中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題及答案及答案

1、中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題及答案一、解答題（共30小題）1. 觀察猜想（1）如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC=3,點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E在邊BC上，連接龐，將線段龐繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段逐，連接BF,BE與的位置關(guān)系是,BE+BF=；探究證明（2）在（1）中，如果將點(diǎn)D沿AB方向移動，使AD=,其余條件不變，如圖，判斷昵與的位置關(guān)系，并求BE+BF的值，請寫出你的理由或計(jì)算過程：拓展延伸（3）如圖，在/XABC中，AB=AC,ZBAC=a,點(diǎn)。在邊BA的延長線上，BD=n,連接Of,將線段DE繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角ZEDF=a,連接BF,貝ijBE+B

2、F的值是多少？請用含有”，a的式子直接寫出結(jié)論2. 在ZXABC的邊BC±取、C兩點(diǎn)，使匕AB'B=ZAC'C=ZBAC（1）如圖1中匕BAC為直角,ZBAC=ZAB'B=ZAC'C=90°（點(diǎn)B與點(diǎn)C'重合），則MBCsMBAs/XCAC,舛=°,粉°,進(jìn)而可得AB2+AC2=；B，BABCCAC（2）如圖2中當(dāng)ZBACJ銳角，圖3中ZBAC為鈍角時(shí)（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，則A+AC2等于什么（用含用8C和B'C的式子表示）?并說明理由（3）若在A8C中，曲=5,AC=6,BC=9,請你先判斷出

3、ABC的類型，再求出8C的長如圖1,在RtAABC和RtZCOE中，ZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCDE=45°,點(diǎn)D是線段AB上一動點(diǎn)，連接戰(zhàn)填空：絲的值為；ADBE的度數(shù)為.AD(2) 類比探究如圖2,在RtAABC和RtACDE中，ZACB=ZDCE=9Q°,ZCAB=ZCDE=6Q°,點(diǎn)D是線段AB±一動點(diǎn)，連接BE.請判斷甌的值及ZDBE的度數(shù)，并說明理由；AD(3) 拓展延伸如圖3,在(2)的條件下，將點(diǎn)。改為直線AB±-動點(diǎn)，其余條件不變，取線段DE的中點(diǎn)連接BA/、CM,若AC=2,則當(dāng)CBM是直角三角形時(shí)，

4、線段BE的長是多少？請直接寫出答案.4. (1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖，在ZkABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D是8C的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作正方形DFGE,使點(diǎn)A、C分別在DE和DF上，連接BE、AF.則線段BE和AF數(shù)量關(guān)系.(2) 類比探究：如圖，保持ZVIBC固定不動，將正方形DFGE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)a(0°<aW360°),則(1)中的結(jié)論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由.(3) 解決問題：若BC=DF=2,在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中，連接AE,請直接寫出AE的最大值.GG5. 如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與交于點(diǎn)0,以點(diǎn)。為頂點(diǎn)的/E

5、OF的兩邊分別與邊A8、AD交于點(diǎn)、E、F,且ZE0F與ZBAD互補(bǔ).（1）若四邊形ABCD是正方形，則線段0E與OF有何數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論；（2）若四邊形ABCD是菱形，那么（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請畫出圖形并給出證明；若不成立，請說明理由；（3）若AB：AD=m：n,探索線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.6. 如圖（1）,己知點(diǎn)G在正方形ABCD的對角線AC上，GE±BC,垂足為點(diǎn)E,GFLCD,垂足為點(diǎn)F.（1）證明與推斷： 求證：四邊形CEGF是正方形； 推斷：證的值為：（2）探究：與證明：將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角（0°<

6、a<45°）,如圖（2）所示，試探究線段AG與8E之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：（3）拓展與使用：正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)8,E,F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長CG交于點(diǎn)H.若AG=6,GH=2血,則BC=.7.如圖 1,在ABC 中，AB=AC=2, ZBAC=20°,點(diǎn)。、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，連接DE.定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.探索發(fā)現(xiàn)：若將繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中理的大小有無變化？請僅就圖2BE的情形給出證明.（3）問題解決當(dāng)CDE旋轉(zhuǎn)至A,D,E三點(diǎn)共線時(shí)，直接

7、寫出線段8E的長.8.己知ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線上，且OA=6,點(diǎn)。是射線OM上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。不與點(diǎn)A重合時(shí)，將ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到BCE,連接DE,設(shè)OD=m.（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1,CDE的形狀是三角形.（2）探究證明如圖2,當(dāng)6<m<10時(shí)，的周長是否存在最小值？若存在，求出BZJE周長的最小值；若不存在，請說明理由.（3）解決問題是否存在”?的值，使ADEB是直角三角形？若存在，請直接寫出m的值：若不存在，請說明理由.9. 等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,ZBAC=ZDAE=90°,AB=4,AE=2,其中

8、ABC固定，人DE繞點(diǎn)A作360°旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、F、M、N分別為線段BE、BC、CD的中點(diǎn)，連接"V、NF.問題提出：（1）如圖1,當(dāng)AD在線段AC上時(shí)，則ZMNF的度數(shù)為,線段初V和線段NF的數(shù)量關(guān)系為深入討論：（2）如圖2,當(dāng)AD不在線段AC上時(shí)，請求出/MNF的度數(shù)及線段粉和線段*的數(shù)量關(guān)系；拓展延伸：（3）如圖3,AADE持續(xù)旋轉(zhuǎn)過程中，若CE與BD交點(diǎn)、為P,則BCP面積的最小值為.10. 四邊形是我們在學(xué)習(xí)和生活中常見的圖形，而對角線互相垂直的四邊形也比較常見，比如箏形、菱形、圖1中的四邊形ABCD等.它們給我們的學(xué)習(xí)和生活帶來了很多的樂趣和美感.（1）如圖2,在四

9、邊形ABCD中,AB=A。,CB=CD,則AC與BD的位置關(guān)系是,請說明理由.（2）試探究圖1中四邊形ABCD的兩組對邊AB,CD與BC,AO之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出證明過程.（3）問題解決：如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE的長.11. 問題發(fā)現(xiàn)：如圖（1）在RtAABC和中，ZA=ZDEB=°,BC=BE=6,RtABDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，H為CD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，與AE的位置關(guān)系為，位7與AE的數(shù)量關(guān)系為：問題證明：在RtABDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論

10、是否仍然成立？若成立，清就圖（2）的情形給出證明若不成立，請說明理由；拓展應(yīng)用：在RtABDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)DE/BC時(shí)，請直接寫出BH?的長.12. 如圖1,菱形ABC。與菱形GECF的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)G在對角線AC上，且ZBCD=(1) 問題發(fā)現(xiàn)迪的值為：BE(2) 探究與證明將菱形GECF繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<60°),如圖2所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3) 拓展與使用：菱形GECF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A,G,P三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖3所示連接CG并延長，交AO于點(diǎn)H,若CE=2,GH=福，則AH的長為.1

11、3. 如圖，在RtAABC中，NAC8=90°,匹=旦，CDLAB于點(diǎn)D,點(diǎn)E是直線AC上ACn-動點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)。作FQ丄ED,交直線8C于點(diǎn)F.(1) 探究發(fā)現(xiàn)：如圖1,若m=n,點(diǎn)E在線段AC上，則座=；DF(2) 數(shù)學(xué)思考： 如圖2,若點(diǎn)£在線段AC上，則器=(用含”?，”的代數(shù)式表示)； 當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動時(shí),中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明;(3) 拓展應(yīng)用：若AC=5,BC=2DF=4血,請直接寫出Cf的長.14. 如圖，已知點(diǎn)E是射線BC±.的-點(diǎn)，以BC、CE為邊作正方形ABCD和正方形CEFG,連接AF,取AF的中點(diǎn)連接。

12、M、MG(1) 如圖1,判斷線段和GM的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是：(2) 如圖2,在圖中的正方形CEFG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否成立？說明理由；(3) 已知BC=10,CE=2,正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)A、F、E共線時(shí)，直接寫出DMG的面積.NMd吊互湃旱黒*3=av，鈾魏早冃MH*以V草形3QV駐'痢喪劉財(cái)英）.甲通函菓（乙）EWz孤混干前顯書*/網(wǎng)傾d祠i'軸致回早向州旅混V草蓊夂77"）國斯*BbWS（3）（跋矛関紐勢三搖秒醇）音N&中（I）®*WWW（I）NWWdMd&Q澎凝，草中関D9，Q

13、9勺&耆哈好/WTV草338湃罪V=GV*T3V用U愈丑哈好8'草'+Dgy定勢三終短期*（1）1-91黒皐姓土駐：進(jìn)團(tuán)W啓風(fēng)。用，孫韁東間吊親丑牡辛啓丑姓是耆困叩風(fēng)a應(yīng)佑/県團(tuán)翌蝶崑同丁騎四再関.3D'*。丑陥好。a草県由既盡書埶五（£）羽関Q/瓦舫*'莉草中関4伝物實(shí)草還歷。&勻占/浪'乙圖耶（Z）：聯(lián)鉗仞.VJV7'州號車*旨”宗*1®0?J（I）刁d草土以潟草還暗0，矽'WD夠商"，&'V實(shí)咯好草如快関gV草）。用/傾哥鉆致耳期浙。草5SD8V蛛DV”w舫覃劉g草：K*

14、Z=JV，e=gv*o06=«VZ，市3ffVV»HB'SI17.已知ABC,AB=AC,。為直線BC上一點(diǎn)，E為直線AC上一點(diǎn)，AO=Af,設(shè)ZBAD=a,ZCDE=p,(1) 如圖1,若點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)E在線段AC上.ZABC=60°,ZADE=10°,則。= ° "= (2) 如圖2,若點(diǎn)。在線段BC上，點(diǎn)E在線段AC上，則a,0之間有什么關(guān)系式？說明理由.(3) 是否存在不同于(2)中的a,B之間的關(guān)系式？若存在，請寫出這個關(guān)系式(寫出-種即可)，說明理由；若不存在，清說明理由.圖2(1) 如圖1,在四邊形ABCD

15、中，連接AC、BD,AB=AD,ZBAD=ZBCD=90Q,將ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ADE,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)。，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為三角形,BC、CD、AC的數(shù)點(diǎn)E,可知點(diǎn)C、D、E在一條直線上，則/XACE為.量關(guān)系為探究發(fā)現(xiàn)：如圖2,在。中,AB為直徑，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為圓上一個點(diǎn)，連接AD、CD.AC、BC、BD,且ADV8D,請求出CD、AD、間的數(shù)量關(guān)系.拓展延伸：(3)如圖3,在等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，若AC=13,平面內(nèi)存在點(diǎn)E,且AE=10,CE=13,當(dāng)點(diǎn)Q為AE中點(diǎn)時(shí)，PQ=圖1圖2圖319.已知/XABC中，CA=CB,0

16、6;<ZACB90°,點(diǎn)、M、N分別在邊CA,CB±（不與端點(diǎn)重合），BN=AM,射線AG/BC交延長線于點(diǎn)。，點(diǎn)E在直線AN上，EA=ED.（1）【觀察猜想】如圖1,點(diǎn)E在射線N4上，當(dāng)ZACB=45°時(shí)，線段BM與AN的數(shù)量關(guān)系是：（2）ZBDE的度數(shù)是：（2）探究證明】如圖2點(diǎn)E在射線AN上，當(dāng)NACB=30°時(shí)，判斷并證明線段與AN的數(shù)量關(guān)系，求ZBDE的度數(shù)：（3）拓展延伸】如圖3,點(diǎn)E在直線AN上,當(dāng)ZACB=60°時(shí)，AB=3,點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn)，直線ED與直線交于點(diǎn)F,請直接寫出線段CF的長.20.如圖，在正方形AB

17、CD和正方形AB'CD'中，AB=2,AB，=桓，連接CC'（2）拓展探究：將正方形ABCD'繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為。，連接8B，試判斷：當(dāng)0°W0V360。時(shí)，竺一的值有無變化？請僅就圖中的情形給出你的證明；BB（3）問題解決：請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C,C，”三點(diǎn)共線時(shí)88'的長.21. 如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對角線的中點(diǎn).（1）觀察猜想將圖1中的8CQ繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2中ECF的位置，連接AC,DE,則線段AC與OE的數(shù)量關(guān)系是,直線AC與。E的位置關(guān)系是.（2）類比探究將圖2中的繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，（1

18、）中的結(jié)論是否成立？并說明理由.（3）拓展延伸將圖2中的在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，設(shè)直線AC與DE的交點(diǎn)為M,若AB=4,請直接寫出的最大值與最小值.22. 如圖1,點(diǎn)B在直線/上，過點(diǎn)B構(gòu)建等腰直角三角形ABC,使/8AC=90°,且AB=AC,過點(diǎn)C作CD丄直線/于點(diǎn)。，連接A。.（1）小亮在研究這個圖形時(shí)發(fā)現(xiàn)，ZBAC=ZBDC=90°,點(diǎn)A,。應(yīng)該在以BC為直徑的圓上，則ZADB的度數(shù)為°,將射線AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交直線/于點(diǎn)可求出線段AO,BD,CD的數(shù)量關(guān)系為：（2）小亮將等腰直角三角形ABC繞點(diǎn)B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，線段AO,BD,CD

19、的數(shù)量關(guān)系是否變化，請說明理由；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，若CZ）長為1,當(dāng)A8D面積取得最大值時(shí)，清直接寫A。的長.點(diǎn)A重合，三角板的邊交CD于點(diǎn)、F.另邊交C8的延長線于點(diǎn)G.（2）探究證明：如圖2,移動三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對角線AC上,其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，靖給予證明：若不成立.請說明理由：（3）拓展延伸：如圖3,將（2）中的“正方形ABCD''改為“矩形ABCD且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)其他條件不變，若AB=a.BC=b,求哥的值.24,如圖1,在RtAABC中，ZB=90°,AB=2,BC=1,點(diǎn)D,E分別是邊8C,AC的

20、中點(diǎn)，連接。E.將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.（1）問題發(fā)現(xiàn) 當(dāng)a=0°時(shí)，甌=BD 當(dāng)a=180°時(shí)，業(yè)=BD（2）拓展探究試判斷：當(dāng)。Wa<36。時(shí)，蒂的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明.（3）問題解決當(dāng)EQC旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段的長.25.在中，AD為BC邊上的中線，E為AO上一動點(diǎn)，設(shè)DE=nEA,連接CE并延長,交AB于點(diǎn)F.（1）嘗試探究如圖（1）,當(dāng)ZBAC=90°,ZB=30°,DE=EA時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系是.（2）類比延伸如圖（2）,當(dāng)左ABC為銳角三角形，DE=EAt,（1）中的結(jié)論是否仍然成

21、立？若成立,請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展遷移如圖（3）,當(dāng)/MM為銳角三角形，DE=nEA請直接寫出BF,酗之間的數(shù)量關(guān)系.26. 古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為："-切平面圖形中最美的是圓請研究如下美麗的圓.如圖，線段AB是的直徑，延長A8至點(diǎn)C,使BC=OB,點(diǎn)E是線段08的中點(diǎn)，DE丄交。于點(diǎn)。，點(diǎn)P是00上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），連接CD,PE,PC.（1）求證：CD是。的切線；（2）小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)黑是一個確定的值.回答這個確定的值是多少？并對小PC明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明.27. 定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另-個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱

22、為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角.（1）如圖1,ZE是中ZA的遙望角，若ZA=a,請用含a的代數(shù)式表示NE.（2）如圖2,四邊形ABCD內(nèi)接于。0,金=竊，四邊形ABCD的外角平分線DF交。于點(diǎn)F,連結(jié)BF并延長交CD的延長線于點(diǎn)E.求證：/BEC是ABC中ABAC的遙望角.（3）如圖3,在（2）的條件下，連結(jié)AE,AF,若AC是。的直徑. 求ZAED的度數(shù)； 若AB=8,CD=5,求的面積.EE圖2圖1圖328. 【性質(zhì)探究】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)0,AE平分ABAC,交BC于點(diǎn)E.作DFA.AE于點(diǎn)H,分別交A8,AC于點(diǎn)F,G.（1）判斷AFG的形狀并說明理由.(2

23、) 求證：BF=2OG.【遷移應(yīng)用】記MG。的面積為S，的面積為饑當(dāng)菖虧時(shí)，求當(dāng)勺值.【拓展延伸】（4）若DF交射線AB于點(diǎn)F,【性質(zhì)探究】中的其余條件不變，連結(jié)EF,當(dāng)BEF的面積為矩形ABCD面積的丄時(shí)，請直接寫出tanZBA£的值.29. 如圖，已知AC為正方形ABCD的對角線，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A,B重合的任意一點(diǎn),連接AP,將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,連接AE,BP,CE.(1)求證：APEsABC；當(dāng)線段時(shí)與CE相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為師求黑的值以及的度數(shù)；（3）若正方形ABCD的邊長為3,AP=1,當(dāng)點(diǎn)P,C,E在同一直線上時(shí)，求線段8P的長.30.

24、 如圖1和圖2,在AEC中，AB=AC,BC=8,tanC=旦.點(diǎn)K在AC邊上，點(diǎn)M,N4分別在AB,BC上，且AM=CN=2.點(diǎn)P從點(diǎn)M岀發(fā)沿折線MB-BN勻速移動，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)停止；而點(diǎn)Q在AC邊上隨P移動，且始終保持ZAPQ=ZB.（1）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離；（2）若點(diǎn)P在MB上，且PQ將AABC的面積分成上下4：5兩部分時(shí)，求MP的長；（3）設(shè)點(diǎn)P移動的路程為x,當(dāng)0WX3及3VE9時(shí)，分別求點(diǎn)P到直線AC的距離（用含x的式表示）;（4）在點(diǎn)P處設(shè)計(jì)并安裝-掃描器，按定角ZAPQ掃描APQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點(diǎn)P從M到B再到N共用時(shí)36秒.若AK=g,請直接寫出點(diǎn)

25、K被掃描到的總時(shí)長.4圖1圖2參考答案與試題解析一.解答題（共30小題）1.【解答】解：（1）如圖中,圖VZEAF=ZBAC=90°,.ZBAF=/CAE,'：AF=AE,AB=AC,.ZXBA性CAE,AZABF=ZC,BF=CE,.AB=AC,4AC=90°,/.ZABC=ZC=45°,/.FBE=ZABF+ZABC=9G°,BC=BE+EC=BE+BF,故答案為：BF丄BE,BC.（2）如圖中，作DH”AC交BC于H.'.'DH/AC,.NBOH=NA=90°,OBH是等腰直角三角形,由（1）可知，BF丄BE,BF

26、+BE=BH,'：AB=AC=3,AD=,：.BD=DH=2,BH=2血,.,.BF+BE=BH=2j；(3)如圖中，作DH/AC交BC的延長線于H,作DMLBC于M.'.'AC/DH,：.ZACB=2H,ZBDH=ZBAC=a,'：AB=AC,.ZABC=ZACB.ZDBH=Z/7,：DB=DH,：ZEDF=ZBDH=a,：.ZBDF=ZHDE,：DF=DE,DB=DH,/./XBDF24HDE,：BF=EH,.BF+BE=EH+BE=BH,：DB=DH,DM丄BH,：.BM=MH,ZBDM=ZHDM,2.BF+BE=BH=2nsin.22.【解答】解：（1）

27、如圖1中，XBC,AC2=CCXBC,：.AB2+AC=BC(BB'+CC')=BCXBC=Bd,故答案為BC2.（2）不成立.理由：如圖2中當(dāng)ZBAC為銳角時(shí)，BB'+CC'-B'C=BC,ACAC,ABBCACBC'3BABC，CAC，：.ab2=bb'xbc,ac?=cc'xbc,.'.ab2+ac2=bc(bb+cc')=bEbcb，C'.圖3中ZBAC為鈍角時(shí)，BB'+CC'+B'C=BC.(3)當(dāng)AB=5,AC=6,8C=9H寸，則AB2+AC2<BC2,可知ABC

28、為鈍角三角形,由圖3可知：AB2+AC2=BC2-BC*B'C',.52+62=92-98C,.BC'=翌93.【解答】解：(1)ZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCDE=45°,ZABC=ZCAB=45°=ZCDE=ZCED,：.AC=BC,CD=CE,V ZACB=ZDCf=90°,./ACD=ZBCE,在ACD和/XBCE中，'AC=BC«ZACD=ZBCE*CD=CE：.AACD/BCE(SAS),：.BE=AD,ZCAB=/CBE=45°,：.ZDBE=ZABC+ZCBE=90°

29、;,甌=1,AD故答案為：1,90°(2) ZDBE=90°ADW理由如下：VZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCDE=60°,.ZACD=ZBCE,ZCED=ZABC=30°.tan£48C=tan30°=也=匹BC3V ZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCDE=(°,ARtAACBRtADCE.AC二CD,.bcCE.AC=BC,且/aCD=ZBCECDCE.ACDs/BCEABE_=BC=ZCfi£=ZCAD=60°ADAC.ZDBE=ZABC+ZCBE=90

30、6;(3) 若點(diǎn)D在線段AB±,如圖，'BA,ZABE=90°由（2）知：座n區(qū)AD AC：.BE=yfDVAC=2,ZACB=90°,ZCAB=90°AB=4,BC=2y/3.NECD=ZABE=90。,且點(diǎn)M是。E中點(diǎn),.,.cm=bm=Xde,2CBM是直角三角形：.CM2+BM2=BC2=（23）2,：.BM=CM=yDE=2損：d4+bB=dB,.（4-AD）2+（V3AD）2=24：.AD=y/3+：,BE=D=3+鳳若點(diǎn)D在線段BA延長線上，如圖同理可得：DE=2岳,BE=0D.：B心BB=DB,.(4+AO)2+(VjAD)2=2

31、4,：.AD=2-：,BE=0D=3厄綜上所述：8E的長為3+如或3-頊耳4. 【解答】解：(1)VAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),：.AD=BD=DC,ZBDA=90°,.四邊形OFG”是正方形，：DE=DF,ZEDF=90°,：ZBDE=ZADF=9S,rBD=AD在BDfi和ZVIDF中，.ZBDE=ADF*DE=DF.4BDE#4ADF(SAS),.BE=AF故答案為：BE=AF-,(2)成立；理由如下：當(dāng)正方形OFGE在BC的上方時(shí)，如圖所示，連接AD,.在RtZXABC中，AB=AC,。為斜邊BC的中點(diǎn)，AD=BD,AO丄B

32、C,AZADE+ZEDB=90°,.四邊形DFGE為正方形，：,DE=DF,且Z£DF=90°,AZADE+ZADF=90°,.ZBDE=ZADF,BD=AD在和ZXADF中，ZBDE=ZADF，DE=DF.BDE£AADF(SAS'),：.BE=AFx當(dāng)正方形DFGE在BC的下方時(shí)，連接AD,如圖所示：VZBDE=ZBDF+900,ZADF=ZBDF+900,.ZBDE=ZADF,BD=AD在位比和左ADF中ZBDE=ZADF-DE=DF./XBDEAADF(SAS),：.BE=AF；綜上所述，（1）中的結(jié)論BE=AF成立;(3)在A

33、DE中，'：AE<AD+DE,.當(dāng)點(diǎn)A、D、E共線時(shí)，AE取得最大值，最大值為AD+OE.如圖所示：則A。=丄BC=1,DE=DF=2,2：.AE=AD+DE=3,D圖G即AE的最大值為3.G5. 【解答】解：(1)如圖1,過點(diǎn)。作OMLAB于"ON丄AD于N,OME=ZONF=90°,：.ZBAD+ZMON=SO°,V ZBAD+ZEOF=180°,/MON=AEOF,.IZEOM=/FON,O是正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)，.ZBAO=/DAO,V OMLAB,ON±AD,.OM=ON,：40MEq函NF(AAS)：.OE=O

34、F；(2)(1)的結(jié)論成立：理由：如圖2,過點(diǎn)。作OM±AB于M,ON丄AD于N,：.ZOME=ZONF=90°,AZBAD+ZMON=180°,V ZBAD+ZEOF=180°,./MON=/EOF,.ZEOM=ZFON,：O是菱形ABCD的對角線的交點(diǎn)，.ZBAO=ZDAO,V OMA.AB,ON丄AD,OM=ON,：4OME#&)NF(A4S)：OE=OF；（3）如圖3,過點(diǎn)O作OG±AB于G,OHLAD于H,ZOGE=ZOHF=90°,ZBAD+ZGOH=SQ°,：ZBAD+ZEOF=SO°,ZGO

35、H=/EOF,.EOGs/FOH,.OE一OG,0F_0H，.O是伺ABC。的對角線的交點(diǎn)， s人0B=SzAOD，'Saob=AB'OG,Saod=-AD'OH,22AB*OG=AD'OH, OG_AD=n*0H"ABm'.OE_nOFmAHBD圖3AFND圖16.【解答】解：（1）.四邊形ABCD是正方形，./BCD=90°,ZBCA=45°,：GEGBC、GFYCD,：ZCEG=ZCFG=ZECF=9S,.四邊形CEGF是矩形，ZCGE=ZECG=45°,：.EG=EC,.四邊形CEGF是正方形：由知四邊形C

36、EGF是正方形，/.ZCEG=ZB=90°,ZECG=45°,.箜=也，GE/AB,CE"故答案為：V2：（2）連接CG,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知ZBCE=ZACG=a,在RtACEG和RtZXCBA中，堡=*45。=業(yè)、保=*45。=旺，CG2CA2.箜=堡=亜，CECB.ACGs/XBCE,：.業(yè)=業(yè)=匝,BECB.線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=0E：（3）VZCEF=45°，點(diǎn)8、E、F三點(diǎn)共線，：.ZBEC=135°,ACGsBCE,：.ZAGC=ZBEC=35°,./AGH=/CAH=45°,ZCHA=ZAHG,：.MH

37、GslCHA,.AG=GH=AHACAHCH設(shè)BC=CD=AD=a,則AC=y/2fl,則由甌=絲得2=甌，ACAHV2aAH.ah=2q,3則DH=AD-AH=l-a,CH=栃畫證332_AG=AH#n6=3，*AC而氣7嘉力i，a解得：。=3栃，即BC=M，故答案為：3扼.7.【解答】解：（1）如圖1,連接AE,'：AB=AC=2,點(diǎn)E分別是8C的中點(diǎn)，.LAE丄BC,be=3ZCDE=60° ,AZBEC=90°,.AB=AC=2,ZBAC=120°,AZfi=ZC=30°,在RtAABE中，AE=1-AB=1,根據(jù)勾股定理得,2.點(diǎn)E是8

38、C的中點(diǎn)，：.BC=2BE=2舊,.AB=2=近*BC2a/33'.點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，ad=cd=Xac=i,2.AD_1_V3.麗7T項(xiàng)故答案為：匝，匝；3 3（2）無變化，理由：由（1）知，CD=1,CE=BE=y/3,業(yè)=遮,AC二梔"CEVBCCD二心立,布族項(xiàng)，由（1）知，ZACB=ZDCE=3Q°,.ZACD=ZBCE,.ACZ>s/bcE,AD二AC一扼,菰茂虧，（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AE上時(shí),如圖2,過點(diǎn)C作CFA.AE于F,NCDF=180°/.ZDCF=30°,。尸=丄彼=丄，22CF=V§DF=g,2在RtZX&

39、quot;C中，AC=2,根據(jù)勾股定理得，AF=ac2_cf2AD=AF+DF=+1,2由（2）知，鯉_=2匠，BE3.盹=囪=匝匝2當(dāng)點(diǎn)D在線段AE的延長線上時(shí)，如圖3,過點(diǎn)C作CGA.AD交AD的延長線于G,VZCDG=60a,/.ZDCG=30°,在Rt心中，根據(jù)勾股定理得，S寫,：.AD=AG-腿=依_,_2由（2）知，鮑=23,BE3即：線段BE的長為岳?；驇?圖3EA圖18. 【解答】解：（1）證明：.將人。/）繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AZDCE=60°,DC=EC,AACDE是等邊三角形：故答案為：等邊；（2）存在，當(dāng)6</<10時(shí)

40、，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE=AD,C/sbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，（?£）£是等邊三角形，：.DE=CD,CmnE=CD+4,由垂線段最短可知，當(dāng)CD±AB時(shí)，8OE的周長最小，此時(shí)，CD=2梔，：./BDE的最小周長=CD+4=2岳4：（3）存在，.當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角形，.當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)8重合時(shí)，不符合題意， 當(dāng)0W”?<6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，NABE=60°,ZBDE<60°,ZBED=90°,由（1）可知，CDE是等邊三角形，：.ZDEB=60°,./CE8=30

41、°,：ZCEB=ZCDA,AZCDA=30°,VZCAB=60°,AZACD=ZADC=3G°,：.DA=CA=4,：.OD=OA-DA=6-4=2,/m=2； 當(dāng)6<w<10時(shí)，由ZDBE=20°>90°,.此時(shí)不存在； 當(dāng)川>10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZDBE=60Q,又由（1）知ZCDE=60°,AZBDE=ZCDE+ZBDC=6Q°+ZBDC,而ZBDC>0°,：.ZBDE>60°,.只能ZBDE=90°,從而ZBCD=30°,：.

42、BD=BC=4,.OD=14,ni=14,綜上所述：當(dāng)m=2或14時(shí)，以。、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.9. 【解答】解：（1）如圖1中，連接D&MF,CE,延長BD交EC于H.'：AC=AB,AE=AD,ZBAD=ZCAE=9Q°,.BAO&CAf(SAS),BD=EC,ZACE=ZABD,VZABD+ZADB=90°,/ADB=/CDH,：.ZADH+ZDCH=9Q°,A90°,：.ECLBH,：.MF/EC,MF=EC,2：CM=MB,CN=ND,：MN”BD,MN=、BD,2：MN=MF,MN丄MF,/.ZWF=90

43、°,：.ZMNF=45°,NF=y!N.故答案為：45°(2)：如圖2中，連接MF,EC,BD.設(shè)EC交AB于O,BD交EC于H.'：AC=AB,AE=AD,ZBAD=ZCAE=9Q°,：.ZBAD=ZCAE,.BAO竺CAE(SAS),：.BD=EC,ZACE=ZABD,VZAOC+ZACO=90°,ZAOC=ZBOH,ZOBH+ZBOH=9Q°,.ZBHO=90°,：EC丄BD,：BM=MC,BF=FE,：.MF/EC,MF=，EC,2：MN”BD,MN=BD,2：.MN=MF,MNA.MF,：ZNMF=90&#

44、176;,.ZMNF=45°,NF=yJ2MN.(3)：如圖3中，如圖以A為圓心AD為半徑作OA.當(dāng)直線所與。A相切時(shí)，此時(shí)ZCBP的值最小，點(diǎn)P到BC的距離最小，即BCP的面積最小，'：AD=AE,AB=AC,ZBAC=ZDAE=9G°,.ZBAD=ZCAE,：.ABADCAE(SAS),/.ZACE=ZABD,BD=EC,'：ZABD+ZAOB=90°,ZAOB=ZCPO,：ZCPB=9甘,.P8是OA的切線，./ADP=90°,VZDPE=ZADP=ZDAE=90°,.四邊形ADPE是矩形，'：AE=AD,.四邊形

45、ADPE是正方形，AD=AE=PD=PE=2,BD=EC=yJ-22=：PC=2舊fPB=2+2西SCP的最小憤=*XPCXPB=g(23-2)(2岳2)=4.10. 【解答】(1)解：ACLBD,理由如下：連接AC、BD,如圖2所示：'AB=AD,.點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，.：CB=CD,.點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，.直線AC是線段BD的垂直平分線，：.ACLBD,故答案為：AC丄B。；(2) 解：AD2+BC2=AB2+CD2；理由如下：如圖1,已知四邊形A8C。中，AC丄位)，設(shè)B。、AC相交于E,AC丄BD,：ZAED=ZAEB=£BEC=ZCED=90&#

46、176;,由勾股定理得，Afi2+CD2=AE2+fi£2+CE2+D£2,：.AD2+BC2=AB2+CD2；(3) 解：如圖3,連接CG、BE,.四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形，：.AC=AG,AB=AE,ZCAG=ZBAE=9Q°,.ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,<AG=AC在ZiGAB和ZkCAE中，ZGAB=ZCAE，AB=AE：./XGAB/XCAE(SAS),.ZABG=ZAEC,又ZAEC+ZAME=90°,/.ZABG+ZAME=90°,即CE丄BG,由（2）得，CG2+BE2=C

47、B2+GE2,在RlZSABC中，AC=4,AB=5,根據(jù)勾股定理得，BC2=52-42=9,CG和BE分別是正方形ACFG和正方形ABDG的對角線，ACG2=42+42=32,82=52+52=50,：.GE1=CG2+BE1-CB2=32+50-9=73,11. 【解答】解：問題發(fā)現(xiàn)：如圖1中，結(jié)論：AE=20H,AE丄BH.A圖1理由：在RtAABC中，,：BC=6,ZA=30°：.AE=2BC=2,在RtACDB中，VZDCS=30°,：CD=嗚=用cos30CH=DH,BH=XcD=2必,2：AE=2yBH.故答案為AE丄BH,AE=2妗H.E理由：延長BH到F使

48、得HF=BH,連接CF.設(shè)AE交BF于O.VCH=DH,BH=HF,ZCHF=ZBHD,(SAS),：BD=CF,ZF=DBH,：CF”BD,：AB=0C,BE=0D,：,BE=0F,.里=亜=艷，BCCFV,：CF”BD,AZBCF+ZCBD=SO°,ZABC+ZDBE=ZABD+ZCBD+ZCBD+ZCBE=ZCBD+ZABE=180°.ZBCF=/ABE,.專BEs/BCF,：ZCBF=ZBAE,壁_=坐=/,BFBCv：.AE=/3BF=2yfBH,：ZCBF+ZABF=90°,/.ZABF+ZBAE=90°,.NAOB=90°,：.B

49、HLAE.拓展應(yīng)用：如圖31中，當(dāng)DE在的下方時(shí)，延長AB交DE于F.ADF圖3-1'：DE/BCAZABC=ZBFD=90°,由題意BC=BE=6,AB=63,BD=2舊,DE=4如,丄BDBE=丄DEBF,22：.EF=0F=3舊,AF=6a/"§+3,：.AE2=AF2+EF2=(63+3)2+(33)2=144+3戒.：AE=2BH,.準(zhǔn)2=12揷，：餌呼=2+3匝如圖32中，當(dāng)OE在BC的上方時(shí)，同法可得AF=6舊-3,EF=3舊,A12. 【解答】解：(1)如圖1中，作EH丄CG于H.圖1.四邊形ECFG是菱形，NECF=60°,5頁

50、=¥吋=3。，EC=EG,'：EH±CG,：.GH=CG,匝2二S30CHCE co2* = -CH-CECG-CE,：EG”CD,AB/CD,：.GE/AB,.善=絲=歸BECE故答案為據(jù).(2)結(jié)論：AG=0E.理由：如圖2中，連接CG.D四邊形ABCD,四邊形/CFG都是菱形，ZECF=ZDCB=60°,ZECG=ZEGC=ZBCA=ZBAC=3N,ECGsbcE,BC=ACECCGZECB=ZGCA,ECBs/GCA,AG=GC=fZBEECAG=0E.（3）如圖3中,VZAG/7=ZCGF=3O°.ZAGH=ZGAC+ZGCA,又VZD

51、AC=ZHAG+ZGAC=30°,.ZHAG=ZACH,ZAHG=/AHC,./MGsMCA,：-HA：HC=GH：HA,：Atf=HGHC,FC=2,CG=/3CF,GC=2歸,：hg=N：,A#=HG,HC=43舊=9,：.AH=3.故答案為3.13. 【解答】解：(1)當(dāng)”=“時(shí)，即：BC=AC,.NACB=90°,.NA+NABC=90°,CD丄AB,：.ZDCB+ZABC=90°,.ZA=ZDCB,'：AFDE=ZADC=90°,.ZFDE-ZCDE=ZADC-ZCDE,即/ADE=ZCDF,./ADEs/CDF,.DEAD.

52、=，DFDCVZA=ZDCB,ZADC=ZBDC=90°,.AADCACDB, ADAC_. =,DCBC.爬=1DF(2).NACB=90°,AZA+ZABC=90°,.CD丄AB,：.ZDCB+ZABC=9Q°,.ZA=ZDCB,'：AFDE=ZADC=90°,：.ZFDE-ZCDE=/ADC-ZCDE,即ZADE=ZCDF,.AADEACDF,DEAD.=，DFDCVZA=ZDCB,ZADC=ZBDC=9GO.ADCsCDB, ADACn.二=：,DCBCmDEn =DFm成立.如圖，EV ZACB=90°,AZA+ZA

53、BC=90°,又.CD丄AB,：.ZDCB+ZABC=90°,.ZA=ZDCB,V ZFDE=ZADC=90°,.ZFDE+ZCDE=ZADC+ZCDE,即/ADE=ZCDF,.MDEsCDF, DEAD.=，DFDCVZA=ZDCB,ZADC=ZBDC=90°.AADCACDB, ADACn.=,DCBCinDEn.=.DFm(3)由(2)有，4ADEs4CDF,.DEAC_1 =，DFBC2.AD_AE_DE_1*CDCFDF2*：.CF=2AE,在RtADEF中，DE=2知DF=4y,EF=2血，當(dāng)E在線段AC上時(shí)，在RtACEF中，CF=2AE=

54、2（AC-CE）=2（嫗-CE）,EF=2血,根據(jù)勾股定理得，CECFEF2,.*+2（V5-CE）2=40CE=2據(jù)，或。£=-絲低（舍）5而AC=g<CE,.此種情況不存在， 當(dāng)E在AC延長線上時(shí)，在RtACEF中，CF=2AE=2（AC+CE）=2（訴+CE）,EF=2,根據(jù)勾股定理得，ce'cSef2,：.CE2+2（梔+CE）2=40,.0=/1,或竟=-2據(jù)（舍），5 如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在CA延長線上時(shí)，CF=2AE=2CCE-AC）=2（CE-訴）,EF=2yj,根據(jù)勾股定理得，CE1+CF1=EF2,.*+2（CE-V5>2=40,.C£=2

55、據(jù)，或CE=-（舍）5即：CE=2yfCE=奨旦.514.【解答】解：（1）如圖1,延長GM交A。于H,.：AD”GF,：ZGFM=ZHAM,在FMG和AMH中，ZGFM=ZHAN-FM=AM，ZFMG=ZAHH(ASA),：.HM=GM,AH=FG,'：AD=CD,AH=FG=CG,：,DH=DG,VZHDG=90°,HM=GM,：.DM=MG,DMLMG,故答案為DM=MG,DMVMG.(2)結(jié)論成立：DM=MG,DM丄MG,理由：如圖2中，延長GM使得MH=GM,連接AH、DH、DG,延長AD交GF的延長線于N,交CD于。.圖2'：AM=MF,ZAMH=ZFMG,MH=MG,.AMH竺FA/G(SAS),：.AH=GF=CG,ZAHM=ZFGM,：.AH/GN,.ZHAD=/N,ZODN=Z0GC=9D°,ZDON=ZGOC,./N=ZOCG,2HAD=2DCG,：AH=CG,AD=CD,/.A/MDAGCD(SAS),：.DH=DG,ZHDA=ZCDG,/.ZHDG=ZADC=90°,.AHDG是等腰直角三角形，：.DMLGH,DM=MH=MG