復(fù)件三章復(fù)變函數(shù)的積分ppt課件

1、第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分l主要內(nèi)容主要內(nèi)容? l1 復(fù)變函數(shù)的積分概念復(fù)變函數(shù)的積分概念l2 柯西柯西古薩古薩CauchyGoursat根本定根本定理理l3 復(fù)合閉路定理根本定理的推行復(fù)合閉路定理根本定理的推行l(wèi)4 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分l5 柯西積分公式柯西積分公式l6 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)l7 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系主要內(nèi)容主要內(nèi)容n1、復(fù)變函數(shù)積分的概念、性質(zhì)、計算法、復(fù)變函數(shù)積分的概念、性質(zhì)、計算法n2、復(fù)變函數(shù)積分的柯西、復(fù)變函數(shù)積分的柯西古薩古薩(Cauchy-Goursat)根本定理根本定理n3、解析函數(shù)與調(diào)和

2、函數(shù)的關(guān)系。、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。推廣復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理建立柯西積分公式柯西積分公式證明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)同時推出高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式前往1 復(fù)變函數(shù)的積分概念復(fù)變函數(shù)的積分概念l一、概念：一、概念：l1、定義、定義l2、計算方法、計算方法l3、闡明、闡明l二、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)二、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)l三、例題：例三、例題：例1，例，例2，結(jié)論，例，結(jié)論，例3，例例4前往2 柯西柯西古薩古薩CauchyGoursat根本根本定理定理l柯西柯西古薩定理古薩定理l例例5前往3復(fù)合閉路定理根本定理的推行復(fù)合閉路定理根本定理的推行l(wèi)一、復(fù)合閉路定理一、

3、復(fù)合閉路定理l二、復(fù)合閉路定理的推行：推行二、復(fù)合閉路定理的推行：推行1；推行推行2l三、重要結(jié)果的推行三、重要結(jié)果的推行l(wèi)例例6前往4 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分l一、原函數(shù)的定義l 1、定義1l 2、定義2l二、定理l 1、定理1 ；l 2、定理2；l 3、定理3l三、例題l 例1；例2；例3；例4前往5 柯西積分公式柯西積分公式l定理定理l例題例題l例例1；例；例2；例；例3；例；例4前往6復(fù)變函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)l一、定理一、定理l二、例題二、例題l1、例例1l2、例例2l三、三、Morera定理定理前往7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系l一、調(diào)和函數(shù)

4、的概念：一、調(diào)和函數(shù)的概念：l1、定義、定義 2、定理、定理 l3、共軛調(diào)和函數(shù)的定義、共軛調(diào)和函數(shù)的定義 l二、例題二、例題l1、例例1 2、例例2 3、例例3l三、課堂練習(xí)三、課堂練習(xí)前往1、定義：函數(shù)、定義：函數(shù) 定義在區(qū)域定義在區(qū)域D內(nèi)，內(nèi)，C是是D內(nèi)的一條光滑有向曲線，內(nèi)的一條光滑有向曲線， 為起點(diǎn)，為起點(diǎn)， 為終點(diǎn)。為終點(diǎn)。i)(zfw 1 分割，插入分割，插入n-1個分點(diǎn)個分點(diǎn)121,nmmm2 求部分近似值求部分近似值iizf)(3 求和求和iinizf)(14 求極限求極限iinizf)(lim10假設(shè)假設(shè)C為封鎖曲線，那么記為為封鎖曲線，那么記為cdzzf)(niiiczf

5、dzzf10)(lim)(定義：定義：前往1m2m1imim1nmxyCDi1復(fù)變函數(shù)積分的概念復(fù)變函數(shù)積分的概念一、概念一、概念無論對無論對C怎樣的分法，怎樣的分法，怎樣的取法，極限都存在，怎樣的取法，極限都存在，2、計算方法、計算方法那么：那么：ccidydxivudzzf)()(),(),()(yxivyxuzf令：令：idydxdz且由：且由：cudyvdxivdyudx)()(前往2 的闡明3、闡明、闡明(1) 復(fù)變函數(shù)積分可化為復(fù)變函數(shù)積分可化為),(),(yxvyxu的曲線積分；的曲線積分；(2)在在C上延續(xù)，那么上延續(xù)，那么dzzfc)()(zf存在。存在。Proof: 在在C

6、上也延續(xù)，上也延續(xù)，),(),(yxvyxu在在C上延續(xù)，那么：上延續(xù)，那么：)(zfcccccudyvdxivdyudxdzzf)()(所以所以dzzfc)(存在。存在。ccccvdyvdxudyudx,那么：那么：存在，存在，前往二、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)設(shè)二、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)設(shè) 在在C上可積上可積)(),(zgzf 1 線性性：線性性： dzzgdzzfdzzgzfccc)()()()( 推行：推行：cciniiniiidzzfdzzf)()(11 2 有向性：有向性：ccdzzfdzzf)()( 3 可加性：可加性：21CCC其中其中21,CCC同方向同方向21)()()(cccdzzf

7、dzzfdzzf下一頁推行：推行：niiCC1其中其中nCCC,1同方向同方向niccdzzfdzzfi1)()(4有界性：假設(shè)有界性：假設(shè))(zf在在C上滿足上滿足Mzf | )(|，那么：，那么：MLdszfdzzfcc| )(|)(|其中其中L為為C的長度。的長度。前往上一頁例 1例例1 設(shè)設(shè)C為從原點(diǎn)到點(diǎn)為從原點(diǎn)到點(diǎn)A(3,4) 的直線的直線 段，求段，求 絕對值的一個上界。絕對值的一個上界。cdziz1| ) 1(|11| )(|yixizzf12122yyxtytxc4,3:259)254(2512tM3554322L3255351MLdzizc解：由性質(zhì)解：由性質(zhì)4，求出，求出L

8、，M即可即可MLdszfdzzfcc| )(|)(|由：由：前往182512tt三、例題三、例題例例2 計算計算 其中其中C為為1 原點(diǎn)到點(diǎn)原點(diǎn)到點(diǎn) 的直線段。的直線段。2 的折線段的折線段），（），（），（430300czdzi 43以以x為積分變量化為定積分為積分變量化為定積分cydxxdyiydyxdx)()(30)38()97(dxxidxxi1227解：解：cidydxiyx)(czdzxyC34:13034)34()34(34xdxxxdixxdxdx原式原式(3,4)340下一頁回到回到42折線段折線段)0 , 3()0 , 0( :1C)4 , 3()0 , 3( :2C21c

9、cc0, 0:1dyyC30291xdxc0, 3:2dxxC40)3(2dyiyci128iccc122721），（），（），（430300前往上一頁ccydxxdyiydyxdxzdz)()(0)4 , 3(30dx0dy由例2得出結(jié)論：結(jié)論：結(jié)論：復(fù)變函數(shù)積分與途徑無關(guān)結(jié)論：復(fù)變函數(shù)積分與途徑無關(guān),yvxuyuxvC-R條件條件 )(zf解析解析cydxxdyiydyxdxzdzdzzf)()()(積分與途徑無關(guān)積分與途徑無關(guān)前往)(zf)(zf復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)積分與途徑無關(guān)積分與途徑無關(guān)解析解析,)(iyxzzfyvxu ,由例由例2：cccudyvdxivdyudxdzzf)()()

10、(積分與途徑無關(guān)積分與途徑無關(guān)例例3 計算計算 C是以是以 為中心，為中心，r 常數(shù)常數(shù) 為半徑的正向圓周。為半徑的正向圓周。cdzzz010z0zz)()sin(cos0000iyxyrixrireirrsincos0zrezidirezreddzii)(0所以：所以：20200211ididireredzzziic)0.(.sincos00yryxrx解：參數(shù)方程為解：參數(shù)方程為idzzzc210rz ,0的取值怎樣，結(jié)果都一樣的取值怎樣，結(jié)果都一樣無論無論0zr前往下一頁例例4 求求 C是以是以 為中心，為中心，r為為 半徑的正向圓周半徑的正向圓周 。cndzzz10)(10z0ncnd

11、zzz10)(120)1(11direerinin20deriinn20)sin(cosdninrin2020cos1sin1nninnrin00002)(110nnidzzzcn解：解：0zr結(jié)論：結(jié)論：C是以是以0z為中心，為中心，r為半徑的正向圓周，且為半徑的正向圓周，且n為整數(shù)時有：為整數(shù)時有：前往上一頁一、柯西一、柯西-古薩定理：設(shè)古薩定理：設(shè) 在單連通域在單連通域D內(nèi)解內(nèi)解析，析，C是是D內(nèi)任一條閉曲線，那么內(nèi)任一條閉曲線，那么 。)(zf0)(cdzzfBNAANBAMB0)()()(BNAAMBcdzzfdzzfdzzfABMN)(zf是解析函數(shù)，是解析函數(shù)，Proof: 前往

12、積分與途徑無關(guān)積分與途徑無關(guān)2 柯西柯西-古薩定理古薩定理Cauchy-Goursat Th例例5 求求 其中其中 的正向。的正向。,cos1cdzz1|:|zccdzz0cos1zcos1在在1|z內(nèi)沒有奇點(diǎn)，所以解析，內(nèi)沒有奇點(diǎn)，所以解析， 解：解：前往一、復(fù)合閉路定理：一、復(fù)合閉路定理：,21nccc)(jicc0)()()(1niccLidzzfdzzfdzzf是包括是包括C內(nèi)部多連通域的邊境內(nèi)部多連通域的邊境n條簡單閉曲線，那條簡單閉曲線，那么：么：設(shè)設(shè)C為多連通域為多連通域D內(nèi)的一條簡單閉曲線，內(nèi)的一條簡單閉曲線，dzzfdzzfnicci 1)()(1、0)(Ldzzf2、其中其

13、中,c按逆時針，按逆時針， nccc,21按順時針方向。按順時針方向。Dcnc2c1cProof ：2、前往其中其中,21ncccc均為逆時針方向，均為逆時針方向， L：由：由C圍成的區(qū)域的邊境圍成的區(qū)域的邊境3 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理二、復(fù)合閉路定理的推行二、復(fù)合閉路定理的推行,0z推行推行1 ：設(shè)：設(shè)D內(nèi)有一個奇點(diǎn)內(nèi)有一個奇點(diǎn)0z作另一閉曲線作另一閉曲線C1如圖。如圖。曲線，圍繞曲線，圍繞0zC為D內(nèi)包含的一條閉的一條閉1)()(CCdzzfdzzf那么：那么：推行推行2 ：設(shè)設(shè)D內(nèi)有內(nèi)有n個奇點(diǎn)個奇點(diǎn)nzzz,21作作n個閉曲線個閉曲線nCCC,21且且,iiCz),( ,jiCCji

14、那么：那么：niCCidzzfdzzf1)()(nz2z1zDcnc2c1cDc1c0z前往三、由復(fù)合閉路定理得到的一個重要結(jié)果的推行三、由復(fù)合閉路定理得到的一個重要結(jié)果的推行0zxy0zr結(jié)論：結(jié)論：C是是以以0z為中心，為中心，r為半徑的為半徑的0002)(110nnidzzzcn正向圓周，且正向圓周，且n為整數(shù)時有：為整數(shù)時有：0002)(110nnidzzzcn包含在包含在C中中0z且且n為整數(shù)時有：為整數(shù)時有：推行：推行：前往例例6 求以下積分求以下積分, 0,2ii 22z為奇點(diǎn)為奇點(diǎn)5 . 0r3zz解析解析dzzrz| 2|21ezdzz|213 2|3zdzzz11| 2|2

15、1zdzz2 2z為奇點(diǎn)，為奇點(diǎn)，3202020e下一頁(4) 其中其中C：包含在內(nèi)的任何正向簡單閉曲線。：包含在內(nèi)的任何正向簡單閉曲線。 Cdzzzz212Cdzzz2121111CCdzzdzzCCdzzdzz111022ii,12Cdzzz1|zCdzzzz212解：解：zzzz11112 zzzzz111122 iii422前往上一頁作 業(yè)01c1c2CCdzzdzz111作業(yè)作業(yè)nP99n2n5n6(1,2,4,5)n9(4)前往一、原函數(shù)的定義一、原函數(shù)的定義1、定義、定義1：設(shè)：設(shè))(zf在在D內(nèi)延續(xù)，假設(shè)內(nèi)延續(xù)，假設(shè)D內(nèi)的一個函數(shù)滿足內(nèi)的一個函數(shù)滿足zzdfzF0)()()()

16、(zfz ，那么稱，那么稱)(z為為)(zf的一個原函數(shù)。的一個原函數(shù)。2、定義、定義2：設(shè)：設(shè)積分上限為積分上限為z，下限為，下限為z0，)(zf在在D內(nèi)延續(xù)，內(nèi)延續(xù)，zzdf0)(為變上限函數(shù)。常記為變上限函數(shù)。常記那么稱那么稱前往 4 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分1、定理、定理1 ：設(shè)：設(shè) 是單連通域是單連通域D內(nèi)的解析函數(shù)，那內(nèi)的解析函數(shù)，那么么 在在D內(nèi)解析，且內(nèi)解析，且)(zfzzdfzF0)()().()(zfzFProof1zzdfzF0)()(),(),(00)()(yxyxudyvdxivdyudx, )(),(),(),(00yxyxvdyudxyxP故：故：vyPu

17、xP,可知：可知：,yuxvyvxu分別是某一函數(shù)分別是某一函數(shù)),(yxP的全微分，即的全微分，即,vdyudxudyvdx),(yxQ, )(),(),(),(00yxyxudyvdxyxQ由于：由于：ivuzf)(解析，解析，故：故：uyQvxQ,xP,yQxQyP下一頁二、幾個定理二、幾個定理所以所以P，Q 滿足滿足C-R條件，故條件，故)(zF解析。解析。2)()(zfivuxQixPzFxP,yQxQyP前往上一頁2、定理、定理2： 的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。 )(zf0)()( )()(zfzfzHzGczHzG)()()(),(zHzG為為)(

18、zf的恣意兩個原函數(shù)，的恣意兩個原函數(shù)，Proof: 設(shè)設(shè)czHzG)()(即：即：前往3、定理、定理3：假設(shè)：假設(shè) 在單連通域在單連通域D內(nèi)解析，內(nèi)解析， 為為 的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)， 是是D內(nèi)兩點(diǎn)，那么內(nèi)兩點(diǎn)，那么)(zf)(zG)(zf10,zz10)()()(01zzzGzGdzzf)()(zfzF)(),(zGzF都是原函數(shù)都是原函數(shù)czGzF)()(czGzF)()(00)()(00zGzFc)(00zG)()(0zFdfzz)()()(0zGzGczG)()()(0110zGzGdzzfzzProof:前往zzdfzF0)()(其中例例1 計算計算 izzdzic12272

19、14302czdz1例例2解：由于解：由于z是解析函數(shù)是解析函數(shù) 前往例例2求求iidzz4212解：原式解：原式iiz42133133)1 ()42(31ii)331 ()6496488(31iiii186( 88 18 )( 22 )633iii 前往例例3 求求badzzz2sin解：原式解：原式badzz22sin21baz)cos(212221coscos2ab前往例例4 沿區(qū)域沿區(qū)域 的圓弧的圓弧 ， 計算計算0)Re(, 0)Im(zz1|zidzzz11)1ln(解：原式解：原式)11 (ln) 1(ln2122iiz12) 1(ln21i82ln2ln8332221ln(1)

20、ln(1)izdz前往1i0 xy1、定理：柯西積分公式設(shè)、定理：柯西積分公式設(shè)D為一單連通域，為一單連通域， 為為D內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)， 在在D內(nèi)解析，內(nèi)解析，C為為D內(nèi)包含內(nèi)包含 的一條正的一條正向簡單的閉曲線，那么向簡單的閉曲線，那么 0z)(zf0zizfdzzzzfC2)()(00解釋：圍繞解釋：圍繞0z作一小圓周作一小圓周1C，半徑，半徑很小，滿足很小，滿足,1CC由復(fù)合閉路定理，由復(fù)合閉路定理，)(zf解析，所以解析，所以)(zf延續(xù)，當(dāng)延續(xù)，當(dāng)很小很小時，當(dāng)很小很小時，當(dāng)1Cz時，有時，有)()(0zfzf12)(1)(000Cizfdzzzzf10)(Cdzzzzf100)(Cd

21、zzzzf0zD1CCCdzzzzf0)(10)(Cdzzzzf前往 5 柯西積分公式柯西積分公式例例1 求以下積分的值：其中求以下積分的值：其中C: 正向正向 1 2CdzzzcosCzdzzze)3(3|1|z解：解：idzzzC2coscosizezz230i32Czdzzze)3(Czdzzze)3(0z為奇點(diǎn)，為奇點(diǎn)，3z不為奇點(diǎn)不為奇點(diǎn)2為奇點(diǎn)為奇點(diǎn)1-30 14-2前往例例2 求求 其中其中C:1 的正向；的正向； 2 的正向。的正向。Czdzize22|z1|z解：解：1iz2是奇點(diǎn)，是奇點(diǎn)，222iei2iz2不是奇點(diǎn)，不是奇點(diǎn)，所以：原積分所以：原積分=022zziei原積

22、分原積分前往12i20例例3 求求 ，其中，其中C: 的正向。的正向。Czdzze122|z解：方法一解：方法一21)()(CzCzdzizizedzizizeiiieiiieii221sin2)(ieeiiiz為奇點(diǎn)，為奇點(diǎn)，,21CiCi如下圖如下圖 211122CzCzdzzedzze原式原式i-i021C2C方法二解：方法二解：方法二ieieiii22211sin2)(ieeiiiz為奇點(diǎn)，為奇點(diǎn)，,21CiCi如下圖如下圖 CzCzdzizedzizei 21原式原式i-i021C2C)11(21112iziziz由由前往方法一例例4 設(shè)設(shè)C表示正向圓周表示正向圓周 ，設(shè)函數(shù)，設(shè)函數(shù)

23、 求求 3|zCdzzf173)(2)1 (),(),(ifzfzf解：解： 由柯西積分公式知：由柯西積分公式知：Cdzzf173)(23|, 03|),76(2)(zzzizf)136(2)1 (iifi13|, 03|),173(22zzzzi由于：由于：在在C內(nèi)部，內(nèi)部，所以：所以：前往izzdzee10sin1、求積分21| ) 3(,| )2(, 1| ) 1 (122zezizdzzeCz其中，、求積分23|22)4)(1(3zzzdz、求積分1|4zdzz、求積分)2(,12)(51|2ifdzezfz求、設(shè)作 業(yè)前往課堂練習(xí)及講解課堂練習(xí)及講解作業(yè)作業(yè)nP100n7(1,2,3

24、,4)n8(1,3)n9(1,2)n14前往一、定理高階導(dǎo)數(shù)公式一、定理高階導(dǎo)數(shù)公式解析函數(shù)解析函數(shù))(zf的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為：階導(dǎo)數(shù)為：Cnndzzzzfinzf100)()()(2!)(，), 2 , 1(n其中其中C為為)(zf在解析區(qū)域內(nèi)繞在解析區(qū)域內(nèi)繞0z的任何一條正向簡單的任何一條正向簡單閉曲線，且閉曲線，且C圍成的區(qū)域包含在圍成的區(qū)域包含在D中。中。前往proof0zDC6 復(fù)變函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)Proof: 由柯西積分公式有由柯西積分公式有dzzzzfizfC00)(21)(，dzzzzzfizzfC00)(21)(zzfz

25、zfzfz)()(lim)(0000dzzzzfzzzzfziCz000)()(21limdzzzzzzzzfziCz)()(21lim000Cdzzzzfi20)()(21下一頁上一頁又由又由zzfzzfzfz )()(lim)(0000dzzzzfzzzzfziCz)()()()(21lim20200dzzzzzzzzzzzfziCz202000)()()22()(21limCdzzzzzzfi400)()22)(21Cdzzzzfi30)()(2! 2由歸納法可證得：由歸納法可證得：Cnndzzzzfinzf100)()()(2!)(我們常用方式：我們常用方式：)(!2)()(0)(10

26、zfnidzzzzfnCn前往上一頁例例1 求以下積分的值，求以下積分的值，C： 的正向。的正向。1| rzCdzzz5) 1()cos(Czdzze22) 1(12前往1解：解：原式原式) 1 (! 42)4(fi1)4()cos(! 42zzi14)cos(! 42zzii125i-i01-1C)cos()(zzf 解析解析Cdzzz5) 1()cos(前往2Czdzze22)1(iz為奇點(diǎn)，為奇點(diǎn)，原式原式21CC1122)(1)(CzCdzizizeizzizei2)(! 122)1 (iei2222)(1)(CzCdzizizeizzizei2)(! 122)1 (iei)(1 (2

27、iiieei) 1sin1(cos)1 (22ii-i01-1C1C2解：解：前往例例2 計算計算 ，C: 正向，正向， 。Cdzzzz)2)(1(13rz |0, 2, 1rrr此題分成三部分此題分成三部分-1012xy1, 10r0z為奇點(diǎn)為奇點(diǎn)2, 21r1, 0zz為奇點(diǎn)為奇點(diǎn)3, 2r2, 1, 0zzz為奇點(diǎn)為奇點(diǎn)前往1i4301-1C10)2)(1(1! 22zzzi 原式原式1)2)(1(1(13Cdzzzz, 10r0z為奇點(diǎn)，為奇點(diǎn)，前往2 為奇點(diǎn)為奇點(diǎn), 21r1, 0zz13)2(12zzzi iii12324301-1C1C22)2(1(113Cdzzzzi3221C

28、C原式原式21CC原式原式前往3 為奇點(diǎn)為奇點(diǎn), 2r2, 1, 0zzz 原式原式 231CCC23) 1(12zzzi 3) 1(1(213Cdzzzzi121 原式原式 231CCC01213243iii前往01-1C1C22C3二、二、Morera定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)在單連通域在單連通域D內(nèi)解析，且內(nèi)解析，且對于對于D內(nèi)恣意一條簡單閉曲線內(nèi)恣意一條簡單閉曲線C都有：都有： 那么：那么：f(z)在在D內(nèi)解析。內(nèi)解析。0)(Cdzzf前往0)(Cdzzff(z)的積分與途徑無關(guān)的積分與途徑無關(guān)f(z)解析解析證明：證明：1、定義、定義1一個二元函數(shù)一個二元函數(shù)),(yx在在D內(nèi)假

29、設(shè)滿足內(nèi)假設(shè)滿足, 02222yx那么稱那么稱),(yx是是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。記為：記為：02稱為稱為Laplace方程。方程。, 02222yx2方程方程前往7 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一、調(diào)和函數(shù)的概念一、調(diào)和函數(shù)的概念2、定理：任何在區(qū)域、定理：任何在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)，它內(nèi)解析的函數(shù)，它的實部與虛部在的實部與虛部在D內(nèi)是調(diào)和函數(shù)。內(nèi)是調(diào)和函數(shù)。yvxuxvyu故在內(nèi)調(diào)和；同理在內(nèi)也調(diào)和。故在內(nèi)調(diào)和；同理在內(nèi)也調(diào)和。ivuzfw)(解析解析Proof: 設(shè)設(shè)前往02222yuxuxyvxu222yxvyu2223、共軛調(diào)和函數(shù)的定義、共軛調(diào)和函數(shù)的定義

30、假設(shè)假設(shè)u，v是調(diào)和函數(shù)，且滿足是調(diào)和函數(shù)，且滿足C-R條件，那么稱條件，那么稱v是是u的共的共軛調(diào)和函數(shù)。軛調(diào)和函數(shù)。任何解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù)任何解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù)前往xuxvyvyuC-R條件條件留意：留意：u，v的次序不能顛倒的次序不能顛倒例例1 證明證明 為調(diào)和函為調(diào)和函數(shù)，并求其一個共軛調(diào)和函數(shù)。數(shù)，并求其一個共軛調(diào)和函數(shù)。yyxxu2422, 42 xxu222xu22 yyu222yu所以所以, 02222yuxu故是調(diào)和函數(shù)故是調(diào)和函數(shù)Proof: (1) 下一頁(2) 由由42 xyvxu, )(42)42(xyxydyxv其中其中)(x待定，待定，, 22)(2yxy 2)(x,2)(cxx,242xyxyv是的調(diào)和函數(shù)。是的調(diào)和函數(shù)。yuxv 由由),(2x