誤差理論2010年4月22日

1、第一部分第一部分誤誤 差差 理理 論論龔萬選龔萬選 自貢市計量測試研究所自貢市計量測試研究所 2010年年7月月20日日誤差誤差（一）絕對誤差（一）絕對誤差 1.定義定義 ： JJG1001-82通用計量名詞及定義通用計量名詞及定義: 測量誤差：測量結(jié)果與被測量真值之差。測量誤差：測量結(jié)果與被測量真值之差。 JJG1001-91通用計量名詞及定義通用計量名詞及定義: 測量誤差：測量結(jié)果與被測量真值之差。測量誤差：測量結(jié)果與被測量真值之差。 JJF1001-1998通用計量名詞及定義通用計量名詞及定義: 測量誤差：測量結(jié)果減去被測量的真值測量誤差：測量結(jié)果減去被測量的真值。 注：此術(shù)語有時稱為注

2、：此術(shù)語有時稱為測量的絕對誤差。測量的絕對誤差。 絕對誤差絕對誤差= x xo x - 測量結(jié)果：由測量所得到的賦予被測量的值。測量結(jié)果：由測量所得到的賦予被測量的值。 （如：測得值、測量結(jié)果、實驗值、示值、（如：測得值、測量結(jié)果、實驗值、示值、標(biāo)稱值標(biāo)稱值等）。等）。 xo - 真值（如：理論真值、約定真值）真值（如：理論真值、約定真值） 約定真值：約定真值： JJF1001-1998通用計量名詞及定義: 量的約定真值：對于給定目的具有適當(dāng)不確定度的、賦予特量的約定真值：對于給定目的具有適當(dāng)不確定度的、賦予特定量的值，有時該值是約定采用的。定量的值，有時該值是約定采用的。 （1）被測量的實際

3、值，如某砝碼名義上標(biāo)稱為）被測量的實際值，如某砝碼名義上標(biāo)稱為1kg，高一級標(biāo)準(zhǔn)器測量時實際，高一級標(biāo)準(zhǔn)器測量時實際值為值為1.002kg，可把，可把1.002kg作為約定真值。作為約定真值。 （2）已修正過的算術(shù)平均值：對某量重復(fù)測量）已修正過的算術(shù)平均值：對某量重復(fù)測量5次，用次，用5次測量值的平均值作次測量值的平均值作為約定真值。為約定真值。 （3）計量標(biāo)準(zhǔn)器所復(fù)現(xiàn)的量值：高一級標(biāo)準(zhǔn)器允許誤差為低一級標(biāo)準(zhǔn)器或普通）計量標(biāo)準(zhǔn)器所復(fù)現(xiàn)的量值：高一級標(biāo)準(zhǔn)器允許誤差為低一級標(biāo)準(zhǔn)器或普通計量儀器（被測對象）允許誤差的計量儀器（被測對象）允許誤差的1/3 1/10時時, 高一級標(biāo)準(zhǔn)器具所復(fù)現(xiàn)的量值高

4、一級標(biāo)準(zhǔn)器具所復(fù)現(xiàn)的量值就作為約定真值。就作為約定真值。 （4）計量學(xué)的約定真值：如標(biāo)準(zhǔn)重力加速度）計量學(xué)的約定真值：如標(biāo)準(zhǔn)重力加速度g=9.80665m/s2 。 盡管約定真值盡管約定真值“真真”是相對的，本身存在一定的不確定度。然而，正是是相對的，本身存在一定的不確定度。然而，正是我們承認(rèn)了約定真值的可知性，使得在計量學(xué)中實際應(yīng)用成為可能。此時，我們承認(rèn)了約定真值的可知性，使得在計量學(xué)中實際應(yīng)用成為可能。此時，約定真值與真值之差對特定目的來說約定真值與真值之差對特定目的來說,可忽略不計?？珊雎圆挥?。 理論真值：理論真值： JJF1001-1998通用計量名詞及定義通用計量名詞及定義: 量的

5、真值：與給定的特定量定義一致的值。量的真值：與給定的特定量定義一致的值。 理論真值往往在定義和公式表達中給出，如三角形內(nèi)角和為理論真值往往在定義和公式表達中給出，如三角形內(nèi)角和為 180，四邊形內(nèi)角和為，四邊形內(nèi)角和為360。 例例1：標(biāo)稱值為：標(biāo)稱值為10g的的E2等級砝碼，經(jīng)相應(yīng)高等級砝碼，經(jīng)相應(yīng)高一級天平檢定其讀數(shù)值為一級天平檢定其讀數(shù)值為10.003g。該砝碼。該砝碼標(biāo)稱值的絕對誤差為多少？標(biāo)稱值的絕對誤差為多少？解：解： = x xo=10-10.003=-0.003(g)=-3 mg （此例題中標(biāo)稱值（此例題中標(biāo)稱值10g為砝碼的示值為砝碼的示值x ，讀數(shù)值，讀數(shù)值10.003g為

6、砝碼的實際值即約定真值為砝碼的實際值即約定真值xo。）。） 對于實物量具對于實物量具(如砝碼、量塊、標(biāo)準(zhǔn)電池、標(biāo)準(zhǔn)電阻等如砝碼、量塊、標(biāo)準(zhǔn)電池、標(biāo)準(zhǔn)電阻等)的的標(biāo)稱值，也就是其示值。示值作為測量結(jié)果當(dāng)然就是作被減標(biāo)稱值，也就是其示值。示值作為測量結(jié)果當(dāng)然就是作被減數(shù)了。數(shù)了。 這個例子中容易出現(xiàn)的錯誤是將實際值這個例子中容易出現(xiàn)的錯誤是將實際值10.003g當(dāng)作測當(dāng)作測量結(jié)果，而把量結(jié)果，而把10g當(dāng)作約定真值，其計算結(jié)果就完全錯誤了。當(dāng)作約定真值，其計算結(jié)果就完全錯誤了。 例例2：標(biāo)稱值為：標(biāo)稱值為10g的的E2等級砝碼，放相應(yīng)低等級砝碼，放相應(yīng)低一級天平上得讀數(shù)值為一級天平上得讀數(shù)值為10

7、.008g。該天平的。該天平的絕對誤差為多少？絕對誤差為多少？解：解： = x xo=10.008-10=+0.008(g)=+8 mg （此例題中砝碼在低一級天平上的讀數(shù)值（此例題中砝碼在低一級天平上的讀數(shù)值10.008g是測是測量結(jié)果量結(jié)果x，砝碼的標(biāo)稱值，砝碼的標(biāo)稱值10g也是天平的約定真值也是天平的約定真值xo 。）。） 這個例子中容易出現(xiàn)的錯誤是將讀數(shù)值這個例子中容易出現(xiàn)的錯誤是將讀數(shù)值10.008g當(dāng)作當(dāng)作10g砝碼的約定真值，而把砝碼的約定真值，而把10g當(dāng)作砝碼的測量結(jié)果，其計算結(jié)當(dāng)作砝碼的測量結(jié)果，其計算結(jié)果就完全錯誤了。這里，果就完全錯誤了。這里，10g是砝碼的約定真值，而

8、是砝碼的約定真值，而10.008g是是10g砝碼在低一級天平上的測量結(jié)果。但如果將砝碼在低一級天平上的測量結(jié)果。但如果將10g砝碼放更高一級天平上得讀數(shù)值為砝碼放更高一級天平上得讀數(shù)值為10.008g，則讀數(shù)值，則讀數(shù)值10.008g是是10g砝碼的約定真值，砝碼的約定真值，10g是砝碼的測量結(jié)果。關(guān)是砝碼的測量結(jié)果。關(guān)鍵是要看量傳的方向。鍵是要看量傳的方向。 例例3：用用2.5級壓力表測得某壓力值為級壓力表測得某壓力值為1.60MPa，用，用另一只另一只0.4級精壓表測得該壓力值為級精壓表測得該壓力值為1.593MPa，求該壓力值的絕對誤差。求該壓力值的絕對誤差。解：解： = x xo=1.

9、60-1.593=+0.007（MPa）（此例題中，真值xo為計量標(biāo)準(zhǔn)器具所復(fù)現(xiàn)的量值，x為壓力表所指示的示值，即獲得結(jié)果。） 在這里這個例子中容易出現(xiàn)的錯誤是將一般壓力表和在這里這個例子中容易出現(xiàn)的錯誤是將一般壓力表和精密壓力表都認(rèn)為是測量結(jié)果，而不知道哪一個是真正的精密壓力表都認(rèn)為是測量結(jié)果，而不知道哪一個是真正的測量結(jié)果，哪一個是約定真值。測量結(jié)果，哪一個是約定真值。 例例4：200g的的F2等級砝碼用等級砝碼用 級電子天平進行測級電子天平進行測試得試得200.0232g，用，用 級電子天平進行測試得級電子天平進行測試得200.02g，求該砝碼的絕對誤差為多少？，求該砝碼的絕對誤差為多少

10、？解：解： = x xo=200.02-200.0232= -0.0032（g）（此例題中，真值xo為 級電子天平所復(fù)現(xiàn)的量值，x為 級電子天平所指示的示值，即獲得結(jié)果。） 在這個例子中容易出現(xiàn)的錯誤是將在這個例子中容易出現(xiàn)的錯誤是將 級電子天平和級電子天平和 級電子天平的測試值都認(rèn)為是測量結(jié)果，而不知道哪一個級電子天平的測試值都認(rèn)為是測量結(jié)果，而不知道哪一個是真正的測量結(jié)果，哪一個是約定真值。是真正的測量結(jié)果，哪一個是約定真值。2.其他相關(guān)概念其他相關(guān)概念 （1）誤差絕對值：不考慮正負(fù)號的誤差值。）誤差絕對值：不考慮正負(fù)號的誤差值。 誤差絕對值不等于絕對誤差誤差絕對值不等于絕對誤差。 （2）

11、修正值（）修正值（C）: JJG1001-91通用計量名詞及定義: 修正值：為消除或減少系統(tǒng)誤差修正值：為消除或減少系統(tǒng)誤差,用代數(shù)法加到未修正測量結(jié)果用代數(shù)法加到未修正測量結(jié)果上的值。上的值。 注：修正值的大小等于已定系統(tǒng)誤差注：修正值的大小等于已定系統(tǒng)誤差,但符號相反。但符號相反。 JJF1001-1998通用計量名詞及定義通用計量名詞及定義: 修正值：用代數(shù)方法與未修正測量結(jié)果相加，以補償修正值：用代數(shù)方法與未修正測量結(jié)果相加，以補償其系統(tǒng)誤差的值。其系統(tǒng)誤差的值。 注：修正值等于負(fù)的系統(tǒng)誤差。注：修正值等于負(fù)的系統(tǒng)誤差。 由由= x xo 得：得： xo=x =x+C。 使含有誤差的測

12、量結(jié)果加上修正值，以補償系統(tǒng)誤差的影響。其使含有誤差的測量結(jié)果加上修正值，以補償系統(tǒng)誤差的影響。其 大小等大小等 于絕對誤差，但符號相反。如例于絕對誤差，但符號相反。如例1：其：其10g是含有誤差的測量結(jié)果，砝碼的修是含有誤差的測量結(jié)果，砝碼的修 正值為正值為+3mg，則砝碼的實際值即約定真值為，則砝碼的實際值即約定真值為10.003g。 關(guān)于系統(tǒng)誤差，關(guān)于系統(tǒng)誤差，JJF1001-1998上的定義為：上的定義為： 在重復(fù)性條件下，對同一被測量進行無限多次在重復(fù)性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得到結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。測量所得到結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。（3）偏差（）偏

13、差（d）：）： JJG1001-91通用計量名詞及定義通用計量名詞及定義 偏差：計量器具實際值減去標(biāo)稱值之差。偏差：計量器具實際值減去標(biāo)稱值之差。 JJF1001-1998通用計量名詞及定義通用計量名詞及定義 偏差：一個值減去其參考值。偏差：一個值減去其參考值。 如用戶需要一個準(zhǔn)確值為如用戶需要一個準(zhǔn)確值為1kg的砝碼，并將此應(yīng)有的值的砝碼，并將此應(yīng)有的值標(biāo)在砝碼上，而加工時由于諸多因素影響，所得實際值標(biāo)在砝碼上，而加工時由于諸多因素影響，所得實際值為為1.002kg。此時的偏差為。此時的偏差為+0.002kg。 如按照標(biāo)稱值如按照標(biāo)稱值1kg來使用，砝碼就有來使用，砝碼就有-0.002kg的

14、誤差。的誤差。這塊砝碼之所以具有這塊砝碼之所以具有-0.002kg誤差，是因為發(fā)生了偏差，誤差，是因為發(fā)生了偏差，偏大了偏大了0.002kg，從而使加工出來的實際值，從而使加工出來的實際值1.002kg偏離偏離了標(biāo)稱值了標(biāo)稱值1kg。而如果在標(biāo)稱值上加一個修正值。而如果在標(biāo)稱值上加一個修正值+0.002kg以后再用，這塊砝碼就比較接近于實際值。示以后再用，這塊砝碼就比較接近于實際值。示值誤差和修正值，都是相對標(biāo)稱值而言的。為了描述這值誤差和修正值，都是相對標(biāo)稱值而言的。為了描述這個差異，引入個差異，引入“偏差偏差”的概念。的概念。 偏差偏差d =實際值實際值-標(biāo)稱值標(biāo)稱值= xo -x = 1

15、.002-1.000=+0.002（kg） 3、絕對誤差、修正值及偏差之間的關(guān)系：、絕對誤差、修正值及偏差之間的關(guān)系：（a）偏差與修正值相等，與絕對誤差的絕對值相等而）偏差與修正值相等，與絕對誤差的絕對值相等而符號相反。符號相反。 即：偏差（即：偏差（d） =修正值（修正值（C ）=絕對誤差（絕對誤差（-） （b）偏差、修正值、誤差各指的對象不同，所以在分）偏差、修正值、誤差各指的對象不同，所以在分析誤差時，首先要分清楚所研究的對象是什么，即要表析誤差時，首先要分清楚所研究的對象是什么，即要表示的是哪個量值的誤差。示的是哪個量值的誤差。以上一個標(biāo)稱值以上一個標(biāo)稱值1kg的砝碼為例，說明偏差、修

16、正值、誤差各指的對象：的砝碼為例，說明偏差、修正值、誤差各指的對象： （a）誤差（絕對誤差）是表示測量結(jié)果偏離真值的程度。）誤差（絕對誤差）是表示測量結(jié)果偏離真值的程度。 真值是真值是1.002kg，在這里應(yīng)將標(biāo)稱值作為測量結(jié)果，即所獲得結(jié)果，在這里應(yīng)將標(biāo)稱值作為測量結(jié)果，即所獲得結(jié)果為為1kg。因此誤差是。因此誤差是1-1.002= -0.002（kg） （b）修正值是指對未修正的測量結(jié)果加上某值以后更接近實際值。如）修正值是指對未修正的測量結(jié)果加上某值以后更接近實際值。如對該標(biāo)稱值為對該標(biāo)稱值為1kg的砝碼，加上一個修正值的砝碼，加上一個修正值+0.002kg后，則該砝碼就后，則該砝碼就比

17、較接近真值了。比較接近真值了。 （c）偏差是指測得值（或?qū)嶋H值）與標(biāo)稱值（或參考值）之差。即砝）偏差是指測得值（或?qū)嶋H值）與標(biāo)稱值（或參考值）之差。即砝碼實際值碼實際值1.002kg與標(biāo)稱值與標(biāo)稱值1kg之差，等于之差，等于+0.002kg。 而這里最容易出現(xiàn)混淆的是砝碼質(zhì)量而這里最容易出現(xiàn)混淆的是砝碼質(zhì)量1.002kg，很可能想到我將，很可能想到我將標(biāo)稱值為標(biāo)稱值為1kg的砝碼放到天平上得到的砝碼放到天平上得到1.002kg，而將，而將1.002kg作為實測作為實測值，將標(biāo)稱值值，將標(biāo)稱值1kg作為真值，從而得到誤差作為真值，從而得到誤差1.002-1= + 0.002(kg)。 偏差也可能

18、會得：實際值偏差也可能會得：實際值-標(biāo)稱值標(biāo)稱值= 1-1.002 = - 0.002(kg)的錯誤結(jié)的錯誤結(jié)果。果。 特別要指出的是有的規(guī)程寫的很不清楚，如特別要指出的是有的規(guī)程寫的很不清楚，如JJG196-2006常用常用玻璃量器玻璃量器，除在記錄格式中有容量偏差外，正文只提到容量允差及，除在記錄格式中有容量偏差外，正文只提到容量允差及容量示值，給檢定帶來很大麻煩。而容量示值，給檢定帶來很大麻煩。而JJF1070-2005定量包裝商品凈定量包裝商品凈含量計量檢驗規(guī)則含量計量檢驗規(guī)則則寫得非常清楚。則寫得非常清楚。 對于試驗機（對于試驗機（JJG139-1999）而言則不容易出現(xiàn)這種）而言則

19、不容易出現(xiàn)這種混淆。如果試驗機以標(biāo)準(zhǔn)測力儀為依據(jù)，在度盤或屏幕上混淆。如果試驗機以標(biāo)準(zhǔn)測力儀為依據(jù)，在度盤或屏幕上讀數(shù)。如在讀數(shù)。如在100kN試驗機的試驗機的30kN點，標(biāo)準(zhǔn)測力儀上的百分點，標(biāo)準(zhǔn)測力儀上的百分表顯示為表顯示為3.340（即（即30kN力值），此時屏幕上的讀數(shù)為力值），此時屏幕上的讀數(shù)為31kN，則誤差為，則誤差為31-30=+1（kN）。此處）。此處31kN是測量結(jié)果，是測量結(jié)果，30kN是真值。這是絲毫也不會含混的。是真值。這是絲毫也不會含混的。 又比如說加油機（又比如說加油機（JJG443-2006） ，當(dāng)加油機上顯示，當(dāng)加油機上顯示放出放出100L汽油進入汽油進入10

20、0L的二等金屬量器后，在金屬量器上的二等金屬量器后，在金屬量器上讀數(shù)經(jīng)修正為讀數(shù)經(jīng)修正為99.80L。則。則99.80L是真值，而是真值，而100L是測得值，是測得值，即所獲得結(jié)果。因此誤差是即所獲得結(jié)果。因此誤差是100-99.80=+0.20 （L）。這也）。這也不會混淆。不會混淆。 但是，對于試驗機（但是，對于試驗機（JJG139-1999）而言，如果試驗）而言，如果試驗機以度盤為依據(jù)，在標(biāo)準(zhǔn)測力儀上讀數(shù)，則很容易產(chǎn)生混機以度盤為依據(jù)，在標(biāo)準(zhǔn)測力儀上讀數(shù)，則很容易產(chǎn)生混淆：將證書上給出的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)當(dāng)成真值，而將標(biāo)準(zhǔn)測力儀上淆：將證書上給出的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)當(dāng)成真值，而將標(biāo)準(zhǔn)測力儀上讀數(shù)當(dāng)成測量結(jié)果。如

21、前面所列在讀數(shù)當(dāng)成測量結(jié)果。如前面所列在100kN試驗機的試驗機的30kN點，點，證書上給出的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)為證書上給出的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)為3.340，而實測時度盤在，而實測時度盤在30kN點的點的讀數(shù)為讀數(shù)為3.390。則。則3.390應(yīng)是度盤在應(yīng)是度盤在30kN時的真值，而時的真值，而3.340只不過是度盤只不過是度盤30kN這一這一標(biāo)稱值的另一種標(biāo)稱值的表標(biāo)稱值的另一種標(biāo)稱值的表現(xiàn)形式而已，而不要把它認(rèn)為是現(xiàn)形式而已，而不要把它認(rèn)為是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)就是真值去了。標(biāo)準(zhǔn)數(shù)就是真值去了。 又比如玻璃量器。標(biāo)稱值為又比如玻璃量器。標(biāo)稱值為10mL的量筒，經(jīng)的量筒，經(jīng)衡量法測得裝衡量法測得裝10mL的水經(jīng)折算后的體積為的水

22、經(jīng)折算后的體積為9.8mL。則則9.8mL為真值，而為真值，而10mL是測得值，是測得值， 則誤差為則誤差為 =10-9.8=+0.2（mL）。）。 而根據(jù)而根據(jù)JJG196-2006常用玻璃量器常用玻璃量器，記錄，記錄及證書上需要計算的是容量偏差，及證書上需要計算的是容量偏差，容量偏差容量偏差d=9.8-10=-0.2（mL） 修正值修正值C也是也是-0.2mL，也就是說該量筒所量的，也就是說該量筒所量的10mL比實際容量小比實際容量小0.2mL。當(dāng)用此量筒測量容量。當(dāng)用此量筒測量容量時，如果將標(biāo)稱值加上時，如果將標(biāo)稱值加上-0.2mL，才更接近該量筒，才更接近該量筒的實際值。而誤差的實際值

23、。而誤差+0.2mL則說明測量結(jié)果偏離則說明測量結(jié)果偏離（大于）真值（大于）真值0.2mL。但是在常用玻璃量器的檢定。但是在常用玻璃量器的檢定規(guī)程里沒有容量偏差的計算公式，甚至連容量偏差規(guī)程里沒有容量偏差的計算公式，甚至連容量偏差的話語都是沒有的，這就難免讓檢定員出差錯了。的話語都是沒有的，這就難免讓檢定員出差錯了。（二）相對誤差（二）相對誤差1.定義：定義： 根據(jù)根據(jù)JJF1001-1998通用計量名詞及定義通用計量名詞及定義技術(shù)技術(shù)規(guī)范規(guī)范相對誤差：測量誤差除以被測量的相對誤差：測量誤差除以被測量的 真值。真值。我們用符號我們用符號 r表示相對誤差，則表示相對誤差，則 r = /xo /x

24、 如如JJG443-2006燃油加油機燃油加油機，體積顯示值誤差為：，體積顯示值誤差為： EV=(VJ-VBt)/VBt100 VJ-加油機在加油機在tJ下指示的體積值，下指示的體積值，L。 VBt-量器在量器在tJ下給出的實際體積值，下給出的實際體積值，L。 例例1.如前面舉的例子，從加油機放出如前面舉的例子，從加油機放出100L汽油，實測（用汽油，實測（用量器測）量器測）99.80L。 則相對誤差則相對誤差 r =（100-99.80）/99.800.2 例例2.有一標(biāo)稱范圍為（有一標(biāo)稱范圍為（0300）v的電壓表。在示值為的電壓表。在示值為100v處，其實際值為處，其實際值為100.50