2003考研數(shù)二真題

1、東方教育在線皿n!中xn項(xiàng)的系數(shù)是f (n)(0)n!2003年考研數(shù)學(xué)(二)真題評(píng)注、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)1(1)若Xr 0時(shí)，(1ax2)4 1與xsinx是等價(jià)無窮小，則 a=-4i【分析】根據(jù)等價(jià)無窮小量的定義，相當(dāng)于已知a.注(1-ax2)4lim1，反過來求x >0xsin x意在計(jì)算過程中應(yīng)盡可能地應(yīng)用無窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行化簡(jiǎn)1 【詳解】 當(dāng) x 0 時(shí)，(1ax2)41ax2， xs in x x2.41 1 2(12)4 ax1于是，根據(jù)題設(shè)有l(wèi)im ( ax) lim 務(wù)一 二_-a = 1，故a=-4.t xs in

2、x t x4【評(píng)注】本題屬常規(guī)題型，完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.38【例1.62】(2) 設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程xy 2lnx二y4所確定，貝U曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方 程是x_y=0 .【分析】先求出在點(diǎn)(1,1)處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可【詳解】 等式 xy + 21 n x = y4兩邊直接對(duì)x求導(dǎo)，得y xy Z =4y3y ,x將x=1,y=1代入上式，有y(1) =1.故過點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y -1 =1 (x-1)，即 x-y = 0.【評(píng)注】本題屬常規(guī)題型，綜合考查了隱函數(shù)求導(dǎo)與求切線方程兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.55【例2

3、.13】和【例2.14】.xn(3) y=2的麥克勞林公式中x項(xiàng)的系數(shù)是(n) (0)，則麥克勞林公式【分析】本題相當(dāng)于先求 y=f(x)在點(diǎn)x=0處的n階導(dǎo)數(shù)值1東方教育在線#東方教育在線【詳解】 因?yàn)?y'2xl n2 , /-2x(l n2)2，y(x)=2x(l n2)n，于是有y(n)(0(lr2)n，故麥克勞林公式中xn項(xiàng)的系數(shù)是y(n)(0)(ln 2)nn!n!2東方教育在線【評(píng)注】本題屬常規(guī)題型，在一般教材中都可找到答案(4) 設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為- ear(a 0)，則該曲線上相應(yīng)于 二從o變到2二的段弧與極軸所圍成的圖形的面積為存7.【分析】利用極坐標(biāo)下的面積計(jì)算

4、公式-，2)dd即可.2 h【詳解】【評(píng)注過程比較復(fù)雜所求面積為12兀12S =2 ° "(旳01 2a0=e4a本題考查極坐標(biāo)下平面圖形的面積計(jì)算，也可化為參數(shù)方程求面積，但計(jì)算 .完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南=丄（宀）.0 4aP.200【例 7.38.(5) 設(shè)為3維列向量，是：的轉(zhuǎn)置 T.若丄丄1-1-1-11 1-1，則13東方教育在線#東方教育在線.J.;=【分析本題的關(guān)鍵是矩陣:T的秩為1，必可分解為一列乘一行的形式，而行向#東方教育在線#東方教育在線1_111111-11-1=-11-11 】，知 a =-1_11 -1 11 -1J，列向量的元素則為各行與選

5、定行的倍數(shù)構(gòu)成【詳解由:川二曰.般可選第一行(或任一非零行)-1 11 11-1-3.#東方教育在線#東方教育在線'a/【評(píng)注一般地，若n階矩陣A的秩為1，則必有32b2完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.389【例2.1113.0 一和考研數(shù)學(xué)大串講P.162【例(6) 設(shè)三階方陣 A,B滿足A2B - A - B = E ,其中E為三階單位矩陣，若#東方教育在線10A =02-201【0，則B1【分析】先化簡(jiǎn)分解出矩陣 B，再取行列式即可【詳解】 由A2B A B =E知,(A2 - E)B = A E，即 (A E)( A 一 E)B 二 A E，易知矩陣A+E可逆，于是有(A _ E

6、)B =E.再兩邊取行列式，得A - E| B = 1，因?yàn)?01010=2,所以-2004東方教育在線#東方教育在線【評(píng)注】 本題屬基本題型，綜合考查了矩陣運(yùn)算與方陣的行列式，此類問題一般都應(yīng) 先化簡(jiǎn)再計(jì)算完全類似例題見考研數(shù)學(xué)大串講P.160【例11.二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))設(shè)an,bn,Cn均為非負(fù)數(shù)列，且叩：務(wù)"恥冷収八則必有(A) an ： bn對(duì)任意n成立.(B) bn : cn對(duì)任意n成立.#東方教育在線#東方教育在線(C) 極限lim anCn不存在.(D)極限l

7、im gs不存在.D nn【分析本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項(xiàng)的大小無關(guān)，可立即排除(A),(B);而極限lim anCn是0 二型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極限lim gsnn屬1二型，必為無窮大量，即不存在.21【詳解用舉反例法，取an二彳,bn =1 , cn =丄n(n =1,2/ )，則可立即排除n2(A) ,(B),(C)，因此正確選項(xiàng)為(D).【評(píng)注對(duì)于不便直接證明的問題，經(jīng)常可考慮用反例， 通過排除法找到正確選項(xiàng).完全類似方法見數(shù)學(xué)最后沖刺P.179.(2)設(shè) an 二？ n 1 xn 4 J xn dx23(A)(1 e)21.3(C)(1e4)

8、21.(B)(D)3(1 e4)2 -1.3(1 e)? -1.#東方教育在線【分析】 先用換元法計(jì)算積分，再求極限【詳解】因?yàn)閍nn百xnj11 - x3dx 盂 0n1 1 xnd(1 xn)= l(1xn)3n丄1 ( nn可見limn :nan = lim 1 (一 nn +13)n -13-(1 - e)2 -1.5東方教育在線【評(píng)注】 本題屬常規(guī)題型，綜合考查了定積分計(jì)算與求數(shù)列的極限兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但定 積分和數(shù)列極限的計(jì)算均是最基礎(chǔ)的問題，一般教材中均可找到其計(jì)算方法Xyxx(3)已知y是微分方程y()的解，則(一)的表達(dá)式為In xxyyx【分析】將y代入微分方程，再令I(lǐng)n x的

9、中間變量為u，求出:(u)的表達(dá)式，進(jìn)(A)2y2x(B)2 y2x22(C)x(D)x2 .2 .yy#東方教育在線#東方教育在線而可計(jì)算出(-).yxyx【詳解】將y代入微分方程y()，得In xxyIn x -1In2 xIn x:(Inx)，即1：(Inx)In x令I(lǐng)nx=u，有 (u)u2，故【評(píng)注】 本題巧妙地將微分方程的解與求函數(shù)關(guān)系結(jié)合起來，具有一定的綜合性，但 問題本身并不復(fù)雜，只要仔細(xì)計(jì)算應(yīng)該可以找到正確選項(xiàng)(4)設(shè)函數(shù)f(x)在(：，：)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則 f(x)有(A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)(C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)

10、和兩個(gè)極大值點(diǎn)(D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)【分析】答案與極值點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，而可能的極值點(diǎn)應(yīng)是導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，共4個(gè)，是極大值點(diǎn)還是極小值可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定【詳解】 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個(gè)，而x=0則是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)三個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不一致，必為極值點(diǎn)，且兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)；在 x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見x=0為極大值點(diǎn)，故f(x)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選 (C).【評(píng)注】 本題屬新題型，類似考題2001年數(shù)學(xué)一、二中曾出現(xiàn)過，當(dāng)時(shí)考查的是已.完全類似例題在文登學(xué)校經(jīng)濟(jì)類串講知f(

11、x)的圖象去推導(dǎo)f (x)的圖象，本題是其逆問題班上介紹過(5)設(shè)I1Ji.4 ta n x .=4dx,* 二0 x二 Xn4dx,則0 ta nx(A)I1I21.(B)1 “ 1 1 I 2(C)I2I11.(D)112 I1【分析】直接計(jì)算I I2是困難的，可應(yīng)用不等式tanx>x, x>0.【詳解】tan x因?yàn)楫?dāng) x>0時(shí)，有tanx>x，于是1，xJIdxtanxdxtan x，從而有可見有JtI1 I2且丨2 ：，可排除(A),(C),(D)，故應(yīng)選(B).4【評(píng)注】本題沒有必要去證明I1 ：1，因?yàn)橛门懦ǎ?A),(C),(D)均不正確，剩下的(B)

12、定為正確選項(xiàng)(6)設(shè)向量組1 : 忙工，/ r可由向量組II:：1,匕,:s線性表示，則(A)當(dāng)r : s時(shí)，向量組II必線性相關(guān).(B)當(dāng)r - s時(shí)，向量組II必線性相關(guān)(C)當(dāng)r : s時(shí)，向量組I必線性相關(guān).(D)當(dāng)r s時(shí)，向量組1必線性相關(guān)D 【分析】 本題為一般教材上均有的比較兩組向量個(gè)數(shù)的定理：若向量組I :1,2,，r可由向量組II :-1, '2/' , ：s線性表示，則當(dāng)r S時(shí)，向量組I必線性相關(guān)或其逆否命題：若向量組 I :12,，r可由向量組II : -1, '2/' /：s線性表示，且向量 7東方教育在線組I線性無關(guān)，則必有 r s

13、.可見正確選項(xiàng)為(D).本題也可通過舉反例用排除法找到答案【詳解】用排除法：如 = 卩則?！啊?quot;。$2，但P民W丿Q丿I1丿線性無關(guān)，排除(A)；1°丿則1,2可由：1線性表示，但'I線(1 性無關(guān)，排除(B) ； a 1 =，優(yōu)1°丿關(guān)，排除(C).故正確選項(xiàng)為(D).P)，«1可由B 12線性表示，但«1線性無1【評(píng)注】本題將一已知定理改造成選擇題,如果考生熟知此定理應(yīng)該可直接找到答案,48東方教育在線若記不清楚，也可通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆蠢业秸_選項(xiàng)。此定理見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.409定理11.三、(本題滿分10 分)設(shè)函數(shù)f(x)二3l

14、n(1 ax )xarcsin x'6,eax x2 ax 1x ：0,x =0,x0,4#東方教育在線.x xsi n4【詳解】f(0 -0) =lim f(x)=xT_limx x - arcs in x3 ax lim jx "x - arcs in x=limx fl -12 23ax . 3ax lim 1 x "d-x2 -1 1-x2c2. 3ax limX Q一 12x2-6a.f(0 0)巳叫 f(x)二処axex2 _ ax _1xxsin 一ax 2e 十 x ax-1 =4 lim廠xtxaeax +2x - a二 4 limx 0 2x=

15、2a24.問a為何值時(shí)，【分析】f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時(shí)，x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn)？ 分段函數(shù)在分段點(diǎn) x=0連續(xù)，要求既是左連續(xù)又是右連續(xù)，即f (0 -0) = f (0) = f(0 0).4#東方教育在線令 f(0-0) = f(0 ' 0)，有-6a = 2a4，得 a - -1 或 a - - 2.當(dāng) a=-1 時(shí)，lim f (x) = 6 = f (0)，即 f(x)在 x=0 處連續(xù).x 屮當(dāng)a=-2時(shí)，lim f (x) = 12 = f (0)，因而x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn).x 屮【評(píng)注】 本題為基本題型，考查了極限、連續(xù)與間斷等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其中

16、左右極限的計(jì)算有一定難度，在計(jì)算過程中應(yīng)盡量利用無窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行簡(jiǎn)化完全類似例題見數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P.22【例1.38-39】,考研數(shù)學(xué)大串講P.15【例23】，文登數(shù)學(xué)全真模擬試卷數(shù)學(xué)二 P.3第四題.四、(本題滿分9分)2x=1+2t ,d2設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程Xz9H2lnteU(t>1)所確定，求 yy = 1 dudx.1u.注意當(dāng)【分析】 本題為參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)，按參數(shù)方程求導(dǎo)的公式進(jìn)行計(jì)算即可 x=9時(shí)，可相應(yīng)地確定參數(shù) t的取值.【詳解】由魚二dt1：；2ln te1 2l nt t2et1 2l nt，4t，dtdy2etdy dt1 2l nte

17、dxdx4t-2(1 2lnt)dt所以d2yddy(d；)1e-12 1dx2_ dtdx_2 (1 2lnt)2 t 4tdte4t2(1 2ln t)2當(dāng)x=9時(shí)2，由 x = 1 + 2t 及 t>1 得t=2,故d2yeedx2xm4t2(1+2l nt)2t =216(1+21 n2)2【評(píng)注】完全類似例題見 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.53【例2.9】，考研數(shù)學(xué)大串講P.15【例23】.五、(本題滿分9分)arcta n xxe計(jì)算不定積分 3 dx.(1 +x2) 2【分析】被積函數(shù)含有根號(hào).1 x2，典型地應(yīng)作代換：x=tant,或被積函數(shù)含有反三【詳解】設(shè) x = ta n t，

18、貝U角函數(shù) arctanx,同樣可考慮作變換：arctanx=t，即 x=tant.arcta n xxe23(1 x2) 2dx 叮弘 sec2tdt =(1 tan 2t) 2et sin tdt.又 et sin tdt = - etd cost=-(d cost - et costdt)=cost et sin t - e sin tdt，1故et si n d tel s i n-co s) C.2arcta n x彳因此 xe 3 dx = 1earctanx(x)C(1+x2)，22J1 +x2 J1 + X2(x 二 1)earctanx2 1x2C.【評(píng)注】本題也可用分布積分

19、法:arcta n x xe(1 x2)'2dx =arcta n x-de1 x2arcta n x xearctan x e(1 x2)32dxarcta nxxe一 1x2dearcta n xarcta nx xearcta nxearctan x xe一 1 x2 1 x23(1 x ) 2dx11東方教育在線#東方教育在線移項(xiàng)整理得arcta nx, 八 arcta nxC.xe , (x -1)e (1x2)32dxU廠本題的關(guān)鍵是含有反三角函數(shù)，作代換 arctanx=t或tant=x,完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.86【例3.23】以及P.90習(xí)題12.六、(本題滿分

20、12分)設(shè)函數(shù)y=y(x)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 y = 0, x = x(y)是y=y(x)的反函數(shù).d2 xdx(1)試將x=x(y)所滿足的微分方程2 (y sinx)( )3 = 0變換為y=y(x)滿足的微dydy分方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0) = 0, y (0) = ?的解.2【分析】將dx轉(zhuǎn)化為dy比較簡(jiǎn)單,dydxdx11dx =丄二丄，關(guān)鍵是應(yīng)注意:dy dyydxd2xdy2(dx)= d (dy dy dx1 dxy ) dyn 4IM=_y 1 _ y 7T廠研.然后再代入原方程化簡(jiǎn)即可 .dx 1【詳解】(1)由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知 dx = 1，

21、于是有 dy yd2xd?丿凸=d J)dy dy dx ydxdy2代入原微分方程得y - y = sin x.(2)方程(* )所對(duì)應(yīng)的齊次方程 y-y二0的通解為設(shè)方程(* )的特解為y 二 Acosx Bsin x，代入方程(* )，求得A=0,B二-1，故y21 . sin x，2y =Yy* = C1ex C2e" -sin x.2從而y - y = sin x的通解是3由 y(0) = 0, y (0) ，得 C1,C22x亠 1.y = e -e si nx.2【評(píng)注】本題的核心是第一步方程變換,2.8】和P.59的【例2.22】.=-1.故所求初值問題的解為完全類似

22、例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.53的【例七、(本題滿分12分)討論曲線y =4l nx k與y=4x，ln4x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)【分析】問題等價(jià)于討論方程In4 x -41 n x 4x - k = 0有幾個(gè)不同的實(shí)根.本題相當(dāng)當(dāng)0 : x :：: 1時(shí)，:(x) :：: 0，即(x)單調(diào)減少；當(dāng) x>1時(shí)，:(x)0，即卩(x)單調(diào)增加，故(1) =4 - k為函數(shù) (x)的最小值.當(dāng)k<4，即4-k>0時(shí)，(x) =0無實(shí)根，即兩條曲線無交點(diǎn)；當(dāng)k=4，即4-k=0時(shí)，(X)=0有唯一實(shí)根，即兩條曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k>4，即4-k<0時(shí)，由于lim(x) = lim In

23、x(ln 3 x - 4) 4x - k-:xj x )0Jim _(x)工!im In x(ln 3 x - 4) 4x - k：-:故(x) =0有兩個(gè)實(shí)根，分別位于(0,1)與(1,:：)內(nèi)，即兩條曲線有兩個(gè)交點(diǎn).【評(píng)注】 討論曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，在構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí)，應(yīng)盡量將待分析的參數(shù)分離 開來，使得求導(dǎo)后不含參數(shù)，便于求駐點(diǎn)坐標(biāo)完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.192的【例7.24】和數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P.89的【例6.18-19】以及文登數(shù)學(xué)全真模擬試卷數(shù)學(xué)二P.1第二大題第(2)小題.八、(本題滿分12分)42 1設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過點(diǎn)(，)，其上任一點(diǎn) P(x,y)

24、處的法線與y軸的2 2交點(diǎn)為Q,且線段PQ被x軸平分.(1) 求曲線y=f(x)的方程；(2) 已知曲線y=sinx在0,二上的弧長(zhǎng)為l，試用l表示曲線y=f(x)的弧長(zhǎng)s.【分析】(1)先求出法線方程與交點(diǎn)坐標(biāo) Q,再由題設(shè)線段PQ被x軸平分，可轉(zhuǎn)化為 微分方程，求解此微分方程即可得曲線 y=f(x)的方程.(2)將曲線y=f(x)化為參數(shù)方程，再 利用弧長(zhǎng)公式s = f Jx,2 +y,2 dt進(jìn)行計(jì)算即可.a【詳解】(1)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x,y)處的法線方程為1丫-y (X-x),y其中(X,Y)為法線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo).令X=0，則x=yy故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,yx).由題設(shè)知Fy

25、1 “2(y yx)=0 ,即卩 2ydy xdx 二 0. y積分得2 2x 2y =C (C為任意常數(shù)).14東方教育在線#東方教育在線x2 = 1知C=1，故曲線y=f(x)的方程為X22x2 2y2 =1.曲線y=sinx在0 ,二上的弧長(zhǎng)為花, H h+ cos2 xdx = 22(1 十 cos2 xdx.L0曲線y=f(x)的參數(shù)方程為x = c o s,y 丁 sin,Tt< 2#東方教育在線#東方教育在線21 .02'1 sin 珂出，it令t =u，貝U231 202 "cos2udu1 0 2s - - 1 cos u(-du)2 2l . 2 =

26、 2.2 盲1.【評(píng)注】 注意只在第一象限考慮曲線y=f(x)的弧長(zhǎng)，所以積分限應(yīng)從0到一，而不是2從0到2；完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.176的【例6.22】和數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P.174的【例12.18】以及P.172的【解題提示】，另外還有文登數(shù)學(xué)全真模擬試卷數(shù)學(xué)二-P.74的第七題.九、(本題滿分10分)有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線 x=(y)(y亠0)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面(如圖)，容器的底面圓的半徑為2 m.根據(jù)設(shè)計(jì)要求，當(dāng)以 3m3/min的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí)，2液面的面積將以 二m /min的速率均勻擴(kuò)大(假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無液體).(1) 根據(jù)t時(shí)刻液面的面

27、積，寫出t與(y)之間的關(guān)系式；(2) 求曲線x =護(hù)(y)的方程(注：m表示長(zhǎng)度單位米，min表示時(shí)間單位分.)【分析】液面的面積將以二m /min的速率均勻擴(kuò)大，因此t時(shí)刻液面面積應(yīng)為：二22 二t,而液面為圓，其面積可直接計(jì)算出來，由此可導(dǎo)出t與(y)之間的關(guān)系式；又液體的體積可根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的體積公式用定積分計(jì)算，已知t時(shí)刻的液體體積為3t，它們之間也可建立積分關(guān)系式，求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為微分方程求解即可【詳解】(1)設(shè)在t時(shí)刻，液面的高度為y，則由題設(shè)知此時(shí)液面的面積為二 2(y)=4 亠 t,從而 t = 2(y)-4.y 22(2)液面的高度為y時(shí)，液體的體積為 兀0 ® (u)d

28、u=3t = 3 (y)12.上式兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得 ：2(y) =6 ：(y)(y)，即二(y)=6(y).解此微分方程，得(y) =Ce6，其中C為任意常數(shù)，由- (02 知 C=2,故所求曲線方程為兀x =2e61【評(píng)注】作為應(yīng)用題，本題比較好地綜合考查了定積分在幾何上的應(yīng)用與微分方程的求解。完全類似例題見文登數(shù)學(xué)全真模擬沖刺試卷數(shù)學(xué)一P.78的第四題(實(shí)際考題相當(dāng)于本題的特殊情形)和數(shù)學(xué)最后沖刺 P.94的【例2】.十、(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f (x) 0.若極限f (2x a)lim ''存在，證明：Jax -

29、 a(1) 在(a,b)內(nèi) f(x)>0;(2) 在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)，使b2 一 a22；:f(x)dx f()(3) 在(a,b)內(nèi)存在與 中相異的點(diǎn)，使222t bf ( )(b -a )a f(x)dx.-af (2x _ a)【分析】(1)由lim存在知，f(a)=0,利用單調(diào)性即可證明f(x)>0. (2)要證t x a的結(jié)論顯含f(a),f(b)，應(yīng)將要證的結(jié)論寫為拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式進(jìn)行證明.(3)注意利用(2)的結(jié)論證明即可.f (2x _ a)【詳解】 因?yàn)閘im存在，故lim f (2x - a) = f (a) = 0.又f (x)0 ,x

30、aXT于是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加，故f (x) f (a) = 0, x (a,b).2F(x)= x , g(x)二xf(t)dt(aExb),則 g (x) = f(x) 0，故 F(x),g(x)滿a足柯西中值定理的條件，于是在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)'，使17東方教育在線#東方教育在線(x2)x q f(t)dt)F(b)_F(a)_b2 _a2g(b) - g(a) ff (t)dt - f f (t)dtaab2 -a2 _ 2©,gb f (x)dx f()因f( J二f( ')- f(0H f( J -f(a)，在a,上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在(a

31、,)內(nèi)存在一點(diǎn) ，使f)= f ( )- a)，從而由的結(jié)論得b2 -a22fb f (x)dx f V1" -a)'a2巴 b 即有 f ( )(b2 -a2)f (x)dx.匕-a 'a【評(píng)注】 證明，關(guān)鍵是用(2)的結(jié)論：f 0)(b2 a2)= 2巴 ff(x)dx =-ab2 a22» f (x)dx f ( )( - a)a=f)二f ( )-a)(根據(jù)結(jié)論)二 f ( ) - f(a) = f ( )(-a),可見對(duì)f(x)在區(qū)間a上應(yīng)用拉格朗日中值定理即可完全類似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.120【例4.41】 和考研數(shù)學(xué)大串講 P.54【例18

32、-19 】.十一、(本題滿分10分)若矩陣APAP =二01a相似于對(duì)角陣A，試確定常數(shù)6的值；并求可逆矩陣P使已知A相似于對(duì)角矩陣， 應(yīng)先求出A的特征值, 無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)相同，轉(zhuǎn)化為特征矩陣的秩，進(jìn)而確定參數(shù) 題【詳解】 矩陣A的特征多項(xiàng)式為【分析】再根據(jù)特征值的重?cái)?shù)與線性a.至于求P,則是常識(shí)問-2-8-20九-2-a0入-62=C _6)( -2) -162=('-6) C 2)，故A的特征值為 2 = 6,，3 - -2.由于A相似于對(duì)角矩陣 上，故對(duì)應(yīng)i二霍=6應(yīng)有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即3 _r(6E _A)=2，于是有r(6E A)=1.14-20 _2-101由6

33、E - A =-84aT00a000 -000 一知 a=0.于是對(duì)應(yīng)于 2 =6的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量可取為-2時(shí),012|4-22E A= 84'0 0解方程組/i X2 = o,得對(duì)應(yīng)于X3 = 0,01-21010T001-8 一-000_-11入3 = -2的特征向量J =-20 一0 1 1令P = 02-2，則P可逆，并有PAP =A.1 0 0 _【評(píng)注】 完全類似的例題見考研數(shù)學(xué)大串講P.222【例18-19】和文登數(shù)學(xué)全真模擬試卷數(shù)學(xué)二 P.36第十二題（幾乎完全一致）.十二、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為11 : ax 2by 3c = 0，12 :bx 2cy 3a = 0，13：cx 2ay 3b = 0.試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a b 0.【分析】 三條直線相交于一點(diǎn)，相當(dāng)于對(duì)應(yīng)線性方程組有唯一解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩 陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】方法一：必要性設(shè)三條直線I1.l2.l3交于一點(diǎn)，則線性方程組ax 2by - -3c,bx 2cy 二-3a,