高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、考點(diǎn)21 數(shù)列的綜合應(yīng)用【高考再現(xiàn)】熱點(diǎn)一、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用1（2012年高考（陜西理）設(shè)的公比不為1的等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的公比;(2)證明:對(duì)任意,成等差數(shù)列.2（2012年高考（福建文）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中,的前10項(xiàng)和.()求和;()現(xiàn)分別從和的前3項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng),寫(xiě)出相應(yīng)的基本事件,并求這兩項(xiàng)的值相等的概率.3（2012年高考（天津文）(本題滿分13分)已知是等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,是等比數(shù)列,且.(I)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(II)記()證明:.4（2012年高考（湖北文）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為,前三項(xiàng)的積為.(1)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2、(2)若成等比數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和.5（2012年高考（天津理）已知是等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,是等比數(shù)列,且=,.()求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;()記,證明.【方法總結(jié)】對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題的分析，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和；分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法熱點(diǎn)二、數(shù)列與其他章節(jié)知識(shí)的綜合應(yīng)用1（2012年高考（四川文）設(shè)函數(shù),是公差不為0的等差數(shù)列,則（）A0B7C14D21.2（2012年高考（上海文）若,則在中,正數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A16.B72.C86.D100.3（2012年高考（湖北文）定義在上的函數(shù),如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列仍是等比數(shù)列,則稱為

3、“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù):;.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為（）ABCD.【答案】C 【解析】設(shè)數(shù)列的公比為.對(duì)于,是常數(shù),故符合條件;對(duì)于,不是常數(shù),故不符合條件;對(duì)于,是常數(shù),故符合條件;對(duì)于, ,不是常數(shù),故不符合條件.由“保等比數(shù)列函數(shù)”的定義知應(yīng)選C.4（2012年高考（福建文）數(shù)列的通項(xiàng)公式,其前項(xiàng)和為,則等于（）A1006B2012 C503D05（2012年高考（北京文）某棵果樹(shù)前年得總產(chǎn)量與之間的關(guān)系如圖所示,從目前記錄的結(jié)果看,前年的年平均產(chǎn)量最高,的值為（）A5B7C9D11 【答案】C【解析】由圖可知6,7,8,9這幾年增長(zhǎng)最快,超過(guò)平均值,所以

4、應(yīng)該加入,因此選C.6（2012年高考（上海文）已知.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足,.若,則的值是_.7（2012年高考（四川文）已知為正實(shí)數(shù),為自然數(shù),拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn),設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距.()用和表示;()求對(duì)所有都有成立的的最小值;()當(dāng)時(shí),比較與的大小,并說(shuō)明理由.8（2012年高考（湖南文）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元,將其投入生產(chǎn),到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始,每年年底上繳資金d萬(wàn)元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金

5、為an萬(wàn)元.()用d表示a1,a2,并寫(xiě)出與an的關(guān)系式;()若公司希望經(jīng)過(guò)m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元,試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示).9（2012年高考（四川理）已知為正實(shí)數(shù),為自然數(shù),拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn),設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距.()用和表示;()求對(duì)所有都有成立的的最小值;()當(dāng)時(shí),比較與的大小,并說(shuō)明理由.10（2012年高考（上海理）對(duì)于數(shù)集,其中,定義向量集. 若對(duì)于任意,存在,使得,則稱X具有性質(zhì)P. 例如具有性質(zhì)P.(1)若x>2,且,求x的值;(2)若X具有性質(zhì)P,求證:1ÎX,且當(dāng)xn>1時(shí),x1=1;(3)

6、若X具有性質(zhì)P,且x1=1, x2=q(q為常數(shù)),求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.11（2012年高考（大綱理）函數(shù).定義數(shù)列如下:是過(guò)兩點(diǎn)的直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)證明:;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【方法總結(jié)】1解決此類(lèi)問(wèn)題要抓住一個(gè)中心函數(shù)，兩個(gè)密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列問(wèn)題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理2從近幾年新課標(biāo)高考試題可以看出，不同省市的高考對(duì)該內(nèi)容要求的不盡相同，考生復(fù)習(xí)時(shí)注意把握數(shù)列與解析幾何交匯問(wèn)題主要是解析幾何中的點(diǎn)列問(wèn)題，關(guān)鍵是充分利用解析幾何的有關(guān)性質(zhì)、公式，建立

7、數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后借助數(shù)列的知識(shí)加以解決【考點(diǎn)剖析】一明確要求1熟練把握等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算2掌握隱藏在數(shù)列概念和解題方法中的數(shù)學(xué)思想，如“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類(lèi)討論”、“等價(jià)轉(zhuǎn)化”等3注意總結(jié)相關(guān)的數(shù)列模型以及建立模型的方法二命題方向1考查數(shù)列的函數(shù)性及與方程、不等式、解析幾何相結(jié)合的數(shù)列綜合題2考查運(yùn)用數(shù)列知識(shí)解決數(shù)列綜合題及實(shí)際應(yīng)用題的能力三規(guī)律總結(jié)基礎(chǔ)梳理1等比數(shù)列與等差數(shù)列比較表不同點(diǎn)相同點(diǎn)等差數(shù)列(1)強(qiáng)調(diào)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前項(xiàng)的差；(2)a1和d可以為零；(3)等差中項(xiàng)唯一(1)都強(qiáng)調(diào)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前項(xiàng)的關(guān)系；(2)結(jié)果都必須是同一個(gè)常數(shù)；(3)數(shù)列都

8、可由a1，d或a1，q確定等比數(shù)列(1)強(qiáng)調(diào)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前項(xiàng)的比；(2)a1與q均不為零；(3)等比中項(xiàng)有兩個(gè)值2.解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟(1)審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意(2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么(3)求解求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解(4)還原將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問(wèn)題中3數(shù)列應(yīng)用題常見(jiàn)模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩

9、項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化時(shí)，應(yīng)考慮是an與an1的遞推關(guān)系，還是Sn與Sn1之間的遞推關(guān)系一條主線數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無(wú)形中加大了綜合的力度解決此類(lèi)題目，必須對(duì)蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解 兩個(gè)提醒(1)對(duì)等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)要有深刻的理解，有些數(shù)列題目條件已指明是等差(或等比)數(shù)列，但有的數(shù)列并沒(méi)有指明，可以通過(guò)分析，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后應(yīng)用等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題(2)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，故數(shù)列有著許多函數(shù)的性質(zhì)等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最基本、最常見(jiàn)的數(shù)列，它們是研究數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ)，它們

10、與函數(shù)、方程、不等式、三角等內(nèi)容有著廣泛的聯(lián)系，等差數(shù)列和等比數(shù)列在實(shí)際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，隨著高考對(duì)能力要求的進(jìn)一步增加，這一部分內(nèi)容也將受到越來(lái)越多的關(guān)注三種思想(1)數(shù)列與函數(shù)方程相結(jié)合時(shí)主要考查函數(shù)的思想及函數(shù)的性質(zhì)(多為單調(diào)性)(2)數(shù)列與不等式結(jié)合時(shí)需注意放縮(3)數(shù)列與解析幾何結(jié)合時(shí)要注意遞推思想【基礎(chǔ)練習(xí)】1（經(jīng)典習(xí)題）某學(xué)校高一、高二、高三共計(jì)2 460名學(xué)生，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)剛好成等差數(shù)列，則該校高二年級(jí)的人數(shù)是()A800B820C840 D8602(教材習(xí)題改編)有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和100

11、個(gè)這樣的病毒(假設(shè)病毒不繁殖)，問(wèn)細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要 ()A6秒鐘 B7秒鐘C8秒鐘 D9秒鐘3（經(jīng)典習(xí)題）若a，b，c成等比數(shù)列，則函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D不能確定【解析】：由題意b2ac(ac0)，b24ac3b20.【答案】： A4（經(jīng)典習(xí)題）5·12汶川大地震后，山東天成書(shū)業(yè)公司于2008年8月向北川中學(xué)捐贈(zèng)三維設(shè)計(jì)系列叢書(shū)三萬(wàn)冊(cè)，計(jì)劃以后每年比上一年多捐5 000冊(cè)，則截至到2012年，這5年共捐_萬(wàn)冊(cè)【解析】：由題意知a13，d0.5S53×5×0.520.【答案】205（經(jīng)典習(xí)題）一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角成

12、等差數(shù)列，其中最小的內(nèi)角為，公差為，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)6(人教A版教材習(xí)題改編)已知等差數(shù)列an的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2的值為()A4 B6 C8 D10【解析】由題意知：aa1a4.則(a22)2(a22)(a24)，解得：a26.【答案】B7（經(jīng)典習(xí)題）已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，且a6b7，則有()Aa3a9b4b10Ba3a9b4b10Ca3a9b4b10Da3a9與b4b10的大小關(guān)系不確定8（經(jīng)典習(xí)題）若互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，c，a，b成等比數(shù)列，且a3bc10，則a()A4 B2 C2 D4【名校模擬】一基礎(chǔ)

13、扎實(shí)1(2012云南省第一次高中畢業(yè)生統(tǒng)一檢測(cè)復(fù)習(xí)文)已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，與的等差中項(xiàng)等于15. 如果，那么（A）（B）（C）（D）2(2012年云南省第一次統(tǒng)一檢測(cè)理)在等比數(shù)列中，與的等差中項(xiàng)等于，. 如果設(shè)的前項(xiàng)和為，那么（A）（B）（C）（D）【解析】：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知得，化簡(jiǎn)得，解得. .選（D）.3(湖北武漢2012畢業(yè)生五月供題訓(xùn)練（三）文)一個(gè)樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個(gè)公差不為O的等差數(shù)列，若a3 =8，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是A13 ,12 B13 ,13 C12 ,13 D13 ,144(仙桃市2012年五月高考

14、仿真模擬試題文)已知，若等差數(shù)列的第5項(xiàng)的值為，則。 【答案】：4【解析】：5(2012北京海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)理)（本小題滿分13分）已知公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列. （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）求數(shù)列的前項(xiàng)和公式.6(2012年石家莊市高中畢業(yè)班第二次模擬考試文) (本小題滿分12分）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2, S1 2S2 3S3成等差數(shù)列.(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(II )數(shù)列是首項(xiàng)為-6，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.7(山西省2012年高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練理)（本小題滿分12分）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，成等比數(shù)

15、列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】：8(江西省2012屆十所重點(diǎn)中學(xué)第二次聯(lián)考文)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.9(成都市2012屆高中畢業(yè)班第二次診斷性檢測(cè)文) (本小題滿分12分）巳知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列bn滿足，(I)證明：數(shù)列an為等比數(shù)列；(II)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(III)記，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，比較2Tn與的大小.10(湖北省武漢市2012屆高中畢業(yè)生五月供題訓(xùn)練（二）理)（本小題滿分12分）在數(shù)列中，（c為常數(shù)，），又成公比不為l的等比數(shù)列（I）求證

16、：為等差數(shù)列，并求c的值；（）設(shè)滿足，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和11(湖北八校文2012屆高三第二次聯(lián)考)（本題滿分12分）已知公差不為0的等差數(shù)列的前3項(xiàng)和9，且成等比數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值。二能力拔高 1. (北京市東城區(qū)2011-2012學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）理)定義：，已知數(shù)列滿足：，若對(duì)任意正整數(shù)，都有成立，則的值為( )（A） （B） （C） （D）2. （湖北襄陽(yáng)五中2012高三年級(jí)第二次適應(yīng)性考試文）已知函數(shù),把方程的根按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A B CD3. (北京市西

17、城區(qū)2012屆高三下學(xué)期二模試卷文)（本小題滿分13分）在等差數(shù)列中，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求的前項(xiàng)和4. (2012年石家莊市高中畢業(yè)班第二次模擬考試?yán)? (本小題滿分12分）已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S4、S10、S7成等差數(shù)列.(I )求證而a3,a9,a6成等差數(shù)列；(II)若a1=1，求數(shù)列Wa3n的前n項(xiàng)的積5. （2012年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二)文）(本小題滿分12分) 已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，=1，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的第1 項(xiàng)、第3項(xiàng)、第5項(xiàng)分別是、 (I)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式； ()求數(shù)列的前項(xiàng)和6. (2

18、012年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二) 理) (本小題滿分12分) 已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，=1，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的第1 項(xiàng)、第3項(xiàng)、第5項(xiàng)分別是、 (I)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式； ()求數(shù)列的前項(xiàng)和7(2012年高三教學(xué)測(cè)試（二）理)（本題滿分14分）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，()，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，數(shù)列的前和為，若恒成立，求常數(shù)的取值范圍8（長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)2012屆第三次模擬理）(本小題12分)已知四個(gè)正實(shí)數(shù)前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，第一個(gè)與第三個(gè)的和為8，第二個(gè)與第四個(gè)的積為36. ()

19、求此四數(shù)； （）若前三數(shù)為等差數(shù)列的前三項(xiàng)，后三數(shù)為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和9（四川成都2012高三第二次診斷性檢測(cè)理）(本小題滿分12分）已知數(shù)列an和bn，b1=1，且，記.(I)證明：數(shù)列an為等比數(shù)列；(II)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(III)記，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若恒成立，求k的最大值.【解析】10（湖北省黃岡中學(xué)2012屆高三五月模擬考試?yán)恚?本小題滿分12分) 已知等差數(shù)列數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比是，且滿足：.（）求與；（）設(shè)，若滿足：對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.11(湖北武漢2012畢業(yè)生五月供題訓(xùn)練（三）文)（奉小題滿分12分）某

20、同學(xué)在暑假的勤工儉學(xué)活動(dòng)中，幫助某公司推銷(xiāo)一種產(chǎn)品，每推銷(xiāo)1件產(chǎn)品可獲利潤(rùn)4元，第1天他推銷(xiāo)了12件，之后加強(qiáng)了宣傳，從第2天起，每天比前一天多推銷(xiāo)3件問(wèn)：（I）該同學(xué)第6天的獲利是多少元？（）該同學(xué)參加這次活動(dòng)的時(shí)間至少達(dá)到多少天，所獲得的總利潤(rùn)才能不少于1020元？三提升自我1. (江西省2012屆十所重點(diǎn)中學(xué)第二次聯(lián)考文)九章算術(shù)“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為(B)A1升 B.升 C.升 D. 升2. (襄陽(yáng)五中高三年級(jí)第一次適應(yīng)性考試?yán)?已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，數(shù)列滿足，且，（其中

21、為的前項(xiàng)和）。則( )A B CD3. (浙江省2012屆重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第二學(xué)期4月聯(lián)考試題理 )對(duì)正整數(shù)，設(shè)曲線在處的切線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和的公式是_4. （海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)文）（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且成等比數(shù)列. （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和公式.5.（懷化2012高三第三次模擬考試文）（本小題滿分13分） 6(浙江省2012屆浙南、浙北部分學(xué)校高三第二學(xué)期3月聯(lián)考試題理)（本小題滿分14分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),數(shù)列的前項(xiàng)和為,點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及的最大值；（）令,其中,求的前項(xiàng)和7（山東省泰安市2012屆高三第一次模擬考試文）（本小題滿分12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足數(shù)列的前n項(xiàng)和是Tn，且（1）求數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若，試比較與的大小.8(湖北武漢2012適應(yīng)性訓(xùn)練理)（本小題滿分12分）已知前項(xiàng)和為的等差數(shù)列的公差不為零，且，又，成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）是否存在正整數(shù)對(duì)，使得？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（注:若用枚舉法，最后4分中，得到一