH,；.OO平面EAC,取BC的中點F,連接OF,則。尸AC,又OFC平面EAC,ACu平面EAC,.OF平面EAC,'DOnOFO,二平面。OF平面EAC,。fu平面DOF,：.DF/平面EAC.(2)連接O4，由(1)可知。凡OH,OO兩兩垂宜,以O為坐標原點，OF,OH,OO所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標系,i則8(1,-1,0),A(-1,1,0),E(0,1,-V3),C(1,1,0),：.AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0),BE=(-1,2,-y/3),設平面

44、EBC的法向量蔡=(a,b,c),BE - n = -a + 2b - V3c = 0,取。=百，則£=(V3, 0, - 1),設直線與平面EBC所成的角為則 sin0=一 2gX2 一彳'直線AB與平面EBC所成角的余弦值為cos0=J1-咯2=孚11 .如圖，直三棱柱BC尸-AHE中，。為EH的中點，AB=BF,BF1.CF,AB=BF=CF=2.(I)求證：AF1.BH；(11)求平面4OC與平面A8C所成角的余弦值.【解答】解：(I)證明：由三棱柱BCF-4/E是直三棱柱，得CFLEF,'：BFLCF,BFCEF=F,CF1_平面ABFE,'：CF/

45、HE,平面48/E,：.HE±AF,'AB=BF,ABLBF,，平行四邊形ABFE是正方形，：.AFLBE,又HECBE=E,HEB,HEB,：.AFLBH.(11)以E為坐標原點，EA,EF,EH為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,在RtADWC中，VD為EH的中點，11：.DE=EH=CF=1,則A(2,0,0),C(0,2,2),D(0,0,1),B(2,2,0),：.AC=(-2,2,0),y1D=(-2,0,1),AB=(0,2,0),設平面48c的法向量m=(x,y,z),貝朽小-2x+2y=0,取x=,得心(b0),(m-AB=2y=0設平面AOC的法向量n=(

46、mb,c),則,>AC=-2a+2匕+2c=0,取c-2,得；=(k.L2),-AD=-2a+c=0./、m-n343.cos<m,n>=-7=7=-5-»mn/2x/62由圖知平面AOC和平面ABC所成角為鈍角，二平面AOC與平面ABC所成角的余弦值為-孚.X12 .在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCC是菱形，ZBAD=120°,AEJ_平面ABCD,AE/CF.(1)求證：。尸平面ABE；(2)若AO=AE=2CF=2,求該幾何體的表面積.【解答】解：(1)證明：因為AEC尸，C7V平面A8E,所以CF平面ABE,因為四邊形ABC。是菱形，所以CD/A

47、B,由于COC平面ABE,所以CO平面4BE,又CFCCD=C,所以平面CCF平面ABE,又u平面CDF,所以OF平面ABE.(2)由AEC凡知A,C,F,E四點共面，2X1 -21 -2連接4C,于是該幾何體是由兩個相同的四棱錐8-ACFE,O-ACFE構(gòu)成的，x2x1=1,在BEF中，EF=V5,BE=2y/2,BF=V5,Sabef=1x2>/2xV3=V6,所以該幾何體的表面積為2X(Sabe+Smbc+Sbcf+Sbef')=6+2遍+2遍.13 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，以。是等邊三角形，平面以。_1_平面ABCD,底面第67頁共115頁48CQ是直角梯形，ND

48、HBC,已知AO=2BC=4,ZBAD=60°.(I)若E為以的中點，求證：8E平面PCD；(II)求二面角B-PC-D的正弦值.A1【解答】解：(I)證明：如圖，取P£)的中點F,連接£尸，CF,則EF/AD,且EF=*4£),1由條件可知，BC/AD,且=J.EF/BC,EF=BC,二四邊形BCEF為平行四邊形，：.BE/CF,又BEC平面尸CO,CFc®PCD,二8£；平面PCD；(II)如圖，取AO的中點O,連接OB,OP,則OB=OP=2V3,由條件可得OA,OB,OP三條直線兩兩垂直，故以點O為坐標原點，分別以OA,OB,

49、。尸所在的直線為x軸，),軸，z軸建立空間直角坐標系，則B(0,2V3,0),P(0,0,2V3),C(-2,2a/3,0),D(-2,0,0),：.PC=(-2,2V3,-2V3),BC=(-2,0,0),CD=(0,S0),設平面P8C的一個法向量為/=(a,b,c),則弓,£=2a+2gb2V5c=0,則17nBe=-2a=0>可取m=(0,1,1),同理可得平面PC。的一個法向量為£=(一百，0,1),>>r-設二面角B - PC-D的大小為0,tm-n1V2心=麗=京=不14.已知在平行四邊形ABC。中，AD=2,AB=V3,NADC=Z如圖，D

50、E/CF,且。Eo=3,CF=4,ZDCF=J,且平面A8CC平面CQEF.(1)求證：AC_L平面CDEF；(II)求二面角D-AE-C的余弦值.【解答】解：(I)證明：在平行四邊形A8CO中，CD=AB=遮，AD=2,AADC=O由余弦定理可得4c2=4+C£>2-2AD*CD*cosZADC=4+3-2x2x代x竽=1,：.AC1+CD2=AD2,:.AC-LCD,又；平面ABC£)_L平面CDEF,平面48coe平面CDEF=CD,ACu平面48CC,；.AC_L平面CDEF；(II)如圖以點C為坐標原點，CD,CF,CA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間

51、直角坐標系，則點C(0,0,0),4(0,0,1),D(V3,0,0),E(V3,3,0),設平面AOE的一個法向量為局=(a,b,c),DE=(0,3,0),DA=(-V3,0,1),則%a°+c=(T則可取其=(1，。，3, 0),設平面4CE的一個法向量為彳=(x,y,z),AC=(0,0,-1),CE=(V3,則I3b =。'貝何取=(b'-設平面AOE與平面ACE所成的二面角為。，則cosO =mn=2x2 =T'A V3.二面角O-AE-C的余弦值為彳.15.如圖，已知四棱錐尸-A8CD 中，AD/BC, AB=CD, AD=2BC=2PC=2,P

52、D= V3,NAOC=60° .(1)求證：BP LCD；(2)若BP=&,求直線尸C與平面必力所成角的正弦值.【解答】(1)證明：取BP的中點E,連接CE、DE、BD,: BC=PC, ：.CEA.BP,"：AD=2BC=2, NAOC=60° , /. CD= 1, BD= y/3,又尸。=遮，：.DE±BP,VC£nD£=E, CE、OEu平面 CZ)E,平面 COE,BP LCD.(2)解：過C作于凡連接PF,'JAD/BC,：.CFLBC,'：BP=V2,BC=PC=1,.,.BC2+PC2=BP2,

53、即BCLPC,XCFQPC=C,CF、PCu平面PCF,平面PCF,AOu平面網(wǎng)O,平面以O_L平面PC凡過點C作CGLPF于點G,平面限OC平面PCF=PF,；.CGJ_平面心。,二NCPF即為直線PC與平面PAD所成的角,在RtZXCD尸中，ZCDF=60°,CD=,:.CF=*DF=在RtZPOF中，PD=V3,DF=1,：.PF=,在PCF中，由余弦定理知，cosZCPF=Pc2+P，-Cf2 _ 1+?一弓2PCPF2、1呼=而'/on：.snZCPF=V1-cos2Z.CPF=詈故直線PC與平面9所成的角的正弦值為季16 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，XPAD是

54、等邊三角形，平面布。，平面ABCD,底面ABC。是直角梯形，AD/BC,已知4O=2BC=4,ZBAD=6QQ.(I)若E為限的中點，求證：8E平面尸CD；(II)求四棱錐P-ABCD的體枳.【解答】證明：(I)如圖，取PO的中點F,連接EF,CF,則E尸A。，且EQ%。，由已知可得3c4。，且BC=%。，；.EFBC且EF=BC,得四邊形8CE尸為平行四邊形，則BECF,又BEC平面尸C£),CFu平面PCD,平面PCD；解：(1)如圖，取4。的中點0,連接PO,OB,OC,.平面以O_L平面A8CC,物。是等邊三角形，POJ_平面4BCO,得尸0=2百，OB=2V3,又底面4BC

55、D是直角梯形，AD/BC,AD=2BC=4,:.S梯形abcd=2X(2+4)x2百=66，:'V四棱腳-ABCD=弟梯形abcdxP。=gx6bX2>/3=12.17 .如圖，在直三棱柱ABC-481cl中，AB=BC=AAi,AB±BC,。為4B的中點，E為8c上一點，滿足CE=2EB.(1)求證：AC平面BDE；(2)求二面角B-AC-C的余弦值.【解答】解：(1)連接A1B交劭。于點凡連接EF,'：AB/AB,.,.AiFBisABFD,又。為AB的中點，.B產(chǎn)BD141尸2,:CE=2EB,.BFBE赤一瓦：.AC/EF,：4。£平面加。&#

56、163;,EFu平面B1OE,；.AiC平面BDE；(2)由題可知，BA,BC,兩兩互相垂宜，以8為坐標原點，BA,BC,881所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間宜角坐標系，設A8=BC=A4i=L則4(1,0,1),C(0,1,0),Ci(0,1,1),B(0,0,1),»»>»8送1=(1,0,0),8傳=(0,1,一1),CiC=(0,0,-1),64=(1,-1,0),'T-設平面BAC的一個法向量為£=(x,y,z),則:8d1-x-0,則可取盛=、n.BC=y-z=0(0,1,1),設平面ACC的一個法向量為蔡=(q,b,c),則17Gf-c-0,則可取薪=Gn-C1A1=ab=0(L1,0),>>./->、mn1.cos&l