【新教材精品教案】7.1.2復數(shù)的幾何意義教學設計(2)-人教A版高中數(shù)學必修第二冊

1、【新教材】7.1.2復數(shù)的幾何意義教學設計（人教A版）教材分析復數(shù)的引入是中學階段數(shù)系的又一次擴充，引入復數(shù)以后，這不僅可以使學生對于數(shù)的概念有一個初 步的、完整的認知，也為進一步學習數(shù)學打下基礎.通過本節(jié)課學習，要使學生在問題情境中了解數(shù)系擴充 的過程以及引入復數(shù)的必要性，學習復數(shù)的一些基本知識，體會人類理性思維在數(shù)系擴充中的作用.教學目標與核心素養(yǎng)課程目標：1 .理解可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數(shù)及它們之間的一一對應關系：2 .掌握實軸、虛軸、模等概念；3 .掌握用向量的模來表示復數(shù)的模的方法.數(shù)學學科素養(yǎng)L數(shù)學抽象：復平而及復數(shù)的幾何意義的理解；4 .邏輯推理：根據(jù)平面

2、與向量的關系推出復數(shù)與向量的一一對應及復數(shù)模公式；5 .數(shù)學運算：根據(jù)復數(shù)與復平面的點一一對應求參數(shù)和求復數(shù)的模；4.數(shù)學建模：根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式，數(shù)形結合，多方位了解復數(shù)的幾何意義，提高學生學習數(shù)學的興趣.教學重難點重點：理解復數(shù)的幾何意義，根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式描出其對應的點及向量. 難點：根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式描出其對應的點及向量.課前準備教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練。教學工具：多媒體。教學過程一、情景導入提問：實數(shù)可以與數(shù)軸上的點一一對應，類比實數(shù)，復數(shù)能與什么一一對應呢？ 要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入

3、新課閱讀課本70-72頁，思考并完成以下問題1、復平而是如何定義的，復數(shù)的模如何求出？2、復數(shù)與復平面內的點及向量的關系如何？復數(shù)的模是實數(shù)還是虛數(shù)？ 要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題 三、新知探究1.復平而紀平面2.復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)2=。+歷3, b£R)>復平而內的點zs，b).(2)復數(shù)z=a+ZnS，6WR)« 一一對應 > 平面向量OZ .規(guī)律總結實軸、虛軸上的點與復數(shù)的對應關系實軸上的點都表示實數(shù)：除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應的有序實數(shù)對為(0.0),它所 確定的復數(shù)是z=0+0i=0,表示的

4、是實數(shù).3.復數(shù)的模(1)定義:向量OZ的模廠叫做復數(shù)z=a+6i(a, 6CR)的模.(2)記法：復數(shù)2 =。+歷的模記為忸或W +歷|.(3)公式：z = a+Z?i| =r=f72+Z>20>0, rR).四、典例分析、舉一反三題型一復數(shù)與復平面內的對應關系nr-a - 6例1求實數(shù)。分別取何值時，復數(shù)2=-+(22-15)1(£11)對應的點2滿足下列條件：(1)在復平面的第二象限內.(2)在復平面內的x軸上方.【答案】(l)v 3.(2)>5 或 4V 3.a2-a6【解析】(1)點Z在復平面的第二象限內，則1+ 3 解得v 3. 療一2。-15>0

5、,標一2a15>0,(2)點Z在、軸上方，則 一,八即(+3)(-5)>0,解得。>5或V 3.1。+ 3壬0,解題技巧(利用復數(shù)與點的對應的解題步驟)(1)復平面內復數(shù)與點的對應關系的實質是：復數(shù)的實部就是該點的橫坐標，虛部就是該點的縱坐標.(2)已知復數(shù)在復平面內對應的點滿足的條件求參數(shù)取值范圍時，可根據(jù)復數(shù)與點的對應關系，建立復 數(shù)的實部與虛部滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解.跟蹤訓練一1、實數(shù)x取什么值時，復平面內表示復數(shù)2=爐+X-6+(小一2x-15)i的點Z：(1)位于第三象限：(2)位于直線、一y3=0上【答案】(1)-3今<2. (2)x

6、=-2.【解析】因為戈是實數(shù)，所以2+、一6,爐一公一15也是實數(shù).x2+x6<Q,當實數(shù)x滿足|一2xT5<。，即7X2時點Z位于第三象限.(2)當實數(shù)x滿足y+.丫-6)一廿一2x-15)3=0,即3x+6=0,=-2時，點Z位于直線一)-3=0上. 題型二復數(shù)與平面向量的對應關系> > 例2已知平而直角坐標系中。是原點，向量。乂，。8對應的復數(shù)分別為231, - 3+21,那么向量A4對 應的復數(shù)是()A. -5 + 51B. 5-5i C. 5+5i D. -5 一 5i【答案】B. > 【解析】 向量。I,。5對應的復數(shù)分別為2 31, -3+21,根據(jù)

7、復數(shù)的幾何意義，可得向量。4=(2, 一 3), OB =(-3,2).由向量減法的坐標運算可得向量A4 =。4一。3=(2 + 3, 32) = (5, - 5),根據(jù)復數(shù)與復平而內 的點一一對應，可得向量BA對應的復數(shù)是5-51.解題技巧：(復數(shù)與平面向量對應關系的解題技巧)(1)根據(jù)復數(shù)與平面向量的對應關系，可知當平而向量的起點在原點時，向量的終點對應的復數(shù)即為向 量對應的復數(shù).反之復數(shù)對應的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復數(shù)對應的向量.(2)解決復數(shù)與平面向量一一對應的題目時，一般以復數(shù)與復平面內的點一一對應為工具，實現(xiàn)復數(shù)、 復平而內的點、向量之間的轉化.跟蹤訓練二1

8、、在復平面內，工B, C三點對應的復數(shù)分別為l,2+i, -1+21.(1)求向量.18, AC, 8C對應的復數(shù)；<2)若CZ)為平行四邊形，求。對應的復數(shù).【答案】(1)AB , AC ,對應的復數(shù)分別為l+i, - 2 + 2i, - 3+1.(2)。對應的復數(shù)為-2+1.【解析】(1)設。為坐標原點，由復數(shù)的幾何意義知： > . OA =(1,0), OB =(2,1), OC=( -1,2),所以方=。8 CU =(口)， , > >AC = OC- OA =(-2,2), BC = OC- OB =(-3,1),所以. 18, AC, 5c對應的復數(shù)分別為l

9、+i, -24-21, -3+1.(2)因/MBCD為平行四邊形，所以= 8。=(-3,1), OD = OA + 詬=(L0)+(-3,1)=(-2,1).所以 D 對應的復數(shù)為-2+1.題型三復數(shù)模的計算與應用例3設復數(shù) =4 + 3i,馬=4-3匚 （1）在復平面內畫出復數(shù)&,Z2對應的點和向量;（2）求復數(shù)&,Z2的模,并比較它們的模的大小.【答案】圖見解析，&，益對應的點分別為Z1,Z?,對應的向量分別為°4 , OZ2 （2）=5,也| = 5 |巾同 【解析】（1）如佟I.復數(shù)4,馬對應的r功Z|Z，對應的向量分別為西，病.1 一5（2） | =

10、14 + 3/1= a/42 + 32 = 5. |2| =14-3/1= 742 + （-3）2 = 5 .所以同= |z1.例4設zeC,在復平面內z對應的點為Z,那么滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？（1） I z 1= 1 ： （2） 1 <1 z 1< 2.【答案】（1）以原點。為圓心，以1為半徑的圓.（2）以原點。為圓心，以1及2為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界.【解析】（1）由建1=1得，向量無的模等于1,所以滿足條件IzJl的點Z的集合是以原點。為圓心, 以1為半徑的圓.（2）不等式1<121<2”化為不等式加2, lkl>L不等式I

11、 Z 1< 2的解集是圓I Z1= 2的內部所有的點組成的集合，不等式I Z 1> 1的解集是圓I Z1= 1外部所有的點組成的集合,這兩個集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是渦足釜件l<lzlv2的點Z的集合.容易看出，所求 的集合是以原點。為圓心，以1及2為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界（如圖）. 解題技巧（與復數(shù)的模相關的解題技巧）(1)復數(shù)的模是非負實數(shù)，因此復數(shù)的模可以比較大小.根據(jù)復數(shù)模的計算公式|。+歷尸產(chǎn)后可把復數(shù)模的問題轉化為實數(shù)問題解決.(3)根據(jù)復數(shù)模的定義匕|=| 0Z9可把復數(shù)模的問題轉化為向量模(即兩點的距離)的問題解決.跟蹤訓練三1、已知復數(shù)z = a + /i(a£R)在復平而內對應的點位于第二象限，且匕| = 2,則復數(shù)2等于()B. l+>/3iD. -2+31A. -1+小c. 一i+，5i或 i+，5i【答案】A.|'/+3=4, 【解析】由題意得八IE解得。=-1.故2= - 1+小1.五、課堂小結讓學生總結本fj課所學主要知識及解題技巧六、板書設計7.1.2