22.2.1一元二次方程的解法(1)直接開平方法ppt課件

1、方程一元一次方程二元一次方程組一元二次方程復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)舊知消元消元猜測(cè)類比類比降次1、他學(xué)過(guò)的整式方程有哪些？它們是如何求解？、他學(xué)過(guò)的整式方程有哪些？它們是如何求解？去分母去分母去括號(hào)去括號(hào)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)把未知數(shù)的系數(shù)化為把未知數(shù)的系數(shù)化為1 1得解得解 2.什么叫平方根？怎樣表示一個(gè)數(shù)的平方根？ 假設(shè)x2=a,那么x叫a的平方根，記作)0aax（3.根據(jù)平方根的概念解方程：根據(jù)平方根的概念解方程：x24 = 0 復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)舊知 普通地普通地,對(duì)于形如對(duì)于形如x2=p(p0)的方程的方程,根據(jù)平方根據(jù)平方根的定義根的定義,可解得可解得 這種解一元二次方程的方法叫做開平方法

2、這種解一元二次方程的方法叫做開平方法.p px x , ,p px x2 21 1例例1 1：用開平方法解方程：用開平方法解方程 9x2=4 9x2=4解：兩邊同除以解：兩邊同除以9，得，得942x利用開平方法，得利用開平方法，得32x所以，原方程的根是所以，原方程的根是.32,3221xx例例2 2：用開平方法解方程：用開平方法解方程 3x2=-4 3x2=-4解：兩邊同除以解：兩邊同除以3，得，得342x 由于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方根不能由于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方根不能夠是負(fù)數(shù)，所以原方程沒有實(shí)數(shù)根夠是負(fù)數(shù)，所以原方程沒有實(shí)數(shù)根.例例3 3：用開平方法解方程：用開平方法解方程 -7x2+21=0

3、-7x2+21=0解：移項(xiàng)，得解：移項(xiàng)，得32x兩邊同除以兩邊同除以-7，得，得2172 x利用開平方法，得利用開平方法，得3x所以，原方程的根是所以，原方程的根是. 3, 321xx例例4 4：解方程：解方程 (x+1)2=16 (x+1)2=16 解：利用開平方法，得解：利用開平方法，得4141xx或可得可得41x所以，原方程的根是所以，原方程的根是.5,321xx上面這些解法中，本質(zhì)上是把上面這些解法中，本質(zhì)上是把一個(gè)一元二次方程一個(gè)一元二次方程“降次，降次，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.解以下方程：解以下方程：298,x 移項(xiàng)28,9x 得2 2,3x 方程的兩根為:3

4、221x22 2.3x 解：解：359) 1 (2x 留意：二次留意：二次根式必需化根式必需化成最簡(jiǎn)二次成最簡(jiǎn)二次根式。根式。38x隨堂練習(xí)一隨堂練習(xí)一假設(shè)方程能化成假設(shè)方程能化成 的方式，那么等式兩邊直接開平方可得的方式，那么等式兩邊直接開平方可得)0()(22ppnmxpx或.xpm xnp 或?qū)τ谝辉畏匠虒?duì)于一元二次方程x2=p，假設(shè)，假設(shè)p0，那么就可以，那么就可以用開平方法求它的根用開平方法求它的根.當(dāng)當(dāng)p0時(shí)時(shí),方程有兩個(gè)不相等的根：方程有兩個(gè)不相等的根：當(dāng)當(dāng)p=0時(shí)時(shí),方程有兩個(gè)相等的根：方程有兩個(gè)相等的根：p,21xpx021 xx用直接開平方法解以下方程：用直接開平方法解

5、以下方程：2022 x1;0121 2y025162x(3)將方程化成(p0的方式,再求解px211y2x0212)4(2x45x21x把該方程把該方程“降次，降次，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，問(wèn)題就處次方程，問(wèn)題就處理了理了2.用直接開平方法可以解一元二次方程的類型：用直接開平方法可以解一元二次方程的類型：;0 nmx 0 22ppppx或3.根據(jù)平方根的定義，要特別留意：由于負(fù)數(shù)沒根據(jù)平方根的定義，要特別留意：由于負(fù)數(shù)沒有平方根，所以，當(dāng)有平方根，所以，當(dāng)p0時(shí)，原方程無(wú)解時(shí)，原方程無(wú)解.歸納歸納 小結(jié)小結(jié)1直接開平方法的根據(jù)是什么？直接開平方法的根據(jù)是什么？平方根平方根問(wèn)題問(wèn)

6、題2 2 要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6m6m，并且，并且面積為面積為16m216m2，問(wèn)場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬應(yīng)各為多少米？，問(wèn)場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬應(yīng)各為多少米？x(x+6)=16,即即x2+6x16=0.解：設(shè)場(chǎng)地寬解：設(shè)場(chǎng)地寬x mx m，長(zhǎng)，長(zhǎng)x+6x+6m m，依題意得，依題意得思索：怎樣解方程思索：怎樣解方程 x2+6x x2+6x16=016=0？x2+6x16=0a+b)2=Pa+b)2=P ?X2+6X+X2+6X+ =16+=16+ a2+2ab+b2=p(X+3)2=25(X+3)2=253232恒等變形恒等變形x2+6x-16=0 x2+6x=16x2+6x9=1

7、69( x + 3 )2=25x+3=5x3=5,x3=5x1=2，x2=8降次求解的思緒流程移項(xiàng)移項(xiàng)左邊寫成平方方式直接開平方降次兩邊加兩邊加9即即262左邊配成左邊配成 x22bxb2解一次方程解一次方程 可以看出，配方是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次可以看出，配方是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程來(lái)解方程來(lái)解以上解法中，為什么在方程以上解法中，為什么在方程x2+6x=16x2+6x=16兩邊加兩邊加9 9？加其他數(shù)行嗎？加其他數(shù)行嗎？配方法：經(jīng)過(guò)配成完全平方方式來(lái)解一元二配方法：經(jīng)過(guò)配成完全平方方式來(lái)解一元二次次方程的方法。方程的方法。根據(jù)完全平方公式：

8、9是一次項(xiàng)系數(shù)6一半的平方，加9正好與x2+6x可以配成一個(gè)完全平方式: x2 + 6x + 9= ( x + 3 )2加其它數(shù)不行加其它數(shù)不行2230 xx2214xx 2(1)4x1231xx ，配配方方開開平平方方解方程解方程12,x 12x 把二次化為一次，把二次化為一次， 到達(dá)降次的目的到達(dá)降次的目的. .l經(jīng)過(guò)配方，把方程的一邊化成完全平方式，另一邊化成非負(fù)數(shù)，然后利用開平方的方法求出一元二次方程的根.解一元二次方程的配方法解一元二次方程的配方法配方是關(guān)鍵解方程解方程210110.xx22210( 5)11 ( 5)xx ，2(5)36.x56,56.xx 或1211,1.xx 2

9、1011.xx解：解：把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方 方程左邊是含未知數(shù)的完全方程左邊是含未知數(shù)的完全平方式平方式. .方程的右邊是一個(gè)常數(shù)方程的右邊是一個(gè)常數(shù)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)相反數(shù)45,x 解以下方程：解以下方程： 21810 xx ；12415,415.xx解：1移項(xiàng)，得x28x=1,配方x28x+42=1( x( x4)2=154)2=15由此可得切記:方程兩邊要同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。+42解方程解方程2332480.xx232160.3xx23

10、216.3xx222321616()16()333xx ，221620()()33x，16201620.3333xx ，或12412.3xx ，解：解：將方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，更便于配方！移項(xiàng)移項(xiàng)配方配方開平方開平方解一次方程解一次方程將二次項(xiàng)系數(shù)化為將二次項(xiàng)系數(shù)化為1 1配方配方2223313,2424xx 231,416x31,44x 由此可得由此可得2111,.2xx二次項(xiàng)系數(shù)化為二次項(xiàng)系數(shù)化為1 1，得，得231,22xx 2 2213 xx ；解：移項(xiàng)，得解：移項(xiàng)，得2x23x=1,方程的二次項(xiàng)系數(shù)不方程的二次項(xiàng)系數(shù)不是是1 1時(shí)，為便于配方，時(shí)，為便于配方，可以讓方程的各項(xiàng)除可以

11、讓方程的各項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)以二次項(xiàng)系數(shù)2 2？配方配方2224211,3xx 211.3x移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得2364,xx 二次項(xiàng)系數(shù)化為二次項(xiàng)系數(shù)化為1 1，得，得242,3xx 2 33640 xx方程有實(shí)數(shù)解嗎？即原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。即原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。 由于實(shí)數(shù)的平方不會(huì)是負(fù)數(shù)，所以由于實(shí)數(shù)的平方不會(huì)是負(fù)數(shù)，所以x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，取任何實(shí)數(shù)時(shí)，(x1)2都都是非負(fù)數(shù)，上式都不成立。是非負(fù)數(shù)，上式都不成立。2364,xx242,3xx解解: : 2224211 ,3xx271,3x211,3x 1211,3x 2211.3x 0463)4(2 xx33212x32131x32131x32132x忠

12、告：假設(shè)最終結(jié)果想由忠告：假設(shè)最終結(jié)果想由“和或差的方式和或差的方式要寫成要寫成“商的方式，請(qǐng)留意符號(hào)的問(wèn)商的方式，請(qǐng)留意符號(hào)的問(wèn)題。題。 把一元二次方程化為普通方式后，配方降次把一元二次方程化為普通方式后，配方降次的普通步驟是：的普通步驟是： 二次項(xiàng)的系數(shù)=111兩邊同除以二次項(xiàng)的系數(shù) 二次項(xiàng)的系數(shù)化成1移項(xiàng)配方移常數(shù)項(xiàng)到等號(hào)右邊(等式兩邊同加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方化成一次方程兩邊直接開平方用配方法解一元二次方程的步驟用配方法解一元二次方程的步驟4 4、用配方法解一元二次方程應(yīng)留意？、用配方法解一元二次方程應(yīng)留意？明確算理，按步驟操作解題；明確算理，按步驟操作解題；不要忘記在等式的兩邊同時(shí)加一

13、次項(xiàng)不要忘記在等式的兩邊同時(shí)加一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；系數(shù)的一半的平方；開平方時(shí)假設(shè)結(jié)果是二次根式要化簡(jiǎn)；開平方時(shí)假設(shè)結(jié)果是二次根式要化簡(jiǎn)；假設(shè)最終結(jié)果想由假設(shè)最終結(jié)果想由“和或差的方式寫和或差的方式寫成成“商的方式，符號(hào)問(wèn)題要留意商的方式，符號(hào)問(wèn)題要留意. 2.領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.1.熟習(xí)配方法解方程的步驟熟習(xí)配方法解方程的步驟_)(_)(_)(_)(22222222_21)4(_5)3(_8)2(_2) 1 (yyyyxxxxyyxx）（25225）（412411242配方在解題中有廣泛的運(yùn)用配方在解題中有廣泛的運(yùn)用1 1、運(yùn)用于求二次函數(shù)的最值、運(yùn)用于求二次函數(shù)的最值例

14、例1 1 知知x x是實(shí)數(shù)，求是實(shí)數(shù)，求y yx2-4x+5x2-4x+5的最小值的最小值解 由配方，得 y = x2-4x4-45y =x-221 x是實(shí)數(shù)，x-220當(dāng)x-2=0，即x=2時(shí)，y最小，y最小=1例例2:證明無(wú)論證明無(wú)論x為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式2x2-x+10的值恒大于零的值恒大于零1032:2 xx解10)23(22xx0)43(,2xx為何實(shí)數(shù)不論所以無(wú)論所以無(wú)論x為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式2x2-3x+10的值均大于零的值均大于零10169)43(210)43()43(23 22222xxx871)43(21089)43(222xx0871)43(22x

15、2 2、運(yùn)用于求代數(shù)式的最值、運(yùn)用于求代數(shù)式的最值.代數(shù)式代數(shù)式x2-2x+5的值一定是的值一定是.負(fù)數(shù)負(fù)數(shù) .非負(fù)數(shù)非負(fù)數(shù).負(fù)數(shù)或負(fù)數(shù)或.正數(shù)正數(shù)練習(xí)練習(xí)2.代數(shù)式代數(shù)式-3x2+5x+1能否有最大值能否有最大值?C練習(xí)練習(xí)2.代數(shù)式代數(shù)式-3x2+5x+1能否有最大值能否有最大值?1)35( 315322xxxx解：1)65()65(353222xx13625)65(32x11225)65(32x1237)65(32x0)65(,2xx為何實(shí)數(shù)不論12371237)65(32x所以有最大值所以有最大值,最大值是最大值是 12373 3、運(yùn)用于解特殊方程、運(yùn)用于解特殊方程例例1 1 解方程解

16、方程x2 -4x +y2-8yx2 -4x +y2-8y20=020=0 x2-4xx2-4x4 4y2-8yy2-8y1616=0=0 x-2x-22 2y-4y-42 20 0由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得x-2=0 x-2=0 ， y-4=0 y-4=0 x=2y=4解解: :分別對(duì)分別對(duì)x x、y y配方，得配方，得a-ba-b2 2b-cb-c2+2+c-ac-a2 20 04 4、斷定幾何圖形的外形：、斷定幾何圖形的外形：例例9 9 知知 a a、b b、c c是是ABCABC的三邊，且滿足的三邊，且滿足a2a2b2b2c2-ab-bc-cac2-ab-bc-ca0 0斷定斷定ABCABC是正三角形是正三角形證明證明 由知等式兩邊乘以由知等式兩邊乘以2 2，得，得2a22a22b22b22c2-2ab-2bc-2ca=02c2-2ab-2bc-2ca=0， 拆項(xiàng)、配方，得拆項(xiàng)、配方，得a2-2aba2-2abb2b2b2-2bcb2-2bcc2c2c2-2cac2-2caa2a20 0a-b=0a-b=0，b-c=0b-c=0，c-a=0c-a=0，aab b，b bc c，c ca a，即即:a=b=c:a=b=c故故ABCABC是等邊三角形是等邊三角形問(wèn)題問(wèn)題. .一桶某種油漆可刷的面積為一桶某種油漆可刷的面積為1500dm21500d