《離散數(shù)學(xué)》試習(xí)題及答案07520

1、一、填空題 1 設(shè)集合A,B，其中A1,2,3, B= 1,2, 則A - B 3 ; r(A) - r(B) 3,1,3,2,3,1,2,3 .2. 設(shè)有限集合A, |A| = n, 則 |r(A×A)| = .3. 設(shè)集合A = a, b, B = 1, 2, 則從A到B的所有映射是a1= (a,1), (b,1), a2= (a,2), (b,2),a3= (a,1), (b,2), a4= (a,2), (b,1), 其中雙射的是 a3, a4 .4. 已知命題公式GØ(P®Q)R，則G的主析取范式是 (PØQR) 5.設(shè)G是完全二叉樹，G有7個

2、點，其中4個葉點，則G的總度數(shù)為 12 ，分枝點數(shù)為 3 .6 設(shè)A、B為兩個集合, A= 1,2,4, B = 3,4, 則從AÇB 4 ; AÈB1,2,3,4;AB 1,2 .7. 設(shè)R是集合A上的等價關(guān)系，則R所具有的關(guān)系的三個特性是 自反性 , 對稱性 傳遞性 .8. 設(shè)命題公式GØ(P®(QÙR)，則使公式G為真的解釋有 (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0)9. 設(shè)集合A1,2,3,4, A上的關(guān)系R1 = (1,4),(2,3),(3,2), R2 = (2,1),(3,2),(4,3), 則R1

3、3;R2 = (1,3),(2,2),(3,1) , R2·R1 = (2,4),(3,3),(4,2) _ R12 = (2,2),(3,3).10. 設(shè)有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 則| |r(A´B)| = .11 設(shè)A,B,R是三個集合，其中R是實數(shù)集，A = x | -1x1, xÎR, B = x | 0x < 2, xÎR,則A-B = -1<=x<0 , B-A = x | 1 < x < 2, xÎR , AB = x | 0x1, xÎR , .13. 設(shè)集合A2

4、, 3, 4, 5, 6，R是A上的整除關(guān)系，則R以集合形式(列舉法)記為 (2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6) . 14. 設(shè)一階邏輯公式G = "xP(x)®$xQ(x)，則G的前束范式是 $x(ØP(x)Q(x) .15.設(shè)G是具有8個頂點的樹，則G中增加 21 條邊才能把G變成完全圖。(完全圖的邊數(shù)，樹的邊數(shù)為n-1)16. 設(shè)謂詞的定義域為a, b,將表達式"xR(x)$xS(x)中量詞消除 ，寫成與之對應(yīng)的命題公式是_ (R(a)R(b)(S(a)S(b) _.17.

5、設(shè)集合A1, 2, 3, 4，A上的二元關(guān)系R(1,1),(1,2),(2,3), S(1,3),(2,3),(3,2)。則R×S (1, 3),(2, 2) , R2 (1, 1),(1, 2),(1, 3).二、選擇題1 設(shè)集合A=2,a,3,4，B = a,3,4,1，E為全集，則下列命題正確的是( C )。(A)2ÎA (B)aÍA (C)ÆÍaÍBÍE (D)a,1,3,4ÌB.2 設(shè)集合A=1,2,3,A上的關(guān)系R(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)，則R不具備( D ).(A)自

6、反性(B)傳遞性(C)對稱性(D)反對稱性1234563 設(shè)半序集(A,)關(guān)系的哈斯圖如下所示，若A的子集B = 2,3,4,5,則元素6為B的( B )。(A)下界 (B)上界(C)最小上界 (D)以上答案都不對4 下列語句中，( B )是命題。(A)請把門關(guān)上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有會嗎？5 設(shè)I是如下一個解釋：Da,b, 則在解釋I下取真值為1的公式是( D ).(A)$x"yP(x,y) (B)"x"yP(x,y) (C)"xP(x,x) (D)"x$yP(x,y).6. 若供選擇答案中

7、的數(shù)值表示一個簡單圖中各個頂點的度，能畫出圖的是( C ).(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).7. 設(shè)G、H是一階邏輯公式，P是一個謂詞，G$xP(x), H"xP(x),則一階邏輯公式G®H是( C ).(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可滿足的 (D)前束范式.8 設(shè)命題公式GØ(P®Q)，HP®(Q®ØP)，則G與H的關(guān)系是( A )。(A)GÞH (B)HÞG (C)GH (D)以上都不是.9 設(shè)A,

8、 B為集合，當( D )時ABB.(A)AB(B)AÍB(C)BÍA(D)ABÆ.10 設(shè)集合A = 1,2,3,4, A上的關(guān)系R(1,1),(2,3),(2,4),(3,4), 則R具有( B )。(A)自反性 (B)傳遞性(C)對稱性 (D)以上答案都不對11 下列關(guān)于集合的表示中正確的為( B )。(A)aÎa,b,c (B)aÍa,b,c(C)ÆÎa,b,c (D)a,bÎa,b,c12 命題"xG(x)取真值1的充分必要條件是( A ).(A) 對任意x，G(x)都取真值1. (B)有一個x0

9、，使G(x0)取真值1. (C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不對.13. 設(shè)G是連通平面圖，有5個頂點，6個面，則G的邊數(shù)是( A ).(A) 9條 (B) 5條 (C) 6條 (D) 11條.14. 設(shè)G是5個頂點的完全圖，則從G中刪去( A )條邊可以得到樹.(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.15. 設(shè)圖G的相鄰矩陣為，則G的頂點數(shù)與邊數(shù)分別為( D ).(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.三、計算證明題1.設(shè)集合A1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12，R為整除關(guān)系。(1) 畫出半序集(A,R)的哈斯圖；(2) 寫出A的

10、子集B = 3,6,9,12的上界，下界，最小上界，最大下界；(3) 寫出A的最大元，最小元，極大元，極小元。解：（1）（2） B無上界，也無最小上界。下界1, 3; 最大下界是3（3） A無最大元，最小元是1，極大元8, 12, 9; 極小元是12. 設(shè)集合A1, 2, 3, 4，A上的關(guān)系R(x,y) | x, yÎA 且 x ³ y, 求 (1) 畫出R的關(guān)系圖；(2) 寫出R的關(guān)系矩陣.解：（1） （2）3. 設(shè)R是實數(shù)集合，s,t,j是R上的三個映射，s(x) = x+3, t(x) = 2x, j(x) x/4,試求復(fù)合映射st，ss, sj, jt，sjt.解

11、： (1)sts(t(x)t(x)+32x+32x+3.(2)sss(s(x)s(x)+3(x+3)+3x+6,(3)sjs(j(x)j(x)+3x/4+3, (4)jtj(t(x)t(x)/42x/4 = x/2,(5)sjts(jt)jt+32x/4+3x/2+3.4. 設(shè)I是如下一個解釋：D = 2, 3, abf (2)f (3)P(2, 2)P(2, 3)P(3, 2)P(3, 3)32320011試求 (1) P(a, f (a)P(b, f (b);(2) "x$y P (y, x). 解： (1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(

12、2, f (2)= P(3, 2)P(2, 3)= 10= 0.(2) "x$y P (y, x) = "x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3)= (01)(01)= 11= 1.5. 設(shè)集合A1, 2, 4, 6, 8, 12，R為A上整除關(guān)系。(1) 畫出半序集(A,R)的哈斯圖；(2) 寫出A的最大元，最小元，極大元，極小元；(3) 寫出A的子集B = 4, 6, 8, 12的上界，下界，最小上界，最大下界.解：(1) (2)無最大元，最小元1，極大元8, 12; 極小元是1. (3) B無上界

13、，無最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. 設(shè)命題公式G = Ø(PQ)(Q(ØPR), 求G的主析取范式。解： G = Ø(PQ)(Q(ØPR)= Ø(ØPQ)(Q(PR)= (PØQ)(Q(PR)= (PØQ)(QP)(QR)= (PØQR)(PØQØR)(PQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)= (PØQR)(PØQØR)(PQR)(PQØR)(ØPQR)= m3m4m5m6m7 = S(3, 4, 5

14、, 6, 7).7. (9分)設(shè)一階邏輯公式：G = ("xP(x)$yQ(y)"xR(x)，把G化成前束范式. 解： G = ("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= Ø("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= (Ø"xP(x)Ø$yQ(y)"xR(x)= ($xØP(x)"yØQ(y)"zR(z)= $x"y"z(ØP(x)ØQ(y)R(z)9. 設(shè)R是集合A = a, b, c, d. R是A上的二元

15、關(guān)系, R = (a,b), (b,a), (b,c), (c,d),(1) 求出r(R), s(R), t(R)；(2) 畫出r(R), s(R), t(R)的關(guān)系圖.解：（1） r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)； (2)關(guān)系圖:11. 通過求主析取范式判斷下列命題公

16、式是否等價：(1) G = (PQ)(ØPQR) (2) H = (P(QR)(Q(ØPR)解：G(PQ)(ØPQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)m6m7m3å (3, 6, 7)H = (P(QR)(Q(ØPR)(PQ)(QR)(ØPQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)(PQR)(ØPQR)(PQØR)(ØPQR)(PQR)m6m3m7G,H的主析取范式相同，所以G = H.13. 設(shè)R和S是集合Aa, b, c, d上的關(guān)系，其中R(a, a),(a,

17、 c),(b, c),(c, d), S(a, b),(b, c),(b, d),(d, d).(1) 試寫出R和S的關(guān)系矩陣；(2) 計算RS, RS, R1, S1R1.解： (1) (2)RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1(a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1R1(b, a),(d, c). 四、證明題1. 利用形式演繹法證明：PQ, RS, PR蘊涵QS。解：(1) PRP(2) ØRPQ(1)(3) PQP(4) ØRQQ(2)(3)(5

18、) ØQRQ(4)(6) RSP(7) ØQSQ(5)(6)(8) QSQ(7)2. 設(shè)A,B為任意集合，證明：(A-B)-C = A-(BC).解： (A-B)-C = 3. (本題10分)利用形式演繹法證明：ØAB, ØCØB, CD蘊涵AD。解：(1) AD(附加)(2) ØABP(3) BQ(1)(2)(4) ØCØBP(5) BCQ(4)(6) CQ(3)(5)(7) CDP(8) DQ(6)(7)(9) ADD(1)(8)所以 ØAB, ØCØB, CD蘊涵AD.4. (本

19、題10分)A, B為兩個任意集合，求證：A(AB) = (AB)B .解：4. A(AB) = A(AB)A(AB)(AA)(AB)Æ(AB)(AB)AB而 (AB)B= (AB)B= (AB)(BB)= (AB)Æ= AB所以：A(AB) = (AB)B.參考答案一、填空題1. 3; 3,1,3,2,3,1,2,3. 2. .3. a1= (a,1), (b,1), a2= (a,2), (b,2),a3= (a,1), (b,2), a4= (a,2), (b,1); a3, a4.4. (PØQR).5. 12, 3. 6. 4, 1, 2, 3, 4, 1

20、, 2. 7. 自反性；對稱性；傳遞性.8. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).9. (1,3),(2,2),(3,1); (2,4),(3,3),(4,2); (2,2),(3,3).10. 2m´n.11. x | -1x < 0, xÎR; x | 1 < x < 2, xÎR; x | 0x1, xÎR.12. 12; 6.13. (2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6).14. $x(ØP(x)Q(x).15. 21.

21、16. (R(a)R(b)(S(a)S(b).17. (1, 3),(2, 2); (1, 1),(1, 2),(1, 3). 二、選擇題 1. C. 2. D. 3. B. 4. B.5. D. 6. C. 7. C.8. A. 9. D. 10. B. 11. B. 13. A. 14. A.15. D三、計算證明題1. (1)(2) B無上界，也無最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) A無最大元，最小元是1，極大元8, 12, 90+; 極小元是1.2.R = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)

22、.(1) (2)3. (1)sts(t(x)t(x)+32x+32x+3.(2)sss(s(x)s(x)+3(x+3)+3x+6,(3)sjs(j(x)j(x)+3x/4+3, (4)jtj(t(x)t(x)/42x/4 = x/2,(5)sjts(jt)jt+32x/4+3x/2+3.4. (1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2)= P(3, 2)P(2, 3)= 10= 0. (2) "x$y P (y, x) = "x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P

23、(3, 3)= (01)(01)= 11= 1.5. (1)(2) 無最大元，最小元1，極大元8, 12; 極小元是1.(3) B無上界，無最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. G = Ø(PQ)(Q(ØPR)= Ø(ØPQ)(Q(PR)= (PØQ)(Q(PR)= (PØQ)(QP)(QR)= (PØQR)(PØQØR)(PQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)= (PØQR)(PØQØR)(PQR)(PQØR)(ØPQR)=

24、 m3m4m5m6m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).7. G = ("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= Ø("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= (Ø"xP(x)Ø$yQ(y)"xR(x)= ($xØP(x)"yØQ(y)"zR(z)= $x"y"z(ØP(x)ØQ(y)R(z)9. (1) r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(