行進中的數(shù)學(xué)(第九課時)

1、第三章：數(shù)學(xué)三大危機第三章：數(shù)學(xué)三大危機行進中的數(shù)學(xué)行進中的數(shù)學(xué)*行進中的數(shù)學(xué)：張真義、毛燕林2 三、第三次數(shù)學(xué)危機三、第三次數(shù)學(xué)危機 1“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光的曙光集合論集合論 到到19世紀，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何世紀，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴展和完善；實數(shù)理論（和的出現(xiàn)使幾何理論更加擴展和完善；實數(shù)理論（和極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個數(shù)學(xué)的為明晰，等等。人們水到渠成地

2、思索：整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里？正在這時，基礎(chǔ)在哪里？正在這時，19世紀末，集合論出現(xiàn)了。世紀末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺到，集合論有可能成為整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。人們感覺到，集合論有可能成為整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。3 其理由是：算術(shù)以整數(shù)、分數(shù)等為對象，微積分其理由是：算術(shù)以整數(shù)、分數(shù)等為對象，微積分以變數(shù)、函數(shù)為對象，幾何以點、線、面及其組成以變數(shù)、函數(shù)為對象，幾何以點、線、面及其組成的圖形為對象。同時，用集合論的語言，算術(shù)的對的圖形為對象。同時，用集合論的語言，算術(shù)的對象可說成是象可說成是“以整數(shù)、分數(shù)等組成的以整數(shù)、分數(shù)等組成的集合集合”；微積；微積分的對象可說成是分的對象可說成是“以函數(shù)等組成的以函數(shù)等

3、組成的集合集合”；幾何；幾何的對象可說成是的對象可說成是“以點、線、面等組成的以點、線、面等組成的集合集合”。這樣一來，這樣一來，都是以集合為對象都是以集合為對象了。了。集合成了更基本集合成了更基本的概念。的概念。4 于是，集合論似乎給數(shù)學(xué)家?guī)砹耸锕猓河谑牵险撍坪踅o數(shù)學(xué)家?guī)砹耸锕猓嚎赡軙粍谟酪莸財[脫可能會一勞永逸地擺脫“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的危機。的危機。盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多人認為這只是時間問題。龐加萊甚至在人認為這只是時間問題。龐加萊甚至在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上宣稱：年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上宣稱：“現(xiàn)在現(xiàn)在 我們可以說，完

4、全的嚴格性已經(jīng)達到了！我們可以說，完全的嚴格性已經(jīng)達到了！”5 2算術(shù)的集合論基礎(chǔ)算術(shù)的集合論基礎(chǔ) 1）人們按下列邏輯順序把全部數(shù)學(xué)的基）人們按下列邏輯順序把全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)歸結(jié)為算術(shù)，即歸結(jié)為非負整數(shù)，即自然數(shù)礎(chǔ)歸結(jié)為算術(shù)，即歸結(jié)為非負整數(shù)，即自然數(shù)集合加上集合加上0現(xiàn)在我國中小學(xué)就把這一集合現(xiàn)在我國中小學(xué)就把這一集合稱為自然數(shù)集合。稱為自然數(shù)集合。（算術(shù)）非負整數(shù)（算術(shù)）非負整數(shù)n有理數(shù)有理數(shù) 實數(shù)實數(shù) 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 圖形圖形()nm 取極限11 ba解析幾何6 因此，全部數(shù)學(xué)似乎都可歸結(jié)為非負整數(shù)了，因此，全部數(shù)學(xué)似乎都可歸結(jié)為非負整數(shù)了，或者說，或者說，全部數(shù)學(xué)都可以歸結(jié)為算術(shù)了。全部數(shù)學(xué)都

5、可以歸結(jié)為算術(shù)了。 這樣，如果能把算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，這樣，如果能把算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，就相當(dāng)于解決了整個就相當(dāng)于解決了整個“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的問題。的問題。 法國數(shù)學(xué)家、數(shù)理邏輯先驅(qū)法國數(shù)學(xué)家、數(shù)理邏輯先驅(qū)弗雷格弗雷格（G.Frege,18481925）就做了這樣的工作。他寫）就做了這樣的工作。他寫了一本名叫了一本名叫算術(shù)基礎(chǔ)算術(shù)基礎(chǔ)的書。的書。7弗雷格算術(shù)基礎(chǔ)8 2) 弗雷格的弗雷格的算術(shù)基礎(chǔ)算術(shù)基礎(chǔ) 為了使算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，所為了使算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，所有的非負整數(shù)，都需要用集合論的觀點和語有的非負整數(shù)，都需要用集合論的觀點和語言重新定義。言重新定義。 首先從

6、首先從0說起。說起。0是什么？是什么？ 應(yīng)當(dāng)先回答應(yīng)當(dāng)先回答0是什么，然后才有表示是什么，然后才有表示“0”的符號。的符號。9 為此，先定義為此，先定義“空集空集”?？占??？占恰安缓缓氐募纤氐募稀?。例如，。例如，“ 方程方程 在實在實數(shù)集中的根的集合數(shù)集中的根的集合 ”就是一個空集，再例就是一個空集，再例如如“由最大的正整數(shù)組成的集合由最大的正整數(shù)組成的集合”也是一個也是一個空集?？占?。210 x 10 所有的空集放在一起，作成一個集合的所有的空集放在一起，作成一個集合的集合集合，（為說話簡單我們把，（為說話簡單我們把“集合的集合集合的集合”稱作類），這個類，就可以給它一個符號

7、：稱作類），這個類，就可以給它一個符號：0，中國人念中國人念“l(fā)ing”，英國人念，英國人念“Zero”。 空集是空的，但由所有空集組成的類，空集是空的，但由所有空集組成的類，它本身卻是一個元素了，即，它本身卻是一個元素了，即，0是一個元素了。是一個元素了。由它再作成一個集合由它再作成一個集合0，則不是空集了。，則不是空集了。11 弗雷格再定義兩個集合間的弗雷格再定義兩個集合間的雙射雙射：既是滿射又是：既是滿射又是單射的映射叫作雙射，也稱單射的映射叫作雙射，也稱可逆映射可逆映射；通俗地說，；通俗地說，就是存在逆映射的映射。它可以在兩個集合間來回就是存在逆映射的映射。它可以在兩個集合間來回地映射

8、，所以一般稱為地映射，所以一般稱為“雙射雙射”。 弗雷格再定義弗雷格再定義兩個集合的兩個集合的“等價等價”： ， 能夠在其間建立雙射的兩個集合能夠在其間建立雙射的兩個集合A、B稱為稱為“等等價價”。AB可逆映射12 下邊可以定義下邊可以定義“1”了。把了。把與集合與集合0等價等價的所有集合放在一起，作成一個集合的集合。的所有集合放在一起，作成一個集合的集合。這個類，就可以給它一個符號：這個類，就可以給它一個符號：1。 再定義再定義“2”。把。把與集合與集合0，1等價的所有等價的所有集合放在一起，作成一個集合的集合。這個集合放在一起，作成一個集合的集合。這個類，就叫：類，就叫：2。 然后，把然后

9、，把與與0，1，2等價的集合作成的等價的集合作成的類，叫：類，叫：3。13 一般地，在有了一般地，在有了0，1，2，n的的定義后，就把所有定義后，就把所有與集合與集合0，1，2，n 等 價 的 集 合 放 在 一 起 ， 作 成 集 合 的 集等 價 的 集 合 放 在 一 起 ， 作 成 集 合 的 集合，這樣的類，定義為：合，這樣的類，定義為：n+1。 這種定義概念的方法，叫作這種定義概念的方法，叫作“歸納定歸納定義義”的方法。的方法。14 這樣，弗雷格就這樣，弗雷格就從空集出發(fā)，而僅僅從空集出發(fā)，而僅僅用到用到集合集合及及集合等價集合等價的概念的概念，把全部非負，把全部非負整數(shù)定義出來了

10、。于是根據(jù)上邊說的整數(shù)定義出來了。于是根據(jù)上邊說的“可可以把全部數(shù)學(xué)歸結(jié)為非負整數(shù)以把全部數(shù)學(xué)歸結(jié)為非負整數(shù)”，就可以，就可以說，說，全部數(shù)學(xué)可以建立在集合論的基礎(chǔ)上全部數(shù)學(xué)可以建立在集合論的基礎(chǔ)上了。了。15 3 羅素的羅素的“集合論悖論集合論悖論”引發(fā)危機引發(fā)危機 1） 悖論引起震憾和危機悖論引起震憾和危機 正 當(dāng) 弗 雷 格 即 將 出 版 他 的正 當(dāng) 弗 雷 格 即 將 出 版 他 的 算 術(shù) 基算 術(shù) 基礎(chǔ)礎(chǔ)一書的時候，羅素的集合論悖論出來一書的時候，羅素的集合論悖論出來了。這也是龐加萊宣布了。這也是龐加萊宣布“完全嚴格的數(shù)學(xué)完全嚴格的數(shù)學(xué)已經(jīng)建立起來！已經(jīng)建立起來！”之后剛剛兩年

11、，即之后剛剛兩年，即1902年。年。16 伯特蘭伯特蘭羅素（羅素（1872-1970）Russell, Bertrand Arthur William(Third Earl Russell)出生年月：1872-1970 國籍：英國學(xué)科成就：學(xué)科成就：英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家，分析學(xué)的主要創(chuàng)始人，世界和平運動的倡導(dǎo)者和組織者。所獲獎項：1950年諾貝爾文學(xué)獎。羅素17 集合論中居然有邏輯上的矛盾！集合論中居然有邏輯上的矛盾！ 傾 刻 之 間 ， 算 術(shù) 的 基 礎(chǔ) 動 搖 了 ， 整 個傾 刻 之 間 ， 算 術(shù) 的 基 礎(chǔ) 動 搖 了 ， 整 個數(shù) 學(xué) 的 基 礎(chǔ) 似 乎 也 動 搖

12、了 。 這 一 動 搖 所 帶數(shù) 學(xué) 的 基 礎(chǔ) 似 乎 也 動 搖 了 。 這 一 動 搖 所 帶來 的 震 憾 是 空 前 的 。 許 多 原 先 為 集 合 論 興來 的 震 憾 是 空 前 的 。 許 多 原 先 為 集 合 論 興高 采 烈 的 數(shù) 學(xué) 家 發(fā) 出 哀 嘆 ： 我 們 的 數(shù) 學(xué) 就高 采 烈 的 數(shù) 學(xué) 家 發(fā) 出 哀 嘆 ： 我 們 的 數(shù) 學(xué) 就是建立在這樣的基礎(chǔ)上的嗎？是建立在這樣的基礎(chǔ)上的嗎？ 羅 素 悖 論 引 發(fā) 的 危 機 ， 就 稱 為 第 三 次羅 素 悖 論 引 發(fā) 的 危 機 ， 就 稱 為 第 三 次數(shù)學(xué)危機。數(shù)學(xué)危機。18 羅 素 把 他

13、發(fā) 現(xiàn) 的 悖 論 寫 信 告 訴 弗 雷羅 素 把 他 發(fā) 現(xiàn) 的 悖 論 寫 信 告 訴 弗 雷格。弗雷格在他的格。弗雷格在他的算術(shù)基礎(chǔ)算術(shù)基礎(chǔ)一書的末一書的末尾無可奈何地寫道：尾無可奈何地寫道：“一個科學(xué)家遇到的一個科學(xué)家遇到的最 不 愉 快 的 事 莫 過 于 ， 當(dāng) 他 的 工 作 完 成最 不 愉 快 的 事 莫 過 于 ， 當(dāng) 他 的 工 作 完 成時，基礎(chǔ)崩塌了。當(dāng)本書即將印刷時，羅時，基礎(chǔ)崩塌了。當(dāng)本書即將印刷時，羅素先生的一封信就使我陷入這樣的尷尬境素先生的一封信就使我陷入這樣的尷尬境地。地?！?9 2） 羅素悖論羅素悖論 在 敘 述 羅 素 悖 論 之 前在 敘 述 羅

14、素 悖 論 之 前 , 我 們 先 注 意 到我 們 先 注 意 到下邊的事實：一個集合或者是它本身的成下邊的事實：一個集合或者是它本身的成員員(元素元素),或者不是它本身的成員或者不是它本身的成員(元素元素)，兩者必居其一。羅素把前者稱為兩者必居其一。羅素把前者稱為“異常集異常集合合”，把后者稱為，把后者稱為“正常集合正常集合”。20 例如,所有抽象概念的集合，本身還是抽象概念。即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合”。 再例如，所有集合的集合，本身還是集合，即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合”。但

15、是，所有星星的集合不是星星，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合”。21羅素當(dāng)年的例子羅素當(dāng)年的例子 “異常集合異常集合” 1： 不多于不多于29個字母表達的句子所構(gòu)成的集合個字母表達的句子所構(gòu)成的集合 “異常集合異常集合” 2： 不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合22 羅素悖論是：羅素悖論是：以以 表示表示“是其本身成員的是其本身成員的所有集合的集合所有集合的集合”（所有異常集合的集合），（所有異常集合的集合），而以而以 表示表示“不是它本身成員的所有集合的集不是它本身成員的所有集合的集合合”（所有正常集合的集合），于是任一集合（所有正常集合的集合），于是任一集合

16、或者屬于或者屬于 ，或者屬于，或者屬于 ，兩者必居其一，且，兩者必居其一，且只居其一。然后問：集合只居其一。然后問：集合 是否是它本身的是否是它本身的成員？（集合成員？（集合 是否是異常集合？）是否是異常集合？）MMNNNN23 如果如果 是它本身的成員，則按是它本身的成員，則按 及及 的的定定義，義， 是是 的成員，而不是的成員，而不是 的成員，即的成員，即 不不是它本身的成員，這與假設(shè)矛盾。即是它本身的成員，這與假設(shè)矛盾。即 如果如果 不是它本身的成員，則按不是它本身的成員，則按 及及 的定義，的定義， 是是 的成員，而不是的成員，而不是 的成員，即的成員，即 是它本身的成員，這又與假設(shè)矛

17、盾。即是它本身的成員，這又與假設(shè)矛盾。即 悖論在于：悖論在于：無論哪一種情況，都得出矛盾。無論哪一種情況，都得出矛盾。NMNNMNNNNNMNNNMNNNMN()NNNNNM24 羅素悖論的通俗化“理發(fā)師悖論”：某村的一個理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？ 如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。25 4 危機的消除 危機出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來消除悖論。當(dāng)時消

18、除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。 人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時，盡量把原有理論中有價值的東西保留下來。26 這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就留下了解決問題的余地。留下了解決問題的余地。 羅素等人分析后認為，這些悖論的共同特征羅素等人分析后認為，這些悖論的共同特征（悖論的實質(zhì)）是（悖論的實質(zhì)）是“自我指謂自我指謂”。即，。即，一個待定義一個待定義的概念，用了包含該概

19、念在內(nèi)的一些概念來定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來定義，造成惡性循環(huán)。造成惡性循環(huán)。 例如，悖論中定義例如，悖論中定義“不屬于自身的集合不屬于自身的集合”時，時，涉及到涉及到“自身自身”這個待定義的對象。這個待定義的對象。27 為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們要將康托為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們要將康托“樸素的集合論樸素的集合論”加以公理化；并且規(guī)定構(gòu)加以公理化；并且規(guī)定構(gòu)造集合的原則，例如，不允許出現(xiàn)造集合的原則，例如，不允許出現(xiàn)“所有所有集合的集合集合的集合”、“一切屬于自身的集合一切屬于自身的集合”這這樣的集合。樣的集合。28 1908年，策梅洛（年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,187

20、11953）提出了由提出了由7條公理組成的集合論體系，稱為條公理組成的集合論體系，稱為Z-系統(tǒng)。系統(tǒng)。 1922年，弗蘭克（年，弗蘭克（A.A.Fraenkel）又加進一條）又加進一條公理，還把公理用符號邏輯表示出來，形成了集合公理，還把公理用符號邏輯表示出來，形成了集合論的論的ZF-系統(tǒng)。再后來，還有改進的系統(tǒng)。再后來，還有改進的ZFC-系統(tǒng)。系統(tǒng)。 這樣，大體完成了這樣，大體完成了由樸素集合論到公理集合論由樸素集合論到公理集合論的發(fā)展過程，悖論消除了。的發(fā)展過程，悖論消除了。29 但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來此，龐

21、加萊在策梅洛的公理化集合論出來后不久，形象地評論道：后不久，形象地評論道：“為了防狼，羊為了防狼，羊群已經(jīng)用籬笆圈起來了，但卻不知道圈內(nèi)群已經(jīng)用籬笆圈起來了，但卻不知道圈內(nèi)有沒有狼有沒有狼”。 這就是說，第三次數(shù)學(xué)危機的解決，并這就是說，第三次數(shù)學(xué)危機的解決，并不是完全令人滿意的。不是完全令人滿意的。30 四、四、 三次數(shù)學(xué)危機與三次數(shù)學(xué)危機與“無窮無窮”的聯(lián)系的聯(lián)系 我們過去就說過，無窮與有窮有本質(zhì)我們過去就說過，無窮與有窮有本質(zhì)的區(qū)別。的區(qū)別。 現(xiàn)在我們可以總結(jié)說，三次數(shù)學(xué)危機現(xiàn)在我們可以總結(jié)說，三次數(shù)學(xué)危機都與無窮有關(guān)，也與人們對無窮的認識有都與無窮有關(guān)，也與人們對無窮的認識有關(guān)。關(guān)。3

22、1 第一次數(shù)學(xué)危機的要害是不認識無理數(shù)，而無理第一次數(shù)學(xué)危機的要害是不認識無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，它可以看成是無窮個有理數(shù)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，它可以看成是無窮個有理數(shù)組成的數(shù)列的極限。組成的數(shù)列的極限。 由于當(dāng)時尚未真正認識無窮，所以那時對第一次由于當(dāng)時尚未真正認識無窮，所以那時對第一次數(shù)學(xué)危機的解決并不徹底；第一次數(shù)學(xué)危機的徹底數(shù)學(xué)危機的解決并不徹底；第一次數(shù)學(xué)危機的徹底解決，是在危機產(chǎn)生二千年后的解決，是在危機產(chǎn)生二千年后的19世紀，建立了極世紀，建立了極限理論和實數(shù)理論之后。實際上，它差不多是與第限理論和實數(shù)理論之后。實際上，它差不多是與第二次數(shù)學(xué)危機同時，才被徹底解決的。二次數(shù)學(xué)危機同時，才被徹底解決的。32 第二次數(shù)學(xué)危機的要害，是極限理論的邏第二次數(shù)學(xué)危