鄭州初三數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題

1、鄭州初三數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題一、銳角三角函數(shù)1 ,已知：如圖，在四邊形 ABCD中，AB/ CD, Z ACB =90； AB=10cm, BC=8cm, OD 垂 直平分A C.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動，速度為 1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出 發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動，速度為 1cm/s；當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動.過點(diǎn)P作PE± AB,交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF/AC,分別交 AD, OD于點(diǎn)F, G.連接OP,EG.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t ( s ) (0vtv5),解答下列問題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn) E在 BAC的平分線上？(2)設(shè)四邊形PEGO的面積

2、為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式；PEGO的面積最大？若存在，求出 tt ,使OH OQ?若存在，求出t(3)在運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻t ,使四邊形的值；若不存在，請說明理由；(4)連接OE, OQ,在運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻SI邊形PEGO取得最大值；(4) t 時(shí),53t2815t856 , (0 t 5) ； (3) t 一時(shí),2OEOQ.【解析】【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)E在/BAC的平分線上時(shí)，因?yàn)?即可解決問題.(2)根據(jù)S 四邊形 ope(=Sa oeg+Sope=SOEG+(3)利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.EP± AB, EC±AC,可得PE=EC

3、由此構(gòu)建方程(&OPC+宇 PCE-Sx OE。構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可.EC GQ(4)證明/EOC=Z QOG,可得tan/EOC=ta也QOG,推出 Q 由此構(gòu)建方程即OC OG可解決問題.【詳解】(1)在 RtABC 中，./ACB=90, AB=10cm, BC=8cm,AC=J102 82 =6 (cm),OD垂直平分線段 AC, . OC=OA=3 (cm) , / DOC=90 ；1. CD/ AB,Z BAC=/ DCO, / DOC=Z ACB, .DOCBCA,AC AB BCOC CD OD6108- ，3 CD OD，CD=5 (cm) , OD=4 (cm),.

4、PB=t, PH AB,35勿知：pE=t BE=-t44當(dāng)點(diǎn)E在/BAC的平分線上時(shí)，-. EP± AB, EC± AC,.PE=EC31=8- -1t=4.當(dāng)t為4秒時(shí)，點(diǎn)E在/BAC的平分線上.(2)如圖，連接OE, PC.S 四邊形 opegtSa oeg+Sa ope=Sa oeg+ ( Saopc+Sa pce-Sa oec)it i 3 8 it141415=144t33 84t-85t2525248 2 15=-t t 16(0 t 5). 33(3)存在.28568S - t -(0 t 5),3 23568.,.t= 一時(shí)，四邊形 OPEG的面積取大，取

5、大值為 23(4)存在.如圖，連接 OQ.OEXOQ, / EOC吆 QOC=90 ,° / QOC+Z QOG=90 ； / EOC4 QOG, tanZ EOC=tanZ QOG,EC GQ一 一,OC OG85t_4_33t4 t5整理得:解得t5t2-66t+160=0 ,16人、一或10 （舍棄）516 一一一秒時(shí)，OEL OQ.5【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函 數(shù)，多邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.2 . （6分）某海域有 A, B兩個港口， B港口在A港口北偏西30°方向上，距

6、A港口 60海里，有一艘船從 A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75。方向的C處，求該船與B港口之間的距離即CB的長（結(jié)果保留根號）【解析】試題分析：作 ADXBCT D,于是有/ABD=45,得至U AD=BD=°V，2 ,求出/ C=60 ,根據(jù) 正切的定義求出 CD的長，得到答案.試題解析：作 ADXBCT D, . /EAB=30, AE/ BF, . . / FBA=30 ,又 / FBC=75,/ ABD=45 ；又 AB=60,AD=BD=。/ BAC=Z BAE+Z CAE=75 ,° / ABC=45 ,AD 30v12，/C=60

7、；在 RtACD中，/C=60； AD='°V，則 tanC="，. . CD=0*四， . bc=%'2 + I。/,故該船與b港口之間的距離CB的長為+ 1°皿海里.3 .在等腰4ABC中，ZB=90°, AM是ABC的角平分線，過點(diǎn) M作MNLAC于點(diǎn)N, /EMF=135將/ EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使/ EMF的兩邊交直線 AB于點(diǎn)E,交直線 AC于點(diǎn)F,請解答下列問題：(1)當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖 的位置時(shí)，求證：BE+CF=BM(2)當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖 ，圖 的位置時(shí)，請分別寫出線段BE, CF, BM之間的數(shù)量關(guān)系，

8、不需要證明;（3）在（1）和（2）的條件下，tan/ BEM/, AN,?+1 ,則 BM=, CF=2)見解析(3) 1,1或 1【答案】(1)證明見解析(1)由等腰 ABC中，ZB=90°, AM是 ABC的角平分線，過點(diǎn) M作MNXAC于點(diǎn)N,可得BM=MN , / BMN=135 ,又/EMF=135°,可證明的 BME0NMF,可得 BE=NFNC=NM=BM進(jìn)而得出結(jié)論；(2)如圖 時(shí)，同(1)可證BMENMF,可得BE- CF=BM, 如圖 時(shí)，同(1)可證BMENMF,可得 CF- BE=BM;，一. , f在RtABM和RtANM中， ，顏二 AI可得 R

9、tAABMRtA ANM ,后分別求出 AB、AC CN、BM、BE的長，結(jié)合(1) (2)的 結(jié)論對圖進(jìn)行討論可得CF的長.【詳解】(1)證明：ABC是等腰直角三角形，Z BAC=Z C=45 ,° . AM是/BAC的平分線， MN LAC, .BM=MN ,在四邊形 ABMN 中，/, BMN=360 - 90 - 90 -45 =135°, / ENF=135, °,/ BME=/NMF, .BMEANMF,.BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45 ,°.NC=NM=BM, .CN=CF+NF .BE+C

10、F=BM;(2)針對圖2,同(1)的方法得， BMENMF, .BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45J°,.NC=NM=BM, NC=NF- CF, .BE-CF=BM;針對圖3,同(1)的方法得， BMENMF, .BE二NF, . MN ±AC, /C=45； / CMN=/ C=45 ,° .NC=NM=BM, ,. NC二CF- NF, .CF- BE=BM;(3)在 RtAABM 和 RtAANM 中，,RtA ABM RtAANM (HL.), .AB=AN=/2+1,在 RtA ABC 中,AC=ABV2+

11、1, .AC=AB=2+,二1,.CN=AC- AN=2+x/l - (V2+1)在 RtCMN 中，CM=/2CN=/2, BM=BC- CM=A+1 - Vl=1,在 RtBME 中，tan/BEM二1 BE=BERrV3.BE二,，由（1）知，如圖 1, BE+CF=BM|.CF=BM- BE=1 -由（2）知，如圖 ，此種情況不成立； 由（2）知，如圖32,3,由 tan / BEM=f3,CF BE=BM,，CF=BM+BE=1故答案為1,1 +【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)與三角形全等的綜合，難度較大，需綜合運(yùn)用所學(xué)知識求解4.已知RtABC中，/ACB=90°,點(diǎn)D、E

12、分別在BC、AC邊上，連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P,設(shè)AC=kBD, CD=kAE k為常數(shù)，試探究 /APE的度數(shù)：（1）如圖1,若k=1,則/APE的度數(shù)為；（2）如圖2,若k=J3,試問（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，求出/APE的度數(shù).（3）如圖3,若k=J3,且D、E分別在CR CA的延長線上，（2）中的結(jié)論是否成立，請說明理由.【答案】（1） 45。； （2） （1）中結(jié)論不成立，理由見解析；（3） （2）中結(jié)論成立，理由見解析.【解析】分析：（1）先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進(jìn)而判斷出 FAEAACD,得出EF=AD=BF

13、再判斷出 / EFB=90 ；即可得出結(jié)論；（2）先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進(jìn)而判斷出 FAEAACD,再判斷出/EFB=90；即可得出結(jié)論；（3）先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進(jìn)而判斷出 ACDAHEAs再判斷出/EFB=90；即可得出結(jié)論；詳解：（1）如圖1,過點(diǎn)A作AF/ CB,過點(diǎn)B作BF/ AD相交于F,連接EF,c圖1，/FBE=/ APE, /FACW C=90 ；四邊形ADBF是平行四邊形， BD=AF, BF=AD.1 . AC=BD, CD=AE2 .AF=AC.3 / FAC土 C=90

14、；4 .FAEAACD,EF=AD=BF / FEA=Z ADC.5 / ADC+/ CAD=90 ；6 / FEA+Z CAD=90 = Z EHD.1. AD/ BF,/ EFB=90 . °,.EF=BF/ FBE=45,°/ APE=45 .°(2) (1)中結(jié)論不成立，理由如下：如圖2,過點(diǎn)A作AF/ CB,過點(diǎn)B作BF/ AD相交于F,連接EF,C，/FBE=/ APE, /FAC4 C=90 四邊形 ADBF是平行四邊形, BD=AF, BF=AD.,. AC=、，3BD, CD=、.3AE,.殷 CD 3BD AE BD=AF,AC CD 3 .A

15、F AE / FACC=90 , .FAEAACD,AC AD BFAF EF提,/ FEA之 ADC.EF / ADC+/ CAD=90 ,° / FEA+/ CAD=90 = Z EMD.1. AD/ BF,/ EFB=90.在 RtEFB 中，tan Z FBE=1FBF/ FBE=30,°/ APE=30 ,°-1,33,作 EH/ CD, DH/BE, EH, DH 相交于 H,連接 AH,(3) (2)中結(jié)論成立，如圖/ APE=Z ADH, / HEC=Z C=90 :四邊形 EBDH是平行四邊形,1 .BE=DH, EH=BD2 . AC= ,3

16、BD, CD=、,3AE,AC CD ,3BD AE3 / HEA=Z C=90 ；4 .ACDAHEAsAD AC V3 , / ADC=Z HAEAH EH5 / CAD+Z ADC=90 ,°6 / HAE+Z CAD=90 ；h / HAD=90 :AH在 RtDAH 中，tan/ADH= V3AD '/ ADH=30 ；/ APE=30 ,°點(diǎn)睛：此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì).5.如圖，AB是。的直徑，弦 CD±AB于H,過CD延長線上

17、一點(diǎn) E作。的切線交AB 的延長線于切點(diǎn)為 G,連接AG交CD于K.(1)求證：KE=GE(2)若K=KD?GE試判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說明理由;3(3)在(2)的條件下，若sinE=, AkR/5,求FG的長.25 小【答案】(1)證明見解析；(2) AC/ EF,證明見解析；(3) FG= .【解析】試題分析：(1)如圖1,連接OG.根據(jù)切線性質(zhì)及 CD±AB,可以推出/KGE=Z AKH=/ GKE,根據(jù)等角對等邊得至U KE=GE(2) AC與EF平行，理由為：如圖 2所示，連接GD,由Z KGE=Z GKE及K=KD?GE利 用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似可

18、得出 GKD與 EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到 ZC=Z AGD,可推知ZE=Z C,從而得到 AC/ EF；(3)如圖3所示，連接OG, OC,先求出KE=GE再求出圓的半徑，根據(jù)勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在 RtOGF中，解直角三角形即可求得 FG的長度. / KGE吆 OGA=90 ; .CDXAB, / AKH+Z OAG=90 ;又 OA=OG,/ OGA=Z OAG,/ KGE=/ AKH=Z GKE,KE=GE(2) AC/ EF,理由為連接 GD,如圖2所示.KG KD. GE = KG ，又 Z KGE4 GKE AGKDAEGK, Z E=Z AGD,又

19、Z C=Z AGD, Z E=Z C,-.AC/ EF；EG為切線,Z KGE吆 OGA=90 ,.CDXAB,Z AKH+Z OAG=90 ,又 OA=OG,Z OGA=Z OAG,Z KGE4 AKH=Z GKE,KE=GE3sinE=sinZ ACH-1,設(shè) AH=3t,則 AC=5t, CH=4t,KE=G AC/ EF,，CK=AC=5tHK=CK-CH=t在RtAHK中，根據(jù)勾股定理得 AH2+H/=AK2, 即（3t） 2+t2=（乖）2,解得 t=?.設(shè)。半徑為 r,在 RtOCH 中，OC=r, OH=r-3t, CH=4t, 由勾股定理得：OH2+CH2=Od,125 25

20、即（r-3t） 2+ （4t） 2=r2,解得 r= 6 tJ .EF為切線,.OGF為直角三角形，25CII 4在 RtA OGF 中，OG=r=-' , tan / OFG=tanZ CAH="三于,YiinAOI-G .FG=【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，銳角 三角函數(shù)定義，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定，熟練掌握定理及性 質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.6.如圖13,矩形ASCD的對角線AC , RD相交于點(diǎn)。，1C0D關(guān)于CD的對稱圖形 為 3CED .（1）求證：四邊形0CE0是菱形;（2）連接AE , 若.15三6o

21、n, BC =小匕m求sinNE仞的值；若點(diǎn)F為線段NE上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)八重合），連接。尸，一動點(diǎn)2從點(diǎn)。出發(fā)，以 151%的速度沿線段。尸勻速運(yùn)動到點(diǎn)P ,再以1.5cm方的速度沿線段 衛(wèi)勻速運(yùn)動到點(diǎn) 乩 到達(dá)點(diǎn) 工后停止運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn) 。沿上述路線運(yùn)動到點(diǎn) 3所需要的時(shí)間最短時(shí)，求 的 長和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間.23【答案】（1）詳見解析；（2）sin迎4n二:二工和0走完全程所需時(shí)間為【解析】試題分析：（1）利用四邊相等的四邊形是菱形；（2）構(gòu)造直角三角形求siti工； 先確定點(diǎn)。沿上述路線運(yùn)動到點(diǎn) M所需要的時(shí)間最短時(shí)的位置，再計(jì)算運(yùn)到的時(shí)間試題解析：解：（1）證明：-四邊形是矩形且C二

22、初;MC與刀般交于點(diǎn)。，且ACOD、&1S 關(guān)于。對稱 /. DO = CO=DO = DE: OC = EC :.D0 = OC = EC = ED二四邊形OCED是菱形.（2）連接。£,直線。E分別交/g于點(diǎn)F，交DC于點(diǎn)G:A1OD關(guān)于 8 的對稱圖形為 XCED/. OE ± DC.- DC 二.45 二 OF l.AB.EF ZL1D ;在矩形上:Lffg 中，G為ZJC的中點(diǎn)，且。為AC的中點(diǎn),0G為3C5的中位線- 0G 二生二'二2同理可得：F為M3的中點(diǎn)，OF二工-4F = 32分二祗盧+-廬二3、（¥尸=9Y Z£-&

23、#163;D =ZAEF,".sin /E4D = sin WAEF = 4 = -9 3過點(diǎn)P作FM - AB交aB于點(diǎn)M二。由口運(yùn)動到P所需的時(shí)間為3s2二由可得，1=APJ二點(diǎn)。以L如用3的速度從P到A所需的時(shí)間等于以：1切5從M運(yùn)動到AOP 4M即：，-.-，。由O運(yùn)動到P所需的時(shí)間就是 OP+MA和最小.;如下圖，當(dāng)P運(yùn)動到月，即4。二.二時(shí)，所用時(shí)間最短./ - OP AL4 - 3在直出蝠M中,設(shè)= 2工.建=3x.比】=WVj + F-N：- G處）出 g ）2解得： 一 > ，二MF二三和。走完全程所需時(shí)間為 -sA M +r Fa考點(diǎn)：菱形的判定方法；構(gòu)造直

24、角三角形求三角函數(shù)值；確定極值時(shí)動點(diǎn)的特殊位置7.在正方形ABCD中，AC是一條對角線，點(diǎn) E是邊BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn) C重合），連接AE,將4ABE沿BC方向平移，使點(diǎn) B與點(diǎn)C重合，得到 DCF,過點(diǎn)E作EG，AC于點(diǎn)（1）如圖，依題意補(bǔ)全圖；判斷線段FG與DG之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證 明；（2）已知正方形的邊長為 6,當(dāng)/AGD= 60°時(shí)，求BE的長.【答案】（1）見解析，F(xiàn)G=DG, FG± DG,見解析；（2） BE 273.【解析】【分析】（1）補(bǔ)全圖形即可， 連接BG,由SAS證明BE84GCF得出BG= GF,由正方形的對稱性質(zhì)得出 BG= DG,

25、得出FG= DG,在證出ZDGF= 90°,得出FG± DG即可，（2）過點(diǎn)D作DHL AC,交AC于 點(diǎn)H.由等腰直角三角形的性質(zhì)得出 DH= AH = 3j2,由直角三角形的性質(zhì)得出 FG= DG= 2GH= 2而，得出DF= J2DG=4，3,在RtDCF中，由勾股定理得出 CF= 2 J3 ,即可 得出結(jié)果.【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，F(xiàn)G = DG, FG± DG,理由如下，連接BG,如圖2所示，四邊形ABCD是正方形， / ACB= 45 ；-.EG± AC, / EGC= 90 ； CEG是等腰直角三角形， EG= GC, / G

26、EG= ZGCE= 45 ；/ BEG= / GG已 135 ；由平移的性質(zhì)得：BE= GF,BE GF 在ABEG和 GCF中，BEG GGF ,EG GG.-.BEGAGGF (SA§ , BG= GF, . G在正方形ABGD對角線上，BG= DG, FG= DG, / GGF= / BGE, / BGE+Z AGB= 90 ； / GGF吆 AGB= 90 °, / AGD+Z GGF= 90 °, / DGF= 90 ；.-.FG± DG. AD(2)過點(diǎn)D作DHAG,交AG于點(diǎn)H.如圖3所示,在 RtA ADG 中， / DAG= 45 ；,

27、-.DH=AH=3 72，在 RtA DHG 中， Z AGD= 60°,DH 3、2.DG=2GH=2、. 6 ,.DF= 72DG=4 5/3 ,在 RtDCF中，CF= 4 4/3 2 62 =2 y/3,本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角 形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形的應(yīng)用等知識；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解 題的關(guān)鍵.8.如圖，AB是圓。的直徑，。為圓心，AD、BD是半圓的弦，且 Z PDA=Z PBD.延長PD 交圓的切線BE于點(diǎn)E(1)判斷直線PD是否為。的切線，并說明理由;(2)如果 / BED=60°,

28、PD=T3,求 PA 的長；(3)將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段 DF,點(diǎn)F正好在圓。上，如圖2,求證：四邊形DFBE為菱形.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)連接OD,由AB是圓。的直徑可得/ADB=90,進(jìn)而求得ZADO+ZPDA=90 ,即可得出直線PD為。的切線;(2)根據(jù)BE是。的切線，則/EBA=90,即可求得Z P=30° ,再由PD為。的切線，得/PDO=90 ；根據(jù)三角函數(shù)的定義求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根據(jù)題意可證得 /ADF=/ PDA=Z PBD=Z ABF,由AB是圓。的直徑，得 Z ADB=90 ,設(shè)/ PBD=X

29、，則可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x°, / DBF=2X ,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出x的值，可得出4BDE是等邊三角形.進(jìn)而證出四邊形DFBE為菱形.【詳解】(1)直線PD為。的切線,理由如下：如圖1,連接OD,.AB是圓O的直徑，/ ADB=90 ； / ADO+/ BDO=90 ；又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=/ PBD,/ BDO=Z PDA, / ADO+Z PDA=90 ;即 PD± OD, 點(diǎn)D在。O上， 直線PD為。O的切線；(2) BE是。的切線，/ EBA=90 ；3 / BED=60 ,°/ P=30 ；4

30、.PD為。的切線，/ PDO=90 ；在 RtPDO 中，/P=30。，PD=50 OD _. tan 30而"，解得 OD=1,PO . PD2 OD2 =2，PA=PO- AO=2- 1=1；(3)如圖2,依題意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF,5 / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF,.AB是圓O的直徑，/ ADB=90 ；設(shè) / PBD=x ,貝U / DAF=Z PAD=90 +x°, / DBF=2x ,四邊形AFBD內(nèi)接于OO, / DAF+/ DBF=180 ,°即 90&

31、#176;+x+2x=180°,解得 x=30°,/ ADF=Z PDA=/ PBD=/ ABF=30 ,°.BE、ED是。的切線， . DE=BE / EBA=90 ；/ DBE=60 ,°BDE是等邊三角形，.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / DBF=2X =60°,.BDF是等邊三角形，.BD=DF=BF.DE=BE=DF=BF本題是一道綜合性的題目，考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理和菱形的性質(zhì)，是中檔題，難度較大.9.如圖，A (0, 2) , B (6, 2) , C (0, c) (

32、c>0),以 A 為圓心 AB 長為半徑的 BD 交y軸正半軸于點(diǎn) D, BD與BC有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)為 E, P為？D上一點(diǎn).(1)若 c= 6 出+2,bo, De的長為；當(dāng)CP= 6/時(shí),判斷CP與。A的位置關(guān)系，井加以證明；(2)若c= 10,求點(diǎn)P與BC距離的最大值；(3)分別直接寫出當(dāng) c=1, c= 6, c=9, c= 11時(shí)，點(diǎn)P與BC的最大距離(結(jié)果無需化簡)【答案】(1)12 ,兀；詳見解析；(2)6;6 (3)答案見詳解 55【解析】【分析】判斷(1) 先求出AB, AC,進(jìn)而求出BC和/ABC,最后用弧長公式即可得出結(jié)論;出4APC是直角三角形，即可得出結(jié)論；(2)

33、分兩種情況，利用三角形的面積或銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論；(3)畫圖圖形，同(2)的方法即可得出結(jié)論.【詳解】(1)如圖1 ,. c=6,3 +2, .OC= 6 石+2,AC= 6 £+2-2=6 石,-AB=6,AC 在RtBAC中，根據(jù)勾股定理得，BC= 12, tan Z ABC= =J3 ,AB/ ABC= 60 ；.AE= AB,.ABE是等邊三角形，/ BAE= 60 ；/ DAE= 30 ；DE的長為30-6 =兀,180故答案為12,兀；CP與。A相切.證明：. AP= AB= 6, AC= OC- OA= 6百， .AP2+CP2= 108,又 AC2= (6的)2

34、=108,:.AP2+PC2=AC2./ APC= 90 °,即：CP± AP.而AP是半徑，.CP與。A相切.(2)若 c= 10,即 AC= 10-2=8,貝U BC= 10. 若點(diǎn)P在？E上，AP，BE時(shí)，點(diǎn)P與BC的距離最大，設(shè)垂足為 F,則PF的長就是最大距離，如圖 2,S；a abc= -AB>AC= - BC >AF, 22AB ACBC2456.PF=AP- AF=一；5如圖3,若點(diǎn)P在DE上，作PG, BC于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PG最大.PG此時(shí)，sin/ACB=CPABBC '即PG=AB CPBC.若c= 10,點(diǎn)P與BC距離

35、的最大值是(3)當(dāng)c= 1時(shí)，如圖4,過點(diǎn)P作PM，BC,sin / BCP=ABBCPMCDAB CD 6 742 _42137BC；37. 37 - 37當(dāng)c= 6時(shí)，如圖5,同c=10的情況,12 PF= 6= 612 A13點(diǎn)P和點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)當(dāng)c= 9時(shí)，如圖6,同c=10的情況,85P到BC的距離最大，同c= 10時(shí) 情況，DG= 18'117117【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了弧長公式，勾股定理和逆定理，三角形的面積公式，銳角 三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.10.如圖（1）,已知正方形 ABCD在直線 MN的上方BC在直線 MN上，E是BC上一點(diǎn),

36、以AE為邊在直線MN的上方作正方形 AEFG(1)連接 GD,求證：ADGABE；(2)連接FG觀察并直接寫出 /FCN的度數(shù)(不要寫出解答過程)(3)如圖(2),將圖中正方形 ABCD改為矩形ABCD, AB= 6, BC= 8, E是線段BC上一 動點(diǎn)(不含端點(diǎn) B、C),以AE為邊在直線 MN的上方作矩形 AEFG使頂點(diǎn)G恰好落在射 線CD上.判斷當(dāng)點(diǎn) E由B向C運(yùn)動時(shí)，/ FCN的大小是否總保持不變，若 / FCN的大小不 變，請求出tan/FCN的值.若/ FCN的大小發(fā)生改變，請舉例說明.【答案】(1)見解析；(2) ZFCN= 45。，理由見解析；(3)當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時(shí)，/F

37、CN的大小總保持不變，tan/FCN= - -理由見解析.3【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形判定方法進(jìn)行證明即可.(2)作FHI± MN于H.先證ABEEHF,得到對應(yīng)邊相等，從而推出 4CHF是等腰直角 三角形，/ FCH的度數(shù)就可以求得了.(3)解法同(2),結(jié)合(1) (2)得：EFHGAD, AEFHAABE：,得出 EH=AD=BC=8由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)論.【詳解】(1)證明：二.四邊形ABCD和四邊形 AEFG是正方形， -AB=AD, AE= AG=氏 / BAD= / EAG= / ADC= 90 ； / BAEZ EAD= / DAG+Z EAD, / ADG

38、= 90 = / ABE,/ BAE= / DAG,在 ADG和 ABE中，ADG ABEDAG BAE,AD AB .ADGAABE (AAS).(2)解：/FCN= 45°,理由如下:作FHI± MN于H,如圖1所示：則/ EH已 90 = / ABE, / AE曰 / ABE= 90 ；/ BA曰 / AEB= 90 °, / FEH+Z AEB= 90 °,Z FEH= Z BAE,在 4EFH和 ABE 中，EHF ABEFEH BAE ,EF AE2 .EFHAABE (AA0 , .FH=BE, EH= AB=BC,.CH= BE= FH,

39、3 / FHC= 90 ；4 / FCg 45 :(3)當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時(shí)，/ FCN的大小總保持不變，理由如下:作FHI± MN于H,如圖2所示：由已知可得 / EAG= / BAD= / AE390°,結(jié)合(1) (2)得：EFHGAD, AEFHAABE, .EH=AD= BC= 8,.CH= BE,EH FHAB BEFHCH ；FH EH在 RtFEH 中,tan / FCN= CH AB4當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時(shí)，/ FCN的大小總保持不變，tan / FCN= 一 .3【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用

40、，其重點(diǎn)是通過證三角形全等或相似來得出線段的相等或成比例.11.如圖，在？ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O, AC± BC于點(diǎn)C,將ABC沿AC翻折得到 AEC,連接 DE.(1)求證：四邊形 ACED是矩形；(2)若 AC= 4, BC= 3,求 sin/ABD 的值.BCE【答案】(1)證明見解析(2) 6姮65【解析】【分析】(1)根據(jù)？ABCD中，AC± BC,而AB8 4AEC不難證明；(2)依據(jù)已知條件，在 4ABD或4AOC作垂線AF或OF,求出相應(yīng)邊的長度，即可求出 ZABD的正弦值.【詳解】(1)證明：二.將4ABC沿AC翻折得到AAEC,BC= CE, A

41、C± CE, 四邊形ABCD是平行四邊形， .AD/ BC, AD= BC, .AD=CE AD/CE 四邊形ACED是平行四邊形， .ACXCE, 四邊形ACED是矩形.(2)解：方法一、如圖 1所示，過點(diǎn) A作AF± BD于點(diǎn)F, . BE=2BC= 2X26, DE=AC= 4,在 RtBDE 中，BD BE2 DE2、62 422b3 . S>ABDE= X DE?AD1AF?BD,2“4 22d36 1313,RABC中，AB= V32 42 =5, RtA ABF 中,AF 6 136 .13sin/ABF= sin/ABD= AB1365 .5方法二、如

42、圖2所示，過點(diǎn)。作OF，AB于點(diǎn)F,1 一同理可得，OB= -BD 713 , 21 1. Saaob= -OF AB -OA BC , 222 3 6 OF =,55.在 RtBOF 中, OFsin/FBO=OB66.135 1365【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形翻折變化后所得圖形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì) 和解直角三角形求線段的長度，關(guān)鍵是正確添加輔助線和三角形面積的計(jì)算公式求出sin/ABD.12 .超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知 識檢測車速，如圖，觀測點(diǎn)設(shè)在到萬豐路(直線 AO)的距離為120米的點(diǎn)P處.這時(shí)， 輛小轎車由西向東

43、勻速行駛，測得此車從A處行駛到B處所用的時(shí)間為5秒且/APO-60°, /BPO= 45°.(1)求A、B之間的路程；(2)請判斷此車是否超過了萬豐路每小時(shí)65千米的限制速度？請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：應(yīng) 1.414,陰 1.73) A S Q【答案】【小題1】73.2【小題2】超過限制速度.【解析】解：(1) AB 100(73 1戶73.2 (米)./分73 2(2)此車制速度v=j= =18.3米/秒13 .已知拋物線y=- 1x2-Zx+2與x軸交于點(diǎn)A, B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，拋物線的對63稱軸與x軸交于H點(diǎn)，分別以O(shè)C OA為邊作矩形AECO(1)求直線AC的解析

44、式；(2)如圖，P為直線AC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，在對稱軸上有一動點(diǎn)M,當(dāng)四邊形AOCP面積最大時(shí)，求|PM - OM|的值.(3)如圖，將4AOC沿直線AC翻折得AACD,再將4ACD沿著直線AC平移得A'C ' .D使得 點(diǎn)A'、C在直線AC上，是否存在這樣的點(diǎn) D',使得ED；直角三角形？若存在，請求 出點(diǎn)D'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.卸圖2副【答案】(1) y=1x+2; (2)點(diǎn)M坐標(biāo)為(-2,勺)時(shí)，四邊形AOCP的面積最大，此時(shí)33|PM-OM|有最大值 駕；(3)存在，D坐標(biāo)為：(0, 4)或(-6, 2)或(|, £)

45、【解析】【分析】(1)令x= 0,則y = 2 ,令y=0,則x=2或-6,求出點(diǎn) A、B、C坐標(biāo)，即可求解；(2)連接OP交對稱軸于點(diǎn) M,此時(shí)，|PM-OM|有最大值，即可求解；(3)存在；分 A'DAE;ADT ED'ED± AE三種情況利用勾股定理列方程求解 即可.【詳解】(1)令 x= 0,則 y = 2,令 y=0,則 x=2 或6, .A ( 6, 0)、B (2, 0)、C (0,2）,函數(shù)對稱軸為：x= - 2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,8)3C點(diǎn)坐標(biāo)為（0, 2）,則過點(diǎn)C的直線表達(dá)式為：y=kx+2,將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式,解得:k 1,則：直線AC的表達(dá)式

46、3為：y -x+2；3四邊形AOCP面積=4AOC的面積+4ACP的面積,的面積最大即可，設(shè)點(diǎn) P坐標(biāo)為（m, 1m26四邊形AOCP面積最大時(shí)，只需要4ACP m+2),則點(diǎn) G 坐標(biāo)為(m, m+2),S；a acp 1 PG?OA2m+2 m 2) ?61c ,一 ,，、m2 - 3m ,當(dāng)m = - 3時(shí)，上式2取得最大值，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（-3, 5） .連接OP交對稱軸于點(diǎn) M,此時(shí)，|PM-OM|有2最大值，直線OP的表達(dá)式為:y x,當(dāng) x= - 2 時(shí),6y ,即：點(diǎn)M坐標(biāo)為（-2,35一）,|PM - OM|的最大值為:3255 2( 3 2)(2 3)（3）存在.,.AE=C

47、D, /AEC=/ADC= 90； /EMA=/DMC, EAM DCM ( AAS , . EM =DM, AM=MC,設(shè)：EM=a,貝 U： MC=6 - a.在 RtDCM 中，由勾股定理得：MC2=10 、MC ,過點(diǎn)3D作x軸的垂線交xA'D'2=（6 26 5）,18、22 / 3m 2（石）=36, a'e2 = （而）m（.w2）2 = m4m4 , .102 ,24 3m 2 ,8 ED'=（3.10）（5 況討論：22=m32 m.101285若AED為直角三角形，分三種情2當(dāng) A'D'2 + A'E2=ED'

48、2 時(shí)，36+m4m.1032m 128110m="5DC2+MD2,即：（6-a） 2=22+a2,解得：a 8,則:3軸于點(diǎn) N,交 EC于點(diǎn) H.在 RtDMC 中，-DH?MC MD?DC,即：DH 8 2,2233則：DH 8, HC JDC2 DH 2 6 ,即：點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（6,18）;555 5設(shè)：4ACD沿著直線AC平移了 m個單位，則：點(diǎn) A'坐標(biāo)（-6 -3m,-m）,點(diǎn)D'坐標(biāo).10 . 10，6 3m 18 m 、為（ 一,： t,而點(diǎn) E坐標(biāo)為（6, 2）,則5.10 5. 10,63m 18m、，此時(shí) D （ 一, ,一 一f=）為（

49、0, 4）；5J0 5102當(dāng) A'D'2 + ED'2=A'E2時(shí)，36+m32m,10128=m54m,104,解得:m= 8-10 ,此時(shí) D'（-553m 18m 、f=）,10為（一6, 2）;-ccC .2當(dāng) A'E2+ED'2= A'D'2 時(shí)，m4m4.102 32m + m ,10128二36,解得:m=8_7q5或m =0 ,此時(shí)D'（53m 18 m7）為（6, 2）或5.10 5.1019、一）5綜上所述：D坐標(biāo)為：（0,4）或（-6, 2）或19、5【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)知識綜合運(yùn)用，

50、涉及到一次函數(shù)、 其中（3）中圖形是本題難點(diǎn)，其核心是確定平移后圖形平移、解直角三角形等知識，A'、D'的坐標(biāo)，本題難度較大.14 .如圖，AB為。的直徑，P是BA延長線上一點(diǎn)， CG是。的弦/ PCA= / ABC,CG±AB,垂足為D（1）求證：PC是。的切線;（2）求證:PAPCADCD '3過點(diǎn)A作AE/ PC交。O于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,連接BE,若sin/P= , CF= 5,求BE5的長.8D 0【答案】(1)見解析；(2) BE=12.【解析】【分析】(1)連接 OC,由PC切O O于點(diǎn)C,得到OC, PC,于是得到 / PCA+/ OCA=90，由AB為。的直徑，得到 /ABC+/ OAC=90 ,°由于 OC=OA 證得/ OCA=/ OAC,于是得到結(jié)論；(2)由AE/ PC,得到/PCA=/ CAF根據(jù)垂徑定理得到弧 AC=M AG,于是得到/ACF=/ ABC,由于/PCA=/ ABC,推出/ AC