問題的提出與解決是數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉

1、.問題的提出與解決，是數(shù)學(xué)開展的源泉有些朋友說，學(xué)數(shù)學(xué)最重要的是方法，做題并不重要，我認為不做大量的題怎么能學(xué)到方法呢?從數(shù)學(xué)歷史來看，數(shù)學(xué)理論的開展幾乎都源起于想解決一些特殊的問題。1900年，德國大數(shù)學(xué)家 D. Hilbert在巴黎舉行的國際數(shù)學(xué)會議上，發(fā)表了數(shù)學(xué)問題的專題演講，其前文的前半段就說明了這個觀點：誰不愿意將將來的面紗揭去，看一眼科學(xué)下一步的進步及進展的機密?下幾代的主要數(shù)學(xué)精神追求的是那些特別的目的?在將來的世紀中，數(shù)學(xué)這個寬廣豐富的領(lǐng)域又會產(chǎn)生那些新的方法以及新的結(jié)果?回憶歷史就知科學(xué)開展是連續(xù)的。每一時代自有其待解的問題;這些問題到了下一代或許解決了，或者因解之徒勞無益，

2、擱置一旁，而代之以新的問題。想要預(yù)知近期數(shù)學(xué)開展的梗概，我們就得注意那些發(fā)生在今日而期待在將來可解的問題。在此世紀接替之際，縱談數(shù)學(xué)的問題，自有其意義，因為此時我們不但要回憶過去偉大的成就，同時也要將我們的思索導(dǎo)向?qū)淼拈_展。許多問題在數(shù)學(xué)一般的開展上，或?qū)δ承┭芯空叨裕哂袠O高的價值，這一事實殆無疑問。只要具有眾多的問題，一門科學(xué)就充滿了活力;問題短缺會使之趨于消失或失去獨立開展。就像一般的事業(yè)必須追求特定目的，數(shù)學(xué)研究需要的是問題。研究者以問題的解決衡量及鍛練其才能;他發(fā)現(xiàn)新方法，開展新觀點，使他的視野更寬廣、更自由。事先準確判斷一個問題的價值是很困難的，甚至是不可能的;價值的判斷要取決

3、于這個問題所帶給科學(xué)的進展。然而我們想知道是否有一般的標準來評判一個數(shù)學(xué)問題的好壞。一位法國老數(shù)學(xué)家說：假如你無法將一個數(shù)學(xué)理論弄清楚到可以解釋給街上任何一個人聽，那么這個數(shù)學(xué)理論就不算完成。對一數(shù)學(xué)理論如此清楚、易于理解的要求，我想更應(yīng)加諸于所謂好的數(shù)學(xué)問題;清楚、易于理解使人向往，復(fù)雜使人排斥。更有進者，一個數(shù)學(xué)問題要難得吸引人，但也不能難到無從下手。它必須是真理謎陣中的指標，及成功解答后喜悅的回味品。過去的數(shù)學(xué)家都熱忱地投入解決某些特定的難題。他們深知難題的價值。想想 John Bernoulli 提出的最速下降曲線這個問題就好。Bernoulli 在公開提出這個問題時說：由經(jīng)歷得知，使

4、偉大人物得以促進科學(xué)進步的動力，也不過是在他們面前擺著又難同時又有用的問題。所以為了贏得數(shù)學(xué)界的感謝，他就效法 Mersenne、Pascal、Fermat、Viviani 等先賢，在許多偉大的分析學(xué)家面前，提出他想到的問題，以作為他們的方法，他們的才能的試金石。變分法 就因 Bernoulli 的問題及其它的類似問題而產(chǎn)生了。大家都知道，F(xiàn)ermat 認定xn + yn = zn這樣的方程式?jīng)]有正整數(shù)解n>2。尋求解答這樣一個特殊的、看起來不重要的問題，居然會對數(shù)學(xué)開展深具啟發(fā)性，這是問題之有用的顯著例證。 Kummer 為理解決 Fermat 問題，引進了理想數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們在圓

5、分體中具有唯一分解成質(zhì)因子乘積的性質(zhì)。Dedekind 及 Kronecker 將之推廣到一般代數(shù)體，使之成為現(xiàn)代數(shù)論的中心論題，而其意義更遠超出數(shù)論范圍，進入代數(shù)及函數(shù)論的領(lǐng)域中。再提一個相當不同的領(lǐng)域，三體問題。Poincar谷 所帶給天體力學(xué)的豐富方法及深遠原理，就起因于重新研究三體問題這個難題，以便尋求更近似的解答。Fermat 及三體是兩個極端類型的問題。前者是純理論的產(chǎn)物，屬于抽象的數(shù)論，后者因天文需要而生，是理解自然界最根本現(xiàn)象的要素。還有，同一個題目也時常引起在極端不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有所應(yīng)用。譬如，最短曲線問題在幾何根底、曲線曲面論、力學(xué)以及變分法各方面，都扮演了極重要的角色。F

6、. Klein 在二十面體方面的研究，其在初等幾何中多面體問題、在群論、在方程式論以及在線性微分方程所具有的影響，更強烈支持這種觀點。為了強調(diào)問題的重要性，我可以再提到 Weierstrass。他說，他在科學(xué)研究生涯之初，可以遇到像 Jacobi 反轉(zhuǎn)這樣重要的問題，實在幸運之至。說了問題在數(shù)學(xué)研究的重要性，我們再來討論問題的來源。當然每一數(shù)學(xué)分支中的最老問題都來自經(jīng)歷與自然現(xiàn)象。甚至連數(shù)字計算法那么在文明之初都是如此而得，就像今日的小孩從經(jīng)歷學(xué)得這些法那么一樣。古時傳下來的幾何問題，像是倍立方、圓化方，也是一樣。還有數(shù)字方程式論、曲線論、變分法、Fourier 分析以及勢能論也是一樣，更不用

7、說那些屬于力學(xué)、天文及物理的問題。但要使一門數(shù)學(xué)再往前進展，就得靠人類的思索促使其成為一門獨立的學(xué)問。一門學(xué)問經(jīng)由邏輯整合、一般化、特殊化、巧妙分辨、整理各種想法及新而有用的問題等等，不必有外在因素的詳細影響，一樣可以自我增殖。質(zhì)數(shù)理論及數(shù)論的其它問題、Galois 的方程式論、代數(shù)不變量論、Abel 及自我同構(gòu)函數(shù)論事實上，幾乎所有的現(xiàn)代數(shù)論及函數(shù)論的好問題都是這樣產(chǎn)生的。而當純理論創(chuàng)造才能發(fā)揮之際，外在世界還是發(fā)生作用，使我們由實際經(jīng)歷得到新問題，使我們面對新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。而在用純理論開展這些新領(lǐng)域時，我們曾找到那些古老未解問題的答案，使古老的理論有所進展。在我看來，數(shù)學(xué)家在各種領(lǐng)域中觀察問

8、題，提供方法與想法中，所得那么多而驚人的類同與和諧，其原因都是來自這種理論與經(jīng)歷經(jīng)常的交互作用。在討論了問題之對數(shù)學(xué)的重要性及數(shù)學(xué)問題的來源后，Hilbert 又談到如何斷定一個數(shù)學(xué)問題是否得解，然后完畢前文。接著 Hilbert 花了很多的時間議論二十三個他認為對今后數(shù)學(xué)開展曾有重大影響的數(shù)學(xué)問題。這就是所謂的Hilbert 數(shù)學(xué)問題，它們確實是好問題，確實在二十世紀的數(shù)學(xué)開展史上扮演了非常重要的角色。這二十三個問題是：一、 Cantor 連續(xù)體的基數(shù)問題，二、 算術(shù)公理的無矛盾性，三、 等底等高兩四面體的等積性，四、 兩點間最短路程做為直線的問題，五、 連續(xù)群的定義函數(shù)除去可微性的問題Li

9、e 原來的觀念，六、 物理學(xué)公理化，七、 某些數(shù)的無理數(shù)性及超越性，八、 質(zhì)數(shù)問題，九、 任何代數(shù)體中最一般的互逆法那么，十、 決定 Diophantine 方程式的可解性，十一、 系數(shù)為代數(shù)數(shù)的二次式，十二、 推廣 Kronecker 的 Abel 擴張定理到任何代數(shù)體上，十三、 七次方程式不能用兩變量函數(shù)來解，十四、 某些完備函數(shù)的有限性，十五、 Schubert 算法的嚴密根底，十六、 代數(shù)曲線與曲面的拓樸，十七、 正定型的平方和表現(xiàn)，十八、 以全等多面體鋪成空間的問題，十九、 正那么變分問題的解都是解析的?二十、 一般的邊界值問題，二十一、 給定 Monodromy 群，線性微分方程式

10、的存在問題，二十二、 以自我同構(gòu)函數(shù)做解析關(guān)系的一致化，二十三、 變分法的進一步開展。問題固然是數(shù)學(xué)活動的泉源，Hilbert 的數(shù)學(xué)問題固然證明了這個觀點，但并不是每一個問題都能激起有意義的數(shù)學(xué)研究。法國數(shù)學(xué)家 J. Dieudonn谷 在其著作?A Panorama of Pure Mathematics?中，把數(shù)學(xué)問題就其對數(shù)學(xué)開展的影響分成幾類。一、死產(chǎn)了的問題：問題本身未得解決，試求解決的過程對數(shù)學(xué)的開展也未產(chǎn)生幫助。譬如 Fermat 質(zhì)數(shù)問題：除 n=0,1,2,3,4 外，22n+1 還可能是質(zhì)數(shù)嗎?及 Euler 常數(shù)的無理數(shù)性問。二、無意義的問題：問題雖然解決了，但對其他問

11、題的進展毫無影響。許多排列組合的問題屬于此類。三、產(chǎn)生方法的問題：用來解決問題的方法或其變形可以解決許多類似或更復(fù)雜的問題，雖然我們不一定理解這些方法所以可以解題的關(guān)鍵。解析數(shù)論及有限群論就有許多這樣的例子。四、活潑領(lǐng)域中的問題：問題的研究終究可以找出意想不到的背后根本構(gòu)造，不但解決原來問題，而且提供普遍性的方法，以說明其它領(lǐng)域中的許許多多問題。譬如，李群與代數(shù)拓樸是目前的典型例子。五、衰退領(lǐng)域中的問題： Hilbert 也說過，假如沒有不斷的新問題的刺激，一個數(shù)學(xué)理論不可能活潑。一旦一個數(shù)學(xué)理論中的大問題已經(jīng)解決，與其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域的關(guān)系也弄清楚后，研究者就會鉆起牛角尖來。不變量理論就曾有幾次演

12、變成這種階段。與當今“老師一稱最接近的“老師概念，最早也要追溯至宋元時期。金代元好問?示侄孫伯安?詩云：“伯安入小學(xué)，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說字驚老師。于是看，宋元時期小學(xué)老師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老師，而一般學(xué)堂里的先生那么稱為“老師或“教習(xí)。可見，“老師一說是比較晚的事了。如今體會，“老師的含義比之“老師一說，具有資歷和學(xué)識程度上較低一些的差異。辛亥革命后，老師與其他官員一樣依法令任命，故又稱“老師為“教員。六、稀釋領(lǐng)域中的問題：選對了公理的系統(tǒng)可以導(dǎo)出很好的理論與技巧。一個公理系統(tǒng)的成功常使研究者漫無目的變更公理，以期再造佳績;當然，這種期望往往落空。這類研究者往往舉不出研究對象的應(yīng)用實例，所以 Dieudonn谷 幽默地說他也不舉出這一類型的例子。死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生才能開展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為進步學(xué)生的語文素養(yǎng)煞費苦心。其實,只要應(yīng)用得當,“死記硬背與進步學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是進步學(xué)生語文程度的重要前提和根底。當然第四類問題最重要，其次才是第三類問題。其它類的問題就數(shù)學(xué)開展而言都是毫缺乏道的。問題是數(shù)學(xué)活動的泉源，如何選擇有意義的研究問題，Hilbert 給了典范，Dieudonn谷 提出了判斷標準。與當今“老師一稱最