高中數(shù)學(xué)數(shù)列講義-二輪復(fù)習(xí)-精華

1、數(shù)列概念 知識(shí)清單1.數(shù)列的概念(1)數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作 an,在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第 1項(xiàng)(或 首項(xiàng))，在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，序號(hào)為n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)(也叫通項(xiàng))記作an； 數(shù)列的一般形式：a1 , a2, a3, , an, ,簡(jiǎn)記作 an。(2)通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列a。的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這 個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如，數(shù)列的通項(xiàng)公式是an = n ( n 7, n N ),數(shù)列的通項(xiàng)公式是an= - (n N )。 n說(shuō)明：an表示數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項(xiàng)，an= f n表示數(shù)列的通項(xiàng)

2、公式；1 n 2k 1同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，an= (1)n=2k 1(k Z);1,n 2k不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1, 1.4 , 1.41 , 1.414,(3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號(hào)：1 2 3 4 5 6項(xiàng)：4 5 6 7 8 9上面每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集 N (或它的有限子集)的函數(shù)f(n)當(dāng)自變量n從 1開(kāi)始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值 f(1),f(2), f(3),f(n),.通常用an來(lái)代替 f n ,其圖象是一群孤立點(diǎn)。(4)數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是

3、有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之 間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。S (n 1)Sn Sm(n2)(5)遞推公式定義：如果已知數(shù)列 an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an 1 (或前幾項(xiàng))問(wèn)的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。(6)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：an課前預(yù)習(xí)1 .根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式:(1)(2)(3)1, 3, 5, 722 132 142152145113*44*52.數(shù)列an中，已知an1(nN ),(* 1)與出 a1o,an 1 , an2 ;2

4、 一 ， 一(2) 79 2是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？33. (1)已知數(shù)列an適合：ai 1, am ?匚，寫出前五項(xiàng)并寫出其通項(xiàng)公式；an 2(2)用上面的數(shù)列an,通過(guò)等式bn an an i構(gòu)造新數(shù)列bn,寫出bn ,并寫出bn的前5項(xiàng)。4 .設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n 3),其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)=;當(dāng)口 4時(shí)，f(n) (用 n表示)。5 .在某報(bào)自測(cè)健康狀況的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白( )內(nèi)。304DL，SC收解片工本粗或黑米L10

5、*1301551301所t)I4S第盛日木粗更黑米1沁7S7*90(】等差數(shù)列知識(shí)清單1、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表小。用遞推公式表小為an an 1d(n 2)或 an 1 an d(n 1)。2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： 說(shuō)明：等差數(shù)列列，d 0為遞減數(shù)列。3、等差中項(xiàng)的概念：(n 1)d;(通?？煞Q為 AP數(shù)列)的單調(diào)性：d 0為遞增數(shù)列，d0為常數(shù)定義：如果ab成等差數(shù)列，那么 A叫做a與b的等差中項(xiàng)。其中a, A, b成等差數(shù)列4、等差數(shù)列的前n和的求和公式：

6、Snn(a an)25、等差數(shù)列的性質(zhì):(1)在等差數(shù)列(2)在等差數(shù)列an中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng);如:a1 , a3ana5中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是a7, ;%(3)在等差數(shù)列ana anamAP,(n m)d , d an一am (m n mn)；(4)在等差數(shù)列ann p q ,貝U aman apaq ；說(shuō)明：設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，且公差為(I)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2n項(xiàng)，則S奇S偶nd ;且-an-;(H)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有2n 1項(xiàng)，則S偶 S奇an邳；an 1S6、數(shù)列最值(1) 4 0, d 0時(shí)，Sn有最大值;(2) Sn最值的求法：若已知Sn,

7、最值時(shí)n的值(n N )可如下確定a1 0, d 0時(shí)，Sn有最小值；可用二次函數(shù)最值的求法(nN);an 0 T an 0或。an 10 an 10若已知?jiǎng)tSn課前預(yù)習(xí)1 .設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列2 .設(shè)%是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，Sn=n2,則an是()B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列若 a1 a2 a3 15, a1a2 a3 80 ,貝 U a11A. 1203.若一個(gè)等差數(shù)列前列有()A.13 項(xiàng)B. 105C. 90D.al2 a13753項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390

8、,則這個(gè)數(shù)B.12 項(xiàng)C.11 項(xiàng)D.10 項(xiàng)4.設(shè)數(shù)列an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為48,則它的首項(xiàng)是()A.1B.2C.4D.6S6 _S125 .設(shè)Sn是等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，若2=1，則S63A.310B.C.D.6 .設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S7 = 7,S5=75, Tn為數(shù)列Snn的前n項(xiàng)和，求Tn。7 .已知數(shù)列 bn是等差數(shù)列，b1=1, b1+b2+ - +b10=100.(I )求數(shù)列 bn的通項(xiàng)bn;(H )設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=lg ( 1+ ),記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試比較Sn與3lgbn+1 bn2的大小，并證

9、明你的結(jié)論。8 .設(shè)an (nCN*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5S6, $則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是() A.dS5D.Ss與 S7均為 &的最大值9.等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為()A.130B.170C.210D.260等比數(shù)列知識(shí)清單1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù) ，那么這個(gè) 數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q 0）,即：ani：1、一an q（q 0）數(shù)列對(duì)于數(shù)列（1） （2） （3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2, 5,-。（注意:2“從第二項(xiàng)起、

10、“常數(shù)” q、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零）2 .等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：an a1 qn 1（a1 q 0）。說(shuō)明：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比 d 1時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若an為等比數(shù)列，則am qmn。an3 .等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符 號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。4 .等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列a1,a2,a3,L,an,L的前n項(xiàng)和是Sn&a2a3Lan,當(dāng)q 1時(shí)，& a1（1 q）或 & aq；當(dāng) q=1 時(shí)，Sn na1 （錯(cuò)位相減法）

11、。1 q1 q說(shuō)明：（1） a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式中是qn , 通項(xiàng)公式中是qn 1不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時(shí)q 1 ,必要時(shí)應(yīng)討論q 1的情況。5.等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果an是等比數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等差數(shù)列的第m項(xiàng)，且m n ,公比為q ,則有 an amqn m ；對(duì)于等比數(shù)歹U an ,若n m u v ,則an am au av ,也就是：a1ana an a2 an 1 a3 an 2若數(shù)列an是等比數(shù)列， 列。如下圖所示：a1 a2 a3ak akSk課前預(yù)習(xí)1.在等比數(shù)列an中,a7,如圖所示：

12、a1，a2，a3，an 2，an 1，an oa2 an 1Sn是其前n項(xiàng)的和，k N* ,那么& , 82k Sk, S3k S2k成等比數(shù)S3 k1a2ka2k 1a3k82k Sk83k 82k12,q眩，則肌.2. 2萬(wàn)和2 73的等比中項(xiàng)為().(A)1(B) 1(C) 1(D)23.在等比數(shù)列an中，a22,4 .在等比數(shù)列an中,ai和明。是方程2x2 5x 1 0的兩個(gè)根，則a,a7()5 .c、,211(A) -(B)(C) -(D)-22225 .在等比數(shù)列an ,已知a1 5, a9a10 100 ,求a18.6 .在等比數(shù)列an中,a1 2,前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列4 1

13、也是等比數(shù)列，則Sn等于(A. 2n12B.3nC.2nD. 3n17 .設(shè) f(n)224 27 210L 23n 10(nN),則 f(n)等于()A. 2(8n 1) B, 2(8n 1 1) C. -(8n 3 1) D. 2(8n 4 1) 77778 .設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為&,若S3+S6=2S9,求數(shù)列的公比q；)nC9 .在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a1 = 3,前三項(xiàng)和為21,則a3+a4+a5=(A) 33(B) 72(C) 84(D) 18910 .在等差數(shù)列 an中，若 a10= 0,則有等式 a1+a2+an=a1+a2+a19n (n1的等比數(shù)列，若

14、az。,和a2005是方程4x28x 3 0的兩根，則a2006a20074 .設(shè)等差數(shù)列an的公差d不為0, a1 9d.若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng)，則k () A . 2B.4 C . 6 D. 85 .等差數(shù)列an中，ai=1,a3+a5列4,其前n項(xiàng)和Sn=100，則n=(A)9(B)10(C)11(D)126 .等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S2 2,S4 10,則&等于(A) 12(B) 18(C) 24(D) 427 .已知數(shù)列的通項(xiàng)an 5n 2 ,則其前n項(xiàng)和Sn .8 .已知an是等差數(shù)列，a10 10 ,其前10項(xiàng)和 70 ,則其公差d (A.9.已知a, b, c

15、, d成等比數(shù)列，且曲線y x2 2x 3的頂點(diǎn)是(b, c),則ad等于(A. 3 B.2 C.1 D. 210.已知an是等差數(shù)列，a4a6 6 ,其前5項(xiàng)和S5 10 ,則其公差d11 .設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3 9, S6 36,則a7 a8 a9() A. 63B. 45 C. 36 D. 271-12.已知數(shù)列 an對(duì)于任思p, q N ,有ap aq ap q,右a 一，則冊(cè) .9實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練B1 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Si221 ,貝U a? a5% ai12 .在等比數(shù)列an ( n N* )中，若ai 1 , a4 -,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為()8

16、,-1-1/1一 一1A. 24B. 22C. 2ToD . 2-tt2 4222102113 .已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn ,且an 7n-5 ,則使得包為整 Bn n 3bn數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()A. 2B. 3C. 4D. 54 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn n2 9n ,第k項(xiàng)滿足5 ak 8 ,貝U kA. 9 B . 8 C. 7 D . 65 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和& n2 9n ,則其通項(xiàng)a;若它的第k項(xiàng)滿足5 ak 8, 則k . . 一一 一一. 一1 一， .6 .數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若an ，則S5等于()n(n 1)A. 1B. 5C. 1D.66307 .等比數(shù)列an中，a4 4 ,則a2ga6等于()A. 4 B. 8 C. 16 D. 328 .若數(shù)列an的前n項(xiàng)和& n2 10n(n 1,2,3,L ),則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ;數(shù)列nan