小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)表面積的變化

1、表面積的變化【使用說(shuō)明】本講義針對(duì)人教版本教材，適用于對(duì)基本概念掌握較好的學(xué)生。旨在總結(jié)“拼、切、挖” 的操作引起長(zhǎng)方體或正方體的表面積的變化的規(guī)律，講解此類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)形式和解決方法。在使用本講義授課時(shí)，從“拼、切、挖”三種操作方式出發(fā)，總結(jié)每一種方式因其表面積的變化規(guī)律， 配合相關(guān)例題，講授解決問(wèn)題的方法。2本節(jié)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：對(duì)長(zhǎng)方體或者正方體進(jìn)行“拼、切、挖”的操作可以引起長(zhǎng)方體或正方體的表面積的變化。 以下表格顯示了不同的操作方式引起的表面積的變化以及變化規(guī)律的總結(jié)。例題精講例題：至少要幾個(gè)小正方體才能拼成一個(gè)大正方體，如果一個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)是5厘米，那么大正方 體的表面積是多少平方厘米？

2、【分析】根據(jù)題意可知：要用小正方體拼成一個(gè)大正方體，就要使沿著每條棱上擺的小正方體的個(gè)數(shù)相等，即可擺2、3、4個(gè)，那么每條棱上擺幾個(gè)，則它的棱長(zhǎng)就是：（幾x5）厘米.【解答】解：要使拼成的一個(gè)大正方體需要的小正方體的個(gè)數(shù)最少，沿著每條棱上擺的小正方體的個(gè)數(shù)必須是 2個(gè).2x2*2=8 （個(gè)）故答案為；8.解：5x2,=10 （厘米），10x10x6,= 100x6,=600 （平方厘米）；故答案為：600.此類(lèi)題考查了正方形的特征，以及這種拼合題要找規(guī)律須從最簡(jiǎn)單的拼接開(kāi)始研究，由淺入深，即可 成功.【知識(shí)點(diǎn)】表面積的變化【難度系數(shù)】2變式練習(xí)：【題目】判斷下面的說(shuō)法是否正確。（1）正方體的棱

3、長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，表面積也擴(kuò)大到原來(lái)的2倍。（）（2）兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方體后，表面積不變。（）（3）將一個(gè)長(zhǎng)方體切成兩個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方體，每個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積是原長(zhǎng)方體表面積的一半。（ ）【分析】（1）根據(jù)正方體的表面和計(jì)算方法，再聯(lián)系因數(shù)與積的變化規(guī)律進(jìn)行解答.把兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體后，所占的空間沒(méi)變，所以體積不變，但是表面和變了，堿 （2）少了兩個(gè)面的面積，解答判斷即可.將長(zhǎng)方體切成兩個(gè)兩個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方體后，兩個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積和比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積增加（3） 了兩個(gè)切開(kāi)面的面積，由此即可進(jìn)行判斷.【解答】解：因?yàn)?，一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，它

4、的表面積也擴(kuò)大到原來(lái)的4倍.所以，一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，它的表面積也擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的.故答案為：錯(cuò)誤.(1)此題的解答主要根據(jù)因數(shù)與利的變化規(guī)律，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)擴(kuò)大2倍，正方形的面積就擴(kuò)大4倍.解：如圖:把兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)長(zhǎng)方體木塊后，表面積減少，體積不變，所以一把兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，體積和表面積都不變一.的說(shuō)法是錯(cuò)誤的.故答案為：X.（2）此題關(guān)鍵是理解組合圖形的表面積和體積的求法.解：將長(zhǎng)方體切成兩個(gè)兩個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方便后，兩個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積和比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積 增加了兩個(gè)切開(kāi)面的面積，即每個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積比原長(zhǎng)方體表

5、面積的一半多一個(gè)切開(kāi)面的面積. 故答案為：X.（3）解答此題要明福：長(zhǎng)方體切成兩個(gè)兩個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方體后表面積比原來(lái)增加了兩個(gè)面的面積.【知識(shí)點(diǎn)】表面積的變化【難度系數(shù)】2例題：三個(gè)完全相同的正方體擺成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是224cm2,每個(gè)正方體的表面積 是多少平方厘米？【分析】三個(gè)完全相等的正方體擺成一個(gè)長(zhǎng)方體的方法是：一字排列，所以拼組后表面積減少了4個(gè)正方體的 面的面積，那么拼組后的長(zhǎng)方體的表面積就是6X34=14個(gè)正方體的面的面積，由此可以求出一個(gè) 面的面積是:224 + 14=16平方厘米,由此即可解決問(wèn)題.【解答】解：正方體一個(gè)面的面積：=2244-14二16（平方厘

6、米）每個(gè)正方體的表面積：16X6=96（平方厘米）答：每個(gè)正方體的表面積是96平方厘米.故答案為：96平方厘米抓住3個(gè)正方體拼組長(zhǎng)方體的方法，得出拼組后的長(zhǎng)方體表面是由14個(gè)正方體的面組成的，從而根 據(jù)長(zhǎng)方體的表面積求出一個(gè)面的面積，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.【知識(shí)點(diǎn)】表面積的變化【難度系數(shù)】2變式練習(xí).【題目】加圖，一個(gè)長(zhǎng)方體是由三個(gè)同樣大小的正方體拼成的，如果去掉一個(gè)正方體，表面積就比原來(lái)減少30平方厘米。原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是（）平方厘米?！痉治觥咳绻サ粢粋€(gè)正方體，表面就少了四個(gè)面，表面積比原來(lái)減少30平方厘米，所以用307求出正方體 的一個(gè)面的面積，然后由圖可知：把三個(gè)同樣大小的正方體拼成

7、一個(gè)大長(zhǎng)方體，少了4個(gè)面，長(zhǎng)方體 的表面積即(6x3-4)個(gè)正方形面的面積和，進(jìn)而解答即可.【解答】解：30+4x (6x3-4),=7.5x14,= 105 (平方厘米)；答：原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是105平方厘米；故答案為：105.解答此題的關(guān)鍵是先求出正方體一個(gè)面的面積，進(jìn)而弄清要求的長(zhǎng)方體的表面積和面的關(guān)系，進(jìn)而解 答得出結(jié)論.【知識(shí)點(diǎn)】表面積的變化【難度系數(shù)】2例題：一個(gè)正方體木塊的表面積是216ml把它平均分成兩個(gè)相等的長(zhǎng)方體，每個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是 多少平方米？【分析】由“一個(gè)正方體的表面積是216m2”可以求出正方體的1個(gè)面的面積，分成的長(zhǎng)方體的表面 積等于原來(lái)正方體的表面積的一半加

8、上增減的原來(lái)正方體的一個(gè)面的面積，據(jù)此計(jì)算即可.【解答】解：21604-2 + 2164-6= 108 + 36= 144(平方米)答：每個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是144平方厘米.故答案為：144平方米本題考查了長(zhǎng)方體和正方體的表面積的計(jì)算方法的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是知道一個(gè)正方體平均分成 兩個(gè)長(zhǎng)方體，每個(gè)長(zhǎng)方體的表面積包括原來(lái)正方體的表面積的一半，還有新增加的一個(gè)面的面積，新 增加的一個(gè)面就等于原來(lái)正方體的一個(gè)面的面積.此外還應(yīng)該注意本題題干中單位不一樣，注意單位 轉(zhuǎn)化.【知識(shí)點(diǎn)】表面積的變化【難度系數(shù)】2變式練習(xí):【題目】一個(gè)正方體木塊，把它鋸成兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體后，每個(gè)長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)正方

9、體的 表面積小32平方厘米。求原正方體的體積?！痉治觥筷P(guān)鍵題意可知：一個(gè)正方體木塊，把它鋸成同樣的兩塊后，每塊物體的表面積比原正方體的表面積小 32平方厘米，表面積減少的32平方厘米相當(dāng)于原來(lái)正方體的兩個(gè)面的面積，由此可以求出正方體的一 個(gè)面的面積，進(jìn)而求出正方體的棱長(zhǎng)，然后根據(jù)正方體的體積公式：、=a3,把數(shù)據(jù)代入公式解答.【解答】解：32+2=16 （平方厘米），因?yàn)?的平方是16,所以正方體的棱長(zhǎng)是4厘米，4x4x4=64 （立方厘米），答；原來(lái)正方體的體積是64立方厘米.故答案為；64立方厘米.此題主要考查正方體的體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是求出正方體的棱長(zhǎng).【知識(shí)點(diǎn)】表面積的變化【難度

10、系數(shù)】2面積的變化。課堂總結(jié):送法番我們一起學(xué)習(xí)了 “拼、切、: 挖”的嫌作引起亞方體或正方體的表 面積的變化規(guī)律，"及表面積變化， 少的計(jì)算。我們要率憶三種握作方式引起 表面積變化的特點(diǎn)卻規(guī)律，秸合具體 觀目的精餐，運(yùn)掙相應(yīng)的撞刑計(jì)算表二課后作業(yè)1、從由8個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體拼成的大正方體種，拿走一個(gè)小正方體，如圖，這時(shí)它的表面 積是（）平方厘米。【選項(xiàng)】A. 18B. 21 C. 24【分析】由題意可知，拿走一個(gè)小正方體減少了 3個(gè)面，又增加了 3個(gè)面，現(xiàn)在圖形的表面積就等于原來(lái)大正方 體的表面積，大正方體的棱長(zhǎng)可求，從而可以求出其表面積.【解答】解：（1-1） x （1 +

11、 D x6=24 （平方厘米）；答：圖形的表面積是24平方厘米.故選：C.解答此題的關(guān)鍵是明白，拿走一個(gè)小正方體減少了 3個(gè)面，又增加了 3個(gè)面，則表面積不變.【知識(shí)點(diǎn)】表面積的變化【難度系數(shù)】12、把一個(gè)長(zhǎng)6厘米，寬5厘米，高4厘米的長(zhǎng)方體木塊鋸成兩個(gè)小長(zhǎng)方體，表面積最少增加多少平 方厘米?最多增加多少平方厘米？【分析】根據(jù)題干分析可得，要使增加的表面積最少，可以平行于這個(gè)長(zhǎng)方體的最小面57面切割，則表面積 就增加2個(gè)5x4面的面積，要使增加的表面積最多，則平行于最大面6x5面切割，則表面積就是增加2 個(gè)6x5面，據(jù)此即可解答.【解答】解：最少增加：5x4x2=40 （平方厘米），最多增加，

12、6x5x2=60 （平方厘米），答：表面積最少增加40平方厘米，最多增加60平方厘米.故答案為：40； 60.根據(jù)長(zhǎng)方體切割小長(zhǎng)方體的方法，明確表面積增加的2個(gè)面是解決本題的關(guān)鍵.【知識(shí)點(diǎn)】表面積的變化【難度系數(shù)】23、把27塊棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體堆成一個(gè)大正方體，這個(gè)大正方體的表面積比原來(lái)所有的小正方 體的面積之和少多少平方厘米？【分析】根據(jù)體積可知：原來(lái)27個(gè)1厘米的正方體鐵塊堆成一個(gè)大正方體，體積之和是27立方厘米，因?yàn)閃=2 7,所以堆成的大正方體的棱長(zhǎng)是3厘米，然后根據(jù)正方體的表面積計(jì)算公式，進(jìn)行計(jì)算求出大正方體 的表面積，然后根據(jù)求出原來(lái)27個(gè)小正方體的表面積，最后用原來(lái)所有的小

13、正方體的面積之和減去大 正方體的表面積即可.【解答】解：原來(lái)27個(gè)1厘米的正方體鐵塊堆成一個(gè)大正方體，體積之和是27立方厘米，因?yàn)?3=27,所以堆成的大正方體的樓長(zhǎng)是3厘米，則：1x1x6x27-3x3x6,= 162-54,= 108 （立方厘米）；答：這個(gè)大正方體的表面積比原來(lái)所有的小正方體的面積之和少108平方厘米.明確把小正方體堆鑄成大正方體，體積不變，求出堆成的大正方體的棱長(zhǎng)，是解答此題的關(guān)鍵.【知識(shí)點(diǎn)】表面積的變化【難度系數(shù)】24、把一個(gè)長(zhǎng)方體的高縮短3厘米后，它就變成了一個(gè)正方體，表面積比原來(lái)減少了 60平方厘米，原 來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？【分析】根據(jù)高減少3厘米，就

14、變成了一個(gè)正方體可知，這個(gè)正方體比原長(zhǎng)方體表面積減少的4個(gè)面是相同的, 根據(jù)已知表面積減少60平方厘米，60+4-3=5厘米，求出減少面的寬，也就是剩下的正方體的棱長(zhǎng)， 然后5+3=8厘米求出原長(zhǎng)方體的高，再計(jì)算原長(zhǎng)方體的表面積即可.【解答】h 解：減少的面的寬（剩下正方體的棱長(zhǎng)）：604+3=5 （厘米）原長(zhǎng)方體的高：5+3=8 （厘米）原長(zhǎng)方體的表面積：5x5x2-5x8x4=25x2-40x4=50-160=210 （平方厘米）答：原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是210平方厘米.糧據(jù)減少后剩下是正方體，減少的部分是寬為5厘米的4個(gè)面，從而可以分別求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、 高，進(jìn)而利用長(zhǎng)方體的表面積的計(jì)算

15、方法即可求解.【知識(shí)點(diǎn)】表面積的變化【難度系數(shù)】2不備選題目1、把兩個(gè)棱長(zhǎng)都是5厘米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積比兩個(gè)正方體的表面積的和少（）?！具x項(xiàng)】A.25平方厘米B.50平方厘米C.75平方厘米D.100平方厘米【分析】由題意得；減少部分是這個(gè)正方體的兩個(gè)面的面積，由此解答出正確的結(jié)果，即可選擇正確答案.【解答】解；由題意可得；5x5x2=50 （平方厘米）；答：長(zhǎng)方體的表面積比兩個(gè)正方體表面積的和減少50平方厘米.故選：B.此題抓住正方體拼組成長(zhǎng)方體表面積變化的特點(diǎn)即可進(jìn)行解答.【知識(shí)點(diǎn)】表面積的變化【難度系數(shù)】12、用12個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)3厘米，寬與高都是2

16、厘米的大長(zhǎng)方體，再將它去掉一 個(gè)小正方體（如圖所示），現(xiàn)在它的表面積是多少平方厘米？由圖形可知：在棱的中間去掉一個(gè)小正方體后，表面積比原來(lái)增加了小正方體的兩個(gè)面的面積.據(jù)此 解答.【解答】解：3x2x44-2x2x2+1x1x2=24+8-2 =34 （平方厘米），笞：現(xiàn)在它的表面積是34平方厘米.故答案為：34.此題主要考查長(zhǎng)方體的表面積公式的靈活運(yùn)用.【知識(shí)點(diǎn)】表面積的變化【難度系數(shù)】23、有一個(gè)長(zhǎng)方缽,從上面敲下一個(gè)高是2厘米的長(zhǎng)方體后正好得到一個(gè)正方體,如圖，正方體的 去面積比原長(zhǎng)體的表面積減少了48平方厘米.求停宗長(zhǎng)方饞的體積.【分析】根據(jù)高截短2厘米，就剩下一個(gè)正方體可知，這個(gè)正方

17、體比原長(zhǎng)方體表面積減少的4個(gè)面是相同的，根 據(jù)已知表面積減少48平方厘米，487+2=6厘米，求出減少面的寬，也就是剩下的正方體的棱長(zhǎng)，然 后6-2=8厘米求出原長(zhǎng)方體的高，再計(jì)算原長(zhǎng)方體的體積即可.【解答】解：減少的面的寬（乘I下正方體的棱長(zhǎng)）4877 = 6 （厘米）原來(lái)長(zhǎng)方體的高：6+2=8 （厘米）原來(lái)的體積：6x6x8=288 （立方厘米）答：原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是283立方厘米.此題主要考查長(zhǎng)方體的體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是求出原來(lái)長(zhǎng)方體的高.【知識(shí)點(diǎn)】表面積的變化C）將小正方達(dá)按如四方式擺放在是角.（圖1）疼出的面積是多少？（每個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體）【難度系數(shù)】2小正方體的個(gè)數(shù)7

18、 g46嘉在外面的面數(shù)露在外面的面積4、（2）格小正方體按下圖方式招放在地上,填寫(xiě)下面衣格.（圖2）苒說(shuō)一說(shuō)小正方體個(gè)數(shù)的增加.需在外面的面數(shù)變化有什么（1）從上面，前面和右面看都是三個(gè)小正方形的面，因此露出的面積是1乂1，3乂3=9平方厘米；（2） 1列1x2個(gè)小正體有9個(gè)面露在外面，再增加一列2小正方體，即2列2x2個(gè)小正方體有14個(gè)面露在 外面；3列2x3=6小正方體有19個(gè)面露在外面.每增加1列正方體露在外面的面就增加5個(gè)即：n列2n個(gè) 正方體有9+（n-l） x5；由此求解.【解答】解：(1)露出的面積是Ixlx3x3=9 (平方厘米)；(2) 1列：1x2個(gè)小正體有9個(gè)面露在外面,2列：2x2個(gè)小正方體有14個(gè)面露在外面；3列:2x3=6小正方體有