對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的若干認(rèn)識

1、對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的假設(shè)干認(rèn)識什么是數(shù)學(xué)？這是任何一個數(shù)學(xué)教育工作者都應(yīng)認(rèn)真思考的問題。只有對數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征有比擬清晰的認(rèn)識 ,才能在數(shù)學(xué)教育研究中把握正確的方向。1、數(shù)學(xué) ,其英文是mathematics ,這是一個復(fù)數(shù)名詞 ,“數(shù)學(xué)曾經(jīng)是四門學(xué)科：算術(shù)、幾何、天文學(xué)和音樂 ,處于一種比語法、修辭和辯證法這三門學(xué)科更高的地位。自古以來 ,多數(shù)人把數(shù)學(xué)看成是一種知識體系 ,是經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理而形成的系統(tǒng)化的理論知識總和 ,它既反映了人們對“現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識 ,又反映了人們對“可能的量的關(guān)系和形式的認(rèn)識。數(shù)學(xué)既可以來自現(xiàn)實(shí)世界的直接抽象 ,也可以來自人類思維的能動創(chuàng)造。2、從人類

2、社會的開展史看 ,人們對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認(rèn)識在不斷變化和深化?！皵?shù)學(xué)的根源在于普通的常識 ,最顯著的例子是非負(fù)整數(shù)。"歐幾里德的算術(shù)來源于普通常識中的非負(fù)整數(shù) ,而且直到19世紀(jì)中葉 ,對于數(shù)的科學(xué)探索還停留在普通的常識 ,另一個例子是幾何中的相似性 ,“在個體開展中幾何學(xué)甚至先于算術(shù) ,其“最早的征兆之一是相似性的知識 ,相似性知識被發(fā)現(xiàn)得如此之早 ,“就象是大生的。因此 ,19世紀(jì)以前 ,人們普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門自然科學(xué)、經(jīng)驗(yàn)科學(xué) ,因?yàn)槟菚r的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系非常密切 ,隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深入 ,從19世紀(jì)中葉以后 ,數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)的觀點(diǎn)逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位 ,這種觀點(diǎn)在布爾巴基

3、學(xué)派的研究中得到開展 ,他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué) ,一切數(shù)學(xué)都建立在代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)這三種母結(jié)構(gòu)之上。與這種觀點(diǎn)相對應(yīng) ,從古希臘的柏拉圖開始 ,許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究模式的學(xué)問 ,數(shù)學(xué)家懷特海A. N. Whiiehead ,186-1947在?數(shù)學(xué)與善?中說 ,“數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進(jìn)行研究 ,數(shù)學(xué)對于理解模式和分析模式之間的關(guān)系 ,是最強(qiáng)有力的技術(shù)。1931年 ,歌德爾K ,G0de1 ,1978不完全性定理的證明 ,宣告了公理化邏輯演繹系統(tǒng)中存在的缺憾 ,這樣 ,人們又想到了數(shù)學(xué)是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的觀點(diǎn) ,著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼就認(rèn)為 ,

4、數(shù)學(xué)兼有演繹科學(xué)和經(jīng)驗(yàn)科學(xué)兩種特性。3、對于上述關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的看法 ,我們應(yīng)當(dāng)以歷史的眼光來分析 ,實(shí)際上 ,對數(shù)本質(zhì)特征的認(rèn)識是隨數(shù)學(xué)的開展而開展的。由于數(shù)學(xué)源于分配物品、計(jì)算時間、丈量土地和容積等實(shí)踐 ,因而這時的數(shù)學(xué)對象作為抽象思維的產(chǎn)物與客觀實(shí)在是非常接近的 ,人們能夠很容易地找到數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型 ,這樣 ,人們自然地認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種經(jīng)驗(yàn)科學(xué)；隨著數(shù)學(xué)研究的深入 ,非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等的產(chǎn)生 ,特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué)向抽象、多元、高維開展 ,人們的注意力集中在這些抽象對象上 ,數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的距離越來越遠(yuǎn) ,而且數(shù)學(xué)證明作為一種演繹推理在數(shù)學(xué)研究中占據(jù)了重要地位 ,因此 ,出現(xiàn)了認(rèn)

5、為數(shù)學(xué)是人類思維的自由創(chuàng)造物 ,是研究量的關(guān)系的科學(xué) ,是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論 ,是關(guān)于模式的學(xué)問 ,等等觀點(diǎn)。這些認(rèn)識 ,既反映了人們對數(shù)學(xué)理解的深化 ,也是人們從不同側(cè)面對數(shù)學(xué)進(jìn)行認(rèn)識的結(jié)果。正如有人所說的 ,“恩格斯的關(guān)于數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的提法與布爾巴基的結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)是不矛盾的 ,前者反映了數(shù)學(xué)的來源 ,后者反映了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的水平 ,現(xiàn)代數(shù)學(xué)是一座由一系列抽象結(jié)構(gòu)建成的大廈。而關(guān)于數(shù)學(xué)是研究模式的學(xué)問的說法 ,那么是從數(shù)學(xué)的抽象過程和抽象水平的角度對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的闡釋 ,另外 ,從思想根源上來看 ,人們之所以把數(shù)學(xué)看成是演繹科學(xué)、研究結(jié)構(gòu)的科學(xué) ,是基于人類對數(shù)學(xué)推理的必然

6、性、準(zhǔn)確性的那種與生俱來的信念 ,是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中表達(dá) ,因此人們認(rèn)為 ,開展數(shù)學(xué)理論的這套方法 ,即從不證自明的公理出發(fā)進(jìn)行演繹推理 ,是絕對可靠的 ,也即如果公理是真的 ,那么由它演繹出來的結(jié)論也一定是真的 ,通過應(yīng)用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯 ,數(shù)學(xué)家們得出的結(jié)論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。4、事實(shí)上 ,上述對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認(rèn)識是從數(shù)學(xué)的來源、存在方式、抽象水平等方面進(jìn)行的 ,并且主要是從數(shù)學(xué)研究的結(jié)果來看數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征的。顯然 ,結(jié)果作為一種理論的演繹體系并不能反映數(shù)學(xué)的全貌 ,組成數(shù)學(xué)整體的另一個非常重要的方面是數(shù)學(xué)研究的過程 ,而且從總體上來說

7、 ,數(shù)學(xué)是一個動態(tài)的過程 ,是一個“思維的實(shí)驗(yàn)過程 ,是數(shù)學(xué)真理的抽象概括過程。邏輯演繹體系那么是這個過程的一種自然結(jié)果。在數(shù)學(xué)研究的過程中 ,數(shù)學(xué)對象的豐富、生動且富于變化的一面才得以充分展示。波利亞G. Poliva ,1888一1985認(rèn)為 ,“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面 ,它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué) ,但也是別的什么東西。由歐幾里德方法提出來的數(shù)學(xué)看來象是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué) ,但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。弗賴登塔爾說 ,“數(shù)學(xué)是一種相當(dāng)特殊的活動 ,這種觀點(diǎn)“是區(qū)別于數(shù)學(xué)作為印在書上和銘 ,記在腦子里的東西。他認(rèn)為 ,數(shù)學(xué)家或者數(shù)學(xué)教科書喜歡把數(shù)學(xué)表示成“一種組織得很好的狀態(tài)

8、 ,也即“數(shù)學(xué)的形式是數(shù)學(xué)家將數(shù)學(xué)活動內(nèi)容經(jīng)過自己的組織活動而形成的；但對大多數(shù)人來說 ,他們是把數(shù)學(xué)當(dāng)成一種工具 ,他們不能沒有數(shù)學(xué)是因?yàn)樗麄冃枰獞?yīng)用數(shù)學(xué) ,這就是 ,對于群眾來說 ,是要通過數(shù)學(xué)的形式來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)容 ,從而學(xué)會相應(yīng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)的活動。這大概就是弗賴登塔爾所說的“數(shù)學(xué)是在內(nèi)容和形式的互相影響之中的一種發(fā)現(xiàn)和組織的活動的含義。菲茨拜因Efraim Fischbein說 ,“數(shù)學(xué)家的理想是要獲得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、條理清楚的、具有邏輯結(jié)構(gòu)的知識實(shí)體 ,這一事實(shí)并不排除必須將數(shù)學(xué)看成是個創(chuàng)造性過程：數(shù)學(xué)本質(zhì)上是人類活動 ,數(shù)學(xué)是由人類創(chuàng)造的 ,數(shù)學(xué)活動由形式的、算法的與直覺的等三個根本成分之間

9、的相互作用構(gòu)成。庫朗和羅賓遜Courani Robbins也說 ,“數(shù)學(xué)是人類意志的表達(dá) ,反映積極的意愿、深思熟慮的推理 ,以及精美而完善的愿望 ,它的根本要素是邏輯與直覺、分析與構(gòu)造、一般性與個別性。雖然不同的傳統(tǒng)可能強(qiáng)調(diào)不同的側(cè)面 ,但只有這些對立勢力的相互作用 ,以及為它們的綜合所作的奮斗 ,才構(gòu)成數(shù)學(xué)科學(xué)的生命、效用與高度的價值。5、另外 ,對數(shù)學(xué)還有一些更加廣義的理解。如 ,有人認(rèn)為 ,“數(shù)學(xué)是一種文化體系 ,“數(shù)學(xué)是一種語言 ,數(shù)學(xué)活動是社會性的 ,它是在人類文明開展的歷史進(jìn)程中 ,人類認(rèn)識自然、適應(yīng)和改造自然、完善自我與社會的一種高度智慧的結(jié)晶。數(shù)學(xué)對人類的思維方式產(chǎn)生了關(guān)鍵性

10、的影響也有人認(rèn)為 ,數(shù)學(xué)是一門藝術(shù) ,“和把數(shù)學(xué)看作一門學(xué)科相比 ,我?guī)缀醺矚g把它看作一門藝術(shù) ,因?yàn)閿?shù)學(xué)家在理性世界指導(dǎo)下雖然不是控制下所表現(xiàn)出的經(jīng)久的創(chuàng)造性活動 ,具有和藝術(shù)家的 ,例如畫家的活動相似之處 ,這是真實(shí)的而并非臆造的。數(shù)學(xué)家的嚴(yán)格的演繹推理在這里可以比作專門注技巧。就像一個人假設(shè)不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣 ,不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數(shù)學(xué)家 ,這些品質(zhì)是最根本的 , ,它與其它一些要微妙得多的品質(zhì)共同構(gòu)成一個優(yōu)秀的藝術(shù)家或優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家的素質(zhì) ,其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力。“數(shù)學(xué)是推理的音樂 ,而“音樂是形象的數(shù)學(xué)這是從數(shù)學(xué)研究的過程和數(shù)學(xué)家

11、應(yīng)具備的品質(zhì)來論述數(shù)學(xué)的本質(zhì) ,還有人把數(shù)學(xué)看成是一種對待事物的根本態(tài)度和方法 ,一種精神和觀念 ,即數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)觀念和態(tài)度。尼斯Mogens Niss等在?社會中的數(shù)學(xué)?一文中認(rèn)為 ,數(shù)學(xué)是一門學(xué)科 ,“在認(rèn)識論的意義上它是一門科學(xué) ,目標(biāo)是要建立、描述和理解某些領(lǐng)域中的對象、現(xiàn)象、關(guān)系和機(jī)制等。如果這個領(lǐng)域是由我們通常認(rèn)為的數(shù)學(xué)實(shí)體所構(gòu)成的 ,數(shù)學(xué)就扮演著純粹科學(xué)的角色。在這種情況下 ,數(shù)學(xué)以內(nèi)在的自我開展和自我理解為目標(biāo) ,獨(dú)立于外部世界 , ,另一方面 ,如果所考慮的領(lǐng)域存在于數(shù)學(xué)之外 , ,數(shù)學(xué)就起著用科學(xué)的作用· ,數(shù)學(xué)的這兩個側(cè)面之間的差異并非數(shù)學(xué)內(nèi)容本身的問題 ,而

12、是人們所關(guān)注的焦點(diǎn)不同。無論是純粹的還是應(yīng)用的 ,作為科學(xué)的數(shù)學(xué)有助于產(chǎn)生知識和洞察力。數(shù)學(xué)也是一個工具、產(chǎn)品以及過程構(gòu)成的系統(tǒng) ,它有助于我們作出與掌握數(shù)學(xué)以外的實(shí)踐領(lǐng)域有關(guān)的決定和行動· ,數(shù)學(xué)是美學(xué)的一個領(lǐng)域 ,能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悅和沖動的體驗(yàn)· ,作為一門學(xué)科 ,數(shù)學(xué)的傳播和開展都要求它能被新一代的人們所掌握。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不會同時而自動地進(jìn)行 ,需要靠人來傳授 ,所以 ,數(shù)學(xué)也是我們社會的教育體系中的一個教學(xué)科目從上所述可以看出 ,人們是從數(shù)學(xué)內(nèi)部又從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、表現(xiàn)形式及研究過程等幾個角度。數(shù)學(xué)與社會的關(guān)系、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的關(guān)系、數(shù)學(xué)與人的開展的關(guān)

13、系等幾個方面來討論數(shù)學(xué)的性質(zhì)的。它們都從一個側(cè)面反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征 ,為我們?nèi)嬲J(rèn)識數(shù)學(xué)的性質(zhì)提供了一個視角。唐宋或更早之前 ,針對“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目 ,其相應(yīng)傳授者稱為“博士 ,這與當(dāng)今“博士含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者 ,又稱“講師?！敖淌诤汀爸叹瓰閷W(xué)官稱謂。前者始于宋 ,乃“宗學(xué)“律學(xué)“醫(yī)學(xué)“武學(xué)等科目的講授者；而后者那么于西晉武帝時代即已設(shè)立了 ,主要協(xié)助國子、博士培養(yǎng)生徒。“助教在古代不僅要作入流的學(xué)問 ,其教書育人的職責(zé)也十清楚晰。唐代國子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教一席 ,也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代 ,只設(shè)國子監(jiān)國子學(xué)一科的“助教 ,其

14、身價不謂顯赫 ,也稱得上朝廷要員。至此 ,無論是“博士“講師 ,還是“教授“助教 ,其今日教師應(yīng)具有的根本概念都具有了。與當(dāng)今“教師一稱最接近的“老師概念 ,最早也要追溯至宋元時期。金代元好問?示侄孫伯安?詩云：“伯安入小學(xué) ,穎悟非凡貌 ,屬句有夙性 ,說字驚老師。于是看 ,宋元時期小學(xué)教師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老師 ,而一般學(xué)堂里的先生那么稱為“教師或“教習(xí)?？梢?,“教師一說是比擬晚的事了。如今體會 ,“教師的含義比之“老師一說 ,具有資歷和學(xué)識程度上較低一些的差異。辛亥革命后 ,教師與其他官員一樣依法令任命 ,故又稱“教師為“教員。6、基于對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的上述認(rèn)識 ,

15、人們也從不同側(cè)面討論了數(shù)學(xué)的具體特點(diǎn)。比擬普遍的觀點(diǎn)是 ,數(shù)學(xué)有抽象性、精確性和應(yīng)用的廣泛性等特點(diǎn) ,其中最本質(zhì)的特點(diǎn)是抽象性。A ,。亞歷山大洛夫說 ,“甚至對數(shù)學(xué)只有很淺薄的知識就能容易地覺察到數(shù)學(xué)的這些特點(diǎn)：第一是它的抽象性 ,第二是精確性 ,或者更好他說是邏輯的嚴(yán)格性以及它的結(jié)論確實(shí)定性 ,最后是它的應(yīng)用的極端廣泛、性 ,王粹坤說 ,“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是：內(nèi)容的抽象性、應(yīng)用的廣泛性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)論的明確必這種看法主要從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、表現(xiàn)形式和數(shù)學(xué)的作用等方面來理解數(shù)學(xué)的特點(diǎn) ,是數(shù)學(xué)特點(diǎn)的一個方面。另外 ,從數(shù)學(xué)研究的過程方面、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的關(guān)系方面來看 ,數(shù)學(xué)還有形象性、似真性、擬

16、經(jīng)驗(yàn)性?！翱勺C偽性的特點(diǎn)。對數(shù)學(xué)特點(diǎn)的認(rèn)識也是有時代特征的 ,例如 ,關(guān)于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性 ,在各個數(shù)學(xué)歷史開展時期有不同的標(biāo)準(zhǔn) ,從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系 ,關(guān)于嚴(yán)謹(jǐn)性的評價標(biāo)準(zhǔn)有很大差異 ,尤其是哥德爾提出并證明了“不完備性定理以后 ,人們發(fā)現(xiàn)即使是公理化這一曾經(jīng)被極度推崇的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)方法也是有缺陷的。因此 ,數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是在數(shù)學(xué)開展歷史中表現(xiàn)出來的 ,具有相對性。關(guān)于數(shù)學(xué)的似真性 ,波利亞在他的?數(shù)學(xué)與猜測?中指出 ,“數(shù)學(xué)被人看作是一門論證科學(xué)。然而這僅僅是它的一個方面 ,以最后確定的形式出現(xiàn)的定型的數(shù)學(xué) ,好似是僅含證明的純論證性的材料 ,然而 ,數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是

17、與任何其它知識的創(chuàng)造過程一樣的 ,在證明一個數(shù)學(xué)定理之前 ,你先得猜測這個定理的內(nèi)容 ,在你完全作出詳細(xì)證明之前 ,你先得推測證明的思路 ,你先得把觀察到的結(jié)果加以綜合然后加以類比你得一次又一次地進(jìn)行嘗試。數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理 ,即證明；但是這個證明是通過合情推理 ,通過猜測而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程的話 ,那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢谩Ｕ菑倪@個角度 ,我們說數(shù)學(xué)確實(shí)定性是相對的 ,有條件的 ,對數(shù)學(xué)的形象性、似真性、擬經(jīng)驗(yàn)性。“可證偽性特點(diǎn)的強(qiáng)調(diào) ,實(shí)際上是突出了數(shù)學(xué)研究中觀察、實(shí)驗(yàn)、分析。比擬、類比、歸納、聯(lián)想等思維過程的重要性。我國古代

18、的讀書人,從上學(xué)之日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識記幾千個漢字,熟記幾百篇文章,寫出的詩文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今天,我們念了十幾年書的高中畢業(yè)生甚至大學(xué)生,竟提起作文就頭疼,寫不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就鋒利地提出:“中小學(xué)語文教學(xué)效果差,中學(xué)語文畢業(yè)生語文水平低,十幾年上課總時數(shù)是9160課時,語文是2749課時,恰好是30%,十年的時間,二千七百多課時,用來學(xué)本國語文,卻是大多數(shù)不過關(guān),豈非咄咄怪事!尋根究底,其主要原因就是腹中無物。特別是寫議論文,初中水平以上的學(xué)生都知道議論文的“三要素是論點(diǎn)、論據(jù)、論證,也通曉議論文的根本結(jié)構(gòu):提出問題分析問題解決問題,但真正動起筆來就犯難了。知道“是這樣,就是講不出“為什么。根本原因還是無“米下“鍋。于是便翻開作文集錦之類的書大段抄起來,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不參考作文書就很難寫