第四章-根軌跡法(新)-2

1、1自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析本章重點本章重點1.1.根軌跡的定義、根軌跡方程、幅值條件和相角條件；根軌跡的定義、根軌跡方程、幅值條件和相角條件；2.常規(guī)根軌跡的繪制；常規(guī)根軌跡的繪制；3.利用根軌跡分析系統(tǒng)性能的方法。利用根軌跡分析系統(tǒng)性能的方法。2自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析本章難點本章難點1.1.根據(jù)根軌跡定性分析系統(tǒng)性能隨參數(shù)變化的規(guī)律；根據(jù)根軌跡定性分析系統(tǒng)性能隨參數(shù)變化的規(guī)律；2.2.如何改變根軌跡達到系統(tǒng)期望的性能。如何改變根軌跡達到系統(tǒng)期望的性能。3自動控制理論自動控制理論第四章線性

2、系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及性能主要由閉閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及性能主要由閉環(huán)極點（特征方程根）決定的。一個較環(huán)極點（特征方程根）決定的。一個較完善的閉環(huán)控制系統(tǒng)其特征方程一般為完善的閉環(huán)控制系統(tǒng)其特征方程一般為高階，直接用時域法求解困難。高階，直接用時域法求解困難。4自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析19481948年伊萬斯提出求解閉環(huán)特征方程的根的圖解方法年伊萬斯提出求解閉環(huán)特征方程的根的圖解方法根軌跡法。根軌跡法。 根軌跡：根軌跡：當系統(tǒng)中的某一或某些參量變化時，特征方程當系統(tǒng)中的某一或某些參量變化時，特征方程的根在的

3、根在s s平面上運動的軌跡稱為根軌跡。平面上運動的軌跡稱為根軌跡。考慮到開環(huán)零極點更易獲取，在開環(huán)零、極點分布已知考慮到開環(huán)零極點更易獲取，在開環(huán)零、極點分布已知的情況下，可繪制的情況下，可繪制閉環(huán)極點隨系統(tǒng)參數(shù)變化閉環(huán)極點隨系統(tǒng)參數(shù)變化（如放大系（如放大系數(shù)）而在數(shù)）而在s s平面上移動的軌跡（根軌跡）。平面上移動的軌跡（根軌跡）。用途：用途： 對系統(tǒng)的性能進行分析；對系統(tǒng)的性能進行分析； 確定系統(tǒng)應(yīng)有的結(jié)構(gòu)、參數(shù)；確定系統(tǒng)應(yīng)有的結(jié)構(gòu)、參數(shù)； 進行設(shè)計和綜合。進行設(shè)計和綜合。5自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析4 41 1根軌跡的基本概念根軌跡的基本

4、概念根軌跡圖根軌跡圖1.定義：定義：根平面：根平面：在一個復(fù)平面（在一個復(fù)平面（s平面）上標出開環(huán)零、極點，平面）上標出開環(huán)零、極點，并根據(jù)此描述閉環(huán)極點的性質(zhì)，這個復(fù)平面就稱為并根據(jù)此描述閉環(huán)極點的性質(zhì)，這個復(fù)平面就稱為根平根平面面。根軌跡：根軌跡：指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)（一般為指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)（一般為Kg(或或K1)， 根軌跡增益根軌跡增益）變化時，閉環(huán)特征根在根平面）變化時，閉環(huán)特征根在根平面上所走過的軌跡。上所走過的軌跡。6自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析2( )(0.51)(2)(2)gKKKG ssss ss s2gKK

5、2.2.用解析法繪制根軌跡（實例）用解析法繪制根軌跡（實例）例例1 1：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：為：1.1.時間常數(shù)表示法主要用于頻率分析中；時間常數(shù)表示法主要用于頻率分析中；2.2.零極點表示法主要用于根軌跡分析中。零極點表示法主要用于根軌跡分析中。7自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析2( )( )2ggKC sR sssK開環(huán)有兩個極點：開環(huán)有兩個極點： p p1 1= 0= 0， p p2 2= =2 2 開環(huán)沒有零點開環(huán)沒有零點1211,11ggsKsK 可見，當可見，當K Kg g 變化，兩個閉環(huán)極點也隨之連續(xù)變化。變化，兩個閉環(huán)

6、極點也隨之連續(xù)變化。 當當K Kg g 從從00變化時，直接描點作出兩個閉環(huán)極點的變化時，直接描點作出兩個閉環(huán)極點的變化軌跡變化軌跡閉環(huán)特征方程為：閉環(huán)特征方程為： D(s) = s2 +2s + Kg = 0解得閉環(huán)特征根（亦即閉環(huán)極點）解得閉環(huán)特征根（亦即閉環(huán)極點）閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：8自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析1gj K （1）當）當 Kg = 0時，時，s1 = 0、s2 = 2，此時閉環(huán)極，此時閉環(huán)極點就是開環(huán)極點。點就是開環(huán)極點。（2）當）當0Kg1時，時，s1、s2均為負實數(shù)，且位于均為負實數(shù)，且位于負實軸的（負實軸的（2

7、，0） 一段上。一段上。（3）當）當Kg = 1時，時，s1 = s2 = 1，兩個負實數(shù)閉環(huán)，兩個負實數(shù)閉環(huán)極點重合在一起。極點重合在一起。（4）當）當1Kg時，時，s1，2 =1 ，兩，兩個閉環(huán)極點變?yōu)橐粚曹棌?fù)數(shù)極點。個閉環(huán)極點變?yōu)橐粚曹棌?fù)數(shù)極點。s1、s2的實的實部不隨部不隨Kg變化，其位于過（變化，其位于過（1，0）點且平行于）點且平行于虛袖的直線上。虛袖的直線上。（5）當）當Kg時，時， s1 = 1+ j、s2 = 1j，此時此時s1、s2將趨于無限遠處。將趨于無限遠處。 1211,11ggsKsK 9自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析

8、可根據(jù)根軌跡形狀評價系統(tǒng)的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能：可根據(jù)根軌跡形狀評價系統(tǒng)的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能：（1 1）根軌跡增益）根軌跡增益K Kg g從從00時，根軌跡均在時，根軌跡均在s s平面左半部，平面左半部，在所有的在所有的K Kg g值下系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。值下系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。（2 2）當）當00K Kg g 111時，閉環(huán)特征根為共軛復(fù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼時，閉環(huán)特征根為共軛復(fù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)狀態(tài), ,其階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。其階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。10自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析 由上述分析過程可知，由上述分析過程可知，系統(tǒng)的根軌跡分析的意義

9、在于：系統(tǒng)的根軌跡分析的意義在于：由較易獲取的開環(huán)零極點分布分析閉環(huán)極點的性質(zhì)，從由較易獲取的開環(huán)零極點分布分析閉環(huán)極點的性質(zhì)，從而，對系統(tǒng)的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能進行分析。而，對系統(tǒng)的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能進行分析。 但是，試探法不是繪制根軌跡的最合適方法，而且但是，試探法不是繪制根軌跡的最合適方法，而且也太費時間。對于高階系統(tǒng)，用這種解析的方法繪制出也太費時間。對于高階系統(tǒng)，用這種解析的方法繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖是很麻煩的。實際上，系統(tǒng)的根軌跡圖是很麻煩的。實際上，閉環(huán)系統(tǒng)的特征閉環(huán)系統(tǒng)的特征根的軌跡都是根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征根的關(guān)系，根的軌跡都是根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征根的關(guān)系，以及已知的開

10、環(huán)極點和零點在根平面上的分布，按照一以及已知的開環(huán)極點和零點在根平面上的分布，按照一定的規(guī)則用圖解的方法繪制出來的。定的規(guī)則用圖解的方法繪制出來的。11自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡方程根軌跡方程 繪制根軌跡的實質(zhì)，在于由開環(huán)零極點在繪制根軌跡的實質(zhì)，在于由開環(huán)零極點在s平面尋找閉環(huán)特征根的位置平面尋找閉環(huán)特征根的位置。( )( )( )( )1( )( )C sG ssR sG s H s閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為0)()(1sHsG 1)(sGK閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為 即即 11()1() )( mgiinjKjkszspGsm個

11、開環(huán)零點個開環(huán)零點 n個開環(huán)極點個開環(huán)極點 （根軌跡方程）（根軌跡方程） Kg：根軌跡增益：根軌跡增益 在在s平面上凡是滿足上式的任意一個點平面上凡是滿足上式的任意一個點s1、s2、 s，都是閉環(huán)，都是閉環(huán)特征根，即閉環(huán)極點。對應(yīng)于特征根，即閉環(huán)極點。對應(yīng)于Kg 從從0 。4.24.2繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則12自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡的幅值條件方程和相角條件方程根軌跡的幅值條件方程和相角條件方程11()( )1 () mgiiKnjjkszGsspsj為復(fù)數(shù)，故根軌跡方程是一個向量方程。為復(fù)數(shù)，故根

12、軌跡方程是一個向量方程。111 mgiinjjkszspmnoiji 1j 1(sz )(sp )1802q,21q0 1 ， ，相角條件：相角條件：幅值條件：幅值條件：13自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析 相角條件方程和相角條件方程和k kg g無關(guān)，無關(guān)，s s平面上任意一點，只平面上任意一點，只要滿足相角條件方程，則必定同時滿足幅值條件，該要滿足相角條件方程，則必定同時滿足幅值條件，該點必定在根軌跡上，即對應(yīng)不同的點必定在根軌跡上，即對應(yīng)不同的k kg g時的閉環(huán)極點，時的閉環(huán)極點，相角條件是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充分必要條件。相角條件是決定閉環(huán)

13、系統(tǒng)根軌跡的充分必要條件。（實、虛軸選用相同的比例尺刻度）（實、虛軸選用相同的比例尺刻度）11()()1802 ,0 112 mnoijijszspqq， ，14自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析幅值條件和相角條件應(yīng)用幅值條件和相角條件應(yīng)用 ijszsp為從一個開環(huán)零點指向為從一個開環(huán)零點指向s s的向量的向量為從一個開環(huán)極點指向為從一個開環(huán)極點指向s s的向量的向量向量的模為長度，即向量的模為長度，即s s平面上兩點之間的距離；平面上兩點之間的距離；幅角為此向量指向方向與實軸之間的夾角，幅角為此向量指向方向與實軸之間的夾角，逆時針為正，順時針為負；逆

14、時針為正，順時針為負；1.1.可以直接計算；可以直接計算； 2.2.或在圖上直接測量或在圖上直接測量S S為試探點為試探點15自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析12( 1, 1),( 0.5,1)sjsj例：已知系統(tǒng)的例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試判斷如下，試判斷 是否是否在根軌跡上。在根軌跡上。解：解： 不符合相角條件，不符合相角條件， s s1 1不在根軌跡上。不在根軌跡上。21222()()( 116.6 )( 63):.4180 spssp滿足相角條件，滿足相角條件， s s2 2在根軌跡上。在根軌跡上。（1 1）用相角條件求根

15、軌跡（試探法）用相角條件求根軌跡（試探法） 11()()1802, 0 112 mnoijijszspqq， ，( ) (1)gKKGss s111():() mnijijszssp1112()() spsp) 1(11ss2259013516自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析（2 2）用幅值條件確定）用幅值條件確定k kg g的值的值解：解：21220.500.511.118 1.1181.25 gKsp spjj112121njjngmmiispsp spspKsz szszsz開環(huán)點測試點長積開環(huán)點測試點長積各各極極至至向向量量度度之之 各各零零

16、至至向向量量度度之之) 1, 5 . 0(2js例：求上例中根軌跡上例：求上例中根軌跡上 點對應(yīng)的點對應(yīng)的Kg 。22sp21sp、 也可以用直尺測量向量的長度。也可以用直尺測量向量的長度。17自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析小結(jié)：小結(jié)：相角條件相角條件 判斷是否是閉環(huán)極點（根）判斷是否是閉環(huán)極點（根）幅值條件幅值條件 確定對應(yīng)的根軌跡增益確定對應(yīng)的根軌跡增益圖解法：注意坐標、比例圖解法：注意坐標、比例 但是控制系統(tǒng)的根軌跡圖不能遍歷但是控制系統(tǒng)的根軌跡圖不能遍歷s s平面上所有的平面上所有的點來繪制。因為在滿足根軌跡條件方程的基礎(chǔ)上，根軌點來繪制。

17、因為在滿足根軌跡條件方程的基礎(chǔ)上，根軌跡的圖是有一些規(guī)律的。依據(jù)繪制軌跡圖的一些基本法跡的圖是有一些規(guī)律的。依據(jù)繪制軌跡圖的一些基本法則，就可以繪制出控制系統(tǒng)的根軌跡草圖。則，就可以繪制出控制系統(tǒng)的根軌跡草圖。18自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的特征方程為代數(shù)方程。系統(tǒng)的特征方程為代數(shù)方程。 因為代數(shù)方程中的系數(shù)連續(xù)變化時，代數(shù)方程的根因為代數(shù)方程中的系數(shù)連續(xù)變化時，代數(shù)方程的根也連續(xù)變化，所以特征方程的根軌跡是連續(xù)的。也連續(xù)變化，所以特征方程的根軌跡是連續(xù)的。 由于特征方程的根為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)（包括一對純由于特征方程的根為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)（包括

18、一對純虛根），所以根軌跡必然對稱于實軸。虛根），所以根軌跡必然對稱于實軸。（1）連續(xù)性與對稱性）連續(xù)性與對稱性繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡的基本規(guī)則系統(tǒng)根軌跡的各條分支是連續(xù)的，而且對稱于實軸。系統(tǒng)根軌跡的各條分支是連續(xù)的，而且對稱于實軸。19自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析 開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為n n階，故開環(huán)極點和閉環(huán)極點數(shù)目都階，故開環(huán)極點和閉環(huán)極點數(shù)目都為為n n個，當個，當K Kg g從從0+0+變化時，變化時，n n個根在個根在s s平面上連續(xù)形成平面上連續(xù)形成n n條根軌跡。條根軌跡。 一條根軌跡對應(yīng)一個閉環(huán)極點隨一條根軌跡對

19、應(yīng)一個閉環(huán)極點隨K Kg g的連續(xù)變化軌跡。的連續(xù)變化軌跡。 根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù)= =系統(tǒng)的階數(shù)系統(tǒng)的階數(shù)（2 2）根軌跡的分支數(shù)）根軌跡的分支數(shù)n n階系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)為階系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)為n n。20自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析（3 3） 根軌跡的起點和終點根軌跡的起點和終點11njjgmiispKnmsz由幅值條件有：由幅值條件有：(1,2, )jspjn起點：當起點：當K Kg g=0=0時，只有時，只有 當當K K1 1=0=0時，根軌跡的各分支從開環(huán)極點出發(fā)；當時，根軌跡的各分支從開環(huán)極點出發(fā)；當K K1 1時，有時，有

20、m m條分支趨向開環(huán)零點，另外有條分支趨向開環(huán)零點，另外有n-mn-m條分支趨條分支趨向無窮遠處。向無窮遠處。滿足上式，因此根軌跡各分支的起點即為各開環(huán)極點。滿足上式，因此根軌跡各分支的起點即為各開環(huán)極點。21自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析(1,2,)isz im 01limlimmnsnmssss方程左邊另外另外n nm m條根軌跡終止于條根軌跡終止于處（處（，相角可為任意方向）。，相角可為任意方向）。結(jié)論：結(jié)論： 根軌跡以根軌跡以n n個開環(huán)極點為起點；以個開環(huán)極點為起點；以m m個開環(huán)零點為終個開環(huán)零點為終點，另外點，另外n nm m條根軌跡

21、終止于無窮遠處。條根軌跡終止于無窮遠處。 終點：終點：k kg g= = ，等式右邊，等式右邊=0=0當當由于由于n n m m時，當時，當k kg g時，時，有有s s 處處成立，成立，m m條根軌跡終止于條根軌跡終止于m m 個開環(huán)零點處；個開環(huán)零點處；111,miingjjsznmKsp22自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析（4 4）實軸上的根軌跡）實軸上的根軌跡 、 兩向量對兩向量對稱于實軸，引起的相角大稱于實軸，引起的相角大小相等、方向相反；小相等、方向相反；)(21ps )(31ps 開環(huán)復(fù)平面上的開環(huán)零、極點，由于是共軛復(fù)數(shù)對，開環(huán)復(fù)平面

22、上的開環(huán)零、極點，由于是共軛復(fù)數(shù)對，對實軸上任一點對實軸上任一點s s1 1的相角影響為的相角影響為0 0，對于實軸上根軌跡的判，對于實軸上根軌跡的判別來說不影響幅角條件。別來說不影響幅角條件。 判斷判斷 s s1 1是否落在根軌跡上，共軛零、極點不考慮。是否落在根軌跡上，共軛零、極點不考慮。)(21zs )(31zs 、 兩向量也對兩向量也對稱于實軸，引起的相角大稱于實軸，引起的相角大小相等、方向相反。小相等、方向相反。23自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析位于位于s s1 1右邊的實數(shù)零、極點：右邊的實數(shù)零、極點： 每個零、極點提供每個零、極點提供

23、180180相角。相角。結(jié)論：結(jié)論：s s1 1右邊的實數(shù)零、極點（開環(huán)）個數(shù)的總和為奇數(shù)，右邊的實數(shù)零、極點（開環(huán)）個數(shù)的總和為奇數(shù)， 則則s s1 1位于根軌跡上。位于根軌跡上。 判斷判斷s s1 1是否落在根軌跡上，位于是否落在根軌跡上，位于s s1 1左邊的零、極點不考慮。左邊的零、極點不考慮。11()()180 (2,021) 1 mnijijszspqq， ，)(11zs )(41ps 位于位于s1 1左邊的實數(shù)零、極點：左邊的實數(shù)零、極點： 、 向量引起的相角向量引起的相角為為0規(guī)則：在規(guī)則：在s s平面實軸的線段上存在根軌跡的條件是，在這些線段右平面實軸的線段上存在根軌跡的條件

24、是，在這些線段右邊的開環(huán)零點和開環(huán)極點的數(shù)目之和為奇數(shù)。邊的開環(huán)零點和開環(huán)極點的數(shù)目之和為奇數(shù)。24自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析-2-10 12gKKGss ss25自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析j圖實軸根軌跡平面例設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求實軸上的根軌跡。試求實軸上的根軌跡。解解：系統(tǒng)的開環(huán)零點為系統(tǒng)的開環(huán)零點為0.50.5，開環(huán)極點為，開環(huán)極點為0 0（二重極點），（二重極點），1 1，1.51.5，4 4（如圖所示）。根據(jù)實軸上根軌跡的判別條件可以（如圖所示）。根據(jù)實軸上根

25、軌跡的判別條件可以得到區(qū)間得到區(qū)間4 4，1.51.5右方的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)總和為右方的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)總和為5 5，以，以及區(qū)間及區(qū)間1 1，0.50.5右方的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)總和為右方的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)總和為3 3，均為，均為奇數(shù)，故實軸上根軌跡在上述兩區(qū)間內(nèi)如圖中所示。奇數(shù)，故實軸上根軌跡在上述兩區(qū)間內(nèi)如圖中所示。 45 . 115 . 02sssssKsGgK26自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析nmjij 1i 1apznm（5 5）根軌跡的漸近線）根軌跡的漸近線 1802q1q0,1,2,nm 根軌跡中（根軌跡中（n-m）條趨向無窮

26、遠處分支的漸近線相角為）條趨向無窮遠處分支的漸近線相角為伸向無窮遠處根軌跡的漸近線與實軸交于一點，其坐標伸向無窮遠處根軌跡的漸近線與實軸交于一點，其坐標為為 ，而，而a, j027自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析1802q1q0,1,2,nm 取角夠n-m個夾 若若n n m m，當，當K Kg g從從0+0+時，有時，有( (n nm m) )條根軌跡分支條根軌跡分支沿著實軸正方向夾角沿著實軸正方向夾角，截距為，截距為 的一組漸近線趨的一組漸近線趨向無窮遠處。向無窮遠處。anmjij 1i 1a(p )(z )nmnm極和零和開環(huán)點開環(huán)點與實軸交點

27、的坐標：與實軸交點的坐標： 僅當僅當s s足夠大時，根軌跡才向漸近線逐漸逼近，足夠大時，根軌跡才向漸近線逐漸逼近， K Kg g，根軌跡才與漸近線重合。，根軌跡才與漸近線重合。一般直接取一般直接取180180。28自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析例：已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，確定例：已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，確定s s平面上根軌跡的平面上根軌跡的 漸近線方向。漸近線方向。 2(1)422gKKsGss sss6001802118021180133002qqqqnmq12340,11,11,4 ppjpjp1z1 3mn(0)( 11)(

28、11)( 4)( 1)54 13 ajj解：開環(huán)極點：解：開環(huán)極點：開環(huán)零點：開環(huán)零點：3 3條趨于無窮遠處條趨于無窮遠處夾角夾角截距截距29自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析-2-10 12gKKGss ss60018021180133002qqqq1 213 a30自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析例例已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定根軌跡的支數(shù)、起點和終點。若終點在無窮遠處，試確定漸近線和實軸的交點及漸近線的傾斜角。 51sssKsGgK圖4 漸進線0-1-2-51平面j123p0,p1,p5 解解 由

29、于n=3，所以有3條根軌跡，起點分別在由于m=0，開環(huán)傳遞函數(shù)沒有有限值零點，所以三條根軌跡的終點都在無窮遠處，其漸近線與實軸的交點及傾斜角分別為 3ii 1p0 1 52nm30 1802q11802q1nm3當 時， ；當 時， ；當 時， 。根軌跡的起點和三條漸近線如右圖所示。q0 601q11802q2 300331自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析1(,z 12,pp分析：分析：1 1）如圖，）如圖， ，為實軸上的根軌跡。，為實軸上的根軌跡。 兩條根軌跡分別由兩條根軌跡分別由-p-p1 1和和-p-p2 2出發(fā)，隨出發(fā)，隨k kg g的增大，

30、會合于的增大，會合于a a點繼而又分開，離開實軸，進入復(fù)平面，再回到實軸，會合點繼而又分開，離開實軸，進入復(fù)平面，再回到實軸，會合于于b b點再離開，一條終止于點再離開，一條終止于-z-z1 1，另一趨于負無窮遠處。，另一趨于負無窮遠處。（6 6）根軌跡的分離點和會合點）根軌跡的分離點和會合點 若兩條根軌跡在復(fù)平面上的某一點相遇后又分開，稱該點若兩條根軌跡在復(fù)平面上的某一點相遇后又分開，稱該點為根軌跡的分離點或會合點。此點對應(yīng)于二重根（實根和共軛為根軌跡的分離點或會合點。此點對應(yīng)于二重根（實根和共軛復(fù)數(shù)根）。復(fù)數(shù)根）。一般多出現(xiàn)在實軸上。一般多出現(xiàn)在實軸上。32自動控制理論自動控制理論第四章線

31、性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析2 2）規(guī)律：）規(guī)律： 若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間存在根軌跡，之間若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間存在根軌跡，之間 必有分離點；必有分離點； 若實軸上相鄰開環(huán)零點（一個可視為無窮遠）之若實軸上相鄰開環(huán)零點（一個可視為無窮遠）之 間存在根軌跡，之間必有會合點；間存在根軌跡，之間必有會合點； 若實軸上開環(huán)零點與極點之間存在根軌跡，則其若實軸上開環(huán)零點與極點之間存在根軌跡，則其 間可能既有分離點也有會合點，也可能都沒有。間可能既有分離點也有會合點，也可能都沒有。33自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析ld1803 3）求分

32、離角（會合角）：）求分離角（會合角）： 在分離點（會合點）上，根軌跡切線與正實軸在分離點（會合點）上，根軌跡切線與正實軸的夾角，的夾角，l l為相分離的根軌跡分支數(shù)。為相分離的根軌跡分支數(shù)。 34自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析11()( )( ) ( )()mgiiKgnjjKszN sGsKD ssp4 4）分離點的求?。┓蛛x點的求取11()( )1010( )() mgiignjjKszN sKD ssp特征方程：特征方程：0gdKds復(fù)平面上根軌跡的分離點必須滿足方程復(fù)平面上根軌跡的分離點必須滿足方程由由( )1( )( )( ) ggN s

33、KD sD sKN s35自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析( )( )( )( ) 0D s N sN s D ss s 分離點分離點0gdKds由由( )0( )( )0( ) gdKD sddsN sdsD sddsN s可得可得2( )( )( )( )0( )D s N sN s D sN s( )( )( )( )0D s N sN s D s36自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析例：已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如例：已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求根軌跡在實軸上的分離點。下，試求根軌跡在實軸上的

34、分離點。 12gKKGss ss解：解：sssssssD23)2)(1( )(231)(sN2( )( )( )( ) 3620D s N sN s D sss263 )(2sssD0)( sN120.4231.577ss 37自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析120.4231.577ss -2-10-0.4231230,1,2 ppp判斷：判斷：開環(huán)極點有三個開環(huán)極點有三個(, 2, 1,0 在實軸上在實軸上 為根軌跡為根軌跡 ， 則則 s1滿足，為分離點。滿足，為分離點。180902d38自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性

35、系統(tǒng)的根軌跡分析（7 7）根軌跡的出射角和入射角）根軌跡的出射角和入射角出射角：始于開環(huán)極點的根軌跡在起點的切線與正實軸的夾角出射角：始于開環(huán)極點的根軌跡在起點的切線與正實軸的夾角入射角：止于開環(huán)零點的根軌跡在終點的切線與正實軸的夾角入射角：止于開環(huán)零點的根軌跡在終點的切線與正實軸的夾角ab11180 (21)mnaijijj ak ：由其它各開環(huán)零點指向：由其它各開環(huán)零點指向 的向量的幅角的向量的幅角 ：由其它各開環(huán)極點指向：由其它各開環(huán)極點指向 的向量的幅角的向量的幅角ijapap入射角：入射角：11180 (21)nmbjijii bk 出射角：出射角：39自動控制理論自動控制理論第四章

36、線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析j圖10 例題系統(tǒng)的出射角和入射角41231平面例設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)極、零點如圖所示，試確定根軌跡離開共例設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)極、零點如圖所示，試確定根軌跡離開共 軛復(fù)數(shù)極點的出射角。軛復(fù)數(shù)極點的出射角。 解解 利用公式，由作圖可得利用公式，由作圖可得 6 .2621806 .261359045121801218041312111kkppppppzpka考慮到幅角的周期性，取考慮到幅角的周期性，取 = =26.626.6。同理，可得同理，可得 =+26.6=+26.6。 a1a240自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析

37、（8 8）根軌跡與虛軸的交點）根軌跡與虛軸的交點 隨著隨著K Kg g，根軌跡可能由，根軌跡可能由s s左半平面左半平面右半平面，系右半平面，系統(tǒng)會從穩(wěn)定統(tǒng)會從穩(wěn)定不穩(wěn)定，根軌跡與虛軸的交點，即閉環(huán)特征不穩(wěn)定，根軌跡與虛軸的交點，即閉環(huán)特征方程出現(xiàn)方程出現(xiàn)純虛根純虛根，出現(xiàn)臨界穩(wěn)定。，出現(xiàn)臨界穩(wěn)定。 求解方法（兩種方法）：求解方法（兩種方法）： 勞斯判據(jù)：第一列有勞斯判據(jù)：第一列有0 0元素（純虛根），代入輔助方元素（純虛根），代入輔助方 程，此處的增益程，此處的增益臨界根軌跡增益臨界根軌跡增益K Kgpgp。Re( )Im( )0A sA s 令令s=js=j代入閉環(huán)特征方程代入閉環(huán)特征方程

38、A A（s s）=0=0 ，再令，再令 求出求出、交點坐標和、交點坐標和K Kg g。41自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求根軌例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求根軌跡與虛軸的交點、臨界根軌跡增益跡與虛軸的交點、臨界根軌跡增益k kgpgp。 12gKKGss ss解：解： 3212320ggA ss ssKsssK32()3()2()0gpjjjK23(3)(2)0gpKj020332gpk00gpk26gpk 2jjgpk6 交點坐標：交點坐標：得：得：（舍去）（舍去）令令s=j代入有代入有42自動控制理論自動控制理論第四

39、章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析當當 時，時， s1 行等于行等于0，有一對純虛根，輔助方程，有一對純虛根，輔助方程 6gK 230gsK1 2 3 0s3s2s1s0 gK63gKgk22s2js解：解： 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 32320gA ssssK43自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析-2-10-0.423 12gKKGss ss2j2j 根軌跡和虛軸交點相應(yīng)于系統(tǒng)根軌跡和虛軸交點相應(yīng)于系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。即處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。即K Kg g66后，系后，系統(tǒng)不穩(wěn)定（有閉環(huán)右極點）。統(tǒng)不穩(wěn)定（有閉環(huán)右極點）。 44自動控制理論自動控

40、制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析（9）閉環(huán)極點的和）閉環(huán)極點的和由根與系數(shù)的關(guān)系，當：由根與系數(shù)的關(guān)系，當：2mn開環(huán)極點之和開環(huán)極點之和= =閉環(huán)極點之和閉環(huán)極點之和= =常數(shù)常數(shù) 表明，隨著表明，隨著K Kg g，若閉環(huán)一些特征根增大時，另一些特，若閉環(huán)一些特征根增大時，另一些特征根必定減小，以保持其代數(shù)和為常數(shù)。征根必定減小，以保持其代數(shù)和為常數(shù)。即一些分支向右移即一些分支向右移動時，另一些分支必向左移動，保持左右平衡。動時，另一些分支必向左移動，保持左右平衡。 可根據(jù)部分分支走向，判斷另一些分支的走向?？筛鶕?jù)部分分支走向，判斷另一些分支的走向。 對于某一對于某

41、一K Kg g，若已知（，若已知（n n-1-1）個閉環(huán)極點，可求最后一個）個閉環(huán)極點，可求最后一個閉環(huán)極點。閉環(huán)極點。45自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，根軌跡與虛軸的交點為例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，根軌跡與虛軸的交點為 ，試求其相應(yīng)的第三個閉環(huán)極點，并求交點處的臨界根軌跡增益試求其相應(yīng)的第三個閉環(huán)極點，并求交點處的臨界根軌跡增益Kgp 12gKKGss ss1,22sj 3)2() 1(03123()()()()(2)(2)3ssssjj 3()3s 解：開環(huán)極點之和解：開環(huán)極點之和閉環(huán)極點之和：閉環(huán)極點之和：112

42、1213 1 26njjngmmiispsp spspKsz szszsz 46自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析-2-10-0.423 12gKKGss ss2j2j 向左，向左，、關(guān)于實關(guān)于實軸對稱，只能向右移動。軸對稱，只能向右移動。47自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析小結(jié)：小結(jié)： 按按9 9條規(guī)則條規(guī)則繪制控制系統(tǒng)從繪制控制系統(tǒng)從K Kg g=0+=0+時根軌跡時根軌跡的草圖的草圖直觀分析直觀分析K Kg g變化對性能的影響；變化對性能的影響； 進一步根據(jù)幅角條件，采用試探法準確確定若干進一步根據(jù)幅角

43、條件，采用試探法準確確定若干點的位置（特別是虛軸附近或原點附近）點的位置（特別是虛軸附近或原點附近） 精確根精確根軌跡。軌跡。（根軌跡的重要部位，穩(wěn)定（根軌跡的重要部位，穩(wěn)定不穩(wěn)定）不穩(wěn)定）根軌跡示例根軌跡示例j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j49自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析2( )(3)(22)gkKG ss sss123,4p0, p3, p1j 例：例：解（解（1）無開環(huán)零點，開環(huán)極點）無開環(huán)零點，開環(huán)極點 在實軸上根軌跡在實軸上根軌跡-3，0。0j34.34.3控制系統(tǒng)根軌跡的繪制控制系統(tǒng)根軌跡的繪制50自動控制理論自動控制理論

44、第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析（2）n- -m=4 ，有，有4條分支趨向無窮遠處條分支趨向無窮遠處。漸近線的夾角與交點。漸近線的夾角與交點180 (21)45 ,135403111.254akjj 0j1.25351自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析23212,3( )( )(3)(22)( )( )( )( )( )(415166)02.31809020.730.37() gKdKN sGss sssD sN s D sN s D ssssssj為根軌跡的分離點，切線舍去 （3）實軸上的分離點）實軸上的分離點0j1.253 .

45、2352自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析6 .719021)190(18090)31()1(180113tgtgjjp471.6p（4）起始角（出射角）起始角（出射角）0j1.253 . 2353自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析432( )5860gA sssssK432()5()8()6()0gjjjjK423(8)(65)0gKj1 21 201.1()1.108.16ggsjKK ，舍去即（5）與虛軸的交點）與虛軸的交點=0=054自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌

46、跡分析（2）n-m=4 ，有，有4條分支趨向無窮遠處條分支趨向無窮遠處。（1）無開環(huán)零點，開環(huán)極點，）無開環(huán)零點，開環(huán)極點，在實軸上根軌跡在實軸上根軌跡-3，0。 （3）實軸上的分離點）實軸上的分離點（4）起始角（出射角）起始角（出射角）（5）與虛軸的交點）與虛軸的交點0j1.253 . 231.11.155自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析圓弧根軌跡圓弧根軌跡 當系統(tǒng)僅具有兩個開環(huán)極點和一個開環(huán)零點時，當系統(tǒng)僅具有兩個開環(huán)極點和一個開環(huán)零點時，這時根軌跡可能是直線或圓弧，但只要根軌跡一旦這時根軌跡可能是直線或圓弧，但只要根軌跡一旦離開實軸，必然是沿圓

47、弧移動。離開實軸，必然是沿圓弧移動。 圓心：開環(huán)零點圓心：開環(huán)零點 半徑：半徑：12()()Rpzpz56自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析例例 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，求根軌跡。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，求根軌跡。 10.10.5gKKsGsss當閉環(huán)特征根變至實部為當閉環(huán)特征根變至實部為1時，其對應(yīng)的時，其對應(yīng)的120.10.5pp ，11z (, 1, 0.5, 0.1 ( 0.1 1)( 0.5 1)0.67R ( 10.67)0.1 ( 10.67)( 0.5)1.12 0.841.4( 10.67)( 1)0.67gjjKj 解：兩個開環(huán)極點：解：兩

48、個開環(huán)極點：一個開環(huán)零點：一個開環(huán)零點：根軌跡在實軸上的區(qū)間：根軌跡在實軸上的區(qū)間：圓心：圓心：（- -1，j0）半徑：半徑：57自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析典型根軌跡與開環(huán)零極點間關(guān)系典型根軌跡與開環(huán)零極點間關(guān)系 根軌跡均為直線或光滑的弧線（不可能有折線）；根軌跡均為直線或光滑的弧線（不可能有折線）； 從分離點離開實軸再回到實軸（會合點），一般為圓?。粡姆蛛x點離開實軸再回到實軸（會合點），一般為圓?。?n n- -m m22，左右平衡；，左右平衡； 分離點：實軸上相鄰開環(huán)極點之間有根軌跡分離點：實軸上相鄰開環(huán)極點之間有根軌跡 會合點：實軸上相鄰

49、開環(huán)零點之間有根軌跡。會合點：實軸上相鄰開環(huán)零點之間有根軌跡。 58自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析繪制順序：繪制順序：1.1.首先確定實軸上的根軌跡首先確定實軸上的根軌跡2.2.由由n n- -m m22時的規(guī)律大致確定其余根軌跡的走向時的規(guī)律大致確定其余根軌跡的走向3.3.較為準確地確定其余較為準確地確定其余n n- -m m條終止于條終止于處的根軌跡的漸處的根軌跡的漸近線（截距，角度）近線（截距，角度）59自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析4.44.4控制系統(tǒng)的根軌跡分析控制系統(tǒng)的根軌跡分析 系統(tǒng)的階躍

50、響應(yīng)與閉環(huán)零、極點的分布密切相關(guān)。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與閉環(huán)零、極點的分布密切相關(guān)。 根據(jù)根軌跡根據(jù)根軌跡求已知參數(shù)（一般為求已知參數(shù)（一般為%、 t tS S）下的主）下的主導(dǎo)閉環(huán)極點導(dǎo)閉環(huán)極點分析系統(tǒng)性能。分析系統(tǒng)性能。 分析可包括：分析可包括：(1) (1) 由給定參數(shù)確定閉環(huán)零、極點；由給定參數(shù)確定閉環(huán)零、極點；(2) (2) 分析參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；分析參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；(3) (3) 計算系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能指標；計算系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能指標；(4) (4) 根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)。根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)。60自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌

51、跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析(1)(1)求取閉環(huán)系統(tǒng)極點的方法：求取閉環(huán)系統(tǒng)極點的方法： 例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) ，求具有阻尼比，求具有阻尼比=0.5=0.5的共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點和其它閉環(huán)極點，并估算的共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點和其它閉環(huán)極點，并估算此時系統(tǒng)的性能指標。此時系統(tǒng)的性能指標。) 15 . 0)(1()(sssKsGk解解：2( )(1)(2)(1)(2)gkKKG ss sss ss61自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析)0,422. 0(j1230.4220.4220.4220.422 0.578 1.5780.385

52、gKppp 分離點：分離點：gpj2k6k3g0K6,0K3 與虛軸的交點：與虛軸的交點：穩(wěn)定范圍穩(wěn)定范圍 繪制根軌跡繪制根軌跡62自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析58. 033. 02, 1js0.5252gKK arccos60 作圖求作圖求=0.5=0.5時三個閉環(huán)極點時三個閉環(huán)極點34. 2)58. 033. 0()58. 033. 0(33jjs1112130.330.580.330.58 10.330.5821.05gKspspspjjj 63自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析非主導(dǎo)極點與主導(dǎo)極點

53、實部之比非主導(dǎo)極點與主導(dǎo)極點實部之比（倍）1 . 733. 034. 2（倍）5 . 3667. 034. 2 性能分析性能分析 模之模之比比10.667,0.5 ns21%16.3%339( )0.5 0.667snets-s-s1 1、 -s-s2 2 在系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)過程中起著主導(dǎo)性作在系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)過程中起著主導(dǎo)性作 用，是閉環(huán)主導(dǎo)極點。用，是閉環(huán)主導(dǎo)極點。 可根據(jù)由可根據(jù)由-s-s1 1、 -s-s2 2 所構(gòu)成的二階所構(gòu)成的二階系統(tǒng)來估算三階系統(tǒng)。系統(tǒng)來估算三階系統(tǒng)。64自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析0525. 0avpKKKK9 . 11vssKe單位斜坡給定作用下穩(wěn)態(tài)誤差：單位斜坡給定作用下穩(wěn)態(tài)誤差：型系統(tǒng)：型系統(tǒng)：65自動控制理論自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析(1)(1)系統(tǒng)要穩(wěn)定：閉環(huán)極點全部位于系統(tǒng)要穩(wěn)定：閉環(huán)極點全部位于s s左半平面，與左半平面，與 閉環(huán)零點無關(guān)；閉環(huán)零點無關(guān)；(2)(2)快速性好：閉環(huán)極點均遠離虛軸，以使每個分快速性好：閉環(huán)極點均遠離虛軸，以使每個分 量衰減更快；量衰減更快；(3)(3)平穩(wěn)性好：主導(dǎo)共軛復(fù)數(shù)極點位于平穩(wěn)性好：主導(dǎo)共軛復(fù)數(shù)極點位于=4545等等 阻尼線上，其對應(yīng)最佳阻尼系