一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和微分

1、、一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)由導(dǎo)數(shù)和微分組成O導(dǎo)數(shù)：樣本量隨自變量的變化而變化的快慢程度；微分：曲線的切線上的縱坐標(biāo)的增量。二、常數(shù)和基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式(C) =0(2)(sin x) = cosx(cosx) = -sin x(tanx) ： =sec2 x(6)(cot x) - - csc2 x(secx) =secxtanx(8)(csc x) - - cscxcot x(9)(ax); ax ln a(10)(ex); ex(11)'1(log a x)xln a(12)(ln x) =1 x(13),.、1(arcsinx)11 -x2(14)(arccosx)- 1v

2、 1 - x?(15)(arctan x)=1 x2(16)(arccot x) =11 x2三、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u=u，v=v(x)者B可導(dǎo)，則(1)(u 二v) 二 u 二 v(Cu)' = Cu' 是常數(shù))(3)(uv) = u v uvu _ u v - uvvv2四、反函數(shù)求導(dǎo)法則則它的反若函數(shù)X=叫y)在某區(qū)間1y內(nèi)可導(dǎo)、單調(diào)且仙0#°函數(shù)y = f(X)在對應(yīng)區(qū)間Ix內(nèi)也可導(dǎo)，且f (x)=dydxdxdy五、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)y = f(u),而"=文刈且f(u)及中(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) y = fW(x)的導(dǎo)數(shù)為dy d

3、y, du展一碗。涼或yt f (u燈(x)六、高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式/九 上用fl(w-l) , 庫(門-1)5 -左 + 1) (i)IU V 十 fi U F 十 a , 十十U V 十 . 十 V2!kl七、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地，如果變量 x, y之間的函數(shù)關(guān)系是由某一個(gè)方程 F(x, y )=0所確定，那么這種函數(shù)就叫做由方程所確定的隱函數(shù) 對數(shù)求導(dǎo)法根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法，我們還可以得到一個(gè)簡化求導(dǎo)運(yùn)算的方法 它適合由幾個(gè)因子通過乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的 函數(shù)(包括窯指函數(shù))的求導(dǎo).這個(gè)方法是先取對數(shù)，化乘、除 為加、減，化乘方、開方為乘積，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，因此稱為

4、對數(shù)求導(dǎo)法.窯指函數(shù)的一般形式為y=uv(u>0),其中u,v是x的函數(shù).八、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地，如果參數(shù)方程L(t), (t為參數(shù))y舁t確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所表示的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).如果函數(shù)X = (t), y=(t)者日可導(dǎo)，且 中'(t)¥0,又X = t)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)t=5/(X ),則由參數(shù)方程所確定的函數(shù)可以看成y=W(t當(dāng)t="(x )復(fù)合而成的函數(shù)y3(xl根據(jù)復(fù)合函數(shù)與 反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有dy _ dy dt dy 1 tdx dt dx dt dx 中 <t)'dtd

5、ytdx 一邛'(t)'dy也可寫成dy = dt.dx dxdtC - -t.2求方程1x=3e所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) d-y.y -2etdxdy2et2et2 2t=p t_te )dx 3e ,-3e 3_ 4 2td2y d i'dy d 2 2 J； d i 2 2t dt 4 2t 1343t-=.一一e = e = -e = a- =- edx2 dx Idx) dx I 3 d dt V 3 d dx 3 dx -3e 9 dt注意二階導(dǎo)的求法。九、微分1、定義 設(shè)函數(shù)y = f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，%及+Ax在此區(qū)間 內(nèi)，如果函數(shù)的增量y = f

6、(Xox) - f(Xo)可表7K為yy a Alx o(lx)其中A是不依賴Ax的常數(shù)，那么稱函數(shù)y= f(x)在點(diǎn)/點(diǎn)可微的， 而AAx叫做函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)xo相應(yīng)于自變量增量Ax的微分，記作 dy ,即dy = Alxdy = f (x)dx2、可微與可導(dǎo)關(guān)系對一元函數(shù)而言，函數(shù)的可微性與可導(dǎo)性是等價(jià)的結(jié)論y = f (x)在點(diǎn)x0處可微u y = f (x)在點(diǎn)小處可導(dǎo)，且f'(xo) = A, 由此dy = fd)甌。主部的定義y = dy o( x)即dy是Ay的主部，因而y : dy3、微分的幾何意義函數(shù)y = f(x)的圖形是一條曲線,y函數(shù)y = f(x)是可微的，當(dāng)也是曲線y= f(x)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的 增量時(shí)，dy就是曲線的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量 當(dāng)Ax很小時(shí)，在點(diǎn)M的附近，切線段近似代替曲線段。因而，y : dy4、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用利用為微分可以把一些復(fù)雜的計(jì)算公式改用簡單的公式來代替。當(dāng)|；：x|很小時(shí),有Ay « dy = f r(x0 )Ax 即f(x0 +Ax)定 f(x0) + f (xo)Ax 或 f (x)