第四章統(tǒng)計檢驗

1、統(tǒng)計檢驗引言引言問題的數(shù)學本質問題的數(shù)學本質.問題的解決方法：假設檢驗法問題的解決方法：假設檢驗法. 某糖廠用自動包裝機將糖裝袋某糖廠用自動包裝機將糖裝袋. 已知額定每袋標已知額定每袋標準重量為準重量為0.5kg. 設每袋糖重服從正態(tài)分布設每袋糖重服從正態(tài)分布. 由以往經(jīng)驗由以往經(jīng)驗知重量的均方差知重量的均方差= 0.015kg 保持不變保持不變. 某日開工后某日開工后, 為為檢驗包裝機工作是否正常檢驗包裝機工作是否正常, 隨機抽取該機所包裝的隨機抽取該機所包裝的9袋袋,稱得凈重為稱得凈重為 (kg): 0.497 , 0.506 , 0.518, 0.524, 0.488, 0.511, 0

2、.510, 0.515, 0.512. 問該日該包裝機工作是否正常問該日該包裝機工作是否正常?一、參數(shù)檢驗一、參數(shù)檢驗假設檢驗的基本思想和概念假設檢驗的基本思想和概念 這類問題的一般數(shù)學描述：這類問題的一般數(shù)學描述：在顯著性水平在顯著性水平下，檢驗假設下，檢驗假設 =00H0 :, H1 :相關概念相關概念: H0原假設；原假設；H1備擇假設備擇假設 H0為真時為真時, 拒絕拒絕H0的錯誤的錯誤, 稱為稱為第第類錯誤類錯誤. H0為假時為假時, 接受接受H0的錯誤的錯誤, 稱為稱為第第類錯誤類錯誤. 即即“棄真棄真”即即“取偽取偽” 設設 (0 k (k 0)由由|00真真拒拒絕絕HHP213

3、2 P 94|32|2221KnmYX | KZP KZPKZP 0 x-KK /2N(0,1)2/ KZP故故“分析分析”改為改為“解解”為為正解正解故拒絕域為故拒絕域為2222194|32| znmYX 2 zK 參數(shù)假設檢驗具體步驟總結：參數(shù)假設檢驗具體步驟總結：(1) 根據(jù)實際問題提出假設根據(jù)實際問題提出假設H0與與H1;(3) 引進統(tǒng)計量，要求在引進統(tǒng)計量，要求在H0真時其分布已知真時其分布已知; (2) 由由H0參考參考H1確定確定拒絕域的形式，由拒絕域形拒絕域的形式，由拒絕域形式確定檢驗統(tǒng)計量式確定檢驗統(tǒng)計量; (5) 數(shù)據(jù)代入拒絕域不等式，若使不等式成立，則數(shù)據(jù)代入拒絕域不等式

4、，若使不等式成立，則拒絕拒絕H0，否則接受，否則接受H0. (4) 由由P拒絕拒絕H0| H0真真 ，確定最終拒絕域形式，確定最終拒絕域形式; 兩正態(tài)總體均值差和方差比的假設檢驗兩正態(tài)總體均值差和方差比的假設檢驗解解: :的的無無偏偏估估計計分分別別是是21, YX拒絕域形式拒絕域形式X2Y3| | |k (k 0)即即KnmSnSmnmYX 2)1()1(94|32|2221由由|00真真拒拒絕絕HHP2132 P |KZ | KZP KZPKZP /2)2(2)1()1(94)32(32222121 nmtnmSnSmnmYX 取取真真0H 2)1()1(94322221 nmSnSmnm

5、YXZ0 x-KKt(m+n-2)2/ KZP故故數(shù)據(jù)代入數(shù)據(jù)代入f(x)2(2 nmtK 解解:(1):(1)的的無無偏偏估估計計分分別別是是22212221, SS拒絕域形式拒絕域形式2S12 3S22),1(322221 kSS或或)1(322221 KSS(k, K待定待定)1, 1( nmF212222212332 SS取取222132SSZ 真真0H 由由|00真真拒拒絕絕HHP或或,322221322221kSSP 322221KSS KZPkZP 0 xF(m-1, n-1) /2Kkf (x)故故 /2)1, 1(2 nmFk )1, 1(21 nmFK 數(shù)據(jù)代入數(shù)據(jù)代入的的

6、無無偏偏估估計計分分別別是是22212221, )2( TT拒絕域形式拒絕域形式),1(322221 kTT或或)1(322221 KTT(k, K待定待定) miiXmT121211 niiYnT122221 由由|00真真拒拒絕絕HHP或或,322221322221kTTP 322221KTT KZPkZP 0 xF(m, n) /2Kkf (x)故故 /2),(2nmFk ),(21nmFK 數(shù)據(jù)代入數(shù)據(jù)代入212222212332 TT),(nmF取取222132TTZ 真真0H 解解：設第一堆磚的抗折強度設第一堆磚的抗折強度 XN(1, 12) 第二堆磚的抗折強度為第二堆磚的抗折強度

7、為 YN(2, 22) S12=40.96, S22=14.44, S12/S22= 40.96/14.44=2.837 F0.025(9, 7)=4.82, F0.975(9,7)=1/F0.025(7,9)=1/4.20=0.283 在顯著性水平在顯著性水平=0.05下，檢驗假設下，檢驗假設 H0: 12 = 22 , H1: 12 22接受接受H0, 即在即在=0.05下認為抗折強度的方差無差異下認為抗折強度的方差無差異.283. 0837. 2, 且且即在即在=0.05下認為兩堆磚是同一批生產(chǎn)的下認為兩堆磚是同一批生產(chǎn)的. 在顯著性水平在顯著性水平=0.05下，檢驗假設下，檢驗假設 H

8、0: 1=2 , H1: 12 t 0.025(16)=2.1199接受接受H0. 體驗過前面假設檢驗過程，我們看到對于不同體驗過前面假設檢驗過程，我們看到對于不同參數(shù)形式或者已知條件，必須采用不同的檢驗分布參數(shù)形式或者已知條件，必須采用不同的檢驗分布和方法和方法。那么有沒有統(tǒng)一的檢驗方法可以對所有的。那么有沒有統(tǒng)一的檢驗方法可以對所有的參數(shù)檢驗都可行呢？參數(shù)檢驗都可行呢？ 這種方法存在的，我們稱其為似然比檢驗法。這種方法存在的，我們稱其為似然比檢驗法。下面我們討論單參數(shù)模型的似然比檢驗法。下面我們討論單參數(shù)模型的似然比檢驗法。 這種方法的這種方法的優(yōu)點在于可以忽略總體分布和參數(shù)優(yōu)點在于可以忽

9、略總體分布和參數(shù)的種種條件限制，采用統(tǒng)一的方法進行檢驗，的種種條件限制，采用統(tǒng)一的方法進行檢驗，可以可以證明在樣本充分大的情況下結論跟我們前面的方法證明在樣本充分大的情況下結論跟我們前面的方法是一致的。是一致的。一個結論：一個結論：二、非參數(shù)檢驗二、非參數(shù)檢驗1、總體分布的檢驗、總體分布的檢驗檢驗的基本原理：檢驗的基本原理：(i)針對問題針對問題 假設樣本假設樣本 但是總體分布未知，但是總體分布未知，由觀測值由觀測值x1，xn檢驗假設檢驗假設其中其中 為已知分布，若存在未知參數(shù)為已知分布，若存在未知參數(shù)，則用點估計替代參數(shù)則用點估計替代參數(shù)21) 分布的分布的 擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度檢驗);()

10、(:);()(:0100 xFxFHxFxFH，XXXiidn1 0( )F x(ii) 構造統(tǒng)計量：構造統(tǒng)計量： 將將F(x)的定義域劃分為的定義域劃分為k個互不相交的區(qū)個互不相交的區(qū)間間 (ai , ai+1 ，i =1,2, k；記；記fi為樣本觀察值為樣本觀察值x1, x2, , xn落在第個區(qū)間落在第個區(qū)間(ai ,ai+1 內(nèi)的頻數(shù)，內(nèi)的頻數(shù)，并記為：并記為： Pi=Pai X ai+1= F(ai+1)-F(ai ) 為以為以F(x)為分布函數(shù)的隨機變量在區(qū)間為分布函數(shù)的隨機變量在區(qū)間 (ai, ai+1 上取值的概率，上取值的概率，i =1,2, k。 則當則當H0為真時，為真

11、時，實際頻率實際頻率與與其概率其概率Pi之間的之間的差異并不顯著差異并不顯著，于是顯然可以用統(tǒng)計量來刻畫它于是顯然可以用統(tǒng)計量來刻畫它們間總的差異的大小。其中們間總的差異的大小。其中nPi為理論頻數(shù)為理論頻數(shù)，fi為為實際頻數(shù)。當實際頻數(shù)。當H0為真時，下式的值就應當較小為真時，下式的值就應當較小 221()kiiiifnPnP(iii) 顯著性檢驗：顯著性檢驗： 可以證明，當可以證明，當n充分大時充分大時(n50)，若，若H0為為真，則統(tǒng)計量真，則統(tǒng)計量 近似服從近似服從 (k -r -1)分布。其中分布。其中r為分布為分布F(x)中待定參數(shù)的個數(shù)。中待定參數(shù)的個數(shù)。 221()kiiiif

12、nPnP2在給定檢驗水平在給定檢驗水平 下，若下，若22(1)k r 就拒絕就拒絕H0，說明總體，說明總體X的真實分布函數(shù)與的真實分布函數(shù)與F(x)間間存在顯著差異；否則接受存在顯著差異；否則接受H0 ，即可以認為兩者，即可以認為兩者在水平在水平 下并無顯著差異。下并無顯著差異。組合圓黃皺黃圓綠皺綠nn i31510110832556組合組合圓黃圓黃皺黃皺黃圓綠圓綠皺綠皺綠概率概率9/163/163/161/16試給定檢驗水平試給定檢驗水平0.05下，證明孟德爾理論。下，證明孟德爾理論。組合組合圓黃圓黃皺黃皺黃圓綠圓綠皺綠皺綠理論頻數(shù)理論頻數(shù)312.75104.25104.2534.75實際頻

13、數(shù)實際頻數(shù)31510110832例：某廠有一臺經(jīng)常需要維修的設備，該設例：某廠有一臺經(jīng)常需要維修的設備，該設備中有一個易損壞的重負荷軸承，設備故備中有一個易損壞的重負荷軸承，設備故障的主要原因是軸承損壞。為了制定該設障的主要原因是軸承損壞。為了制定該設備的維修計劃和維修預算，需要了解該軸備的維修計劃和維修預算，需要了解該軸承的壽命分布。下表給出了承的壽命分布。下表給出了100個軸承壽命個軸承壽命的觀察數(shù)據(jù)，問：該軸承壽命是否服從正的觀察數(shù)據(jù)，問：該軸承壽命是否服從正態(tài)分布？態(tài)分布？107 155 105 148 49 143 120 115 142 87 103 141 118 168 123

14、 105 80 107 172 122 89 69 97 135 92 31 68 88 95 146 99 121 104 63 12 57 120 139 107 156 167 136 173 136 179 129 88 75 144 105 192 149 128 111 127 91 103 145 113 114 123 136 8 190 181 121 158 83 223 93 72 120 130 103 144 89 113 60 76 176 94 190 139 140 151 145 142 118 185 140 59 118 212 117 52 128 16

15、8 174 155 116 解：由表中數(shù)據(jù)，用Excel可求得 =120.95， S2=402.582 ， 故可作原假設 H0：X N (120，402) 將實軸劃分為如下7個互不相交的區(qū)間。用Excel的FREQUENCY函數(shù)計算數(shù)據(jù)落在各區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)，用NORMDIST函數(shù)求出各理論頻數(shù)nPi ，統(tǒng)計量的計算如表所示。x區(qū) 間 fi nPi iiinPnPf2)( (- , 70 11 10.56 0.0183 (70, 90 10 12.10 0.3645 (90, 110 18 17.47 0.0161 (110, 130 21 19.74 0.0804 (130, 150 19 17

16、.47 0.1340 (150, 170 10 12.10 0.3645 (170, +) 11 10.56 0.0183 合計 100 100 0.9961 取顯著性水平 = 0.05 本例中k = 7，r = 2，k r -1 = 4。故在水平 = 0.05下接受原假設H0 ，即可認為該軸承的使用壽命服從N (120，402)分布。問：為什么要k = 7， k 取其他的可以么，8,9？220.050.9961(4)9.4862) 正態(tài)概率紙檢驗正態(tài)概率紙檢驗 由于正態(tài)分布式統(tǒng)計中使用最為廣泛的一種分由于正態(tài)分布式統(tǒng)計中使用最為廣泛的一種分布，因此正態(tài)性檢驗可以說是最主要的一個分布檢驗。布，

17、因此正態(tài)性檢驗可以說是最主要的一個分布檢驗。上一節(jié)我們講了擬合優(yōu)度檢驗可以檢驗正態(tài)性，這里上一節(jié)我們講了擬合優(yōu)度檢驗可以檢驗正態(tài)性，這里我們介紹一種非常直觀的檢驗：我們介紹一種非常直觀的檢驗：正態(tài)概率紙檢驗法正態(tài)概率紙檢驗法。 首先將樣本進行排序，并且記為首先將樣本進行排序，并且記為(1)(2)( )nxxx記記 為標準正態(tài)分布為標準正態(tài)分布N(0.1)的下的下i/n分位點。分位點。/ i n0 xN(0,1)/ i ni/n可以證明：若數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，可以證明：若數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，數(shù)據(jù)對（數(shù)據(jù)對（ ， ）(i=1,2n)做做成直角坐標系中的點，那么這些點成直角坐標系中的點，那么這些點應該大

18、致呈一種直線分布情況。應該大致呈一種直線分布情況。( ) ix/ i n在實際操作中，我們在一種特殊的在實際操作中，我們在一種特殊的x-q坐標系中做出坐標系中做出來（來（ ， ）的散點圖，在這種坐標系中，）的散點圖，在這種坐標系中，x軸軸使用的是均勻刻度，而使用的是均勻刻度，而q軸使用的是轉換后的軸使用的是轉換后的 的坐標系。的坐標系。( ) ix/ i nq例如例如某校某校60名學生的一次考試成績?nèi)缦旅麑W生的一次考試成績?nèi)缦?93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55檢驗其正態(tài)性。檢驗其正態(tài)性。說明：很多計算工具已經(jīng)可以直接調(diào)用相應的命令說