高中數(shù)學-離散型隨機變量的分布列

1、廣東北江中學2013屆高三理科數(shù)學補充講義教師版第五單元第4講 離散型隨機變量的分布列（6課時）一.基本理論(一)基本概念(1) 隨機變量如果隨機試驗的結果可以用一個變量表示,那么這樣的變量叫做隨機變量來表示, 隨機變量常用希臘字母等表示.(2) 離散型隨機變量:如果對于隨機變量可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.例如,射擊命中環(huán)數(shù)是一個離散型隨機變量.(3) 連續(xù)型隨機變量如果隨機變量可以取某一區(qū)間內的一切值,這樣的隨機變量叫連續(xù)型隨機變量.（二）離散型隨機變量的分布列 1.設離散型隨機變量可能取的值為,取每一個值的概率,則稱下表 P 為隨機變量的概率分

2、布,簡稱為的分布列.分布列的表達式可以是如下的幾種(A)表格形式; (B)一組等式 (C)壓縮為一個帶的形式.2.由概率的性質知,任一離散型隨機變量的分布列具有下列二個性質:(A) (B)3. 求分布列三種方法(1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量分布列；(2)由古典概型求出離散型隨機變量分布列；(3)由互斥事件、獨立事件的概率求出離散型隨機變量分布列4.離散型隨機變量的期望與方差一般地,若離散型隨機變量的概率分布列為 P 則稱為的數(shù)學期望或平均數(shù).或均值.為的均方差.簡稱方差.叫標準差.性質: (1) (2) (3) （三）幾種常見的隨機變量的分布1.兩點分布如果隨機變量X的分布列為X10Ppq

3、其中0<p<1，q1p，則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布2.二項分布 在一次隨機試驗中,某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生,在次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量.若在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,則在次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率是得到隨機變量的概率分布如下 0 1 P 稱隨機變量服從二項分布,記作B(n,p),并記=b(k;n,p)3. 超幾何分布一般地,在含有M件次品中的N件產(chǎn)品中,任取件,其中恰有X件次品數(shù),則事件發(fā)生的概率為其中稱分布列 0 1 P 4. 幾何分布(1)若，則 (2) 若，則二.題型分析題型1.由統(tǒng)計數(shù)據(jù)求離散型隨機變量的分布列題

4、1. (2011·北京改編)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù)分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學(1)求這兩名同學的植樹總棵數(shù)y的分布列；(2)每植一棵樹可獲10元，求這兩名同學獲得錢數(shù)的數(shù)學期望審題視點 本題解題的關鍵是求出Y的取值及取每一個值的概率，注意用分布列的性質進行檢驗解(1)分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學的方法種數(shù)是4×416，這兩名同學植樹總棵數(shù)Y的取值分別為17,18,19,20,21，P(Y17) P(Y18) P(Y19) P(Y20)P(Y21)則隨機變量Y的分布列是：Y1718192021P(2)由(1)知E(Y)19，設這名同學獲

5、得錢數(shù)為X元，則X10Y，則E(X)10E(Y)190.題2. 【2012高考真題廣東理17】（本小題滿分13分）某班50位學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區(qū)間是：40,5050,6060,7070,8080,9090,100（1）求圖中x的值；（2）從成績不低于80分的學生中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數(shù)記為，求得數(shù)學期望【答案】本題是在概率與統(tǒng)計的交匯處命題，考查了用樣本估計總體等統(tǒng)計知識以及離散型隨機變量的分布列及期望，考查學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力，難度中等。【解析】題型2 由古典概型求離散型隨機變量的分布列題3. （201

6、2年韶關二模）有一個3×4×5的長方體, 它的六個面上均涂上顏色. 現(xiàn)將這個長方體鋸成60個1×1×1的小正方體，從這些小正方體中隨機地任取1個，設小正方體涂上顏色的面數(shù)為. （）求的概率；（）求的分布列和數(shù)學期望.（）60個1×1×1的小正方體中，沒有涂上顏色的有6個， （3分）（）由（1）可知； （7分）分布列0123p （10分） E=0×+1×+2×+3×= （12分）題4. 【2012高考真題浙江理19】已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球的2分，取出一個黑球的1分現(xiàn)從

7、該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出3球所得分數(shù)之和()求X的分布列；()求X的數(shù)學期望E(X)【答案】本題主要考察分布列，數(shù)學期望等知識點。() X的可能取值有：3，4，5，6 ； ； 故，所求X的分布列為X3456P () 所求X的數(shù)學期望E(X)為：E(X)題型3.由獨立事件同時發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列題5. 【2012高考真題重慶理17】甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一票.約定甲先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束.設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.（） 求甲獲勝的概率；（）求投籃結束時甲

8、的投籃次數(shù)的分布列與期望【答案】 題6. 【2012高考真題全國卷理19】乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換.每次發(fā)球，勝方得1分，負方得0分.設在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負結果相互獨立.甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.（）求開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2的概率；（）表示開始第4次發(fā)球時乙的得分，求的期望.【答案】題型4.兩點分布題7. 某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目，如果成功，一年后可獲利12%；一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%.下表是過去200例類似項目開發(fā)的實施結果：

9、投資成功投資失敗192次8次則該公司一年后估計可獲收益的期望是_解析設該公司一年后估計可獲得的錢數(shù)為X元，則隨機變量X的取值分別為50 000×12%6 000(元)，50 000×50%25 000(元)由已知條件隨機變量X的概率分布列是X6 00025 000P因此E(X)6 000×(25 000)×4 760答案4 760題型4.二項分布題8. （廣東省惠州市2010屆高三第三次調研理科）在一個圓錐體的培養(yǎng)房內培養(yǎng)了40只蜜蜂，準備進行某種實驗，過圓錐高的中點有一個不計厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個實驗區(qū)，其中小錐體叫第一實驗區(qū)，圓臺

10、體叫第二實驗區(qū)，且兩個實驗區(qū)是互通的。假設蜜蜂落入培養(yǎng)房內任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的。（1）求蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；（2）若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；（3）記為落入第一實驗區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機變量的數(shù)學期望。解：（1）記“蜜蜂落入第一實驗區(qū)”為事件, “蜜蜂落入第二實驗區(qū)”為事件.1分依題意， 3分 蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率為。 4分（2）記“恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)”為事件，則 5分 恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率. 8分（3）因為蜜蜂落入培養(yǎng)房內任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響

11、的，所以變量滿足二項分布，即 10分隨機變量X的數(shù)學期望=40×=5 12分題9. （2012年茂名二模）在我市“城鄉(xiāng)清潔工程”建設活動中，社會各界掀起凈化美化環(huán)境的熱潮.某單位計劃在小區(qū)內種植四棵風景樹，受本地地理環(huán)境的影響，兩棵樹的成活的概率均為，另外兩棵樹為進口樹種，其成活概率都為，設表示最終成活的樹的數(shù)量.（1）若出現(xiàn)有且只有一顆成活的概率與都成活的概率相等，求的值；（2）求的分布列（用表示）；（3）若出現(xiàn)恰好兩棵樹成活的的概率最大，試求的取值范圍.解：（1）由題意，得，. 2分（2）的所有可能取值為0,1,2,3,4. 3分 4分 5分 6分 7分 8分得的分布列為： 9分

12、01234（3）由，顯然, 10分 11分 12分由上述不等式解得的取值范圍是.13分題型5.超幾何分布題10. 某校組織一次冬令營活動，有8名同學參加，其中有5名男同學，3名女同學，為了活動的需要，要從這8名同學中隨機抽取3名同學去執(zhí)行一項特殊任務，記其中有X名男同學.（1）求X的概率分布；（2）求去執(zhí)行任務的同學中有男有女的概率.解 （1）X的可能取值為0，1，2，3.根據(jù)公式P（X=m）=算出其相應的概率，即X的概率分布為X0123P（2）去執(zhí)行任務的同學中有男有女的概率為P（X=1）+P（X=2）=+=.題型6. 離散型隨機變量的均值和方差題11. (2011·北京)以下莖葉

13、圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù)乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示(1)如果X8，求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(2)如果X9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學期望(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為x1，x2，xn的平均數(shù))解(1)當X8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10，所以平均數(shù)為：；方差為：s2×(8)2(8)2(9)2(10)2.(2)當X9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵數(shù)是：9,9,11,11；乙組同學的植樹棵數(shù)是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名

14、同學，共有4×416種可能的結果，這兩名同學植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結果，因此P(Y17).同理可得P(Y18)；P(Y19)；P(Y20)；P(Y21).所以隨機變量Y的分布列為：Y1718192021PEY17×P(Y17)18×P(Y18)19×P(Y19)20×P(Y20)21×P(Y21)17×18×19×20×21×19.題12. (2011·

15、;福建)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標準A，X3為標準B.已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學期望E(X1)6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系

16、數(shù)X2的數(shù)學期望(3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由注：(1)產(chǎn)品的“性價比”；(2)“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性審題視點 (1)利用分布列的性質P1P2P3P41及E(X1)6求a，b值(2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息判斷解(1)因為E(X1)6，所以5×0.46a7b8×0.16，即6a7b3.2.又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用這個樣本的頻率分布估計總體分布，

17、將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)3×0.34×0.25×0.26×0.17×0.18×0.14.8.即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性理由如下：因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于6，價格為6元/件，所以其性價比為1.因為乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為1.2.據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性離散型隨機變量的分布列作業(yè) 班次 姓名 1.一袋中裝有編號為1，2，3，4，5，6的6個大

18、小相同的球，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以X表示取出的最大號碼.（1）求X的概率分布；（2）求X4的概率.解 （1）X的可能取值為3，4，5，6，從而有：P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，P（X=6）=.故X的概率分布為X3456P（2）P（X4）=P（X=5）+P（X=6）=.2.(2011·浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)若P(X0)，則隨機變量X的數(shù)學期望E(X)_.審題視點 分別求出隨機變量X取每一

19、個值的概率，然后求其期望解析由已知條件P(X0)即(1P)2×，解得P，隨機變量X的取值分別為0,1,2,3.P(X0)，P(X1)×22××2，P(X2)2××××2，P(X3)×2.因此隨機變量X的分布列為X0123PE(X)0×1×2×3×.答案3. （廣東省江門市2010屆高三數(shù)學理科3月質量檢測試題）甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率， （I）記甲擊中目標的次數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學期望E； （II）求甲恰好比乙多擊中目

20、標2次的概率4. 某校高三年級某班的數(shù)學課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學競賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的概率分布. 解 依題意隨機變量X服從超幾何分布，所以P（X=k）=（k=0，1，2，3，4）.4分P（X=0）=,P(X=1)= =,P(X=2)= =,P(X=3)= =,P(X=4)= =,9分X的概率分布為X01234P 14分5.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用X表示取球終止時所需要

21、的取球次數(shù)(1)求袋中原有白球的個數(shù)；(2)求隨機變量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率審題視點 對變量的取值要做到不重不漏，計算概率要準確解(1)設袋中白球共有x個，根據(jù)已知條件，即x2x60，解得x3，或x2(舍去)(2)X表示取球終止時所需要的次數(shù)，則X的取值分別為：1,2，3,4,5.因此，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5).則隨機變量X的分布列為：X12345P (3)甲取到白球的概率為P.6. (2011·江西)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進行一項測試，以便確定工資級別公司準備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外

22、4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料若4杯都選對，則月工資定為3 500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2 800元；否則月工資定為2 100元令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力(1)求X的分布列；(2)求此員工月工資的期望解(1)X的所有可能取值為：0,1,2,3,4，P(Xi)(i0,1,2,3,4)，則X01234P(2)令Y表示此員工的月工資，則Y的所有可能取值為2 100，2 800,3 500，則P(Y3 500)P(X4)，P(Y2 800)P(X3)，P(Y2 100)P(X2)，E(Y)3 500×2 800×2 100×2 280，所以此員工月工資的期望為2 280元7. （2008·湖北理，17）袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個（n=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標號.（1）求的概率分布、期望和方差；（2）若=a +b,E()=1,D()=11,試求a,b的值.解 （1）的概率分布為 0123