小學(xué)六年級奧數(shù)抽屜原理含答案

1、.抽屜原理知識要點1.抽屜原理的一般表述(1)假設(shè)有3個蘋果放入2個抽屜中，必然有一個抽屜中至少有2個蘋果。它的一般表述為：第一抽屜原理：(mn1)個物體放入n個抽屜，其中必有一個抽屜中至少有(m1)個物體。(2)若把3個蘋果放入4個抽屜中，則必然有一個抽屜空著。它的一般表述為：第二抽屜原理：(mn1)個物體放入n個抽屜，其中必有一個抽屜中至多有(m1)個物體。2.構(gòu)造抽屜的方法常見的構(gòu)造抽屜的方法有：數(shù)的分組、染色分類、圖形的分割、剩余類等等。例1自制的一副玩具牌共計52張(含四種牌：紅桃、紅方、黑桃、黑梅，每種牌都有1點，2點，13點牌各一張)，洗好后背面朝上放。一次至少抽取張牌，才能保證

2、其中必定有2張牌的點數(shù)和顏色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3張牌的點數(shù)是相鄰的(不計顏色)，那么至少要取張牌。點撥 對于第一問，最不利的情況是兩種顏色都取了113點各一張，此時再抽一張，這張牌必與已抽取的某張牌的顏色與點數(shù)都相同。點撥 對于第二問，最不利的情況是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4張，此時再取一張，這張牌的點數(shù)是3，6，9，12中的一張，在已抽取的牌中必有3張的點數(shù)相鄰。解 (1)13×2127()(2)9×4137()例2 證明：37人中，(1)至少有4人屬相相同；(2)要保證有5人屬相相同，但不保證有6人屬相相同，那么人的總數(shù)應(yīng)在

3、什么范圍內(nèi).點撥 可以把12個屬相看做12個抽屜，根據(jù)第一抽屜原理即可解決。解 (1)因為37÷1231，所以，根據(jù)第一抽屜原理，至少有314(人)屬相相同。(2)要保證有5人的屬相相同的最少人數(shù)為4×12149(人)不保證有6人屬相相同的最多人數(shù)為5×1260(人)所以，總?cè)藬?shù)應(yīng)在49人到60人的范圍內(nèi)。例3有一副撲克牌共54張，問：至少摸出多少張才能保證：(1)其中有4張花色相同.(2)四種花色都有.點撥 首先我們要弄清楚一副撲克牌有2張王牌，四種花色，每種有13張。(1)按最不利原則先取出2張為王牌，再取4張均不同花色，再連續(xù)取兩次4張也均不同花色，這時必能

4、保證每一花色都有3張，再取1張即可達到要求。(2)仍需按最不利原則去取牌，先是2張王牌，接著依次把三種花色的牌全部取出13×3，這時假設(shè)仍是沒有四種花色，再取1張即可。 解 (1)24×3115() (2)213×3142()例4 學(xué)校買來紅、黃、藍三種顏色的球，規(guī)定每位學(xué)生最多可以借兩種不同顏色的球。那么至少要來幾名學(xué)生借球，就能保證必有兩名學(xué)生借的球的顏色完全相同.點撥 根據(jù)題中“最多可借兩種不同顏色的球”，可知最多有以下6種情況：解 借球有6種情況，看做6個抽屜，所以至少要來7名學(xué)生借球，才能保證。例5 從前面30個自然數(shù)中最少要取出幾個數(shù)，才能保證取出的數(shù)

5、中能找到兩個數(shù)，其中較大的數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù).點撥 把130這30個自然數(shù)分成下面15組：1，2，4，8，16，3，6，12，24，5，10，20，7，14，28，9，18，11，22，13，26，15，30，1 7，19，21，23，25)，27，29，在這15組中，每組中的任意兩個數(shù)都存在倍數(shù)關(guān)系，故可把這15組看做15個抽屜，至少要取出16個數(shù)才能達到題目的要求。例6 邊長為1的正方形中，任意給定13個點，其中任意三點都不共線。試說明其中至少有4個點，以此4點為頂點的四邊形面積不超過四分之一。解：把正方形平均分成四個相同的小正方形，每個正方形的面積為四分之一。13=4×3+1，1

6、3個點至少有4個點在同一個小正方形，以此4點為頂點的四邊形的面積不超過小正方形的面積，即不超過原正方形面積的四分之一。例7平面上給定六個點，沒有三點共線。每兩點用一條紅線段或黃線段連接起來，試說明由這些線段圍成的三角形中，至少有一個三角形，它的三條邊同色.解 因為有六個點，每個點都要引出五條線段，據(jù)抽屜原理，任意一點引五條線段中至少有三條線段同色，不妨設(shè)是紅色(如圖紅色線段為實線，藍色線段為虛線)，這時三角形a2a3a4會出現(xiàn)兩種顏色情況(1)若a2a3，a3a4，a2a4中有任意一條線段為紅的，那么這條紅線段與它的兩個端點與a1引出的兩條線段組成一個紅三角形。(2)若a2a3，a3a4，a2

7、a4中沒有一條線段是紅色的，則a2a3a4為一個藍色三角形。綜上所述，無論(1)還是(2)，題目結(jié)論都成立。說明：若把兩種顏色連線換成人與人之間的相識或不相識關(guān)系，就可以解決實際問題：結(jié)果可證明6人之間至少有3人互相認(rèn)識或不認(rèn)識。1.要在30米長的水泥臺上放16盆花，不管怎么放，至少有幾盆之間的距離不超過2米.解：兩盆 30÷2=15段，30米中每兩米為一段的有15段，16盆花至少有兩盆花在一段，至少兩盆之間的距離不超過2米。3.在一個邊長為1的正三角形內(nèi)隨意放置10個點，試說明其中至少有兩個點之間的距離不超過1/3。解：把邊長為一的正三角形平分成9粉，由每個三角的邊長為1/3，必有

8、兩點在一個三角形內(nèi)，則兩點的距離小于1/3。4.用黑、紅兩種顏色將一個長9、寬3的矩形中的邊長為1的小正方形隨意涂色，試證必有兩列涂色情況一樣。因為涂色出現(xiàn)八種情況：（紅紅紅），（藍，藍，藍），（紅，紅，藍），（紅，藍，紅），（藍，紅，紅），（藍，藍，紅），（藍，紅，藍），（紅，藍，藍），所以九列中一定有兩列是相同的。5.從整數(shù)1，2，3，199，200中任選101個數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個數(shù)，其中的一個是另一個的倍數(shù)。分?jǐn)?shù)組1,2,4,8，16，128，3,6,12,24,48192，5,10,20,40200，7,14,28,56,112，9,18,36,72,144，11,

9、22,44,88,176，13,26,52,104，15,30,60,120,99,198，101，103，199共100個抽屜，任選101個數(shù)必有兩個數(shù)在一個抽屜里，即其中的一個是另一個的倍數(shù)。6.在10×10方格紙的每個方格中，任意填入1、2、3、4四個數(shù)之一。然后分別對每個2×2方格中的四個數(shù)求和。在這些和數(shù)中，至少有多少個和相同.1、2、3、4填入后，四個數(shù)的和最小為4，最大為16。4-16之間有13個不同的和，2×2的方格在10×10的方格中可推出81個和，81÷13=63，故至少有6+1=7個和。7.從八個連續(xù)自然數(shù)中任意選出五個，

10、其中必有兩個數(shù)的差等于4，試分析之。這八個連續(xù)自然數(shù)為a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7，分為四組 a+4，a，a+5，a+1，a+6，a+2，a+7，a+3，取五個數(shù)必有兩個數(shù)在一個抽屜中，即差為48.任意給定七個自然數(shù)，說明其中必有四個數(shù)，它們的和為4的倍數(shù)。 七個數(shù)中必有三對奇偶性相同，即滿足a1+a2=2k1,a3+a4=2k2，a5+a6=2k3。在k1，k2，k2三個數(shù)中又至少有兩個奇偶性相同，不妨設(shè)k1，k2奇偶性相同，所以k1+k2=2m，即a1+a2+a3+a4=4m, 2k1+2k2=4m，所以其中必有四個數(shù)，它們的和是4的倍數(shù)。9.從3，6，981

11、，84這些數(shù)中，任意選出16個數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的和等于90，試說明之。 分?jǐn)?shù)組6,84，9,81，12,78，42,48，3，45，共15個抽屜，故取16個數(shù)必有兩個數(shù)在一個抽屜中，即和為90。10.任意給定七個不同的自然數(shù)，其中必有兩個數(shù)的和或差是10的倍數(shù)，試說明之。按余數(shù)是2或5或兩個余數(shù)和為10來構(gòu)造6個抽屜：0，5，1,9，2,8，3,7，4,6這樣7個數(shù)必有兩個數(shù)在一個抽屜里，它們的余數(shù)之和是10或余數(shù)相同，從而他們本身的和或差為10的倍數(shù)。11.能否在10行10列的方格中的每個空格處分別填上1，2，3這三個數(shù)，使大正方形的每行、每列及兩條對角線的各個數(shù)字和互不相同.10個數(shù)的

12、和最小為10，最大為30,10-30中有21個數(shù)。10行10列加上兩條對角線共22個和，則必有兩條線上的和相同。所以不能。12.能否把17這七個數(shù)排成一圈，使任意兩個相鄰數(shù)的差等于2或3. 在這7個數(shù)中，1,2,6,7都不能相鄰，要把它們隔開需要4個數(shù)，而現(xiàn)在只剩下3,4,5三個數(shù)，所以不能。13.平面上給定六個點，沒有三個點在一條直線上，每兩點用一條紅色線段或藍色線段連接起來。試說明這些線段圍成的三角形中，至少有兩個同色三角形。14.庫房里有一批籃球、排球、足球和手球，每人任意搬運兩個，至少有多少人搬運才能保證有5人搬運的球完全一樣.每人搬得可能是兩籃、兩排、兩足、兩手、籃排、籃足、籃手、排

13、足、排手、足手10種情況。 4×10+1=41人15.在一個3×4平方米的長方形盤子中，任意撒入5個豆，5個豆中距離最小的兩個豆的最大距離是幾米.(這時盤子的對角線長為5米) 將長方形分成四份，如放5豆，必有2個豆在一個小長方形內(nèi)，一個小正方形 內(nèi)最大的距離是2.5米（如AE），故距離最小的兩個點的距離最大值是2.5米。16.一個3行7列的21個小方格的長方形，每個小方格用紅或黃中的一種顏色涂色。證明：不論如何涂色，一定能找到一個由小方格組成的長方形，它的四個角上的小方格具有相同的顏色。 第一行有7個方格，因為涂兩種顏色，根據(jù)抽屜原理二，必有一種顏色涂了4個或4個以上的方格

14、。 設(shè)第一行有四個紅方格，第二行是在第一行四個紅方格下面的四個方格中，如果有兩個紅色，那么結(jié) 論已成立，否則必有三個黃方格。第三行是在第二行3個黃方格下面的3個方格中，至少有兩個方格 涂一種顏色。如涂紅色就與第一行組成符合條件的長方形，如涂黃色就與第二行組成符合條件的長方形。17.在1，2，n中，任意取10個數(shù)，使得其中有兩個數(shù)的比值不小于，且不大于。求n的最大值。由于任取10個數(shù)中有兩個數(shù)在同一個抽屜里，顯然最多構(gòu)造9個抽屜這9個抽屜中的每一個抽屜都含有1，2，3，n中的一些數(shù)，而且這些數(shù)必須滿足每兩個數(shù)的比值都在和之間，這9個抽屜，是：1；2，3；4，5，6；7，8，9，10；11，12，

15、16；17，18，24，25；26，27，38，39；40，41，59，60；61，62，90，91 因此，n的最大值是9118.從1，2，3，1988，1989這些自然數(shù)中，最多可取多少個數(shù)，其中每兩個數(shù)的差不等于4" 把1,2,1989這些數(shù)分成四組公差是4的等差的數(shù)列； 1,5,9,1989共498個數(shù); 2,6,10,1986共497個數(shù); 3,7,111987共497個數(shù); 4,8,121988共497個數(shù); 我們發(fā)現(xiàn):1.四行中每一行中任意相鄰兩數(shù)相差為4,不相鄰兩數(shù)相差不可能是4; 2.而分屬不同兩行的任意兩個數(shù)相差不可能為4,因為如果相差為4的話,兩數(shù)將被歸為一 行,

16、這顯然與事實矛盾;故選符合規(guī)定的數(shù)只要在每組里每隔一個數(shù)選一個,每行最多可 選249 個數(shù);最終249×4=996（個）19.四個人聚會，每人各帶了兩件禮品，分贈給其余三個人中的兩人。試證明：四個人中至少有兩對，每對是互贈過禮品的。 將這四個人用4個點表示，如果兩個人之間送過禮品，就在兩點之間連一條線。由于每人送出2件禮 品，共有4×2=8條線，由于每人禮品都分贈給2個人，所以每兩點之間至多有1+1=2條線。四點間， 每兩點連一條線，一共6條線，現(xiàn)在有8條線，說明必有兩點之間連了2條線，還有另外兩點(有一點 可以與前面的點相同)之間也連了2條線。即為所證結(jié)論。20.一排長椅

17、共有90個座位，其中一些座位已經(jīng)有人就座了。這時，又來了一個人要坐在這排長椅上，有趣的是，他無論坐在哪個座位上都與已經(jīng)就座的某個人相鄰。原來至少有幾人已經(jīng)就座.由于,他無論坐在哪個座位上都與已經(jīng)就座的某個人相鄰,求至少有多少人,則有人的位置如圖所示,(“”表示已經(jīng)就座的人,“”表示空位):.即有人的位置占全部人數(shù)的1/3，90÷3=30人。即原來至少有30人已經(jīng)就座。21.把1，2，3，8，9，10任意擺放在一個圓圈上，每相鄰的三個數(shù)組成一個和數(shù)。試說明其中至少有一個和數(shù)不小于17。（反證）假設(shè)任意三個相鄰的數(shù)之和都小于17即小于等于16。則10組之和應(yīng)小于等于16×10=

18、160； 10組之和即把10個數(shù)分別加了3次，又因為：3（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=165>160 所以矛盾；故假設(shè)不成立，所以其中至少有一個和不小于17。22.某人步行10小時，走了45千米。已知他第一小時走了5千米，最后一小時走了3千米，其余每小時都走了整數(shù)千米。證明在中間8小時當(dāng)中，一定存在連續(xù)的兩小時，這人至少要走10千米。這個人在中間的8小時內(nèi)走了4553=37(km)假設(shè)在中間的8個小時內(nèi)他相鄰2個小時內(nèi)都走9km，8個小時內(nèi)一共有7組相鄰，其中除去這8個小時內(nèi)的前后兩個小時，其他6個小時都有2次相鄰， 這8個小時內(nèi)的路程可得：7×96÷

19、2×9=36km<37km一定存在連續(xù)的兩小時，這人至少走了10千米。23.在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12這12個自然數(shù)中，任意選取8個不同的數(shù)，其中必有兩對數(shù)，每對數(shù)的差是1。構(gòu)造6個抽屜1,23,45,67,89,1011,12將八個不同的數(shù)放入六個抽屜，必有兩對數(shù)，每對的差是1。24.有紅、黃、藍、綠四色的小球各10個，混合放在一個布袋里。一次摸出8個小球，其中至少有幾個小球的顏色是相同的。把紅黃藍綠四個小球看成四個抽屜，一次摸出八個小球放在抽屜里，8÷4=2，其中至少有2個小球顏色相同。25.數(shù)學(xué)奧林匹克競賽，全世界52個國家的308名選手參加了競賽。按組委會規(guī)定，每個國家的選手不得超過6名，至少有幾個國家派6名選手參賽。每個國家最多派出的運動員不超過6人，假設(shè)52個國家每個國家都派了5名，則剩下308-52×5=48（名）運動員。因為每個國家派出的運動員不超過6名，所以只好把48名運動員平均分到48個國家中去，也就是說，至少有48個國家派滿了6名運動員。26.某中學(xué)有十位老師，每位至少與另外九位中的七位認(rèn)識，我們必可從中找出幾位，他們彼此認(rèn)識。 用a(1),a(2),.,a(10)表示10個人；a(1)不認(rèn)識的至多2人,認(rèn)識的人不少于7個,不妨假定a(1)認(rèn)識a(2)；a(1)、a(2)中至少有一個人