九十五學(xué)年度指定科目考試試題數(shù)學(xué)甲

1、九十五學(xué)年度指定科目考試試題數(shù)學(xué)甲第壹部分：選擇題(單選題、多選題及選填題共佔(zhàn)77分)一、單選題（18%）說明：第1至3題為單選題，每題選出一個(gè)最適當(dāng)?shù)倪x項(xiàng)，劃記在答案卡之解答欄。每題答對(duì)得6分，答錯(cuò)或劃記多於一個(gè)選項(xiàng)者倒扣1.5分，倒扣到本大題之實(shí)得分?jǐn)?shù)為零為止。未作答者，不給分亦不倒扣分?jǐn)?shù)。1. 試問方程式有幾個(gè)相異實(shí)數(shù)解？(1)0 個(gè)(2)1 個(gè)(3)2 個(gè)(4)3 個(gè)(5)6 個(gè)【答案】 (1) 【出處】數(shù)學(xué)甲下冊(cè)極限的應(yīng)用?！灸繕?biāo)】能利用微分來判別函數(shù)的增減性。【解析】設(shè) , 令,+ 圖形與軸無交點(diǎn)無實(shí)根，故選(1)。2. 在坐標(biāo)平面上，設(shè)為圖形上的一點(diǎn)。若的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的位置在(1

2、)第一象限(2)第二象限(3)第三象限(4)第四象限(5)坐標(biāo)軸上【答案】 (4) 【出處】第二冊(cè)指數(shù)與對(duì)數(shù)?！灸繕?biāo)】能比較對(duì)數(shù)值的大小?！窘馕觥?1)點(diǎn)坐標(biāo). (2)點(diǎn)坐標(biāo) =2+ . 點(diǎn)在第四象限，故選(4)。3. 在坐標(biāo)平面上給定兩點(diǎn) A(1,3)與 B(5,6 )?？紤]坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集合之面積為10且周長(zhǎng)為，則(1)S 為空集合(2)S 恰含 2 個(gè)點(diǎn)(3)S 恰含 4 個(gè)點(diǎn)(4)S 為兩線段之聯(lián)集(5)S 為兩直線之聯(lián)集 【答案】 (3) 【出處】第四冊(cè)圓錐曲線?！灸繕?biāo)】了解橢圓的定義與直線間的關(guān)係。【解析】. (1)滿足周長(zhǎng)為15之點(diǎn)P在以為焦點(diǎn),之橢圓上。 (2)若又要滿足面積為

3、10, 表示之高須為4。 (3), 。(4)如下圖所示，P有4個(gè)，故選(3)。二、多選題（24%）說明：第 4 至 6 題，每題各有5個(gè)選項(xiàng)，其中至少有一個(gè)是正確的。選出正確 選項(xiàng)，劃記在答案卡之解答欄。每題8分，各選項(xiàng)獨(dú)立計(jì)分，每答對(duì) 一個(gè)選項(xiàng)，可得1.6分，每答錯(cuò)一個(gè)選項(xiàng)，倒扣1.6分，完全答對(duì)得8分；整題未作答者，不給分亦不倒扣分?jǐn)?shù)。在備答選項(xiàng)以外之區(qū)域劃記，一律倒扣1.6分。倒扣到本大題之實(shí)得分?jǐn)?shù)為零為止。4. 擲一枚均勻硬幣 4 次，恰好出現(xiàn) n 次正面的機(jī)率記為 ；擲一枚均勻硬幣 8 次，恰好出現(xiàn) n 次正面的機(jī)率記為 。試問以下哪些選項(xiàng)是正確的？(1)(2)(3)(4)(5)中的

4、最大值是 【答案】 (3)(4)(5) 【出處】數(shù)學(xué)甲上冊(cè)機(jī)率與統(tǒng)計(jì)II?！灸繕?biāo)】了解重複試驗(yàn)機(jī)率的分布情形?！窘馕觥? . (1). (2). (3). (4), , . (5)中位數(shù)具有最大值，故選(3)(4)(5)。5. 在坐標(biāo)平面上以 表示拋物線的圖形。試問以下哪些方程式的圖形可以由 經(jīng)適當(dāng)?shù)钠揭苹蛐D(zhuǎn)得到？(1)(2)(3)(4)(5) 【答案】 (2)(3)(4) 【出處】數(shù)學(xué)甲上冊(cè)平面上的坐標(biāo)變換?！灸繕?biāo)】能將二元二次方程式標(biāo)準(zhǔn)化?！窘馕觥块_口大小不同，不可。 (2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)即可。 (3)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)即可。 (4), 向左平移2單位，向下平移1單位即可。 (5) . ，. , .

5、 , 不可。6. 考慮多項(xiàng)式函數(shù)，試問以下哪些選項(xiàng)是正確的？(1)(為正整數(shù))；(2)；(3)函數(shù)在區(qū)間遞增；(4)若，則；(5)在坐標(biāo)平面上的圖形與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)?！敬鸢浮?(2)(4)(5) 【出處】數(shù)學(xué)甲下冊(cè)極限的應(yīng)用?！灸繕?biāo)】了解微分的定義與在函數(shù)增減性上的應(yīng)用?！窘馕觥? (1)分子分母之係數(shù)比. (2). (3)(4)(5)：0130+0+故選(2)(4)(5)。三、選填題（35%）說明：第A至E題為選填題，劃記在答案卡上之解答欄內(nèi)，每題選出一個(gè)最適當(dāng)?shù)倪x項(xiàng)，劃記在答案卡之解答欄內(nèi)。每題完全答對(duì)得7分，答錯(cuò)不倒扣；未完全答對(duì)不給分。A. 設(shè),為兩非零向量。以表之長(zhǎng)度，若，且表與

6、之夾角，則。(化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù))【答案】【出處】第三冊(cè)平面向量?！灸繕?biāo)】了解向量的長(zhǎng)度與內(nèi)積的轉(zhuǎn)換?！窘馕觥?, 將代入得 , .B. 在坐標(biāo)空間中，球面交平面於一半徑為、圓心為(2, 3, 0)的圓，且通過點(diǎn)(6, 6, 6)，則的半徑為?！敬鸢浮俊境鎏帯康谌齼?cè)圓與球?！灸繕?biāo)】了解球面與平面的關(guān)係?！窘馕觥咳缦聢D所示，設(shè)球心坐標(biāo)， , , 故.C. 設(shè)實(shí)係數(shù)二階方陣滿足。若，則,?！敬鸢浮俊境鎏帯繑?shù)學(xué)甲上冊(cè)矩陣?！灸繕?biāo)】了解矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)則。【解析】 = (可逆) , .D. 不透明箱內(nèi)有編號(hào)分別為 1 至 9 的九個(gè)球，每次隨機(jī)取出一個(gè)，記錄其編號(hào)後放回箱內(nèi)；以表示前次取球的編號(hào)之總和為偶數(shù)

7、的機(jī)率。已知存在常數(shù)使得對(duì)任意正整數(shù)都成立，則，。(化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù))【答案】【出處】數(shù)學(xué)甲上冊(cè)機(jī)率與統(tǒng)計(jì)II。【目標(biāo)】能計(jì)算出重複試驗(yàn)的機(jī)率並且找出遞迴關(guān)係式?！窘馕觥?1), , 2奇 2偶 , 2奇1偶 3偶(2)由知： ， 可解得.E. 以表坐標(biāo)平面的原點(diǎn)。給定一點(diǎn)，而點(diǎn)在正軸上變動(dòng)。若表長(zhǎng)，則中兩邊長(zhǎng)比值的最大值為。(化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù))【答案】【出處】數(shù)學(xué)甲下冊(cè)極限的應(yīng)用?！灸繕?biāo)】能利用微分來處理極值問題?！窘馕觥?1)設(shè). (2). (3)令.+當(dāng)時(shí)，有最大值.第貳部分：非選擇題（佔(zhàn)23分）說明：本大題共有二題計(jì)算證明題，答案務(wù)必寫在答案卷上，並於題號(hào)欄標(biāo)明題 號(hào)（一、二），與子題號(hào)（(1

8、)、(2)、(3)）同時(shí)必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標(biāo)於題前。一. (1) (3分) 將 48510 分解成質(zhì)因數(shù)的乘積。 (2) (7分) 寫出在 1 和 250 之間且與 48510 互質(zhì)的所有合數(shù)(合數(shù)就是比 1 大而不是質(zhì)數(shù)的整數(shù))?！敬鸢浮俊境鎏帯康谝粌?cè)數(shù)與坐標(biāo)系。【目標(biāo)】了解兩數(shù)互質(zhì)的意義與質(zhì)數(shù)的概念?！窘馕觥?1). (2)設(shè)所求合數(shù)為， 與互質(zhì)， 不可為之倍數(shù)， 又為合數(shù)， 為大於11之質(zhì)數(shù)的乘積，即 . .，不合。，不合。 故所求為.二. 傳說中孫悟空的如意金箍棒是由定海神針變形得來的。這定海神針在變形時(shí)永遠(yuǎn)保持為圓柱體，其底圓半徑原為 12 公分且以每秒 1 公分的等速率縮短，而長(zhǎng)度以每秒 20 公分的等速率增長(zhǎng)。已知神針之底圓半徑只能從 12 公分縮到 4 公分為止，且知在這段變形過程中，當(dāng)?shù)讏A半徑為 10 公分時(shí)其體積最大。(1) (2分) 試問神針在變形開始幾秒時(shí)其體積最大？(2) (6分) 試求定海神針原來的長(zhǎng)度。(3) (5分) 假設(shè)孫悟空將神針體積最小時(shí)定形成金箍棒，試求金箍棒的長(zhǎng)度?！敬鸢浮?1)2(2)60(3)220【出處】數(shù)學(xué)甲下冊(cè)極限的應(yīng)用?！灸繕?biāo)】能利用微分來處理極值問題?！窘馕觥?1). (2)令原長(zhǎng)度為公分， 設(shè)七秒後，